中 華 大 學

中 華 大 學 碩 士 論 文

題目：高性能混凝土配比實驗設計方法之比較研究

系 所 別：土木與工程資訊學系碩士班 學號姓名：M09304038 張皓博 指導教授：葉怡成 博 士

中華民國 九十五 年 六 月

高性能混凝土配比實驗設計方法之比較研究

研究生：張皓博 指導教授：葉怡成 博士

中華大學土木與工程資訊學系碩士班

摘要

混凝土的強度與坍度是混凝土品質的重要因子，由於缺少數理模 型，強度、坍度與配比的關係必須透過實驗收集數據，再以迴歸分析 或類神經網路建立模型。一般土木材料的實驗設計缺少系統化的方 法，因此本研究嘗試以實驗設計(Design of Experiment)來設計實驗。

本研究除了採用傳統的D-Optimal 設計方法外，提出二種新的實驗設 計方法，(1)自組織映射圖(Self-Organizing Map)設計方法、(2)分層聚 類分析（Hierachical Cluster Analysis）設計方法。並以五種實驗數目 各自以類神經網路建立強度、坍度預測模型，並與隨機法所建立的模 型作比較，以分析三種設計方法的優劣。本研究結果顯示：(1)實驗 數目的多寡對於預測模型有明顯的影響。(2)有進行實驗設計的模型 相對於隨機法所產生的模型要來得好。(3)對於模型實驗點的配適，

D-Optimal 設計方法比自組織映射圖設計方法與分層聚類分析設計方 法要來得準確和穩健。

關鍵字：高性能混凝土、配比、實驗設計、D-Optimal 法

目錄

摘要... I 目錄... II 圖目錄...III 表目錄...IV

第一章 導論...1

1-1 研究動機 ...1

1-2 研究方法 ...2

1-3 研究內容 ...4

第二章 文獻回顧...5

2-1 高性能混凝土配比設計 ...5

2-2 基於D-Optimal之配比設計...6

2-3 基於距離之配比設計 ...8

2-3-1 自組織映射圖...9

2-3-2 分層聚類分析...13

2-4 類神經網路的模式 ...18

2-5 混凝土最佳配比設計與材料行為建模問題 ...21

第三章 基於D-Optimal之配比實驗設計 ...26

3-1 導論 ...26

3-2 方法 ...29

3-3 結果 ...34

3-4 討論與結論 ...39

第四章 基於自組織映射圖之配比實驗設計...42

4-1 方法 ...42

4-2 結果 ...45

4-3 討論與結論 ...48

第五章 基於分層聚類分析之配比實驗設計...52

5-1 方法 ...52

5-4 結果 ...55

5-4 討論與結論 ...59

第六章 配比實驗設計之比較...62

6-1 隨機法(RA)預測模型...62

6-2 模型比較 ...66

第七章 結論與建議...70

參考文獻...71

圖目錄

圖1-1 研究流程 ...3

圖2-1 自組織映射圖網路架構圖 ...10

圖2-3 自組織映射圖網路「鄰近區域」的觀念 ...12

圖2-4 自組織映射圖網路「鄰近函數」的觀念 ...13

圖2-5 人工神經元模型 ...19

圖2-6 BPN倒傳遞網路模型 ...20

圖2-7 隱藏層輸出層非線性轉換函數 ...20

圖3-1 D-Optimal的研究流程...33

圖3-2 為強度、坍度的基準預測模型收斂圖與散佈圖 ...34

圖3-3 為不同實驗筆數下的強度、坍度模型收斂圖 ...36

圖3-4 為各個候選點的強度、坍度散佈圖 ...37

圖3-5 為實驗預測模型與基準預測模型的強度、坍度整理圖 ...38

圖3-6 為實驗預測模型與候選預測模型的強度、坍度整理圖 ...40

圖4-1 SOM的研究流程...44

圖4-2 為不同實驗筆數下的強度、坍度模型收斂圖 ...46

圖4-3 為各個候選點的強度、坍度散佈圖 ...47

圖4-4 為實驗預測模型與基準預測模型的強度、坍度整理圖 ...48

圖4-5 為實驗預測模型與候選預測模型的強度、坍度整理圖 ...49

圖5-1 HCA的研究流程...54

圖5-2 為不同實驗筆數下的強度、坍度模型收斂圖 ...56

圖5-3 為各個候選點的強度、坍度散佈圖 ...57

圖5-4 為實驗預測模型與基準預測模型的強度、坍度整理圖 ...58

圖5-5 為實驗預測模型與候選預測模型的強度、坍度整理圖 ...60

圖6-1 隨機法(RA)的研究流程...63

圖6-2 為六組RA模型的誤差均方根...64

圖6-3 為六組RA模型的平均誤差均方根...65

圖6-4 所有設計方法與隨機法模型之整理圖(以文獻實驗數據為評估) ...67

圖6-5 所有設計方法與隨機法模型之整理圖(以 1934 筆候選點數據為評估) ....69

表目錄

表3-1 單位重量成本、用量限制、成份比重表 ...27

表3-2 各種成份間用量的比例限制 ...29

表3-3 符合限制的 1934 筆候選點 ...31

表3-4 利用D-Optimal選取出的 20 筆實驗點...32

表3-5 利用基準預測模型模擬 20 筆實驗點的強度以及坍度結果 ...33

表3-6 為各模型的誤差均方根 ...38

表3-7 為扣除基準預測模型的實驗預測模型 ...39

表3-8 為扣除候選預測模型的實驗預測模型 ...39

表4-1 自組織映射圖產生的 16 點實驗點(以重量為單位) ...43

表4-2 利用基準預測模型模擬 16 筆實驗點的強度以及坍度結果 ...44

表4-3 為各模型的誤差均方根 ...48

表4-4 為扣除基準預測模型的實驗預測模型 ...49

表4-5 為扣除候選預測模型的實驗預測模型 ...50

表5-1 利用HCA選取出的 20 筆實驗點...53

表5-2 利用基準預測模型模擬 20 筆實驗點的強度以及坍度結果 ...54

表5-3 為各模型的誤差均方根 ...58

表5-4 為扣除基準預測模型的實驗預測模型 ...59

表5-5 為扣除候選預測模型的實驗預測模型 ...60

表6-1 六組RA模型的誤差均方根...64

表6-2 六組RA模型的平均誤差均方根...65

第一章 導論

1-1 研究動機

隨著近代人口密度增加、土地有限的情況下，建築物不得不往高 處發展，而傳統的混凝土已無法滿足趨勢，因此出現具有高強度、高 工作性、高耐久性、體積穩定性，甚至備有特殊需求(如：高耐熱性、

