題目:阿基米德多面體的視覺化

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中 華 大 學 碩 士 論 文

題目:阿基米德多面體的視覺化

Title : Visualization of Archimedean polyhedra

系 所 別:應用數學學系碩士班 學號姓名:M09509003 何 永 安 指導教授: 李 華 倫 博士

中 華 民 國 九十七 年 七 月

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摘要 摘要 摘要 摘要

本論文將製作以 Blender 為主體,虛擬實境(wrl)作為圖形顯示的 互動式程式,作為認識 Platonic Solids、Archimedean Solids 與 Jeffrey Weeks 在其著作〝The shape of space〞中所提及的 two-manifold 的工 具。經過互動式程式的使用,將更有利於幫助學習並提高興趣。

關鍵字:柏拉圖多面體 阿基米德多面體

二維流形

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Abstract

The animation of this paper will be produced by Blender as the main body and virtual reality (wrl) as a graphic display of the interactive program, as awareness of Platonic Solids, Archimedean Solids and Jeffrey Weeks in his book "The shape of space" referred to in the two-manifold Tool. Through the use of interactive programs, will be more conducive to learning and to enhance interest.

Key words : Platonic Solids Archimedean Solids

two-manifold

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致 致 致 致謝 謝 謝 謝

光陰似箭,兩年的研究所生涯即將告一段落,猶記得大學時代年 輕懵懂的我感受到李華倫老師在教學上的認真執著及給予我們的豐 富知識,吸引了我對幾何與動畫的興趣。更令我感佩的是老師在教學 研究上的熱忱多年來始終如一。我想除了要感謝李老師的「傳道、授 業、解惑」外,更有一分打從心底的尊敬與難以忘懷的情。

本論文能夠完成,我要先向李華倫老師致上最深的謝意,從題目 的制定、動畫的製作到知識的傳授都提供了相當珍貴的指導。其次,

感謝蔣世中老師在書報討論時的指導,使得本論文能夠順利完成。

再來感謝羅琪老師、李明恭老師、睿偉學長、一樵學長、芫慧、

瑋蓮、信賢、韋誠,謝謝你們的鼓勵與關懷,在我有困難時給予我適 當的協助。因為你們,讓我的兩年研究所生涯更加多采多姿。

最後我謹呈我的論文給我親愛的家人,還有所有關心我的朋友 們,因為有你們的默默支持與鼓勵,我才有今日的成就,謹以此論文 獻予你們。

永安 2008.07

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目錄 目錄目錄 目錄

第一章 第一章第一章

第一章 Platonic Solids ...1 1.1 Introduction of Platonic Solids ...1 1.1.1 正四面體正四面體正四面體(Tetrahedron)...1 正四面體 1.1.2 正六面體正六面體正六面體(Hexahedron、正六面體 、、、Cube)...2 1.1.3 正八面體正八面體正八面體( Octahedron )...3 正八面體 1.1.4 正十二面體正十二面體正十二面體( Dodecahedron ) ...4 正十二面體 1.1.5 正二十面體正二十面體正二十面體(Icosahedron )...4 正二十面體 1.2 Explanation of Platonic Solids ...5 1.3 動畫導覽動畫導覽動畫導覽動畫導覽...7 1.3.1 正八面體正八面體正八面體( Octahedron )...7 正八面體 1.3.2 正四面體正四面體正四面體(Tetrahedron)...7 正四面體 1.3.3 正六面體正六面體正六面體(Hexahedron、正六面體 、、、Cube)...8 1.3.4 正十二面體正十二面體正十二面體( Dodecahedron ) ...9 正十二面體 1.3.5 正二十面體正二十面體正二十面體(Icosahedron )...9 正二十面體 1.3.6 Platonic Solids ... 10 第二章

第二章第二章

第二章 Archimedean Solids ...11 2.1 Introduction of Archimedean Solids ... 12 2.1.1 截頂四面體截頂四面體截頂四面體(Truncated Tetrahedron)... 12 截頂四面體 2.1.2 截半立方體截半立方體截半立方體(Cuboctahedron ) ... 13 截半立方體 2.1.3 截頂八面體截頂八面體截頂八面體(Truncated Octahedron )... 14 截頂八面體

