(1)Ch 3.4 多項式不等式 一年____班 座號

Ch 3.4 多項式不等式 一年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：多項式不等式、數線上區間的表示法

1.意義：設 f (x)為實係數n 次多項式函數，則 f (x)  0 稱為實係數 n 次多項式不等式，包含 f (x)＞0、f (x)  0、f (x)＜0、

f (x)  0 四種型式

2.解多項式不等式：意即求出「使不等式成立的所有 x 值」，一般其解為一個範圍(或區間) 3.數線上坐標與區間的表示法：

A：數線上 P(a)表是一點，其幾何意義如圖(1) B：區間的表示法

(1)閉區間[a，b]表示 a  x  b，其幾何意義如圖(2) (2)開區間(a，b)表示 a＜x＜b，其幾何意義如圖(3)

(3)半開區間[a，b]表示 a  x＜b，其幾何意義如圖(4) 半開區間(a，b)表示 a＜x  b，其幾何意義如圖(5) (4) [a，)表示 a  x，其幾何意義如圖(6)

(a，)表示 a＜x，其幾何意義如圖(7)

(5) (－，b]表示 x  b，其幾何意義如圖(8) (－，b)表示 x＜b，其幾何意義如圖(9)

(6) (－，)表示 xR (即整條數線)，其幾何意義如圖(10)

例1.1：請以區間符號表示下列各不等式的解之範圍：

(5) 92 ≤ x＜107 (6) x  2017

Ex1.1：請以區間符號表示各不等式的解之範圍：

(1)－2 x  21 (2) x＜0 (3) 12.5＜x＜14 (4) 18.5＜x  21 (5) x －2

例1.2：在數線上標出以下範圍：

(1) x＞2 或 x＜－3 (2) x＞0 且 x ≤ 3 (3) x＜－1 且 x＞2 (4) x＜3 或 x＞0 a b

(2)

a b (3)  

a b (4) 

a b (5) 

a (6)

a (7) 

b (8)

b (9) 

a b (10)

a (1) 

1



 2  1

(2) x x

0 1 2 (3)

0 1 2 x (4)

Ex1.2：在數線上標出以下範圍：

(1) x ≤ 2 且 x＞－3 (2) x＜－4 或 x ≥ 1 (3) x＝1 或 x ≥ 3

重點 2：一次不等式

1.意義：設 a  0，則 f (x)＝y＝ax＋b  0，稱為多項式一次不等式

註：一次不等式包含ax＋b＞0、ax＋b  0、ax＋b＜0、ax＋b  0 四種型式 2.解一次不等式 ax＋b＞0 (或 ax＋b  0，ax＋b＜0，ax＋b  0)，則：

(1)加、減法：只要移項即可，即 ax＞－b (或 ax ≥－b，ax＜－b，ax ≤－b) (2)乘、除法：

同乘或同除一個正數時，不等號不改變方向 同乘或同除一個負數時，不等號要改變方向

例2.1：右圖為函數 f (x)＝2x－3的圖形，試求解一次不等式f (x)＞0 (以區間表示)

Ex2.1：右圖為函數 g(x)＝－3x－5的圖形，試求解 g(x)＜0

Ex2.11：右圖為函數

y  f x ( )

重點 3：二次不等式

1.意義：設 a  0，則 f (x)＝ax²＋bx＋c  0 (包含 f (x)＞0、f (x)  0、f (x)＜0、f (x)  0 四種型式)，稱為二次不等式 註：當k＞0 時，則 k f (x)＞0 與 f (x)＞0 意義相同

當k＜0 時，則 k f (x)  0 與 f (x)  0 意義相同

2.解多項式二次不等式：意即求出「使不等式成立的所有 x 值」，一般其解為一個範圍(或區間) 步驟1：調整使得最高次方項的係數為正數

步驟2：因式分解完畢，求出其關鍵點(正負變化的點)

註：對y＝ax²＋bx＋c 作因式分解時，設判別式 D＝b²－4ac，則：

(1)D＞0 但不是完全平方數時，利用公式法 x＝

a D b

2





(2)D＝0 或 D 為完全平方數時，利用十字交乘法分解 (3)D＜0 時，直接判定為「恆正」

步驟3：將關鍵點標示在數線上，由右至左依序為＋、－、＋、－、…，如圖

步驟4：根據不等式之型式，求出其解

註：依判別式D＝b²－4ac 的正負，可得圖形及相應的函數值正負號，如下表所示：

D＝

b

b

b

a＞0

a＜0

例3.1：求解下列各二次不等式：

(1) f (x)＝(－x＋2)(2x＋1)  0 (2) g(x)＝(x＋1)²＜0 (3) h(x)＝x²＋2x＋3  0

Ex3.1：求解下列各二次不等式：

(1) f (x)＝(－x＋3)(x＋3)  0 (2) g(x)＝(x－4)²＞0 (3) h(x)＝x²＋2x＋3＜0

x1

x2

x3

x4

－ ＋

＋

＋ －

關鍵點

… …

 x

 － ＋

＋

 ＋ x

＋ －

＋ x

＋

 x

－  ＋ －  x

－

－

－ x

－

恆正

恆負

例3.2：求解下列各二次不等式：

(1) f (x)＝(－x＋1)(x－3)  0 (2) g(x)＝(－2x＋2)(x－3)＜0 (3) h(x)＝x²＋x＋3＞0

Ex3.2：求解下列各二次不等式：

(1) x(x－ 3 )＜0 (2)(－2x＋1)(3x＋6)  0 (3)－(x－3)²＜0

例3.3：試求解下列各二次不等式，並繪圖說明不等式解的意義(以區間表示) (1) f (x)＝x²－4x＋3 0 (2)－2x²＋5x＋3 0 (3) x²－x－3＞0

Ex3.3：解下列各二次不等式：

(1)－x²＋6x－5＞0 (2) x²＋x－4 0 (3) x²－x＋2＞0 (4) 3x²－6x＋5＜0

例3.4：解二次不等式x²－4x＋3＜2x－2

Ex3.4：解下列各二次不等式：(1) x²－2x＜15 (2) x²－x  5x－9

Ex3.41：利用右圖，解 f (x)  g(x)

例3.5：設 ax²＋5x＋b＞0 的解為

3 1

2

1

Ex3.5：設 f (x)為二次函數，且不等式 f (x)＞0 之解為－2＜x＜4，則 f (2x)＜0 之解為多少？

(1)－2＜x＜4 (2) x＜－1 或 x＞2 (3) x＜－2 或 x＞4 (4)－4＜x＜8 (5) x＜－4 或 x＞8

重點4：一元高次不等式

1.意義：一元三次以上之不等式，統稱為一元高次不等式。求解高次不等式的原理與二次不等式是相同的。

2.求解步驟：最高次項係數化為正因式分解得關鍵點在數線上求解驗證

例4.1：解下列各不等式：(1) f (x)＝(x－1)(x－2)(x－3)＜0 (2) g(x)＝(x－1)(x－2)(x－3)²  0

Ex4.1：解下列各不等式：

(1) (x－3)²(x＋4)³＞0 (2) (－x＋1)(2x－5)(x－4)  0 (3)

3

1

例4.2：解不等式(x＋1)(x＋2)(x²＋x＋3)＞0

Ex4.2：解下列各不等式：

(1) (x－2)²(x＋3)(x²＋x＋1)  0 (2) (x²－3x＋2)(x²＋x－12)＜0

例4.3：右圖為函數 y＝f (x)的圖形，求解 f (x)  0

Ex4.3：右圖為函數 y＝g(x)的圖形，求解 g (x)＜0