高三複習試題 第章多項式函數班級座號姓名◎學測篇一、單選題

高三複習試題 第 2 章 多項式函數

班級: 座號: 姓名:

◎學測篇 一、單選題

（ ）1.在職棒比賽中 ERA 值是了解一個投手表現的重要統計數值﹒其計算方式如下﹔若此投手共主投 n 局﹐

其總責任失分為 E﹐則其 ERA 值為E 9

n ﹒有一位投手在之前的比賽中共主投了 90 局﹐且這 90 局中 他的 ERA 值為 3.2﹒在最新的一場比賽中此投手主投 6 局無責任失分﹐則打完這一場比賽後﹐此投手 的 ERA 值成為 (1)2.9 (2)3.0 (3)3.1 (4)3.2 (5)3.3﹒ (97 學測)

解答 2

解析 9 3.2 32 90

E    E （分）

ERA 32 9 3

96  ﹒

（ ）2.設 f x( )ax⁶bx⁴3x 2 ﹐其中 a﹐b 為非零實數﹐則 f(5)  f(  5)之值為 (1)  30 (2)0 (3)2 2 (4)30 (5)無法確定（與 a﹐b 有關）﹒ (96 學測)

解答 4

解析 f x( )ax⁶bx⁴3x 2

6 4

(5) 5 5 3 5 2 f  a  b   

6 4

( 5) 5 5 3 5 2 f   a  b    f(5)  f(  5)  30﹒

（ ）3.若 f(x)  x³  2x²  x  5﹐則多項式 g(x)  f(f(x))除以(x  2)所得的餘式為 (1)3 (2)5 (3)7 (4)9 (5)11﹒

(92 學測) 解答 5

解析 由餘式定理知﹐餘式為 g(2)  f(f(2))  f(2³  2  2²  2  5)  f(3)  3³  2  3²  3  5  11﹒

（ ）4.設某沙漠地區某一時間的溫度函數為 f(t)   t²  10t  11﹐其中 1  t  10﹐則這段時間內該地區的最大 溫差為 (1)9 (2) 16 (3) 20 (4) 25 (5)36﹒(96 學測)

解答 4

解析 f(t)   t²  10t  11   (t  5)²  36

當 t  5﹐最大值  36

當 t  10﹐最小值  11

故該地區最大溫差為 36  11  25﹒

（ ）5.多項式 4(x²  1)  (x  1)²(x  3)  (x  1)³等於下列哪一個選項﹕ (1)x(x  1)² (2)2x(x  1)² (3)x(x  1)(x  1) (4)2(x  1)²(x  1) (5)2x(x  1)(x  1)﹒(100 學測)

解答 5

解析 4(x²  1)  (x  1)²(x  3)  (x  1)³

 (4x²  4)  (x³  x²  5x  3)  (x³  3x²  3x  1)  2x³  2x  2x(x²  1)

 2x(x  1)(x  1)﹐

故選(5)﹒

（ ）6.設一元二次整係數方程式ax² bx c 0有一根為 4 3i ，若將此方程式的兩根與原點在複數平面上標 出，則三點所圍成的三角形面積為(1) 5 (2) 6 (3) 12 (4) 16 (5) 24 (95 學測)

解答 3 解析

二、多選題

（ ）1.學生練習計算三次多項式 f(x) 除以一次多項式 g(x)的餘式﹒已知 f(x)的三次項係數為 3﹐一次項係數為 2﹒甲生在計算時把 f(x)的三次項係數錯看成 2（其它係數沒看錯）﹐乙生在計算時把 f(x)的一次項係數 錯看成  2（其它係數沒看錯）﹒而甲生和乙生算出來的餘式剛好一樣﹒試問 g(x)可能等於以下哪些一 次式﹕ (1)x (2)x  1 (3)x  2 (4)x  1 (5)x  2﹒ (95 學測)

解答 135

解析 設 f(x)  3x³  ax²  2x  b﹐g(x)  x  k﹐

甲﹔f(x)  2x³  ax²  2x  b﹐

乙﹔f(x)  3x³  ax²  2x  b﹐

由餘式定理知 2k³  ak²  2k  b  3k³  ak²  2k  b

 k³  4k  0

 k(k  2)(k  2)  0  k  0﹐2﹐ 2﹐

∴g(x)可能為 x﹐x  2﹐x  2﹒

（ ）2.設 f(x)為三次實係數多項式﹐且知複數 1  i 為 f(x)  0 之一解﹒試問下列哪些敘述是正確的﹕ (1)f(1  i)