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2.1.4 截頂立方體截頂立方體截頂立方體(Truncated Cube ) ... 14 截頂立方體 2.1.5 小斜方截半立方體小斜方截半立方體小斜方截半立方體(Small Rhombicuboctahedron ).... 15 小斜方截半立方體 2.1.6 大斜方截半立方體大斜方截半立方體大斜方截半立方體(Great Rhombicuboctahedron ) ... 15 大斜方截半立方體 2.1.7 扭棱立方體扭棱立方體扭棱立方體(Snub Cube)... 16 扭棱立方體 2.1.8 截半十二面體截半十二面體截半十二面體(Icosidodecahedron)... 17 截半十二面體 2.1.9 截頂二十面體截頂二十面體截頂二十面體(Truncated Icosahedron) ... 17 截頂二十面體 2.1.10 截頂十二面體截頂十二面體截頂十二面體截頂十二面體(Truncated Dodecahedron ) ... 18 2.1.11 小斜方三十二面體小斜方三十二面體小斜方三十二面體小斜方三十二面體(Small Rhombicosidodecahedron)

... 19 2.1.12 大截頂三十二面體大截頂三十二面體大截頂三十二面體大截頂三十二面體(Great Rhombicosidodecahedron)

... 19 2.1.13 扭棱截十二面體扭棱截十二面體扭棱截十二面體扭棱截十二面體(Snub Dodecahedron) ... 20 2.2 動畫導覽動畫導覽動畫導覽動畫導覽... 21 2.2.1 截頂四面體截頂四面體截頂四面體(Truncated Tetrahedron)... 21 截頂四面體 2.2.2 截半立方體截半立方體截半立方體(Cuboctahedron ) ... 21 截半立方體 2.2.3 截頂八面體截頂八面體截頂八面體(Truncated Octahedron )... 22 截頂八面體 2.2.4 截頂立方體截頂立方體截頂立方體(Truncated Cube ) ... 22 截頂立方體 2.2.5 小斜方截半立方體小斜方截半立方體小斜方截半立方體(Small Rhombicuboctahedron ).... 23 小斜方截半立方體 2.2.6 大斜方截半立方體大斜方截半立方體大斜方截半立方體(Great Rhombicuboctahedron ) ... 23 大斜方截半立方體 2.2.7 扭棱立方體扭棱立方體扭棱立方體(Snub Cube)... 24 扭棱立方體

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2.2.8 截半十二面體截半十二面體截半十二面體(Icosidodecahedron)... 24 截半十二面體 2.2.9 截頂二十面體截頂二十面體截頂二十面體(Truncated Icosahedron) ... 25 截頂二十面體

2.2.10 截頂十二面體截頂十二面體截頂十二面體截頂十二面體(Truncated Dodecahedron ) ... 25

2.2.11 小斜方三十二面體小斜方三十二面體小斜方三十二面體小斜方三十二面體(Small Rhombicosidodecahedron) ... 26

2.2.12 大截頂三十二面體大截頂三十二面體大截頂三十二面體大截頂三十二面體(Great Rhombicosidodecahedron) ... 26

2.2.13 扭棱截十二面體扭棱截十二面體扭棱截十二面體扭棱截十二面體(Snub Dodecahedron) ... 27

第三章 第三章第三章 第三章 緊緻連通曲面緊緻連通曲面緊緻連通曲面緊緻連通曲面 ...28

3.1 Homotopy... 28

3.2 MMMManifold... 29

3.2.1 Two-manifold in 3... 30

3.2.2 Three-manifold ... 33

3.2.3 Möbius band ... 34

3.3 動畫導覽動畫導覽動畫導覽動畫導覽... 36

3.3.1 Two-manifold 上的飛機上的飛機上的飛機上的飛機 I ... 36

3.3.2 Two-manifold 上的飛機上的飛機上的飛機上的飛機 II... 37

3.3.3 Two-manifold 裡的運動裡的運動裡的運動裡的運動... 37

3.3.4 曲面變形曲面變形曲面變形... 39 曲面變形 3.3.5 其它類型的其它類型的其它類型的 two-manifold... 40 其它類型的 第四章 第四章第四章 第四章 虛擬實境操作說明虛擬實境操作說明虛擬實境操作說明虛擬實境操作說明 ...41

第五章 第五章第五章 第五章 結論結論結論結論 ...45

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參考文獻 參考文獻參考文獻

參考文獻 ... 46...4646 46

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第 第 第

第一 一 一章 一 章 章 Platonic Solids

柏拉圖多面體每面均由全等的正多邊形所組成,每個頂點處交會

著相同數目全等的正凸多邊形且每個立體角相等,即為凸正多面體。

分別為正四面體(Tetrahedron) , 正六面體( Hexahedron 或 Cube ) , 正 八面體( Octahedron ) , 正十二面體( Dodecahedron ) , 正二十面體 (Icosahedron )等五個,正多面體也稱為柏拉圖多面體。

