勾股定理證明-G095
【作輔助圖】
1. 以 AB 為邊，向外作一正方形 ABKH ，以BC 為邊，向外作一正方形 BCED ，以 AC 為邊，向內作一正方形 ACFG 。
2. 過 D 作 DL // AB ，交 AC 於 L 。
3. 過 G 作 PQ // HK ，分別與 AH , BK 相交於 P 點, Q 點。
4. 連接 LG ，與 AB 交於 M 點。
5. 連接 BG 。
A B
C
D E
F
G
H K
M L
P Q
【求證過程】
以直角三角形 ABC 的三邊分別向上向外作正方形，先證明圖中的三角形全等，再 將正方形 ABKH 切割成兩個長方形，最後由底高的面積計算得到這兩個長方形的面積 和會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和，來推出勾股定理的關係式。
1. 先證明三角形 ELD 與三角形 CAB 全等，再得到 ELCA：
由作圖的平行關係可知 AL // BD , LD // AB ，故四邊形 ALDB 為平行四邊形，因此 BDBC，又因為 ED CB , E ACB90，所以
ELD CAB
(RHS 全等).
可得到
ELCA.
2. 先證明三角形 AGL 與三角形 CAB 全等，再得到 AGL CAB, LG AH： 因為 EL CA ，所以 AL CA LC ELLCECCB，又 AG AC,
90 GAL ACB
，所以
AGL CAB
(SAS 全等).
可得到
AGL CAB
, LGBA AH. 3. 先證明 LG // AH ，再得到 LM PH：
因為CAB 90 GAB HAG，又 AGL CAB，所以 AGL HAG，故 LG // AH (內錯角相等).
由作圖的平行關係可知四邊形 APGM 為長方形，因此 APMG，又因為 LG AH， 所以
. LM LGMG AH APPH 4. 證明四邊形 PQKH 的面積與正方形 BCED 的面積相等：
由作圖的平行關係可知四邊形 PQKH 為長方形，四邊形 LDBA為平行四邊形，因此 PQKH PQ PH
AB LM
LDBA BD BC
BCED
長方形 面積＝
＝
＝平行四邊形 面積 ＝
＝正方形 面積.
5. 證明四邊形 ABQP 的面積與正方形 ACFG 的面積相等：
由作圖的平行關係可知四邊形 ABQP 為長方形，且
2
2 (1 )
2 ABQP AB AP
ABG
AG AC AG AC
ACFG
長方形 面積＝
＝ ＝ ＝
面積
＝正方形 面積.
6. 最後利用面積關係推出勾股定理的關係式：
ABKH ABQP PQKH
ACFG BCED
正方形 面積＝長方形 面積＋長方形 面積
＝正方形 面積＋正方形 面積.
得到
2 2 2
, AB AC BC 即
2 2 2
. c a b
【註與心得】
1. 來源：這個證明出自於以下書籍或期刊：
Benj. F. Yanney and James A. Calderhead(1897). New and Old Proofs of the Pythagorean. The American Mathematical Monthly, 4(11), 268.
2. 心得：此題證明的關鍵在於證明三角形 AGL 與三角形 CAB 全等，進而推得
LM PH，而證明概念是將正方形 ABKH 切割為兩個長方形，再利用輔助 線將兩個長方形面積分別轉移為三角形與平行四邊形面積的計算，進而推得 正方形 ABKH 面積會等於正方形 ACFG 與正方形 BCED 的面積和。
3. 評量：
國中 高中 教學 欣賞 美學
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4. 補充：原書上並沒有作出輔助線 LG ，但不連接 LG 便無法證明三角形 AGL 與三角 形 CAB 全等，進而得到 LM PH。