高抗硫)的高性能混凝土(High Performance Concrete)[1]。高性能混凝 土選用的材料比傳統的混凝土多，一般除了水、水泥、粗骨材、細骨 材外還添加工業副產品及化學攙料如飛灰、爐石粉以及強塑劑。

由於高性能混凝土並沒有像傳統混凝土有ACI 配比設計的規範 可循，因此在配比設計上極為複雜，而各國對於高性能混凝土的工作 性質特性要求不一，在選用的材料也不盡相同，所研究出來的配方往 往只適用於當地建築物。因此需要進行大量實驗來建構準確的材料行 為模型，以設計適用的配比。為了要減少實驗數目但不影響模型的準 確度必須採用實驗設計法(Design of Experiment)[9]。配比設計常用的 實驗設計方法為單體形心設計(Simplex Centroid Design)。但因高性能 混凝土的七種成份有成份上下限與比例限制，使得單體形心設計不再 適用，故需要另尋其它的實驗設計方法。

當配比設計有複雜的成份上下限以及比例限制時，常使用最佳準 則法(D-Optimal)。此法的基本原理是從一群候選實驗點中選取能夠優 化某一準則的預設數目的實驗點。本研究提出兩種新的選取方法：自 組織映射圖(Self-Organizing Map, SOM)[3]、分層聚類分析（Hierachical Cluster Analysis, HCA）[3]等方法。在選取實驗點後，進行實驗，取 得實驗值，再建立預測模型。

在建立模型的方法上，由於類神經網路(Artificial Neural Network, ANN)[2,3]發展至今已經有十多年的歷史，用在土木工程的預測方面

也有良好的成效，故本研究採用類神經網路建立預測模型。

透過上述研究可以比較出哪種實驗設計方法對於配比設計問題 能提供較佳的實驗設計，以建立較準確的預測模型。

1-2 研究方法

本研究的流程如下：

1. 收集文獻上的實驗數據。

2. 利用文獻上的實驗數據以類神經網路建立基準預測模型。

3. 產生能滿足成份上下限、比例限制的候選點。

4. 利用 D-Optimal、SOM、HCA 等方法選取實驗點。

5. 將步驟 4 的實驗點帶入基準預測模型模擬得到實驗值。

6. 利用步驟 5 的實驗值以類神經網路建立實驗預測模型。

7. 利用文獻上的實驗數據驗證步驟 6 產生的實驗預測模型。

8. 分析步驟 7 的結果，比較 D-Optimal、SOM、HCA 等方法之適用 性。

圖1-1 研究流程

1.收集文獻實驗數 3.產生候選點

2.建立基準預測模 4.產生實驗點

5.模擬實驗值

D-Optimal、SOM、HCA

6.建立實驗預測模

7.評估實驗預測模 8.評估實驗設計方

D-Optimal

HCA SOM

NN1

NN1

NN2 yˆ

x y

x

x

x x

x

yˆ y

x y

yˆ x

NN2

篩選

挑選

x y

x

整理

建構

建構

評估

1-3 研究內容

本文大致內容如下：

第一章為導論。主要介紹本文研究的動機、方法與內容。

第二章為文獻回顧。回顧國內有關高性能混凝土、實驗設計法、

類神經網路等相關文獻。

第三章為基於D-Optimal 之配比實驗設計。詳細介紹如何使用 D-Optimal 來建立模型，以及比較探討結果。

第四章為基於自組織映射圖之配比實驗設計。詳細介紹如何使用 SOM 來建立模型，以及比較探討結果。

第五章為基於分層聚類分析之配比實驗設計。詳細介紹如何使用 HCA 來建立模型，以及比較探討結果。

第六章為配比實驗設計之比較。將三種不同的設計方法所產生的 結果進行評估，並探討結果。

第七章為結論。

第二章 文獻回顧

2-1 高性能混凝土配比設計

傳統上，混凝土的製造方式通常是由水、水泥、粗骨材、細骨材 所組成。絕大多數的設計方法都是依先前的經驗所累積而成的圖表或 公式進行[4]。例如 ACI 混凝土配比設計多用圖表來選擇各種材料的 用量、比例，以滿足特定混凝土所要求的強度及工作度[5]。

高性能混凝土 (High Performance Concrete，HPC) 是 1990 年 5 月，美國國家標準與技術研究院 (NIST) 與美國混凝土學會 (ACI) 在美國馬里蘭州之蓋茲堡城的研討會上首次提出來的[6]。在我國則 有黃兆龍博士所訂定之高性能混凝土特別條款(草案)，在草案中對高 性能混凝土所下的定義為「高性能混凝土係混凝土經過品質保證技 術，確保品質一致性及穩定性，滿足營建工程優良品質之需求」[1]。

所以，高性能混凝土的性能可依需要而定，可要求強度、流動性、自 填性、免搗實…等一項或多項性能。

目前，高性能混凝土的組成大約有 4 至 10 種不同材料，而且材 料的性質也不盡相同，例如水泥可能有不同的細度、化學組成；細骨 材的級配及最大粒徑也不盡相同；粗骨材的料源是天然或經加工後的 骨材；加上高性能混凝土中添加了許多攙料，如 SP、爐石粉、飛灰、