古希臘人已經知道有上述五個正多面體,歐基里得( Euclid of Alexandria,BC325-BC265 ) 在其幾何原本(Elements)最後一個命題也 已完成証明凸正多面體恰有五個。

1.1 Introduction of Platonic Solids

此小節我們將介紹Platonic Solids的幾何構造、特性與平面分解 圖。

1.1.1 正四面體 正四面體 正四面體 正四面體(Tetrahedron)

圖1.1 Tetrahedron 圖1.2 Tetrahedron分解圖

(10)

正四面體是由4個正三角形組成的Platonic Solids,共有4個頂點與 6個邊,兩面角角度為70.529° 。將正六面體的四個頂點相連,這四 個頂點任何兩條都沒有落在正六面體同一條的邊上,可得到一個正四 面體,如圖1.3。其邊長為正六面體邊長的 ,其體積為立方體體積的 1/3。

圖1.3 正六面體內接正四面體

1.1.2 正六面體 正六面體 正六面體 正六面體(Hexahedron nn n、 、 、Cube)

圖1.4 Hexahedron 圖1.5 Hexahedron分解圖

(11)

正六面體是由6個正方形面組成的Platonic Solids,又稱正方體或 正立方體,有12條邊和8個頂點,兩面角角度為90°([5][15])。日常生 活中最為常見的正六面體為骰子,食鹽與糖的結晶體亦是正六面體。

1.1.3 正八面體 正八面體 正八面體 正八面體( Octahedron )

圖1.6 Octahedron 圖1.7 Octahedron分解圖

正八面體為八個正三角形,分別由上下各4個正三角形所構成,

有6個頂點與12個邊,其兩面角角度約為109.47122°([5][15])。分別連 接正四面體6邊的中點,即可得到一個正8面體,如圖1.8。

圖1.8 正四面體內接正八面體

(12)

1.1.4 正 正 正 正十二 十二 十二 十二面體 面體 面體 面體( Dodecahedron )

圖1.9 Dodecahedron 圖2.0 Dodecahedron分解圖

正十二面體是由12個正五邊形所組成的正多面體,共有30個邊,

20個頂點,其兩面角角度約為116.565°。若以正十二面體的中心為

(0,0,0),其頂點的座標為{(0, 1/ ,± ϕ ϕ± ), ( 1/ ,± ϕ ϕ± , 0),(±ϕ, 0, 1/ ), ( 1, 1, 1)± ϕ ± ± ±

},其中ϕ = +(1 5) / 2 1.6180339887 為黃金比例。([5][15])

1.1.5 正 正 正 正二十 二十 二十 二十面體 面體 面體 面體(Icosahedron )

圖2.1 Icosahedron 圖2.2 Icosahedron分解圖

(13)

正二十面體是由20個正三角形所組成的Platonic Solids,共有30 邊,20個面與12個頂點,其兩面角角度約為138.19°([5][15])。某些病 毒,如皰疹病毒科,擁有正二十面體的衣殼。

1.2 Explanation of Platonic Solids

此小節我們將以尤拉公式V+F–E = 2証明為何Platonic Solids只有 五個,其中:

V:代表凸多面體的頂點數 F:代表凸多面體的面個數 E:代表凸多面體的邊數

其中V、E、F均為正整數。

定理 定理 定理

定理 Platonic Solids

Platonic Solids 即為正多面體,且只有五種類型。

證明 證明 證明 證明::::

令 m 為正多面體每塊面上的邊數,n 為正多面體形成每個頂點的 邊數。

每個面的邊數總合是 m.F,但每個邊被重複算兩次,因為每個 邊都包含於兩個面,所以 E=m F

2

(14)

同理每個頂點的邊數總和為 n.V,但每個邊被重複算兩次,因 為每個邊都包含於兩個頂點,所以 E=n V

2

F 2 E (1) m

V 2 E ( 2 ) n

{

=

=

將(1)、(2)帶入尤拉公式V+F–E = 2 得:

2 E 2 E

E 2 n + m − =

同除以2E 得:

1 1 1 1 n + m − = 2 E

2 m 2 n mn 1 2 mn E (3) + −

⇒ = ⋯

又因為E>0, E∈

,所以1 0 E >

2 m 2 n mn 2 mn 0 + −

⇒ >

, m ≠0 n ≠0 2 m 2 n mn 0

+ − >

mn 2 m 2 n 4 4

− − + <

(m 2)(n 2) 4

− − <

因為m、n均為正整數,故(m , n)={(3,3),(3,4),(3,5),(4,3),(5,3)},只有五 組答案,所以可知正多面體只有五種。

(15)

