第壹章 緒 論
第一節 研究背景與研究動機
代數在學生的學習歷程中，佔了相當重要的地位。雖然目前在國小的時候，
尚未學習到以英文字母代表數，但已經學過以甲、乙、丙、丁…等文字或空格□
等來代表某個數或量，學生進入國中之後，就開始面臨初等代數的洗禮，初等代 數是學生正式接觸未知數的開始，對學生而言學習代數是有多重的困難－－陌生 的學習領域和難以掌握的變數，而在一些代數應用問題中學生必須將生活語言轉 換成代數的語言（代數式或方程式），然後將代數式或方程式的結果求出來，這 樣又牽扯到語言翻譯能力和計算能力的問題，因此面對如此複雜的，也是難以理 解和記憶的過程，學好初等代數變成為學生的一大挑戰。
初等代數涵蓋的範圍有哪些？國二上學期要接觸「一次函數及其圖形」，在 學習一次函數及其圖形之前，學生接觸了「一元一次方程式」、「二元一次聯立方 程式」、「直角座標與二元一次方程式的圖形」、「比與比例式」、「乘法公式與多項 式」、「因式分解」、「一元二次方程式」等含有文字符號的單元，文字符號在前述 的各單元中提及的方程式或關係式內，扮演的角色是「未知數」（English, &
Warren，1999），到了「一次函數」或「線型函數」時文字符號扮演的角色是「變 數」（國立編譯館，民 89a，民 88a，民 89b，民 89d，民 89e，民 89f，民 87a，
民 87b，民 87c），從認識文字符號開始一連串初等代數的學習到學習函數，變數 記號的不同意涵代表著未知數的概念轉換成變數的概念。同樣的符號、相似的關 係式，隱含的是不同的概念。在此轉變中，學生是否具有足夠的先備知識學習函 數，是教學者需要了解的問題。尤其是即將施行的「九年一貫課程」更是將能用 文字符號表徵生活情境中的未知量及變量，列為學生必需學習的基本數學能力
（教育部，民 88），更顯的教學者需要了解前述問題的急迫性。
從多年的教學經驗感受到，函數概念的學習對許多學生而言確實存在許多困
難，Yen, & Law (1993)也曾提及「函數的概念，在數學領域中佔有十分重要的地 位，但學生在學習函數概念時，往往會感到困難」，而一次函數（或線型函數）
的學習是學生學習函數的開端，開始的學習如果學的好，相信對於學生以後學習 函數時會有相當的幫助。這個觀點與余民寧（民 86）的說法：「先備知識（prior knowledge）豐富的學生…其事後知識（post knowledge）發展較好。」（p. 55）
是一致的。
函數在整個數學的學習領域占著舉足輕重的地位，變數概念的發展又是函數 概念發展時不可或缺的一環，這可由兩個部分獲得說明：（1）、許多教師在教授 線型函數的過程是利用程序性的步驟來介紹（如表 1-1），變數概念在其過程中處 處可見，如步驟一中含有兩個文字符號，步驟二是能列出自變數的值，步驟三是 代入求值的觀念，步驟四中將兩個變數的值配成數對，隱含兩數共變的概念，步 驟五則為表徵的轉換。（2）、國立編譯館（民 89b）將函數定義成：
「對於任意給定的一個 x 值，都恰有一個 y 值與它對應，這時我們說 y 是 x 的函 數，其中 x、y 都是變數。…我們把 x 叫做自變數，y 叫做應變數。」（p. 241）
以函數的定義為自變數與應變數之間的對應關係時，這樣的觀點呼應了 Leinhardt, Zaslavsky, & Stein（1990）的說法，變數概念的知識對函數概念健全的理解是不 可或缺的。
Skemp（1971）曾說：「變數的概念是代數的靈魂。」（林義雄、陳澤民譯，
民 74，p. 209）。他這句話更點出了變數的概念與代數之間的關係，變數概念是 代數的內涵，代數則是變數概念的表達形式。同樣的 Vygotsky（1986）在「思想 與語言」（Thought and Language）一書中也曾提到，語言是表達思維的工具。變 數概念正是數學的一種思維，人們利用代數來表達此種思維。雖然「變數」這個 名詞直到線型函數的教學時才初次正式的在教材中出現，但是現行的國中數學教 材中有關變數概念的發展處處可見，如此說來變數概念除了與函數有關之外，尚 與其他的數學概念牽連糾葛，也就是說表達變數概念思維的數學語言不僅函數而 已。
【表 1-1 線型函數教學步驟分析表】