矽灰甚至是纖維…等都不一樣，可供調整比例的數目也因此增加，使 得整個混凝土配比組成成為一個多元且複雜的問題。然由於各國對高 性能混凝土的品質要求並不相同，加上材料性質有所差異，因此高性 能混凝土發展至今已有數十年之久，卻尚未有一套精確而通用之配比 設計方法。因此各國的專家學者無不致力於研究高性能混凝土配比技 術。

高性能混凝土或傳統混凝土的最佳配比設計方面，國外已經有學

者提出研究成果。有學者使用部分因子實驗法針對混凝土最佳配比設 計進行研究，並以迴歸分析建構出一個二次方程式的強度模型，及簡 單三次方程式的工作度模型[5]。亦有學者建構黏度及用水量需求模 型、強度模型及勁度模型，發展一套名為BETONLAB 軟體，對高性 能混凝土進行最佳化研究[7]。此外以最大理論堆積密度模型應用在 高強度混凝土上的研究指出，設計最大漿量厚度的方法可以有效提高 混凝土的抗壓強度[8]。

因為各國對於高性能混凝土的工程特性要求不一，以及使用的材 料也不同，所以研究出來的配比設計方法往往僅限於當地使用。又在 配比設計的過程當中必須經過大量的試拌，對於時間、材料及成本都 是一大負擔。因此如何發展出一套可將試拌次數減至最少的高性能混 凝土配比設計方法，是一個值得研究的課題。

2-2 基於 D-Optimal 之配比設計

實驗設計(Design of Experiment)的目的在於以最少的實驗次數，

獲得最精確的模型。最精確的模型定義很多，D-Optimal 實驗設計即 行列值最大化實驗設計[9]。舉例來說：

假設一因變數y，具有 k 個自變數 x₁，x₂，…x_k，已收集n 組數據：

第一組：x₁₁，x₁₂，…，x_1k y₁ 第二組：x₂₁，x₂₂，…，x_2k y₂

： ： ： ： ： 第n 組：x_n1，x_n2，…，x_nk y_n

將上列寫成矩陣形式

y=Xβ+ε (3-1) 其中

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

yn

y y

y M

2 1

，

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

nk k k

n

n x

x x

x x

x x

x x

X M

L M M

L L

M

2 1

2 1

22 21

12 11

1 1 1

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

βk

β β β M

1 0

and

⎥⎥

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢⎢

⎣

⎡

=

εn

ε ε ε M

2 1

故

ε=y－Xβ (3-2)

殘差平方和：

) (

)'

' (

1

2 εε β β

ε y X y X

L

n

i

i = = − −

=

∑

=

(3-3)

將上式展開得

Xβ X' β' Xβ y' y X' β' y

y' − − +

=

L (3-4)

上式第三項y′Xβ 是一個1×1 矩陣，即純量，其轉置亦為純量，故 Xβ

y′ =(y′Xβ)′=β′X′y (3-5) 故第二項與第三項可合併，得

Xβ X' β' y X' 2β y

y' − +

= '

L (3-6)

由上式可知，殘差之平方和為迴歸係數的函數。依據極值定理，一函 數在極值處之微分為0，並以估計係數 b 取代模型係數β 得

0 2

2 + =

− X'y X'Xb (3-7) y

X' Xb

X' = (3-8) 解上述聯立方程式即可得使殘差之平方和最小之迴歸係數。

(

)

b= ⁻¹ (3-9)

由於數據具隨機性，因此從數據估計得到的迴歸係數也是隨機變 數。首先定義β 為模型之係數，b 為估計之係數。估計之迴歸係數 b 之期望值如下：

E(b)= β (3-10) 估計之係數b 之期望值恰為模型之係數β，故上節所推導之迴歸係數 為不偏估計。

至於估計之係數之協方差Cov(b)為

Cov(b)=σ²(X'X)⁻¹ (3-11) 其中

σ2為殘差之變異數，即

Var(ε)=σ² (3-12) σ2代表模型誤差，此一誤差稱為模型相依誤差(model-dependent)，因 其值與選用的模型有關。至於模型獨立誤差(model-independent)只能 靠重複實驗才能得到。

估計係數變異Var b 即 Cov b 的對角元素，由(3-11)式可知模型 變異Var b 要越小，則(X'X)^-1對角元素要越小；(X'X)^-1對角元素要越 小，則X' 的行列值要越大。 X

2-3 基於距離之配比設計

除了用上節所談到的D-Optimal 來做設計之外，另外還有其它幾 方法，像是採用距離設計的「自組織映射圖」(Self-Organizing Map, SOM)、「分層聚類分析」（Hierachical Cluster Analysis, HCA）等方法。

2-3-1 自組織映射圖

自組織映射圖(Self-Organizing Map, SOM)是一種無監督式學習 網路模式，早在1980 年 T. Kohonen 即提出此模式，至今仍是無監 督式學習網路模式的典範[2]。無監督式應用從問題領域中取得訓練 範例，並從中學習範例的內在集群規則，以應用於新的案例，而需推 論它與那些訓練範例屬同一集群的應用。這種應用與統計學上的聚類 分析(cluster analysis)相似。

自組織映射圖網路的基本原理可溯自大腦結構的特性。大腦中具 有相似功能的腦細胞聚集在一起，例如人類大腦中明顯地有專司視 覺、聽覺、味覺等區塊，也就是說腦神經細胞有「物以類聚」的特性。

自組織映射圖網路模仿這種特性，其輸出處理單元會相互影響。當網 路學習完畢後，其輸出處理單元相鄰近者會具有相似的功能，也就是 具有相似的連結加權值。

自組織映射圖網路的架構如圖2-1 所示，包括：

輸入層：用以表現網路的輸入變數，即訓練範例的輸入向量，或稱特 徵向量。

輸出層：用以表現網路的輸出變數，即訓練範例的聚類，其處理單元 數目依問題而定，通常排列成二維正方形。

網路連結：每個輸出層單元與輸入層處理相連連結的加權值所構成的 向量，表示一個訓練範例對映資料點聚類之形心座標。當 網路學習完畢後，其輸出處理單元相鄰近者會具有相似的 連結加權值。