1.3

動畫導覽動畫導覽動畫導覽動畫導覽

本論文的動畫全以Blender所繪製,接下來我們將以動畫中的截 圖,呈現出Platonic Solids。

1.3.1 正八面體 正八面體 正八面體 正八面體( Octahedron )

圖2.3 圖2.4

圖2.5 圖2.6

1.3.2 正四面體 正四面體 正四面體 正四面體(Tetrahedron)

圖2.7 圖2.8

(16)

圖2.9 圖2.10

1.3.3 正六面體 正六面體 正六面體 正六面體(Hexahedron nn n、 、 、Cube)

圖2.11 圖2.12

圖2.13 圖2.14

(17)

1.3.4 正 正 正 正十二 十二 十二 十二面體 面體 面體 面體( Dodecahedron )

圖2.15 圖2.16

圖2.17 圖2.18

1.3.5 正 正 正 正二十 二十 二十 二十面體 面體 面體 面體(Icosahedron )

圖2.19 圖2.20

(18)

圖2.21 圖2.22

1.3.6 Platonic Solids

圖 2.23 圖 2.24

圖 2.25 圖 2.26

圖 2.27

(19)

第二 第二 第二

第二章 章 章 章 Archimedean Solids

Archimedean Solids 共有十三個,以兩種以上正多邊形所組成的 凸多面體(convex polyhedron),每一個頂點所相接之正多邊形的種類 及相接面數皆相同。

Archimedean Solids 是由 Archimedes 所提出,以 Platonic Solids 為 架構,經由截頂(truncated)而做出的 13 種對稱凸多面體。

Proof:

11 12 13

21 22 23

n1 n 2 n 3

m m m m m m m

m m m

=

定 定 定

定義義義義 Convex Set(凸集合凸集合凸集合凸集合)

是convex,若任意兩點p、q∈ Ω則稱pq⊂ Ω

Polyhedron

滿足線性方程式系統mxb的解集合是凸集合,稱之為凸多面體 (convex polyhedron)。其中mn×3的實數矩陣,bn維向量,x3

(20)

若 p、q∈Ωmp≤bmqb

m((1 t) p tq) + = −(1 t) mp tmq+ ≤ −(1 t) b tb+ =b t [0,1]∀ ∈ (1-t)p+tq∈Ω ∀ ∈t [0,1] ,所以是凸集合。

2.1 Introduction of Archimedean Solids

接下來我們將介紹 13 個 Archimedean Solids 其幾何構造與平面 分解圖,或是生活上特殊的運用。

2.1.1 截頂四面體 截頂四面體 截頂四面體 截頂四面體(Truncated Tetrahedron)

截頂是由 Platonic Solids 之頂點截除所得來,如圖 2.2、圖 2.3。

圖 2.1 圖 2.2

圖 2.3 Truncated Tetrahedron 圖 2.4 Truncated Tetrahedron 分解圖

(21)

Truncated tetrahedron 由 4 個正三角形與 4 個正四邊形共 8 個面組 成,共有 18 個邊,12 的頂點。正六邊形與正三邊形之二面角角度約 為 109.471°, 正 六 邊 形 與 正 六 邊 形 之 二 面 角 角 度 約 為 70.529° ([5][15])。

2.1.2 截半立方體 截半立方體 截半立方體 截半立方體(Cuboctahedron )

圖 2.5 Cuboctahedron 圖 2.6 Cuboctahedron 分解圖

Cuboctahedron 亦稱為 dymaxion 或 heptaparallelohedron,由 8 個 正三角形與 6 個正四邊形所組成,共有 24 個邊,12 的頂點。每個正 三角形均與正四邊形相鄰接,其二面角角度約為 125.264° ([5][15])。

(22)

2.1.3 截頂八面體 截頂八面體 截頂八面體 截頂八面體( (( (Truncated Octahedron )

圖 2.7 Truncated octahedron 圖 2.8 Truncated octahedron 分解圖

Truncated octahedron 由 8 個正六邊形與 6 個正四邊形共 14 個面 組成,共有 36 個邊,24 的頂點。正六邊形與正四邊形之二面角角度 約為 125.264°,正六邊形與正六邊形之二面角角度約為 109.471°

([5][15])。

2.1.4 截頂立方體 截頂立方體 截頂立方體 截頂立方體(Truncated Cube )

圖 2.9 Truncated Cube 圖 2.10 Truncated Cube 分解圖 Truncated Cube 由 6 個正八邊形與 8 個正三形共 14 個面組成,共 有 36 個邊,24 的頂點。正八邊形與正三邊形之二面角角度約為