數學概念 教學內容
步驟一 線型函數的代數表徵 f(x)=mx+k
y=f(x)=2x+1
步驟二 任取數個 x 值 a、b、c、d……
步驟三 計算函數值 f(a)、f(b)、f(c)、
f(d)……
步驟四 寫出有序數對(a,f(a))、
(b,f(b))、(c,f(c))、d,f(d))……
（0，1）、（1，3）、（2，5），…
步驟五 在直角坐標平面標出代表 (a,f(a))、(b,f(b))、(c,f(c))、
(d,f(d))……的點
步驟六 將直角坐標平面上代表 (a,f(a))、(b,f(b))、(c,f(c))、
d,f(d))……的點連成線型函 數的圖形
Davis（1984）提出：
「許多學生在中學及大學中學了五年以上的代數學，儘管這些學生已學了線性方程 式、線性代數、二次方程式、圓錐曲線，及其他許多事（課程），而這些知識都賴 正確的變數概念」（劉秋木譯，民 79，p. 4）。
但是 Davis（1984）又說：
「對於變數（variable-即未知數、在代數中無所不在的 X，Y），依然有嚴重的錯 誤觀念。變數的觀念在數學教育上非常重要，理由有二：（1）變數是數學的基本概
x … 0 1 2 … f(x) … 1 3 5 … x … 0 1 2 … f(x) … …
•
•
•
(0, 1) (1, 3)
(2, 5)
x f(x)
•
•
•
(0, 1) (1, 3)
(2, 5)
x f(x)
念，但也是讓學生頭疼的要素；（2）變數是認知科學的重要概念，因此我們以認知 科學模式來分析人類的資訊處理過程便少不了它」（劉秋木譯，民 79，p. 53）。
張景中（1996）說：
「數學特別關心變化中不變的東西…變化中不變的東西，往往是最重要的東西，刻 劃了變化的特性的東西」（p. 172）。
而變數概念之變化的特性通常是由文字符號所刻畫的，因此要了解變數概念 涵蓋了哪些東西？學生的變數概念有哪些？學生的變數概念如何成長？等問 題，便從文字符號的了解著手。但是文字符號的概念並非等同變數概念，雖然文 字符號與變數概念應該是有部份重疊的，Skemp（1971）認為，直接以文字符號 當成變數是有疑問的（林義雄、陳澤民譯，民 74）。Davis（1992）也說：「數學 概念往往以記號表示，但是這些記號並不是數學本身。」（p. 225）事實上變數概 念涵蓋的範圍很廣，除了文字符號還有其他概念存在，因此討論變數概念時，常 需將文字符號和其他概念需一併討論。
由於函數的學習過程和變數概念的發展是同時進行且兩者是密不可分的，然 而國中第一次接觸到函數與變數的名詞是在國中數學第三冊第四章（國立編譯 館，民 89b）「一次函數及其圖形」，因此本研究主要透過線型函數的學習，了解 他們對國中生變數概念發展的影響，期能將來根據這個研究結果去發展變數概念 的診斷與補救教學，以提升學生學習函數的成效。
經過與指導教授及其他具有國中或高中數學教學經驗的教師多次討論，根據 幾點理由：
（1）與函數、解方程式有關的研究相當豐富，從文獻中即可找到研究者所 需的資料；
（2）計算能力的加強只需反覆訓練即可達成，有關的研究工作對研究者本 人而言，較無迫切性；
（3）有關變數的研究多半偏重文字符號的部分，專門針對變數的研究實在 不多；
（4）變數的變化多端，學生很難掌握變數；
（5）變數多半依附在其他概念之中，國中課程或是小學的課程中，皆無專 門針對變數作詳細的介紹。
綜合上述理由，因此選取了與變數相關的內容作為本研究的主題。
另一方面，教育部（民 88）在即將施行的「九年一貫課程」中，鼓勵各校 發展學校本位課程。研究者身兼任職學校「數學學習領域課程小組」成員，設計 規劃學校數學課程時，在考量學校條件、社區特性、家長期望、學生需要之前，
全面了解學生數學概念現有的發展情形有其必要性，但是基於人力、物力和各種 因素的考量，短期內無法將所有的數學概念進行研究，只好選擇研究者認為較為 重要、影響層面較為深遠的變數概念和線型函數概念為焦點，以學校所有的國二 學生為對象，進行研究工作。
第二節 理論架構