 0 (2)f(2  i)  0 (3)沒有實數 x 滿足 f(x)  x (4)沒有實數 x 滿足 f(x³)  0 (5)若 f(0)  0 且 f(2)  0﹐

則 f(4)  0﹒ (93 學測) 解答 125

解析 由虛根成雙定理知﹔方程式 f(x)  0 的三個根為 1  i﹐1  i﹐α﹐其中 α 為實數﹒

(1)因 1  i 為方程式 f(x)  0 的一根﹐所以 f(1  i)  0﹒

(2)因 2  i 不是方程式 f(x)  0 的一根﹐所以 f(2  i)  0﹒

(3)因 f(x)  x  0 為 3 次實係數多項方程式﹐由虛根成雙定理知道方程式至少有一實根﹐

因此至少有一實數 x 滿足 f(x)  x  0  f(x)  x﹒

(4)因 f(x³)  0 為 9 次實係數多項方程式﹐由虛根成雙定理知道方程式至少有一實根﹐

因此至少有一實數 x 滿足 f(x³)  0﹒

(5)因 f(0)  0 且 f(2)  0﹐根據勘根定理知﹔0  α  2﹐又因 y  f(x)的圖形是連續不斷的﹐

且與 x 軸恰交一點(0,α)﹐所以圖形在 x  2 的部分恆在 x 軸的下方﹐因此 f(4)  0﹒

故選(1)(2)(5)﹒

4 3 2

1 5

x y

O

（ ）3.設 f (x)  x(x  1)(x  1)﹐請問下列哪些選項是正確的﹕ (1) 1 ( ) 0

f 2  (2)f (x)  2 有整數解 (3)f (x)  x²  1 有實數解 (4)f (x)  x 有不等於零的有理數解 (5)若 f (a)  2﹐則 f (  a)  2﹒(100 學測)

解答 3

解析 f (x)  x(x  1)(x  1)  x³  x﹐

(1)╳﹔ 1 1 1 1

( ) ( )( 1)( 1)

2 2 2 2

f    ﹐∵ 1

2  1 0﹐∴ 1 ( ) 0 f 2  (2)╳﹔f (x)  2  f (x)  2  0﹐即 x³  x  2  0﹐

有一實根﹑二虛根﹐且實根介於 1﹐2 之間﹐∴f (x)  2 沒有整數解

(3)○﹔f (x)  x²  1  f (x)  x²  1  0﹐即 x³  x²  x  1  0 為整係數三次方程式﹐

∵整係數方程式虛根成對﹐∴至少有一實根 (4)╳﹔f (x)  x  f (x)  x  0﹐即 x³  2x  0

 x(x²  2)  0  x  0 或 2（無理數）﹐∴沒有不等於零的有理數解 (5)╳﹔f (a)  2  a³  a  2﹐

則 f (  a)  (  a)³  (  a)   a³  a   (a³  a)   2 故選(3)﹒

（ ）4.設 a  b  c﹒已知實係數多項式函數 y  f (x)的圖形為一開口向上的拋物線﹐且與 x 軸交於(a,0)﹑(b,0) 兩點；實係數多項式函數 y  g(x)的圖形亦為一開口向上的拋物線﹐且跟 x 軸相交於(b,0)﹑(c,0)兩點﹒

請選出 y  f (x)  g(x)的圖形可能的選項﹒ (1)水平直線 (2)和 x 軸僅交於一點的直線 (3)和 x 軸無交 點的拋物線 (4)和 x 軸僅交於一點的拋物線 (5)和 x 軸交於兩點的拋物線﹒(102 學測)

解答 45

解析 設 f (x)  A(x  a)(x  b)﹐g(x)  B(x  b)(x  c)﹐A  0﹐B  0﹐則 f (x)  g(x)  A(x  a)(x  b)  B(x  b)(x  c)  (x  b)(A(x  a)  B(x  c))

( )(( ) ( )) ( )( )( Aa Bc)

x b A B x Aa Bc A B x b x

A B

         

 ﹐A  B  0﹒

當Aa Bc A B b

 

