利用向量三重積求兩歪斜線的公垂線段的 兩端點座標的公式解法

數學傳播 34 卷 4 期, pp. 43-45

利用向量三重積求兩歪斜線的公垂線段的 兩端點座標的公式解法

李維昌

研 究目的 :

延續投稿在龍騰數亦優第 9 刊主題為 “利用正射影及外積的概念求兩歪斜線的公垂線段的

距離及兩端點座標”的結論 “−−−⇀

OB² =−−−⇀

OA² +

−−−⇀A²A¹ · [⇀ d¹×(⇀

d¹×⇀ d²)]

⇀d2· [⇀ d1×(⇀

d1×⇀ d2)]

⇀d²”, 利用同樣的推理

方法求得 “−−−⇀

OB1 =−−−⇀

OA1 +

−−−⇀A1A2 · [⇀ d2 × (⇀

d1 ×⇀ d2)]

⇀d1 · [⇀ d2 × (⇀

d1 ×⇀ d2)]

⇀d1”, 並簡化向量三重積⇀ d1×(⇀

d1×⇀ d2)

及 ⇀ d2 × (⇀

d1×⇀

d2) 求得兩歪斜線的公垂線段的兩端點座標的公式解法。

研 究過程:

一、 利用同樣的推理方法求得−−−⇀

OB¹ =−−−⇀

OA¹ +

−−−⇀A¹A² · [⇀ d² × (⇀

d¹ ×⇀ d²)]

⇀d1· [⇀ d2 × (⇀

d1 ×⇀ d2)]

⇀d¹

如上圖所示, 已知空間直角座標系中, O 為原點, 兩歪斜線 L¹ 與 L² 分別通過點 A¹、 點

43

44 數學傳播 34 卷 4 期 民 99 年 12 月

A2, L1 與 L2 的方向向量分別為 ⇀ d1 與 ⇀

d2, 四邊形 A2A^′′2B1B2 為矩形, ∠A1A^′′1B1 = 90^◦, B1B2⊥ L¹ 與 L2, 試求點 B¹ 的座標。

解: ∵−−−⇀

A1A^′′1⊥−−−⇀

B1A2 ⇒−−−⇀

A1A^′′1 ·−−−⇀

B1A2 = 0, 又 −−−⇀

A1A^′′1k⇀ d2 × (⇀

d1 ×⇀

d2) 且 −−−⇀

B1A2 =−−−⇀

A1A2 −−−−⇀

A1B1 =−−−⇀

A1A2 − t⇀ d1,

−−−⇀A1A^′′1 ·−−−⇀

B1A2 = 0 ⇒ [⇀ d2 × (⇀

d1 ×⇀

d2)] · (−−−⇀

A1A2 − t⇀ d1) = 0,

解得 t =

−−−⇀A1A2 · [⇀ d2 × (⇀

d1×⇀ d2)]

⇀d¹ · [⇀ d² × (⇀

d¹×⇀ d²)]

因此

−−−⇀OB1 =−−−⇀

OA1 + t⇀

d1 =−−−⇀

OA1 +

−−−⇀A1A2 · [⇀ d2 × (⇀

d1 ×⇀ d2)]

⇀d¹· [⇀ d² × (⇀

d¹ ×⇀ d²)]

⇀d1。

二、 已知 ⇀α = (l¹, m¹, n¹),⇀

β = (l², m², n²), ⇀γ = (l³, m³, n³), 則 ⇀α × (⇀

β × ⇀γ) = (⇀α · ⇀γ)⇀

β − (⇀α ·⇀ β)⇀γ 。 證明: ∵ ⇀

β × ⇀γ = (m²n3− m³n2, n2l3− n³l2, l2m3 − l³m2),

∴ ⇀α × (⇀ β × ⇀γ)

= (m¹(l²m³− l³m²) − n¹(n²l³− n³l²), n¹(m²n³− m³n²) − l¹(l²m³− l³m²), l1(n²l3 − n³l2) − m¹(m²n3 − m³n2))

= ((⇀α · ⇀γ)l²−(⇀α ·⇀

β)l³,(⇀α · ⇀γ)m²−(⇀α ·⇀

β)m³,(⇀α · ⇀γ)n²−(⇀α ·⇀ β)n³)

= (⇀α · ⇀γ)(l², m², n²) − (⇀α ·⇀

β)(l³, m³, n³)

= (⇀α · ⇀γ)⇀

β − (⇀α ·⇀

β)⇀γ , 得證。

三、 利用二的恆等式 ⇀α × (⇀

β × ⇀γ) = (⇀α · ⇀γ)⇀

β − (⇀α ·⇀ β)⇀γ, 得 ⇀

d¹× (⇀ d¹ ×⇀

d²) = [(⇀ d¹ ·⇀

d²)⇀ d¹− (⇀

d¹ ·⇀ d¹)⇀

d²] = −[(⇀ d¹·⇀

d¹)⇀ d²− (⇀

d¹ ·⇀ d²)⇀

d¹],

⇀d2× (⇀ d1 ×⇀

d2) = [(⇀ d2 ·⇀

d2)⇀ d1− (⇀

d2 ·⇀ d1)⇀

d2]。

四、 利用三的等式, 向量三重積 ⇀ d¹ × (⇀

d¹×⇀

d²) = −[(⇀ d¹·⇀

d¹)⇀ d²− (⇀

d¹ ·⇀ d²)⇀

d¹],

利用向量三重積求兩歪斜線的公垂線段的兩端點座標的公式解法 45

將

−−−⇀A2A1 · [⇀ d1 × (⇀

d1×⇀ d2)]

