1-4　和角公式與差角公式※

1-4　和角公式與差角公式

※正弦﹑餘弦的和角公式與差角公式 對於任意角α 與 β﹐

(1) sin（α＋β）＝sinαcos β＋cosαsin β (2) sin（α－β）＝sinαcos β－cosαsin β (3) cos（α＋β）＝cosαcos β－sinαsin β (4) cos（α－β）＝cosαcos β＋sinαsin β 例題　1

--- 試求下列各值：

(1) cos 77° cos 17°＋sin 77° sin 17°。

(2) cos 15°。

--- 解　(1) cos 77° cos 17°＋sin 77° sin 17°＝cos（77°－17°）

＝cos 60°＝。

(2) cos 15°＝cos（45°－30°）＝cos 45° cos 30°＋sin 45° sin 30°

＝‧＋‧＝。

隨堂練習　--- 試求下列各值：

(1) cos 137° cos（－583°）＋sin 137° sin（－583°）。

(2) cos 75°。

---

例題　2

--- 試求下列各值：

(1) sin 15°。

(2) cos 13° cos 47°－sin 13° sin 47°。

--- 解　(1) sin 15°＝sin（45°－30°）＝sin 45° cos 30°－cos 45° sin 30°

＝‧－‧＝。

(2) cos 13° cos 47°－sin 13° sin 47°＝cos（13°＋47°）

試求下列各值：

(1) sin 75°。（提示：75°＝45°＋30°）

(2) sin 27° cos 18°＋cos 27° sin 18°。

---

例題　3

--- 設 0°＜α＜90°﹐0°＜β＜90°﹐且 sinα＝﹐cos β＝﹐試求：

(1) sin（α＋β）與 cos（α＋β）的值。

(2) α＋β 的度數。

--- 解　(1) sin（α＋β）＝﹐

cos（α＋β）＝－。

(2) 因為 0°＜α＜90°﹐0°＜β＜90°﹐

所以 0°＜α＋β＜180°。

又由 cos（α＋β）＝－﹐

故得α＋β＝120°。

隨堂練習　--- 設 0°＜α＜180°﹐0°＜β＜180°﹐且 cosα＝－﹐cos β＝﹐試求

sin（α－β）與 cos（α－β）的值。

※正切的和角公式與差角公式

當 tanα﹐tan β﹐tan（α＋β）﹐tan（α－β）均有意義時﹐

(1) tan（α＋β）＝

(2) tan（α－β）＝

例題　4

--- (1) 試求 tan 15°的值。

(2) 設 0°＜α＜90°﹐90°＜β＜180°﹐且 tanα＝﹐tan β＝－2﹐試求 tan（α＋β）的值與 α＋β 的度數。

--- 解　(1) tan 15°＝2－。

(2) tan（α＋β）＝－1﹐

又因為 0°＜α＜90°﹐90°＜β＜180°﹐

所以 90°＜α＋β＜270°﹐ 故得α＋β＝135°。

隨堂練習　--- (1) 試求 tan 75°的值。

(2) 已知△ABC 兩內角∠A 與∠B 的正切函數值分別為 tan A＝﹐tan B＝﹐試求另一內角∠C 的正切函數值及∠C 的度數。（提示：∠A＋∠B＝180°－∠C）

