Unit 12 一元二次方程式

(1)

Unit 12 一元二次方程式 能力指標：◎（A-4-05）能在具體情境中認識一元二次方程式，並理解其解的意義。 ◎（A-4-05）能利用因式分解來解一元二次方程式。 ◎（A-4-05）能利用配方法解一元二次方程式。 ◎（A-4-05）能認識判別式，並利用公式解來解一元二次方程式。 ◎（A-4-05）能利用一元二次方程式解應用問題。能力一：一元二次方程式的解法一、一元二次方程式的意義一個方程式中只含有一個未知數 x，此未知數的最高次數為二次，稱此方程式為一元二次方程式。凡是使得方程式等號成立的數稱之為方程式的解；而使得多項式的值為零的數稱之為多項式的根。因此，一元二次方程式的解就是所對應的二次多項式的根。所以，我們也稱此類方程式的解為根。二、一元二次方程式的解法常見的一元二次方程式的三種解法：【因式分解法】、【配方法】和【公式解法】等三種，另外也運用判別式來探討兩根的特性，並且討論根與係數之間的關係。（一）因式分解法係運用【提出公因式法】、【平方差公式】、【完全平方公式】、及【十字交乘法】來解題。（二）配方法配方法常用於不能用十字交乘法或無法求解的一元二次方程式，有時候遇到係數較大時，使用配方法會比因式分解法容易。 1.平方根解一元二次方程式的三種形式類型型一： 2 x =k 型二：

(

x+h

)

2=k 型三：

(

ax+p

)

2=q 解 x= k x=-h k x=-p q a 

(2)

2.配方法：（三）公式解將一元二次標準式配方之後，會得到一個公式，透過此公式即可求解。

(

2

)

-b D x= D=b -4ac 2a   公式解其中【 2 D=b -4ac】稱為判別式，係用於判斷【根】的形式：判別式的性質 D＞0 D=0 D＜0 D0 解（根）的情況兩相異實根兩根相等（重根）沒有實數解（無解）有實數解（有解）假設一元二次方程式的標準式： 2

(

)

ax +bx+c=0 a ，其【配方】的步驟如下： 0 （1）方程式 2 0 ax +bx+ = (ac 0) （2）兩邊同除以

a

 2 0 b c x x a a + + = （3）常數項移到右邊 2 b c x x a a + = − （4）在左右二式同加 2 ( ) 2 b a  2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 b b c b x x a a a a +   + = − + （5）左式可化為完全平方 2 2 2 4 ( ) 2 4 b b ac x a a − + = 這個結果與前面(x－h)2 = k 的形式相同，因為 2 2 b x a  ₊      恆為正數或 0，所以當b2 − ac4 0時，我們得到： 2 2 4 2 4 b b ac x a a − + =   2 4 2 b b ac x a − + − = 或x = 2 4 2 b b ac a − − − 若避開繁複的運算過程，直接將方程式的係數代入這個解的通式，即可得到方程式的解。因此，我們利用上面的通式求解，稱為【公式解】。

(3)

三、一元二次方程式的【根】與【係數】關係【因式分解法－解一元二次方程式】講解一：請用因式分解法，求一元二次方程式的根為何呢？（1） 2 4x=3x （2）x -9=02 （3）x -6x+9=02 （4）6x -13x+5=02 Sol)

( )

(

)

( )

( )(

)

( )

(

)

( )

(

)(

)

2 2 4 1 3x -4x=0, x 3x-4 =0, x=0 3 2 x-3 x+3 =0, x=3 -3 3 x-3 =0, x=3 1 5 4 2x-1 3x-5 =0, 2x-1=0 3x-5=0, x= 2 3     原式或原式或原式重根原式或或練習一：請用因式分解法，求一元二次方程式的根為何呢？（1）

(

x+8 x-9 = 8-x 9+x +56 （2）

)( ) ( )(

)

12x -23x=242 （3）3 x-2

( )

2-3=0 Sol)

( )

(

)(

)

( )

2 2 2 2 2 2 1 x -9x+8x-72=72+8x-9x-x +56 2x -200=0, x =100, x=10 -10 8 -3 2 3x-8 4x+3 =0, x= 3 4 3 3 x-2 =3, x-2 =1 x-2= 1, x=3 1      _{ }      原式或原式或原式或設