 時﹐圖形為與 x 軸交於兩點的拋物線﹒

當Aa Bc A B b

 

 時﹐圖形為與 x 軸交於一點的拋物線﹒

故選(4)(5)﹒

（ ）5.設 f (x)  x⁴  5x³  x²  ax  b 為實係數多項式﹐且知 f (i)  0（其中 i²   1）﹒請問下列哪些選項是多項 式方程式 f (x)  0 的根﹕ (1)  i (2)0 (3)1 (4)  5 (5)5 (101 學測)

解答 125

解析 ∵ f (x)為實係數多項式﹐∴ 虛根成對

 i﹑ i 皆為 f (x)的根

又 x  i  x²  i²   1  x²  1  0﹐即 f (x)有因式 x²  1 1 5

1 0 1 1 5 1 1 0 1 5 0

5 0 5

5 a b a

a b







 



∴ a  5  0﹐a   5﹐b  0

f (x)  (x²  1)(x²  5x)  (x²  1)  x(x  5)  0 的根為 i﹑ i﹑0﹑5 故選(1)(2)(5)

（ ）6. 設坐標平面上，

x

坐標與

y

坐標皆為整數的點稱為格子點。請選出圖形上有格子點的選項。

(1) yx² (2) 3y9x1 (3) y²  x 2 (4) x²y²3 (5) ₉ 1 log 2

y x (103 學測) 解答 135

解析

（ ）7.設 ( )f x 為實係數二次多項式，且已知 (1)f 0、 (2) 0f  、 (3) 0f  。令 ( )g x f x( ) ( x 2)(x3) ，請 選出正確的選項。

(1)y f x( )的圖形是開口向下的拋物線 (2)yg x( )的圖形是開口向下的拋物線 (3) (1)g  f(1) (4) ( ) 0g x  在 1 與 2 之間恰有一個實根 (5) 若



_{為 ( ) 0f x } 的最大實根，則 ( ) 0g



 (103 學測) 解答 34

解析

（ ）8.設 ( )f x 是首項係數為 1 的實係數二次多項式。請選出正確的選項。

(1) 若 (2) 0f  ，則x2可整除 ( )f x (2) 若 (2)f 0，則 ( )f x 為整係數多項式 (3) 若 ( 2) 0f  ，則 (f  2)0 (4) 若 (2 ) 0f i  ，則 ( 2 ) 0f  i 

(5) 若 (2 ) 0f i  ，則 ( )f x 為整係數多項式 (104 學測) 解答 145

解析

（ ）9.設 ( )f x 是一實係數三次多項式，且其最高次項係數為 1，已知 (1) 1f  ， (2) 2f  ， (5) 5f  ，則 ( ) 0f x  在下列哪些區間必定有實根? (1) (,0) (2) (0,1) (3) (1,2) (4) (2,5) (5) (5, )

解答 24 解析

三、填充題

1.設 A(0,0)﹐B(10,0)﹐C(10,6)﹐D(0,6)為坐標平面上的四個點。如果直線 y  m(x  7)  4 將四邊形 ABCD 分成面積相 等的兩塊﹐那麼 m  ____________（化成最簡分數）﹒(95 學測)

解答 1 2

解析 y  m(x  7)  4 表過(7,4)之直線﹐

令 x  10﹐y  3m  4﹐x  0﹐y   7m  4﹐

梯形 ABEF 之面積 1 1

( 7 4 3 4) 10 (10 6)

2 m m 2

       

  4m  8  6﹐∴ 1 m 2﹒

D(0,6)

A(0,0) B (10,0) C (10,6) E F

(7,4)

x y

2.在只有皮尺沒有梯子的情形下﹐想要測出一拋物線形拱門的高度﹒已知此拋物線以過最高點的鉛垂線為對稱軸﹒現

甲﹑乙兩人以皮尺測得拱門底部寬為 6 公尺﹐且距底部3

2公尺高處其寬為 5 公尺﹒利用這些數據可推算出拱門的高 度為____________公尺﹒（化成最簡分數）(92 學測)

解答 54 11

解析 如圖﹐建立直角坐標系﹐則拋物線方程式可設為 Γ﹔x²  4c(y  k)﹐

由題意知Γ 通過(3,0)﹐(5

2,3

2)兩點﹐

代入方程式得

9 4 ( ) (1)