(23)

125.264°,正八邊形與正八邊形之二面角角度為 90°([5][15])。

2.1.5 小斜方截半立方體 小斜方截半立方體 小斜方截半立方體 小斜方截半立方體(Small Rhombicuboctahedron )

圖 2.11 Small Rhombicuboctahedron 圖 2.12 分解圖

Small Rhombicuboctahedron 有 部 分 人 也 稱 它 為 Truncated Icosidodecahedron,由 18 個正四邊形與 8 個正三角形共 26 個面組成,

共有 48 個邊,24 的頂點。正四邊形與正三角形之二面角角度約為 144.736°,正四邊形與正四邊形之二面角角度為 135° ([5][15])。

2.1.6 大斜方截半立方體 大斜方截半立方體 大斜方截半立方體 大斜方截半立方體(Great Rhombicuboctahedron )

圖 2.13 Great Rhombicuboctahedron 圖 2.14 分解圖

(24)

Great Rhombicuboctahedron 亦稱為 Truncated Cuboctahedron 或 Rhombitruncated Cuboctahedron,由 12 個正四邊形、8 個正六邊形與 6 個正八邊形共 26 個面組成,共有 72 個邊,48 的頂點。正四邊形與 正六邊形之二面角角度約為 144.736°,正四邊形與正八邊形之二面角 角度為 135°正六邊形與正八邊形之二面角角度約為 125.264° ([5][15])。

2.1.7 扭棱立方體 扭棱立方體 扭棱立方體 扭棱立方體(Snub Cube)

圖 2.15 Snub Cube 圖 2.16 Snub Cube 分解圖

Snub Cube 有時亦稱為 Cubus Simus 或 Snub Cuboctahedron,由 32 個正三角形、6 個正四邊形 38 個面組成,共有 60 個邊,24 的頂 點。正三角形與正三角形之二面角角度約為 153.235°,正三角形與正 四邊形之二面角角度約為 142.983° ([5][15])。

(25)

2.1.8 截半十二面體 截半十二面體( 截半十二面體 截半十二面體 (( (Icosidodecahedron)

圖 2.17 Icosidodecahedron 圖 2.18 Icosidodecahedron 分解圖

Icosidodecahedron 由 20 個正三角形與 12 個正五邊形 32 個面組 成,共有 60 個邊,30 的頂點。每個正三角形均與正五邊形相鄰接,

其二面角角度約為 142.622° ([5][15])。

2.1.9 截頂二十面體 截頂二十面體(Truncated Icosahedron) 截頂二十面體 截頂二十面體

圖 2.19 Truncated Icosahedron 圖 2.20 Truncated Icosahedron 分解圖

(26)

Truncated Icosahedron 由 12 個正五邊形與 20 個正六角形 32 個面 組成,共有 90 個邊,60 的頂點。正五邊形與正六邊形之二面角角度 約為 142.622°,正六邊形與正六邊形之二面角角度約為 138.19° ([5][15])。足球的外觀構造就是依照 Truncated Icosahedron 所做成。

2.1.10 截頂十二面體 截頂十二面體 截頂十二面體 截頂十二面體( (( (Truncated Dodecahedron )

圖 2.21 Truncated Dodecahedron 圖 2.22 分解圖

Truncated Dodecahedron 由 20 個正三角形與 12 個正十邊形 32 個 面組成,共有 90 個邊,60 的頂點。正三角形與正十邊形之二面角角 度約為 142.622°,正十邊形與正十邊形之二面角角度約為 116.565° ([5][15])。

(27)

2.1.11 小斜方三十二面體 小斜方三十二面體(Small Rhombicosidodecahedron) 小斜方三十二面體 小斜方三十二面體

圖 2.23 圖 2.24 分解圖

Small Rhombicosidodecahedron 由 20 個正三角形、30 個正四邊形 與 12 個正五邊形 62 個面組成,共有 120 個邊,160 的頂點。正三角 形與正四邊形之二面角角度約為 159.095°,正四邊形與正五邊形之二 面角角度約為 148.282° ([5][15])。

2.1.12 大截頂三十二面體 大截頂三十二面體 大截頂三十二面體 大截頂三十二面體(Great Rhombicosidodecahedron)

圖 2.25 圖 2.26

(28)

Great Rhombicosidodecahedron 有 時 亦 稱 為 Rhombitruncated Icosidodecahedron 或是 Truncated Icosidodecahedron,由 30 個正四邊 形、20 個正六邊形與 12 個正十邊形 62 個面組成,共有 180 個邊,