圖2-1 自組織映射圖網路架構圖 自組織映射圖網路的重要概念如下：

網路拓撲：自組織映射圖網路與其它類神經網路模式有一點重要的差 異，它的輸出層處理單元的相對位置具有意義，而一般的 網路模式則否。通常它的輸出層處理單元以二維的型態排 列居多，形狀以正方形居多。但實際上可以用三角形、圓 形、甚至任意形狀，而且一維、三維排列均可。例如圖 2-2顯示一個具二維正方形網路拓撲的輸出層。

拓撲座標：拓撲座標是指標定一輸出層處理單元在網路拓撲中位置的 座標。對於一個二維的型態排列的網路拓撲，每一個輸出 層處理單元具有一個二維的拓撲座標；如採一維或三維排 列，則將具一維或三維的拓撲座標。例如如圖 2-2顯示的 具二維矩形網路拓撲的輸出層，可取左下方的單元為座標 原點，每向上一橫列與每向右一直行其座標值增一單位，

例如圖2-2上的 a 輸出處理單元的拓撲座標為(1,3)，而 b 為(3,1)。拓撲座標與樣本空間座標必須釐清，樣本空間座 標的維次是由輸入層處理單元的數目決定，通常從數維到

數十維都有可能，是用來標示一訓練範例的輸入向量，或 稱特徵向量，在樣本空間中的位置，即訓練範例所對映的 樣本點之位置。

鄰近區域：鄰近區域是指在網路拓撲中，以某一輸出處理單元為中心 的區域，稱此一單元之鄰近區域。鄰近區域內的輸出處理 單元會相互影響。鄰近區域會在網路學習過程中逐漸縮小 (參考圖2-3)。

鄰近中心：控制鄰近區域的中心位置的參數，即一輸出處理單元在網 路拓撲的拓撲座標。

鄰近半徑：控制鄰近區域大小的參數。

鄰近距離：一輸出處理單元在網路拓撲中距鄰近中心的距離，由此一 輸出處理單元的拓撲座標，與鄰近中心的拓撲座標來決 定，以公式表示如下：

2

2 ( )

)

( _{j C j C}

j X X Y Y

r = − + − (2-13) 其中X ,_j Y_j = 第 j 個輸出處理單元拓撲座標；X ,C YC = 鄰近中心 拓撲座標。

鄰近係數：控制鄰近區域內輸出處理單元相互影響程度的參數。鄰近 係數是「鄰近半徑」與「鄰近距離」的函數。

鄰近函數：控制鄰近係數和「鄰近半徑R」與「鄰近距離r_j」關係式 的函數。圖 2-4顯示幾種常用的鄰近函數，本章中將採下 式(鐘形鄰近函數)：

)2

/ (r R j

e j

K = ⁻ (2-14) 此式當rj=0 時 K=1；r_j =∞時 K=0。

鄰近區域收縮：鄰近區域會在網路學習過程中逐漸縮小，實際上即臨 近半徑逐漸縮小，以公式表示如下：

n

n R

R ⁺¹ =λ⋅ (2-15) 其中λ<1為鄰近半徑縮小因子。通常以學習循環為單位，網路每 執行一個學習循環鄰近半徑收縮一次。

a 輸出處理單元的拓撲座標為 (1，3) b 輸出處理單元的拓撲座標為 (3，1)

圖2-2 自組織映射圖網路的「拓撲座標」觀念

圖2-3 自組織映射圖網路「鄰近區域」的觀念

圖2-4 自組織映射圖網路「鄰近函數」的觀念

2-3-2 分層聚類分析

分層聚類分析（Hierachical Cluster Analysis, HCA），又譯為階層 聚類分析，或層級聚類分析，是聚類分析中應用最廣泛的方法之一，

凡具有數值特徵的變量和樣品都可以採用，選擇不同的距離和聚類方 法可以獲得滿意的數值聚類效果。

階層聚類法是把個體逐個地合併成一些子集，直至整個整體都在 一個集合之內為止。其聚類步驟如下：

1. 聚類前先對數據進行變換處理（假定在聚類處理之前，已經對變 量進行了篩選。選擇了那些相關性不很顯著而且貢獻性很大的指 標，而剔除了相關性很強的變量。）

2. 聚類分析處理的開始是各樣品自成一類（n 個樣品一共有 n 類），

計算各樣品之間的距離，並將距離最近的兩個樣品併成一類。

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

鄰近距離

鄰近係數

3. 選擇並計算類與類之間的距離，並將距離最近的兩類合併，如果 類的個數大於1，則繼續併類，直到所有樣品歸為一類為止。

4. 最後繪製階層聚類譜係圖，按不同的聚類標準或不同的聚類原 則，得出不同的聚類結果。

階層聚類分析需要三個步驟的計算：

一、各數據的變換處理：

在聚類分析處理過程中，首先對原始數據矩陣進行變換處 理。由於在抽取樣本對數據進行量度處理時，不同指標（變量）

一般都有不同的量綱，並且有不同的數量級單位，為了使不同量 綱、不同數量級的數據能放在一起比較，通常需要對數據進行變 換處理。

不同變數型態的距離計算方式如下：

比率變數：先將比率變數取對數，再依區間變數方法處理。

區間變數：先將區間變數正規化成平均值為 0，分散度(標準差或 平均絕對偏差)為 1。

順序變數：先將順序變數映射到[0,1]。

二元變數：先將二元變數表現成{0,1}。

名目變數：先將名目變數表現成二元的指標變數。

最常用的方法有 (1) 標準差正規化變換

首先對列進行中心化，然後用標準差進行標準化。即：

( )

(j ， ， m)

， n

， i s

x x x

j j ij

ij L

L 2 1

2 1

=

− =

′ = (2-16)

其中：

∑

= ⁿ

i ij

j x

x n

1

1 ； (2-17)