、



為方程式 2 0 ax +bx+ =c 的兩根，因此 2 0 ax +bx+ =c 可化成 ( )( ) 0 a x−



x−



= 。我們知道 2

(

)(

)

ax

+

bx

+ =

c

a x

−



x

−



 2 ( b c) ( )( ) a x x a x x a a





+ + = − −  2 ( )( ) b c x x x x a a





+ + = − −  2 b c x x a a + + 2

(

)

x

 

x



=

−

+

，經由比較係數， 



+



b a = − 及

 

 c a = 。

(4)

【配方法－解一元二次方程式】講解二：請用配方法，求一元二次方程式的根為何呢？（1） 2 x -40x+204=0 （2）3x -6x+1=02 （3）x +6x=48912 Sol)

( )

(

)

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x -40x=-204 x -40x+20 =-204+20 x-20 =196 x-20= 14 x=34 6 -1 -1 2 x -2x= x -2x+1 = +1 3 3 2 6 3 6 x-1 = x-1= x= 3 3 3 3 x +6x+3 =4891+3 x+3 =4900 x+3= 70                  原式或原式原式 x=-3 70 x=67或-73 練習二：（1）請用配方法將 2 2x -6x-1=0配方成

(

x+p

)

2=q的型式，求 p+2q 的值為何呢？（2）設 2 x +bx+3=0可推得

( )

x-3 2=k，試求 b+k 的值為何呢？ Sol)

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 ₂ ₂ 1 9 1 9 1 2x -6x-1=0, x -3x= , x -3x+ = + 2 4 2 4 3 11 -3 11 x- = p= , q= p+2q=4 2 4 2 4 2 x-3 =k x -6x+9=k x -6x+ 9-k =0 b=-6, 9-k=3, k=6 b+k=0   _ _         【公式解法－解一元二次方程式】講解三：

( ) ( )( )

( )

(

)

2 2 1 2 x-1 x-3 =5x 2 3x -3x+1=0 3 設方程式x + k+2 x+2k+1=0,的兩根相等求, k=? Sol)

(5)

( ) ( )( )

(

)

( )

( ) ( )( )

( )

(

)

2 2 2 2 2 1 2 x-1 x-3 =5x 2x -13x+6=0 D= -13 -4 2 6 =121>0 ! - -13 121 -b D 12 11 1 x= = = x=6 2a 2 2 4 2 2 3x -3x+1=0 D= -3 -4 3 1 =9-12=-3<0 ! 3 x + k+2 x+2k+1=0, , k=? D=0 k      _   Q 方程式有兩實數解或故方程式無實數解設方程式的兩根相等求兩根相等

(

) ( )(

)

( )

2 ₂ ₂ +2 -4 1 2k+1 =0 k +4k+4-8k-4=0 k -4k=0 k k-4 =0 k=0 4    或練習三：

( )

2 2 2 1 x -3x=3 2 2x +9x+15=0 3 設方程式ax +ax+2=0的兩根相等試求, a=? Sol)

( )

( ) ( )( )

( )

( ) ( )( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 1 x -3x=3 x -3x-3=0 D= -3 -4 1 -3 =21>0 ! - -3 21 3 21 x= = 2 1 2 2 2x +9x+15=0 D= 9 -4 2 15 =81-120=-39<0 ! 3 ax +ax+2=0 , a=? D=0

D=a -4a 2 =0 a -8a=0 a a-8 =0 a=0         Q 有兩實數解方程式無實數解設方程式的兩根相等試求兩根相等或 8

(

但不合0

)

【根與係數的關係】講解四： 2 α, β x +4x-9=0 設為的兩根，試求下列各式的值為何呢？

( )

2 2

( ) ( )( ) ( )

1   + 2 -3 -3 3  +  

(6)

Sol)

( )

(

) ( )( )

( ) ( )( )

(

)

( ) ( )

( )

(

)

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 c -9 -b -4 = = =-9, + = = =-4 a 1 a 1 1 + = + = -9 -4 =36 2 -3 -3 = -3 + +9= -9 -3 -4 +9=12 + -2 -4 -2 -9 + 16+18 34 3 + = = = = =--9 -9 9                           原式練習四： 2 α, β x +5x+3=0 設為的兩根，試求下列各式的值為何呢？

( )

1 1

( ) (

) ( ) ( )( )

2 1 + 2  - 3 -1 -1   Sol)

( )

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )( )

(

)

( )