25 3

4 ( ) (2)

4 2

c k c k

 



  



由(1) (2)得36

25 3 2

k k

 



﹐所以 k  54 11﹐

故拱門的高度為54

11公尺﹒

x y

O 5,

2 3

2 5,

2 3 2 (3,0) ( 3,0)

(0, k)

3.設 x 為一正實數且滿足 x．3^x  3¹⁸﹓若 x 落在連續正整數 k 與 k  1 之間﹐則 k  ____________﹒(94 學測) 解答 15

解析 令 f (x)  x．3^x  3¹⁸﹐

f (15)  15．3¹⁵  3¹⁸  3¹⁵(15  27)  0﹐

f (16)  16．3¹⁶  3¹⁸  3¹⁶(16  9)  0﹐

∴在(15,16)之間至少有一實根﹐∴k  15﹒

4.設 f(x)為滿足下列條件的最低次實係數多項式﹔f(x)最高次項的係數為 1﹐且 3  2i﹑i﹑5 皆為方程式 f(x)  0 的解（其 中 i²   1）﹒則 f(x)之常數項為____________﹒(99 學測)

解答  65

解析 f(x)  [x  (3  2i)][x  (3  2i)](x  i)(x  i)(x  5)  (x²  6x  13)(x²  1)(x  5) 常數項 f(0)   65﹒

5.若多項式 x²  x  2 能整除 x⁵  x⁴  x³  px²  2x  q﹐則(1)p  ____________﹐(2)q  ____________﹒(94 學測) 解答 (1)3;(2)8

解析

1  0  1  (p  1)

1  1  2 1  1  1  p  2  q 1  1  2

 1  p  2

 1  1  2

(p  1)  4  q (p  1)  (p  1)  2(p  1) (4  p  1)  (q  2p  2) 

∴3  p  0  p  3﹐

q  2p  2  0  q  8﹒

6.設 k 為一整數﹒若方程式 kx²  7x  1  0 有兩個相異實根﹐且兩根的乘積介於 5 71與 6

71之間﹐則 k  ____________﹒

(92 學測) 解答 12

解析 因有兩相異實根﹐所以判別式為正﹐即 49  4k  0 得 49

k 4 ……

又因兩根之積介於 5

71與 6

71之間﹐所以 5 1 6

71 k 71（由此可知 k 為正數）

兩邊同乘 71k 得 5k  71  6k﹐所以71 71

6  k 5 ……

由得71 49

6  k 4 ﹐又因 k 為整數﹐所以 k  12﹒

7.設 a﹑b 為實數且(a  bi)(2  6i)   80﹐其中 i²   1﹒則(a,b)  ____________﹒(102 學測) 解答 (  4,12)

解析 由原式﹐得(2a  6b)  (6a  2b)i   80﹒

根據複數相等的定義﹐得 2 6 80

6 2 0 a b a b

  

  

 ﹒

解得 a   4﹐b  12﹒

8.設 a﹑b 為實數﹒已知坐標平面上拋物線 y  x²  ax  b 與 x 軸交於 P﹐Q 兩點﹐且PQ7﹒若拋物線 y  x²  ax  (b

 2)與 x 軸的兩交點為 R﹐S﹐則 RS ____________﹒(99 學測) 解答 41

解析 設 P(



,0)﹐Q(



,0)﹐表示 x²  ax  b  0 之兩根為



﹐









  a﹐







 b﹐

(







)²  (







)²  4



 7²  ( a)²  4b  a²  4b  49 同理﹐設 R(



,0)﹐S(



,0)

x²  ax  (b  2)  0 之二根為



﹐







 



   a﹐







  b  2﹐

(



 



)²  (



 



)²  4







  ( a)²  4(b  2)  a²  4b  8  49  8  41

∴RS |

 

 | 41﹒

9.坐標平面上，若直線 yaxb (其中

a b ,

為實數)與二次函數yx²的圖形恰交於一點，亦與二次函數 ( 2)2 12

y x  的圖形恰交於一點，則 a_______， b_________。(103 學測) 解答 6 ,9

解析

10.求(10 9 x8x² ... 3x⁷2x⁸x⁹)(10x⁹9x⁸8x⁷ ... 3x²2x1)展開後x⁹項之係數為_________。

(103 學測) 解答 385 解析

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