(

)

s n

n

i

j ij

j 1 2 L

1 1

1

2 =

− −

=

∑

=

(2-18) 通過變換處理後，每列數據的平均值為 0，方差為 1，使用標準 化處理後，在抽樣樣本改變時，它仍保持相對穩定性。

(2) 平均絕對偏差正規化變換

首先對列進行中心化，然後用平均絕對偏差(mean absolute deviation)進行標準化。即：

(j ， ， m)

x n x

s

n

i

j ij

j 1 2 L

1 1

1

=

− −

=

∑

=

(2-19)

二、樣本間距離的計算：

聚類分析常用的距離有：

(1) 絕對值距離（即一階 Minkowski 距離，又稱 Manhattan 度量或 網格度量）

( ) x x (i j n)

d

m

k

jk ik

ij 1 , 1,2,L

1

=

−

=

∑

=

(2-20) (2) 歐氏距離（即二階 Minkowski 距離）

( ) x x (i j n)

d

m

k

jk ik

ij 2 , 1,2,L

12 2 1

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

=

∑

=

(2-21) (3) 明科夫斯基距離（即 q 階 Minkowski 距離）

( )q x x (i j n)

d

q m q

k

jk ik

ij , 1,2,L

1

1

⎥ =

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ −

=

∑

=

(2-22) (4) 相關係數

在n維空間中（n個樣品）向量x_i與x_j的角度為x_ij，則夾角餘弦為：

( )

( )

( )

( )

1

2 1

2 1

⎪⎭

⎪⎬

⎫

⎪⎩

⎪⎨

⎧ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ −

−

−

=

∑

∑

∑

=

=

=

n

k

j kj n

k

i ki

n

k

j kj i ki ij

x x x

x

x x x x

γ (2-23)

當i= j時，γ_ii =1；當 i≠j 時，−1≤γ_ij ≤1。

三、聚類間距離的計算

階層聚類法的基本算法是將n個樣品自成一類，先計算 1/2(n-1)n 個相似性測度，並且把具有最小測度的量個樣品合併成兩個元素的 類，然後按照某種聚類方法計算這類和其餘n-2個樣品之間的距離，

這樣一直持續下去，併類過程中，毎一步所做的併類（樣品與樣品，

樣品與類、類與類）都要使測度在系統中保持最小，這樣毎次減少一 類，直至所有樣品都歸為一類為止。

常用的聚類間距離的計算方法有五種，包括

1. Single Linkage (最小距離法)：一個聚類中的樣本與另一個聚類中 的樣本的距離中之最小值。本法傾向形成帶狀聚類。此外，因聚 類距離由所有樣本配對距離的最小值決定，故對例外樣本較敏感。

2. Complete Linkage (最大距離法)：一個聚類中的樣本與另一個聚類 中的樣本的距離之最大值。本法傾向形成空間直徑相近的聚類。

此外，因聚類距離由所有樣本配對距離的最大值決定，故對例外 樣本較敏感。

3. Average Linkage (平均距離法)：一個聚類中的樣本與另一個聚類中 的樣本的距離之平均值。本法因聚類距離由所有樣本配對距離的 平均值決定，故對例外樣本較不敏感。

4. Median Linkage (中位距離法)：一個聚類中的樣本與另一個聚類中 的樣本的距離之中位值。本法因聚類距離由所有樣本配對距離的

中位值決定，故對例外樣本最不敏感。

5. Centroid Linkage (形心距離法)：一個聚類的形心與另一個聚類的 形心的距離。本法因聚類距離由聚類形心間的距離決定，故對例 外樣本較不敏感。

6. Ward Linkage (總合距離法)：二個聚類中的樣本與二個聚類的共同 形心的距離的平方和。本法傾向形成樣本數目相近的聚類。本法 因聚類距離由所有樣本對新聚類形心的距離平方和決定，故對例 外樣本較不敏感。

以最小距離法為例，設d_ij表示樣品_{x xi} i與x_j之間的距離。設D_ij表 示聚類G_i與G_j之間的距離。最小距離法是把兩個類之間的距離定義為 一個類的所有個體與另一個類的所有個體之間的距離的最小者。即類

Gp與類G_q之間的距離D_pq定義為：

q j p i pq ij

G

，x G x D d

∈

∈

= min

(2-24) 最小距離法的聚類步驟是：

(1) 計算樣品之間的距離，得一距離矩陣D(0)，這時毎個樣品自成一

類，顯然有Dpq=dpq (2) 尋找D(0)的非主對角線上的最小元素，設為D_pq，則將G_p與G_q合併

成一新類，記為G_r，即G_r={G_p,G_q}。 (3) 計算新類與其它類的距離：

{ } {

}

k j k j

q i p i

ij ij

k j

r r

rj

rk D ，D

G x G x

G x G x

， d d

G x

G x

d

D min minmin min =min

∈

∈

∈

∈

=

∈

∈

=

(2-25)

所得到的距離矩陣記為D(1)。

對D(1)重複施行對於D(0)的步驟得D(2)，由D(2)按同樣的步驟計算

得D(3)…這樣直到所有樣品都成一類為止。

2-4 類神經網路的模式

類神經網路 (Artificial Neural Networks)，是指模仿生物神經網路 的資料處理系統。類神經網路較精確的定義為：「類神經網路是一種 計算系統，包括軟體及硬體，它使用大量簡單的相連人工神經元來模 仿生物神經網路的能力。人工神經元是生物神經元簡單的模擬，它是 由外界環境或者其他人工神經元取得資訊，並加以非常簡單的運算，

並輸出其結果到外界環境或者其他人工神經元。」

類神經網路是由許多人工神經元(artificial neuron)所組成，人工神 經元又稱處理單元(processing element)。每一個處理單元的輸出，成 為許多單元的輸入。處理單元其輸出值與輸入值之間的關係式，一般 可用輸入值的加權乘積和之函數來表示，公式如下：