⇀d2 · [⇀ d1 × (⇀

d1×⇀

d2)] 化簡為

−−−⇀A2A1 · −[(⇀ d1 ·⇀

d1)⇀ d2 − (⇀

d1·⇀ d2)⇀

d1]

⇀d² · −[(⇀ d¹ ·⇀

d¹)⇀ d² − (⇀

d¹·⇀ d²)⇀

d¹] = (⇀ d1 ·⇀

d1)(⇀

d2·−−−⇀

A2A1) − (⇀ d1 ·⇀

d2)(⇀

d1 ·−−−⇀

A2A1) (⇀

d¹ ·⇀ d¹)(⇀

d²·⇀

d²) − (⇀ d¹ ·⇀

d²)(⇀ d¹ ·⇀

d²)

因此−−−⇀

OB² =−−−⇀

OA² +

−−−⇀A²A¹ · [⇀ d¹ × (⇀

d¹×⇀ d²)]

⇀d2· [⇀ d1 × (⇀

d1 ×⇀ d2)]

⇀d²

=−−−⇀

OA² +(⇀ d1·⇀

d1)(⇀

d2 ·−−−⇀

A2A1) − (⇀ d1 ·⇀

d2)(⇀

d1·−−−⇀

A2A1) (⇀

d1·⇀ d1)(⇀

d2 ·⇀

d2) − (⇀ d1 ·⇀

d2)(⇀ d1·⇀

d2)

⇀d²。

五、 利用三的等式, 向量三重積 ⇀ d2 × (⇀

d1×⇀

d2) = [(⇀ d2 ·⇀

d2)⇀ d1− (⇀

d1 ·⇀ d2)⇀

d2],

將

−−−⇀A¹A² · [⇀ d² × (⇀

d¹×⇀ d²)]

⇀d1 · [⇀ d2 × (⇀

d1×⇀

d2)] 化簡為

−−−⇀A¹A² · [(⇀ d² ·⇀

d²)⇀ d¹ − (⇀

d¹·⇀ d²)⇀

d²]

⇀d1 · [(⇀ d2·⇀

d2)⇀ d1 − (⇀

d1·⇀ d2)⇀

d2] = (−−−⇀

A¹A² ·⇀ d¹)(⇀

d²·⇀

d²) − (−−−⇀

A¹A² ·⇀ d²)(⇀

d¹ ·⇀ d²) (⇀

d1 ·⇀ d1)(⇀

d2·⇀

d2) − (⇀ d1 ·⇀

d2)(⇀ d1 ·⇀

d2)

因此−−−⇀

OB1 =−−−⇀

OA1 +

−−−⇀A¹A² · [⇀ d² × (⇀

d¹×⇀ d²)]

⇀d1· [⇀ d2 × (⇀

d1 ×⇀ d2)]

⇀d1

=−−−⇀

OA¹ +(−−−⇀

A¹A² ·⇀ d¹)(⇀

d² ·⇀

d²) − (−−−⇀

A¹A² ·⇀ d²)(⇀

d¹·⇀ d²) (⇀

d1·⇀ d1)(⇀

d2 ·⇀

d2) − (⇀ d1 ·⇀

d2)(⇀ d1·⇀

d2)

⇀d¹。

六、 結論

−−−⇀OB1 =−−−⇀

OA1 +(−−−⇀

A¹A² ·⇀ d¹)(⇀

d²·⇀

d²) − (−−−⇀

A¹A² ·⇀ d²)(⇀

d¹ ·⇀ d²) (⇀

d1 ·⇀ d1)(⇀

d2·⇀

d2) − (⇀ d1 ·⇀

d2)(⇀ d1 ·⇀

d2)

⇀d1。

−−−⇀OB² =−−−⇀

OA² +(⇀ d¹ ·⇀

d¹)(⇀

d²·−−−⇀

A²A¹) − (⇀ d¹ ·⇀

d²)(⇀

d¹ ·−−−⇀

A²A¹) (⇀

d1 ·⇀ d1)(⇀

d2·⇀

d2) − (⇀ d1 ·⇀

d2)(⇀ d1 ·⇀

d2)

⇀d²。

參考文獻

1. 李維昌,“利用正射影及外積的概念求兩歪斜線的公垂線段的距離及兩端點座標”, 龍騰數亦優, 第 9 刊, 第 17 頁, 民國 98 年 4 月 30 日。

2. 李維昌,“利用平面的法向量來求兩歪斜線的公垂線段的兩端點坐標”, 數學傳播, 第三十三卷第四期, 第 63∼ 66 頁, 民國 98 年 12 月。

—本文作者現任教國立宜蘭高中—