120 的頂點。正四邊形與正六邊形之二面角角度約為 159.095°,正四

邊形與正十邊形之二面角角度約為 148.282°,正六邊形與正十邊形之 二面角角度約為 142.622° ([5][15])。圖 2.25 與圖 2.26 分別為其形狀與 平面分解圖。

2.1.13 扭棱 扭棱 扭棱 扭棱截 截 截 截十二面體 十二面體 十二面體 十二面體

(

Snub Dodecahedron)

圖 2.27 Snub Dodecahedron 圖 2.28 Snub Dodecahedron 分解圖

Snub Dodecahedron 有時亦稱為 Snub icosidodecahedron,由 80 個 正三角形與 12 個正五邊形 92 個面組成,共有 150 個邊,60 的頂點。

正三角形與正三角形之二面角角度約為 164.175°,正三角形與正五邊 形之二面角角度約為 152.93°([5][15])。

(29)

2.2 動畫 動畫 動畫 動畫

導覽導覽導覽導覽

本論文的動畫全以Blender所繪製,接下來我們將以動畫中的截 圖,呈現出Archimedean Solids。

2.2.1 截頂四面體 截頂四面體 截頂四面體 截頂四面體(Truncated Tetrahedron)

圖 2.29 圖 2.30

2.2.2 截半立方體 截半立方體 截半立方體 截半立方體(Cuboctahedron )

圖 2.31 圖 2.32

(30)

2.2.3 截頂八面體 截頂八面體 截頂八面體 截頂八面體( (( (Truncated Octahedron )

圖 2.33 圖 2.34

2.2.4 截頂立方體 截頂立方體 截頂立方體 截頂立方體(Truncated Cube )

圖 2.35 圖 2.36

(31)

2.2.5 小斜方截半立方體 小斜方截半立方體 小斜方截半立方體 小斜方截半立方體(Small Rhombicuboctahedron )

圖 2.37 圖 2.38

2.2.6 大斜方截半立方體 大斜方截半立方體 大斜方截半立方體 大斜方截半立方體(Great Rhombicuboctahedron )

圖 2.39 圖 2.40

(32)

2.2.7 扭棱立方體 扭棱立方體 扭棱立方體 扭棱立方體(Snub Cube)

圖 2.41 圖 2.42

2.2.8 截半十二面體 截半十二面體 截半十二面體 截半十二面體( (( (Icosidodecahedron)

圖 2.43 圖 2.44

(33)

2.2.9 截頂二十面體 截頂二十面體 截頂二十面體 截頂二十面體(Truncated Icosahedron)

圖 2.45 圖 2.46

2.2.10 截頂十二面體 截頂十二面體 截頂十二面體 截頂十二面體( (( (Truncated Dodecahedron )

圖 2.47 圖 2.48

(34)

2.2.11 小斜方三十二面體 小斜方三十二面體 小斜方三十二面體(Small Rhombicosidodecahedron) 小斜方三十二面體

圖 2.49 圖 2.50

2.2.12 大截頂三十二面體 大截頂三十二面體 大截頂三十二面體 大截頂三十二面體(Great Rhombicosidodecahedron)

圖 2.51 圖 2.52

(35)

2.2.13 扭棱 扭棱 扭棱 扭棱截 截 截 截十二面體 十二面體 十二面體 十二面體

(

Snub Dodecahedron)

圖 2.53 圖 2.54

(36)

第三章 第三章 第三章

第三章 緊緻連通曲面 緊緻連通曲面 緊緻連通曲面 緊緻連通曲面

這一章將更進一步以動畫來展示平滑曲面。從拓樸的觀點來看曲 面,簡單的說曲面經過扭曲變形,但不撕裂所產生的曲面和原曲面會 有相同的拓樸性質,稱他們為同胚(homotopy)。

3.1 Homotopy

一個曲面經由彎曲變形可以產生同胚(homotopy)的曲面。

1. 圖 3.1 和圖 3.2 的曲面同胚。

2. 圖 3.3 和圖 3.4 的曲面同胚。

但圖 3.1 和圖 3.3 不同胚。

圖 3.1 圖 3.2

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圖 3.3 圖 3.4

3.2 M M Manifold

Manifold 是局部具有歐氏空間(Euclidean space)性質的空間,而 實際上歐氏空間就是 manifold 最簡單的實例。

圖 3.5 Handle 1 圖 3.6 Handle 2 定

定 定 定理理理

Every compact connected surface S ⊂ℝ3 is homeomorphic to a sphere with a certain number g of handle[12]。

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圖 3.7 Handle 3 圖 3.8 Handle 4