∑

=

i

j i ij

j f W X

Y ( θ ) (2-26) 其中

Yj=模仿生物神經元模型的輸出訊號；

f =模仿生物神經元模型的轉換函數；

Wij=模仿生物神經元模型的神經結強度，又稱連結加權值；

Xi=模仿生物神經元模型的輸入訊號；

θj=模仿生物神經元模型的閥值。

圖2-5 人工神經元模型

介於處理單元間的訊號傳遞路徑稱為連結(connection)。每一個連 結上有一個數值的加權值W_ij，用以表示第 i個處理單元對第j個處理 單元之影響強度。一個類神經網路是由許多個人工神經元與其連結所 組成，並且可以組成各種網路模式(network model)。其中以「倒傳遞 網路」 (Back-propagation Networks，BPN)應用最為普遍。一個BPN 包含許多層，每一層包含若干個處理單元。輸入層處理單元用以輸入 外在的環境訊息，輸出層處理單元用以輸出訊息給外在環境。此外，

另包含一重要之處理層，稱為隱藏層(hidden layer)，隱藏層提供神經 網路各神經元交互作用，與問題的內在結構處裡能力。由於神經網路 具有模擬平行處理、訊號分散式儲存、高度容錯性和自我學習能力等 特性，目前已被廣泛地提出來研究與應用。

BPN 倒傳遞網路為目前應用最廣的類神經網路模型，且最具代 表性的類神經網路模式，屬於前向式網路架構，為一種監督式網路。

其基本原理是利用最陡坡降法(the gradient steepest descent method)的 觀念，將誤差函數予以最小化。

Wij

X1

X2

X3

Xn

‧‧‧

θj netj f Yj

圖 2-6 BPN倒傳遞網路模型

其中隱藏層及輸出層神經元之轉換函數為雙彎曲函數(sigmoid function)。

e x

x

f ₋

= + 1 ) 1

( (2-27)

圖2-7 隱藏層輸出層非線性轉換函數

‧‧ ‧‧‧ ‧‧‧

輸入向量 輸出向量

輸入層 隱藏層 輸出層

-10 -5 5 10

0.2 0.4 0.6 0.8 1

f(x)

x

2-5 混凝土最佳配比設計與材料行為建模問題

高性能混凝土或傳統混凝土的最佳配比設計方面，國內、外都有 相當多的研究報告。近年來使用類神經網路於混凝土材料行為建模的 研究相當多[10-21]，均指出類神經十分適合建構具有高度非線性性質 的混凝土材料行為模型。以下將分別介紹國內外研究成果。

(一) 國外相關研究

Abbasi等人[05]為了最佳化混凝土配比，建立混凝土工作度及強

度模型。為了降低試驗的數量，但並不犧牲存在於因子間的交互作 用，以因子設計法做為模型的建構工具，探討的因子包括 W/C(水灰 比)、CA/TA(粗骨材對總骨材比)、TA/C(總骨材對水泥比)等三個因 子，並以迴歸分析建構出一個二次方程式的強度模型，及簡單的三次 方程式工作度模型。

James [22]使用粗骨材因子、水泥砂漿因子及骨材粒徑分佈為基

礎，對混凝土配比最佳化進行研究。

Larrard 等人[23]以半理論方式建構高性能混凝土的工作度模

型、強度模型、勁度模型、最大理論堆積密度模型，並加以整合，發 展出一套名為BETONLAB的高性能混凝土配比設計最佳化軟體。

Kasperkiewicz [24]以試算表軟體發展混凝土最佳配比設計系

統。此系統以強度及工作度為輸入變數，以最低成本為目標函數，將 規範表格中的水灰比與強度關係，及用水量與各成份表面積的關係迴 歸成方程式，加上絕對體積限制的方程式，構成傳統混凝土的最佳配 比設計系統。

Khayat等人[25]使用因子設計的方法在給定五項變數時，成功的

建立水中混凝土的工作度及抗壓強度的模型。這五項變數分別是膠結

料用量、水膠比、砂對總骨材比、以及兩種不同效果的添加劑用量。

研究結果顯示，在給定這五項變數一定的區間範圍時，變數之間具有 極具影響配比模型的交互作用。在研究中，以等高線圖探討各變數對 工作度、抗壓強度的影響。在成本分析中，也成功的展現了在不同的 配比需求下，經濟的配比設計。這個研究成功的建立一個有用的數學 模型，提供使用者在設計水中混凝土配比設計時一個有用的設計工 具。

Ghezal 等人[26]以反應曲面法最佳化具有含limestone filler等四 種成份，滿足包括坍流度、1天及28天強度等八個效能準則的自填 充混凝土配比設計。結果顯示，反應曲面法所產生的設計模式是一個 產生考量成本效益下最佳化配比設計的有效方法。

Sonbei等人[27]以二水準因子設計法建構包含五個獨立變數的自

填充混凝土材料行為模式。這五個獨立變數包括limestone power 比 例、砂比例、強塑劑用量、viscosity agent 用量、水膠比。考慮的材 料行為包括坍度、1天及28天強度等。研究結果指出，所產生的模 型確實能夠提供設計低抗壓強度自填充混凝土配比有用資訊。

Sonbei [28]為了設計低成本中等強度自填充混凝土材，以因子設

計法建構包含四個獨立變數的自填充混凝土材料行為模式。這四個獨 立變數包括水泥用量、PFA飛灰用量、水膠比、強塑劑用量。考慮的 材料行為包括坍流度、7天、28天及90天抗壓強度等。研究結果指 出，所產生的模型確實能夠提供設計中抗壓強度自填充混凝土配比有 用資訊。

(二)國內相關研究

顏聰、張朝順[29]指出由不同材料與比例所製造的混凝土成本必

然互異，於合乎強度及其它工作性質需求條件規範下，如何調整其配 比以製得最低成本的混凝土，是配比設計及製造供應商一致追求的目 標。本文即基於拌合材料成本，試圖提供一簡易且為可以量化的配比 方法，以充實目前概略、模糊地衡量混凝土經濟性之方式。