教學的目的在於促進學生對於概念的發展，而要了解概念如何發展，首要選 取適當的概念發展理論。從各種不同觀點探討關於概念發展的理論有許多，例 如，探討學生面對問題時的思路的有，Pirie, & Kieren（1989，1990，1991a，1991b，
1992，1994）的數學理解的動態理論。歸納學生對於概念的使用方式，Kuchemann
（1978,1981）陳述文字符號靜態的六個層次。以學習者的角度探討概念的學習 模式的是 Herscovics (1979)的四元模型(Tetrahedral model)。Yen, & Law (1993)的 起源分解(Genetic decomposition)則是以概念的起源對於概念層次加以分類。
Davis（1992）的先備知識建立的了解（previously-built-up undersdanding），以比 較差異的方式將觀察到的現象分類。各種理論皆有其特點，也有不同的適用情 形，將在第二章第二節分別詳細的介紹及討論各理論的內容、特點和適用情形。
本研究採用 Sfard (1991)的「概念發展理論」，Sfard 認為，對於多數人而言，
獲得數學概念的結構性概念之前，往往需要許多的操作過程，而過程中存在著操 作性概念。根據這樣的理念，概念形成的過程可以分成三個層次：首先是熟悉的 數學物件上的操作過程，這是學習者在學習單元之前就具有的數學概念，其次是 學習者將操作過程轉成新的自動化的實體（entity），最後學習者將新的實體視為 整體，成為新的、熟悉的事務，並能用完全嶄新的見解去看熟悉的事務。Sfard(1991) 將這三個層次依次稱為：內化（interiorization）、壓縮（condensation）、物化
（reification）。並且表示這三個層次是有階層性的，亦即達到前面層次的學習 者，才能達到較後層次。研究者將變數概念、線型函數概念以 Sfard (1991)的「概 念發展理論」的層次特徵對應，各分成三個層次，一一表列如表 1-2。
【表 1-2 Sfard 的概念發展理論之層次特徵對照表】
內化 壓縮 物化
一般特徵 ○1 學習者能了解數 學物件的操作程序。
○2 學習者藉由在熟 悉的數學物件上的 操作，逐漸熟練這些 過程。
○3 較低層次概念的 物化階段。
○4 逐漸的、量的改 變。
○1 漫長序列的動作能逐漸 壓擠成為更易處理的單位 的時期。
○2 學習者較有能力將所給 的過程視為整體，而不考 慮其間的細節。
○3 新概念的發生時期：任 何困難可能存在於結果出 現前的過程中，引出了新 的數學實體概念的開端。
○4 將許多步驟結合成一個 步驟，使的比較和一般化 的結果變得較為容易。
○5 從不同表徵之間的轉換 逐漸變得較為容易。
○6 逐漸的、量的改變。
○1 一種本體論的轉移
（ontological shift）用 完全嶄新的見解去看 熟悉的事務。
○2 有能力將想法視為 完全成熟的物件。
○3 藉由抽象的、純想像 的結構，不同的概念表 徵合為語意上的一體
○4 較高層次概念的內 化階段。
○5 突然的、性質的改 變，將過程固化成靜態 的物件。
變數特徵 ○1 能 完 成 由 數 字 組 成 具 有 某 種 規 則 的 序列。
○2 能根據題意完成 式子中的空格。
○3 能將多項式的未 知數用數字代入而
○1 能用未知數代替一序列 的數字。
○2 能知道「空格」可以代 表不同的數值或變數。
○3 能以新的未知數代換已 有的未知數。
○1 學習者能從不同的 表徵去理解變數。
○2 能求出改變量的值。
○3 能寫出二元一次方 程式的參數式。
求值。
○4 能找出一元、二元 一次關係式的解。
線型函數 特徵
當給定一變數的值 時，學習者有能力根 據某個關係式找到 另一個變數的值。
○1 利用文字符號列出兩個 變數間的關係式。
○2 利用描點法在坐標平面 上畫出線型函數的圖形。
○3 線型函數的式子、圖形 及文字敘述之三種表徵的 轉換。
○1 在式子、圖形及文字 敘述之三種表徵上，區 分出線型函數的正例 與非例。
○2 能了解 y=f(x)=ax+b 中的係數 a、b 的性質 與函數圖形特徵的關 聯性。
○3 能將 y=f(x)=ax+b 當 作物件來操作
表 1-2 中有三點需做特別的說明：