我們將以動畫方式呈現 Jeffrey Weeks 在其著作〝The shape of space〞中所描述,亦稱為 Flatland 的 Two-manifold、Three-manifold,

與其它特殊曲面的特性。

3.2.1 Two-manifold in

3

Jeffrey Weeks 在 其 著作〝 The shape of space〞中 所提及 的 two-manifold 是個大平面,而這個世界的前後左右方向是互相連接的。

由 two-manifold 的東邊出發,會由西邊回到原點;由南邊出發,

會由 two-manifold 的北邊返回起點。根據以上特性可以歸納出幾種 two-manifold 可能的形狀:

1. 單一的 torus,如圖 3.9。

2. 8 字型 torus,如圖 3.10。

3. 3 連體 torus,如圖 3.11。

(39)

4. 4 個以上 torus,如圖 3.12。

5. 球面

圖 3.9 圖 3.10

圖 3.11 圖 3.12

Two-manifold 的形狀亦可能由四個以上的 torus 所組成,如圖 3.12,而 torus 可以想像成三維空間的 doughnut surface。

Two-manifold 的邊界互相黏接,為抽象的黏接,不用考慮任何物 理現象。一個正方形或長方形以 two-manifold 的方式黏接,就會變成 torus,如圖 3.13 至圖 3.16 之過程。

(40)

圖 3.13 圖 3.14

圖 3.15 圖 3.16

為了方便起見,two-manifold 將圖示成一個四邊都有箭號的正方 形,如圖 3.17,圖中箭號相同者代表相連接的邊。

圖 3.17 two-manifold 圖示法

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3.2.2 Three-

manifold

Three-manifold 基本上與 two-manifold 大致相同,但具備了高 度。圖 3.18 為 three-manifold 圖示。

圖 3.18

圖 3.18 裡的立方體,左面與右面互相連接,上面與下面、前面 與 後 面 皆 然 , 假 設 有 個 物 體 從 左 面 穿 越 , 將 由 右 面 返 回 。 在 three-manifold 可看見無限個相同物體,這種情形像在一個六面牆壁 都是鏡子的房間,但鏡子顯現出的像不會上下顛倒,亦不會左右相反。

以理論來說,如果宇宙是一個 three-manifold,則可在望遠鏡看 到地球。依據天文學家提出宇宙形成的時間,歸納出兩種至今仍無法 觀察到另一個地球的原因:

1. 宇宙形成至今大概只有 100 至 200 億年,假如它是個非常大的 three-manifold ,而最長距離約 600 億光年,故至今光線還無法穿 越整個宇宙,所以到目前為止無法觀察到另一個地球的存在。

2. 無法察覺正看穿整個宇宙。當觀察遙遠星空中的物體,其發出的

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光線距今為幾十億年,在幾十億年前我們身處的銀河系跟現在的 銀河系是不一樣的面貌,所以會誤以為存在著另一個銀河系。

不管是哪一種情形,目前仍無法得知身處的銀河系全貌,因為我 們正在銀河系裡。

3.2.3 Möbius band

圖 3.19 Möbius band

圖 3.19

Möbius band

是只有一面的連續曲面,它可用一條 矩形紙帶扭轉 180 度然後將端點連接起來構成,如圖 3.20 至圖 3.23。

但真正的 Möbius band 是沒有厚度的。Two-manifold 裡的人通過 Möbius band 所產生的現象,可用圖 3.24 之圖示法表示。圖中左右兩 邊箭號上下相反,表示通過後將會上下顛倒。

(43)

圖 3.20 圖 3.21

圖 3.22 圖 3.23

圖 3.24 通過 Möbius band 後上下顛倒

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3.3

動畫導覽動畫導覽動畫導覽動畫導覽

本論文之動畫全以 Blender 製作,接下來將以動畫中的截圖,介 紹曲面的變形,以及在 Jeffrey Weeks 其著作〝The shape of space〞中 所描述的特性。

3.3.1 Two-manifold 上的飛機 上的飛機 上的飛機 上的飛機 I

自 two-manifold 左邊出發,將會由右邊回到原點,圖 3.25 至圖 3.28 充分表示出此特性。

圖 3.25 圖 3.26

圖 3.27 圖 3.28

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3.3.2 Two-manifold 上的飛機 上的飛機 上的飛機 上的飛機 II

Two-manifold 裡一架飛機,發射一枚飛彈,飛彈會飛回飛機後 方,並擊中飛機,如圖 3.29 至圖 3.32。

圖 3.29 圖 3.30

圖 3.31 圖 3.32

3.3.3 Two-manifold 裡的運動 裡的運動 裡的運動 裡的運動

Two-manifold 的形狀可能為一個、兩個或三個以上的 torus 所形 成,在此我們將以展示出另一種不同的 two-manifold,以及在裡面的 運動。