※二倍角公式 sin 2θ＝2 sinθcosθ﹐

cos 2θ＝cos²θ－sin²θ＝2 cos²θ－1＝1－2 sin²θ﹐ tan 2θ＝。（其中 tanθ﹐tan 2θ 均有意義）

例題　5

--- 設 90°＜θ＜180°﹐且 sinθ＝﹐試求：

(1) sin 2θ﹐cos 2θ 的值。

(2) tan 2θ 的值。

--- sin 2θ＝2 sinθcosθ＝2‧‧－＝－﹐

cos 2θ＝1－2 sin²θ＝1－2‧²＝－。

(2) 因為 tanθ＝＝＝－﹐

tan 2θ＝＝＝。

隨堂練習　--- 設 135°＜θ＜180°﹐且 sinθ＝﹐試求 sin 2θ﹐cos 2θ 及 tan 2θ 的值。

---

例題　6

--- 試證三倍角公式：

(1) sin 3θ＝3 sinθ－4 sin³θ。

(2) cos 3θ＝4 cos³θ－3 cosθ。

--- 證　由和角公式及倍角公式﹐分別可得

(1) sin 3θ＝sin（2θ＋θ）

＝sin 2θcosθ＋cos 2θsinθ

＝2 sinθcos²θ＋（1－2 sin²θ）‧sinθ

＝2 sinθ（1－sin²θ）＋（1－2 sin²θ）‧sinθ

＝3 sinθ－4 sin³θ。

(2) cos 3θ＝cos（2θ＋θ）

＝cos 2θcosθ－sin 2θsinθ

＝（2 cos²θ－1）‧cosθ－2 sin²θcosθ

＝（2 cos²θ－1）‧cosθ－2（1－cos²θ）‧cosθ

＝4 cos³θ－3 cosθ。

例題　7

--- 利用三倍角公式求 sin 18°的值。

--- 解　令θ＝18°﹐則 5θ＝90°﹐即 2θ＝90°－3θ﹐

兩邊取正弦可得

sin 2θ＝sin（90°－3θ）＝cos 3θ﹐ 分別用二倍角及三倍角公式可將此式化為

2 sinθcosθ＝4 cos³θ－3 cosθ﹐ 因為 cosθ＝cos 18°≠0﹐可將兩邊消去 cosθ﹐

得 2 sinθ＝4 cos²θ－3﹐

再由平方關係得 2 sinθ＝4（1－sin²θ）－3﹐ 整理得 4 sin²θ＋2 sinθ－1＝0。

由根的公式得 sinθ＝＝﹐ 但 sinθ＝sin 18°＞0﹐ 故得 sin 18°＝。

隨堂練習　--- 試求 cos 36°的值。

※半角公式

sin ＝± ﹐ cos ＝± ﹐

tan ＝± ﹐（其中 cosθ≠－1）

等號右邊取正或取負由 所在的象限決定。

例題　8

--- 試求 sin 22.5°﹐cos 22.5°及 tan 22.5°的值。

--- sin 22.5°＝＝＝＝﹐

cos 22.5°＝＝＝＝﹐ tan 22.5°＝＝＝ ＝

＝＝ －1。

隨堂練習　--- 試求 sin 15°﹐cos 15°及 tan 15°的值。

---

例題　9

--- 設 270°＜θ＜360°﹐且 sinθ＝－﹐試求 sin ﹐cos 及 tan 的值。

--- 解　因為 cos²θ＝1－sin²θ＝1－＝﹐

又 270°＜θ＜360°﹐所以 cosθ＝。

因為 135°＜＜180°﹐

所以 sin ＞0﹐cos ＜0﹐tan ＜0﹐

由半角公式可得

sin ＝＝＝＝﹐

cos ＝－＝－＝－＝－﹐ tan ＝＝＝－。

隨堂練習　--- 設 180°＜θ＜270°﹐且 cos 2θ＝－﹐試求 sinθ﹐cosθ 及 tanθ 的值。

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一﹑基本題

1. 試求下列各值：

(1) cos 29° cos 31°－sin 29° sin 31°。

(2) sin 72° cos 42°－cos 72° sin 42°。

(3) tan 22° tan 23°＋tan 22°＋tan 23°。

(4) sin 159° sin 51°＋sin 69° sin 39°。

2. 利用和角公式求下列各值：

(1) sin 105°。 (2) tan 75°。

3. 如下圖所示﹐已知∠ABC＝90°﹐¯¯＝¯¯＝3﹐¯¯＝1﹐試求 sin∠CAD。

4. 若 sinθ＋cosθ＝﹐試求 sin 2θ 的值。

二﹑進階題

5. 設 180°＜θ＜270°﹐且 sinθ＝－﹐試求：(1) cos 2θ 的值。(2) cos 的值。

6. 設 tanα﹐tan β 為方程式 x²＋2x－3＝0 的兩根﹐試求下列各值：

(1) tan（α＋β）。

(2) tan（α－β）。

7. 下圖為三個邊長為 1 的正方形相連而成﹐試求 tan ∠BAC 之值。

8. 試求 cos⁴ 22.5°＋cos⁴ 67.5°。（註：cos⁴ 22.5°＝（cos 22.5°）⁴）

9. 如下圖所示﹐在△ABC 中﹐∠C 為直角﹐¯¯ 為∠ABC 的角平分線﹐¯¯＝t﹐¯¯＝1﹐試求：

(1) tan 。

(2) 利用和角公式求 tanθ。

(3) ¯¯ 的長度。