葉怡成[30]提出一個在指定的工作度與強度下，使用類神經網路 與非線性規劃之高性能混凝土配比設計最佳化的方法。它包括三個步 驟：(1)利用實驗數據與類神經網路建構精確的工作度與強度模型，(2) 將此模型整合在一個可以評估給定配比下混凝土特定性質的軟體，(3) 將此軟體與一個可以搜尋最佳配比設計的非線性規劃軟體整合，並以 一個實驗計劃驗證此一方法的可用性。結果顯示，本研究是一個可行 的高性能混凝土配比設計最佳化方法。

柯泰至[31]為建立一精確的工作度預測模型，以單體形心設計做 實驗設計工具，以迴歸分析及類神經網路為模型建構工具，最後以實 驗驗證，檢驗模型之可信度。結果顯示，(1)類神經網路為較理想之 建構工具，(2)在工作度的影響因子中，以強塑劑之曲率作用，及水 與強塑劑間之交互作用之影響最大，(3)在模型之可預測性上，以坍 度及坍流度有一定程度的預測性，坍流時間沒有可預測性。

陳怡成[32]以適合建構非線性模型的類神經網路取代傳統的迴 歸分析，做為模型建構工具。再者，混凝土配比設計時由於使用的材 料眾多，各材料價格亦會隨物價波動而變化，以往配比設計進行時通 常只考慮強度與工作度，忽略經濟性，因此本研究考慮各項使用材料 成本，設計出成本最低之高性能混凝土之配比。結果顯示，本研究所 設計之配比大致上均能滿足強度與工作度之需求，且成本低於傳統混 凝土，證明本文所提之方法是高性能混凝土配比設計之一個具潛力的 新方法。

張清雲[33]以舊有建築物拆除後之廢棄混凝土塊作為再生骨材 之料源，並利用實驗計劃法來探討再生混凝土的最適化配比設計，於 再生混凝土材料中設定因子為水灰比、細骨材率、天然砂取代量、紅 磚含量、潔淨程度等五種，並假設彼此間有交互作用，各採二個水準，

按L16直交表配置試驗。以進行抗壓試體製作並測定其坍度，且於7 天、14天及 28天齡期時分別量測其超音波值、電阻值及抗壓強度。

利用變異數分析檢定其是否有交互作用存在及顯著程度。經由回應圖 及貢獻率之分析來推定其最適化的材料組合。經確認試驗顯示其坍度 與抗壓強度皆可達一般混凝土之要求。

陳家偉[34]研究建構工作度之經驗模型的方法。一般建構經驗模 式之主要工具為迴歸分析。然由於高性能混凝土配比材料用量與工作 度之關係為複雜曲線關係，迴歸分析可能不足以建構準確之模型，因 此，研究亦使用類神經網路做為工具，結果顯示：(1)建構高性能混 凝土工作度模型係一可行之研究，且模型具相當之準確性；(2)以類 神經網路建構高性能混凝土工作度模型遠優於以迴歸分析建構模 型；(3)篩選有問題的實驗點，以獲得可靠之實驗數據，對建構精確 之模型有相當大的助益。

許慶安[35]以七天強度及水泥用量、拌合水用量、細骨材用量、

粗骨材六分料用量、粗骨材三分料用量、附加劑用量、W/C及F.M.

計有九項變數做為輸入變數；進行二十八天齡期抗壓強度之推估預 測。結果顯示，採用類神經網路推估模式之相關係數與準確度均優於 傳統的統計回歸分析方法，其推估值與真實值之相關係數達0.983。

詹君治[36]使用非監督式模糊類神經網路(UFN)模擬工程師的邏 輯思考方式，發展混凝土配比設計數學模型。研究中先以模糊數學產 生水灰比，再以強度與水灰比等參數作為 UFN 之輸入變數，經比對、

模糊推理等計算步驟產生水泥用量與水泥與系骨材重量比。研究結果 發現，UFN可有效預測混凝土配比設計。

葉怡成[37]指出飛灰與爐灰混凝土是一種高度複雜的材料，以致 於模式化其行為變得相當地困難。因此提出一個使用類神經網路來模 式化飛灰與爐灰混凝土強度的方法。強度被視為齡期與所有成分，包 括水泥、飛灰、爐灰、水、強塑劑、粗骨材、細骨材的函數。並探討 在具有不同的飛灰與爐灰替代百分下，飛灰與爐灰混凝土的強度行 為，結果顯示，飛灰與爐灰用量與強度的關係程度有滿意的結果。

田耀遠[38]以田口方法進行再生混凝土與本土化高性能混凝土 的配比設計與交互作用的探討，發現田口方法確能節省實驗時間與成 本，並能充分掌握控制因子及交互作用對品質特性的影響。研究結果 顯示，再生混凝土的控制因子中，僅有紅磚含量對品質特性的影響很 小，控制因子間確實存在有交互作用，並且交互作用的貢獻度相當 大，有些甚至超過50%；本土化高性能混凝土的控制因子中，以飛灰 用量影響最大，細骨材率次之，控制因子間亦存在交互作用，會影響 控制因子的組合水準。

第三章 基於 D-Optimal 之配比實驗設計

3-1 導論

高性能混凝土配比實驗設計的每個候選點必須滿足三種配比設 計的限制：

1.各成份上下限限制 2.各成份間比例限制 3.絕對體積限制

HPC的成份上下限限制如下：

max min

C C

C W W

W ≤ ≤ (3-1)

max min

F F

F W W

W ≤ ≤ (3-2)

max min

S S

S W W

W ≤ ≤ (3-3)

max min

W W

W W W

W ≤ ≤ (3-4)

max min

SP SP

SP W W

W ≤ ≤ (3-5)

max min

CA CA

CA W W

W ≤ ≤ (3-6)

max min

FA FA

FA W W

W ≤ ≤ (3-7) 其中

min

WC 、W_F^min、W_S^min、W_W^min、W_SP^min、W_CA^min、W_FA^min為水泥、飛灰、爐石粉、

水、強塑劑、粗骨材、細骨材使用量之下限；

max

WC 、W_F^max、W_S^max、W_W^max、W_SP^max、W_CA^max、W_FA^max為水泥、飛灰、爐石 粉、水、強塑劑、粗骨材、細骨材使用量之上限；