（一）變數概念在壓縮層次中的特徵，我們認為空格和文字符號雖然在很多概念 有相似的地方，但是兩者之間還是存在有一些的差異，例如：
例題 1. 如果一個三位數 1□7=3×□□，請寫出空格□中所有可能的情形。
例題 2. 在空格中填入適當的數，使得（3, ），（ , 2）兩點落在直 線 2x−3y=12 上。
例題第 1 題、第 2 題中的□和 代表的都是位置，他們是空格當無疑義，
如果我們只用同一個文字符號來改寫，將第 1 題、第 2 題分別改成第 3 題、
第 4 題，就會產生如下的情形：
例題 3. 如果一個三位數 1a7=3×aa（其中 1a7 是一個三位數，aa 是一個二位 數），請寫出 a 所有可能的情形。
例題 4. 求出 b 所代表的適當的數，使得（3, b），（b, 2）兩點落在直線 2x−3y=12 上。
透過比較第 1 題的空格□中和第 2 題的空格 中，不同位置的空格□和空 格 代表不同的數值；而用同一個文字符號來改寫的時候，不同位置的 a 和 b 習慣上應該代表相同的數值，很明顯的和題意不符合。事實上利用文字 符號來改寫例題，第 1 題我們會使用三個不同的文字符號代替不同位置的空
格□。而第 2 題我們會使用二個不同的文字符號代替不同位置的空格 。 將第 1 題、第 2 題分別改成如下之第 5 題、第 6 題：
例題 5. 如果 1a7=3×bc（其中 1a7 是一個三位數，bc 是一個二位數），請寫 出 a、b、c 所有可能的情形。
例題 6. 求出 a、b 所代表的適當的數，使得（3, a），（b, 2）兩點落在直線 2x−3y=12 上。
由以上的說明可以發現空格比文字符號所受到的限制較少，因此其蘊含的概 念相較之下顯得更自由、更生動、更活潑。
（二）變數概念在物化層次中的特徵，我們認為「能寫出二元一次方程式的參數 式」是符合「一種本體論的轉移，用完全嶄新的見解去看熟悉的事務」。例 如，在函數 y=2x+1 中，如將 x 視為自變數時，則 y 是應變數，是學生熟悉 的事務。而概念提昇到物化層次的時候，用另一個文字符號 t 代表自變數，
將 y=2x+1 改寫成「x=t」和「x=2t+1」兩個式子，這時 x、y 都成了文字符 號 t 的應變數，「x 從自變數變成應變數的角色轉變」對學生而言是一種嶄新 的見解。
（三）變數概念之內化層次的特徵：「能根據題意完成式子中的空格」，符合這個 特徵的空格涵蓋之概念有二，其一是有兩個空格代表相同的確定值，或是只 有一個空格且其值是唯一的。壓縮層次的特徵：「能知道『空格』可以代表 不同的數值或變數」。這個特徵的空格涵蓋之概念也有二種，題目中含有兩 個或兩個以上的空格，不同的空格代表不同的值；或是題目中的空格內的答 案不是唯一的。
本研究根據 Sfard(1991)的概念發展理論之層次特徵，分別與之對應列出了十 點變數的特徵，再以變數的特徵作為題型分類的依據，而將各類試題的作答情形 稱之為「答題類型」（詳見本論文第四章第二節）。
選擇 Sfard(1991)的概念發展理論，最主要的的理由如下：
（1）適用於人數較多，時間較長的概念發展的研究。本研究是要探討整個 年級的學生，經過約二至三個星期的學習之後概念成長的情形，屬於總結性的評 量，採用靜態的評量方式比較合適；
（2）配合研究需要，本研究將學生的概念發展四個層次，四個層次是以 Sfard 所定的三個層次內化層次、壓縮層次、物化層次為基礎，再加上未達內化層次的 學生研究者將之定為層次內化前；
（3）Sfard 的理論兼顧了現象的描述及概念發展的過程。
第三節 研究目的
探討國二學生線型函數的學習對變數概念發展的影響，希望得到的研究結果 能作為教師在教學上的參考。另一方面在實驗學校的數學科教材小組，發展以學 校為本位的數學課程和編寫課程綱要時，也能提供適當的建議。
第四節 研究問題
1 國二學生在線型函數的學習前、後，變數概念層次的改變情形為何？
2 國二學生在線型函數的學習前、後，變數概念測驗答題類型的改變情形為 何？
3 國二學生在線型函數的學習前、後，線型函數概念層次的改變情形為何？
4 國二學生有關線型函數的主要錯誤類型為何？
5 國二學生線型函數的學習對變數概念發展有何關係？
