第第第第1章章章章 空間向量空間向量空間向量空間向量

第 第

第 第 1 章 章 章 章 空間向量 空間向量 空間向量 空間向量

1-1 空間概念 空間概念 空間概念 空間概念

重點一重點一

重點一重點一 直線與直線的關係直線與直線的關係直線與直線的關係 直線與直線的關係 例題

例題 例題

例題 1（（（是非題（是非題是非題）是非題）））

右圖為一長方體，各邊所決定的線段中，下列何者正確？（6 分）

（ ）(1) AB HG// ，BC EH// 。

（ ）(2) AF 與CH歪斜。

（ ）(3) BH 與 DF 恰交於一點。

解解

解解：：：：（○）(1) AB DC HG// // ，BC AD EH// //

（○）(2) AF與CH歪斜

（○）(3) BH 與DF恰交於一點

例題 例題 例題

例題 2（（（是非題（是非題是非題）是非題）））

如右圖，四面體 D－ABC 中，M、N 分別為 AB 與CD之中點，試問下列 哪些直線互為歪斜？（10 分）

（ ）(1) 直線 AD 與直線 BC 互為歪斜。

（ ）(2) 直線 AB 與直線 CD 互為歪斜。

（ ）(3) 直線 AC 與直線 BD 互為歪斜。

（ ）(4) 直線 BC 與直線 MN 互為歪斜。

（ ）(5) 直線 BC 與直線 DN 互為歪斜。

解 解 解

解：：：：（○）(1) 直線 AD 與直線 BC 互為歪斜

（○）(2) 直線 AB 與直線 CD 互為歪斜

（○）(3) 直線 AC 與直線 BD 互為歪斜

（○）(4) 直線 BC 與直線 MN 互為歪斜

（×）(5) 直線 BC 與直線 DN 相交於 C

重點二重點二

重點二重點二 直線與平面的關係直線與平面的關係直線與平面的關係 直線與平面的關係 例題

例題 例題 例題 3

下列哪些敘述是正確的？（10 分）

(A)垂直同一平面的兩相異直線必平行 (B)垂直同一直線的兩相異平面必平行 (C)垂直同一直線的兩相異直線必平行 (D)平行同一直線的兩相異直線必平行 (E)平行同一平面的兩相異直線必平行

解 解 解

解：：：：考慮右圖之長方體，可得 選項(C)之反例： EA

sur⊥AB suur且BC

suur⊥AB suur， 但EAsur

與BCsuur

不平行 選項(E)之反例：EFsuur

與FGsuur

平行平面 ABCD，

但EF suur與FGsuur

不平行 故選(A)(B)(D)

例題 例題 例題 例題 4

下列有關空間的敘述，哪些是正確的？（10 分）

(A)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線垂直 (B)過已知直線外一點，「恰有」一平面與此直線平行 (C)過已知平面外一點，「恰有」一直線與此平面平行 (D)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面垂直 (E)過已知平面外一點，「恰有」一平面與此平面平行

解 解 解

解：：：：(B) ×：無限多個 (C) ×：無限多個 (D) ×：無限多個

故選(A)(E)

重點三重點三

重點三重點三 平面與平面的關係平面與平面的關係平面與平面的關係 平面與平面的關係 例題

例題 例題

例題 5（（（兩面角（兩面角兩面角）兩面角）））

如右圖，正四面體 ABCD 中， AB ＝4，若平面 ACD 與平面 BCD 所形成的 兩面角的大小為 θ，則 cosθ＝ 。（10 分）

解 解 解

解：：：：取CD中點 M，連接AM ，BM

∴AM ⊥CD，BM ⊥CD，AB＝4，

AM ＝2 3＝BM

∴cosθ＝ 12 12 16 2 2 3 2 3× ×

＋ － ＝1 3

例題 例題 例題 例題 6

右圖是底部為正方形，側面為正三角形且每邊長為 2 的方錐，

若兩相鄰側面之夾角為 θ，則 cosθ＝ 。（10 分）

解 解 解

解：：：：取OB中點 H，連接AH，CH

∴AH⊥OB，CH ⊥OB

AH＝ 3＝CH ，AC＝2 2

cosθ＝cos∠AHC＝

( ) ( ) ( )

2× 3× 3

＋ －

＝ 2 6

－ ＝ 1 3

－

例題 例題 例題 例題 7

右圖中 ABCD 為正四面體，M 為CD的中點，試問下列哪些敘述是正確 的？（10 分）

(A)直線 CD 與平面 ABM 垂直 (B)向量 ABuuuv

與向量CDuuuv 垂直 (C)∠AMB＞∠ADB

(D)平面 ACD 與平面 BCD 的兩面角（銳角）大於 60°

(E) BA ＝ BM

解 解 解

解：：：：(A)○：CD⊥AM ，CD⊥BM ∴CD⊥平面 ABM

(B)○：承(A) ∵CD⊥平面 ABM，又AB∈平面 ABM ∴uuuvAB

⊥CDuuuv

(C)○：設平面 ACD 與平面 BCD 的兩面角為 θ，且正四面體的邊長為 2a 則 cosθ＝

2 2 2

3 3 4

2 3 3

a a a a a

× ×

＋ －

＝1 3 又∠ADB＝60°

∴cosθ＜cos60°
∠AMB＞∠ADB (D)○：承(C) ∴θ＞60°

(E)×：BA＝CD，BM ＝ 3

2 CD ∴BA＞BM 故選(A)(B)(C)(D)

重點 重點 重點

重點四四四四 三垂線定理三垂線定理三垂線定理 三垂線定理 例題

例題 例題 例題 8

如右圖，若OA⊥平面 E， AB ⊥BC， 已知AC＝10，BC＝6，OC＝2 34 ，

試求 AB ＝ ，OA＝ ，OB＝ 。（12 分）

解 解 解

解：：：：由三垂線定理知：OB⊥BC

∴△OBC 為直角三角形

AB＝ AC²－BC² ＝ 100 36－ ＝8

OA＝ OC²－AC² ＝ 136 100－ ＝6

OB＝ OC²－BC² ＝ 136 36－ ＝10

例題 例題 例題 例題 9

四面體 A－BCD，若 AD ⊥平面 BCD 且BC⊥ BD 。已知BC＝12， AD ＝3， BD ＝4，試求：

(1) AC的長度為 。（7 分）

(2) 設∠BAC＝θ，求 sinθ＝ 。（5 分）

解解

解解：：：：(1) ∵AD⊥BD，BC⊥BD，利用三垂線定理得AB⊥BC

∴△ABC 為直角三角形

∴AC＝ AB²＋BC² ＝ AD²＋BD²＋BC² ＝ 3²＋ ＋4² 12² ＝13 (2) sinθ＝ BC

AC ＝12 13

例題例題 例題例題 10

如右圖，平面 E 與平面 F 交於一直線 L，且 E⊥F，點 P、Q 分別在 E、

F 上，且 P、Q 在 L 之正射影各為 R、S，已知 PR ＝3，RS＝4，QS

＝12，試求 PQ ＝ 。（10 分）

解解

解解：：：：如右圖，由三垂線定理知：PS⊥SQ 則∠PSQ＝90°

PS＝ 3²＋4² ＝5 PQ＝ 5²＋12² ＝13