各種成份使用量之上下限反應了混凝土配比設計的規範及經 驗。詳細的條件限制範圍見表3-1。

表3-1 單位重量成本、用量限制、成份比重表 成份 單位重量

成本

下限 (㎏/m³)

上限 (㎏/m³)

比重 1/比重

水泥 2.25 140 350 3.15 0.3175

飛灰 0.6 0 200 2.22 0.4505

爐石粉 1.2 0 240 2.85 0.3509

水 0.01 150 250 1.00 1.000

強塑劑 25.1 3 15 1.20 0.8333

粗骨材 0.236 780 1050 2.54 0.3937

細骨材 0.28 640 900 2.55 0.3922

HPC的成份比例限制如下：

max 1 1 min

1 R R

R ≤ ≤ (3-8)

max 2 2 min

2 R R

R ≤ ≤ (3-9)

max 3 3 min

3 R R

R ≤ ≤ (3-10)

max 4 4 min

4 R R

R ≤ ≤ (3-11)

max 5 5 min

5 R R

R ≤ ≤ (3-12)

max 6 6 min

6 R R

R ≤ ≤ (3-13)

max 7 7 min

7 R R

R ≤ ≤ (3-14)

max 8 8 min

8 R R

R ≤ ≤ (3-15)

max 9 9 min

9 R R

R ≤ ≤ (3-16) 其中

(

)

R₁ = + / (3-17)

(

) (

)

R₂ = + / + + (3-18)

(

) (

)

R₃ = + / + + + + (3-19)

(

)

SP W W W

W

R₄ = / + + (3-20)

(

)

F W W W

W

R₅ = / + + (3-21)

(

)

S W W W

W

R₆ = / + + (3-22)

(

) (

)

R₇ = + / + + (3-23)

(

) (

)

R₈ = + / + + (3-25)

(

)

FA W W

W

R₉ = / + (3-26) 其中

R1為水灰比；

R2為水膠比；

R3為水固比；

R4為強塑劑與膠結料之比例；

R5為飛灰佔膠結料之比例；

R6為爐石粉佔膠結料之比例；

R7為灰飛與爐石粉之總量佔膠結料之比例；

R₈為粗骨材之總量對膠結料之比例；

R₉為細骨材佔粗骨材總量之比例。

詳細的條件限制範圍見表3-2。

配比設計問題的特點為材料組成的總體積需符合一常數。在混凝 土配比設計中，由於混凝土是按體積計價，通常以立方公尺為單位，

因此配比設計時需符合體積總和為一立方公尺的限制：

=1000 +

+ +

+ + +

FA FA CA

CA SP

SP W

W S S F F C C

G W G

W G

W G W G W G W G

W (3-27)

其中GC、GF、GS、GW、GSP、GCA、GFA為水泥、飛灰、爐石粉、水、

強塑劑、粗骨材、細骨材之比重。

上述公式等於1000是因為本配比之設計是要求 1立方公尺混凝

土所需之重量，重量(W)除以比重(G)所得之數值，為該成份所佔之體 積，以公升為單位，其總和須為1立方公尺，即1000公升。

表3-2 各種成份間用量的比例限制

比例 下限 上限

R₁(水灰比) 0.60 1.60

R2(水膠比) 0.30 0.70

R3(水固比) 0.08 0.12

R₄(強塑劑與膠結料之比例) 0.013 0.04 R5(飛灰佔膠結料之比例) 0.00 0.55 R6(爐石粉佔膠結料之比例) 0.00 0.60 R7(飛灰與爐石粉之總量對膠結料之比例) 0.25 0.70 R₈(粗細骨材之總量對膠結料之比例) 2.70 6.40 R9(細骨材佔粗細骨材總量之比例) 0.40 0.52

3-2 方法

研究的流程如下述幾個步驟：

一、收集文獻實驗數據

收集具有實驗數據的相關文獻[31,32,34]。由於文獻的數據單位、

混凝土養護天數不盡相同，因此需將數據加以整理。在強度方面，由 於養護天數包含3天到365天共1030筆，選取 28天的數據共425筆，

而坍度部分總共有103筆。

二、建立基準預測模型

由於選取的實驗點從20點到 100點都有。當選取 100個實驗點

時，為了避免實驗所產生的誤差，每一個實驗點要作五個試體，總計 要作500 個試體，需要很長的時間與高昂的成本。為了不進行實驗也 能夠模擬出與實驗相近的反應值，因此在建立模擬實驗點的基準預測 模型，使用文獻的數據來建立。在建構模型方面，由於類神經網路在 模型建構、模擬預測值的部分有良好的成果，因此建構模型的工具採 用類神經網路。

詳細的建立過程如下：

(1) 首先將步驟一得到的實驗數據進行隨機排序。

(2) 在強度部分，將數據的前300筆做訓練範例，後125 筆做測試範 例；在坍度部份，將數據的前 80 筆做訓練範例，後 25 筆做測試 範例，使用 PCNeuron 3.1類神經網路軟體[3]建立基準預測模型。

(3) 將網路參數設定最佳化，得到測試範例誤差均方根為 843 psi的強

度模型與 5.19 cm的坍度模型。

三、產生候選點

所有的候選點必須滿足本章導論所提到的成份上下限、比例限制 以及絕對體積限制。候選點的產生可利用試算表，數據的產生過程如 下：

(1)創造出滿足水泥、飛灰、爐石粉、水、強塑劑、粗骨材等六成 份的重量上下限約一萬筆。

(2)接著將重量單位轉換成體積單位，利用體積總合為 1000的限 制來決定細骨材的體積用量，在將細骨材用量超過體積成份上下限的 筆數給刪除。

(3)接下來利用逐步刪去法從 R₁開始將不符合比例限制的項目給 刪除直到R₉為止，最後總共會產生1934 筆。