(46)

圖 3.33 圖 3.34

圖 3.35 圖 3.36

圖 3.37 圖 3.38

(47)

3.3.4 曲面變形 曲面變形 曲面變形 曲面變形

一曲面經過扭曲變形,但不撕裂所產生的曲面和原曲面會有相同 的拓樸性質,稱他們為同胚,圖 3.41 至圖 3.46 可看出此過程。

圖 3.41 圖 3.42

圖 3.43 圖 3.44

圖 3.45 圖 3.46

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3.3.5 其它類型的 其它類型的 其它類型的 其它類型的 two-manifold

接下來將展示 two-manifold 其它三種類型之宇宙形狀,分別為圓 柱面、球與 torus 與運動之情形,圖中顯示之紅線為運動軌跡與方向。

圖 3.47 圖 3.48

圖 3.49

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第四章 第四章 第四章

第四章 虛擬實境操作說明 虛擬實境操作說明 虛擬實境操作說明 虛擬實境操作說明

本章的目的主要是介紹以 Blender 將本論文提到的幾何圖形部分 視覺化,以影片進一步地了解多面體其點、線、面,與如何操作虛擬

實境(VRML)程式,親自體會出圖形的外觀及其所呈現特殊的數學性

質。

本論文裡之影片格式,皆以 wmv 格式呈現,直接點選即可觀看。

而虛擬實境部分必須先安裝 cortvrml.exe 之免費軟體,點選虛擬實境 檔案後即可操作。

VRML VRML VRML

VRML 程式使用程式使用程式使用介紹程式使用介紹介紹 介紹

步驟1 安裝 cortvrml.exe

步驟2 開啟光碟內副檔名為 .wrl 之程式,會出現圖 4.1 的訊息,

以滑鼠左鍵點選訊息視窗並選擇〝允許被封鎖的內容〞之選 項。

圖 4.1

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圖 4.2

步驟3 出現如圖 4.2 之警告視窗後,選擇〝是〞選項後,會出現 圖 4.3 之視窗。在視窗裡擊點滑鼠右鍵,出現功能選項後 選擇 Headlight,即可看見凸多面體全貌如圖 4.4。

圖 4.3

圖 4.4

(51)

步驟4 程式視窗的左邊及下面,為虛擬實境操作模式之功能鍵。

在此程式中,共有 3 種模式可以觀看,分別為 walk、fly 與 study 模式,如圖 4.5。每種模式下尚有 4 種操作方法,

分別是 plan、pan、turn、roll,如圖 4.6。

圖 4.5 圖 4.6 步驟4.1 Walk 模式

點選 Walk 模式後,按住滑鼠左鍵不放,此時以第一人稱觀 察物體,當滑鼠移動時,畫面將以平行方式逐漸靠近或遠離。

步驟4.2 Fly 模式

點選 Fly 模式後,按住滑鼠左鍵不放移動滑鼠,將被觀察物 的中心為目標,靠近或遠離,使用者亦可將鏡頭拉近物體內 部,觀看內部造。

步驟4.3 Study 模式

Study 模式是綜合 walk 與 fly 兩種模式,使用者可以更自由 用各種角度觀看物件。

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步驟5. 點選 Goto 選項後,滑鼠會出現十字標記,此時以滑鼠點選物 體的任一面,鏡頭即會轉移面對被點選的面。

步驟6. 點選 align 選項,畫面會移向最接近平行物體觀點,所以物體 在經過旋轉後,再點選 align 可能會導致物體移出鏡頭外,而 看不見物體。

步驟7. 若經過幾次操作後,觀看的角度或是發生第 6 選項的情形,

可以點選 restore,畫面即會切換至程式的起始畫面。

步驟8. 若是操作後導致物體移出鏡頭外,而看不見物體,除了點選 restore 選項外,亦可點選 fit 選項,物體將會出現且鏡頭會 拉近到整個視窗的大小。

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第五章 第五章

第五章 第五章 結論 結論 結論 結論

Platonic Solids、Archimedean Solids 只是凸多面體的其中一部 分,凸多面體種類很多,本論文以展示的方式來呈現這些多面體,並 沒有進一步以動畫來教學多面體的製作,在未來期許可以更進一步製 作多面體製作教學的動畫,讓更多的學生可以更生動的方式學習多面 體,並在其中獲得更多的樂趣。

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