2 2 ₂ ₂ ₂ ₂ 2 2 2 x +5x+3=0 + = -5 , =3 1 1 + -5 1 + = = 3 2 - = -2 + = + -2 = + -2 -2 = + -4 = -5 - 4 3 =13 3 -1 -1 = - - +1= - + +1=3- -5 +1=9                                 【十分鐘即時練習】 （C）1.請問（-3）是下列那一個方程式的根？ (A)x2_{－3x＝0 (B)3 x}2_{＝0 (C)x}2_{+3x＝0 (D)x}2_+3＝0 Sol) (A)x2_{－3x＝0，x(x－3)＝0 ∴x＝0 或 3} (B)3x2_{＝0 ∴x＝0，0} (C)x2_{+3x＝0，x(x+3)＝0 ∴x＝0 或－3"－3 為 x}2_{+3x＝0 的解} (D)x2_{+3＝0 無法求得 x 值} （A）2.若x2_{+8x＝0，則x＝？(A)－8，0 (B)8，0 (C)4，0 (D)－4，0} Sol)x2_{+8x＝0，x(x+8)＝0 ∴x＝0 或－8} （A）3.若有一數a介於(5x－2)(x+2)＝0的兩根之間，則a不可能是下列那一個數？ (A)1 (B)－1 (C)－ (D)0 Sol)∵(5x－2)(x+2)＝0 ∴5x－2＝0 或 x+2＝0，得 x＝2 5 或－2，兩根為 2 5 、－2 ∴a 介於－2 與2 5 之間，不可能為 1

(7)

（A）4.設a為實數，若方程式4x2_{－12x+(a－3)＝0的兩根相等，則方程式ax}2_－

13x+3＝0的兩根為何？

(A) (B) 、1 (C) (D) 、1

Sol)∵4x2－12x+(a－3)＝0 的兩根相等 ∴(－12)2－4．4(a－3)＝0，144－16a+48 ＝0，a＝12， 12x2 －13x+3＝0，(4x－3)(3x－1)＝0，∴x＝3_{4 、}1₃ （D）5.下列那一個方程式的解為相異實根？ (A)x2_{+4＝0 (B)x}2_{+6x+9＝0 (C)x}2_{－x+1＝0 (D)x}2_+22x+1＝0 Sol) 相異實根方程式之判別式 D＞0 (A)0－4．1．4＝－16＜0 (B)36－4．1．9＝36－36＝0 (C)(－1)2－4．1．1＝1－4＝－3＜0 (D)(22)2－4．1．1＝8－4＝4＞0 能力二：一元二次方程式的應用一元二次方程式應用問題的解題步驟：【二元一次方程式的應用問題】講解一：二年 18 班的公佈欄長為 400 公分，寬為 300 公分，今天學藝股長要在其四周黏上一條等寬的紙條當做框，如此會增加佈告欄面積的 12%，請問此紙條的寬為多少公分呢？ Sol)

(

)(

)

(

)(

)

(

) (

)

2 2 2 x 2x+400 2x+300 -400 300=400 300 12% 4x +600x+800x+120000-120000=14400 4x +1400x-1400=0, x +350x-3600=0 x-10 x+360 =0 x=10 -360 10           設紙條的寬為公分或不合紙條寬為公分設定未知數（以 x 表示）列出方程式解方程式判斷並作答驗算

(8)

練習一：有三個連續正偶數，第一、第二兩數的積加上第二、第三兩數的積等於 392，試問此三數為何呢？ Sol)

(

) (

)(

)

(

)(

)

( )

2 2 2 2 2 x, x+2, x+4 x x+2 + x+2 x+4 =392 x +2x+x +6x+8=392 2x +8x+8=392 x +4x+4=196 x +4x-192=0 x-12 x+16 =0 x=12 -16 ! 12, 14, 16       →  假設此三數為或不合此三數 【十分鐘即時練習】 （C）1.有一正方形，若將其一邊長減少3公分，另一邊長變為原邊長的2倍，則所得新長方形的面積比原正方形的面積多7平方公分，則原正方形的邊長為多少公分？(A)5公分 (B)6公分 (C)7公分 (D)9公分 Sol)設原正方形的邊長為 x 公分，則(x－3)．2x＝x2+7，2x2－6x＝x2_+7，x2_－6x －7＝0，(x－7)(x+1)＝0，∴x＝7 或－1(－1 不合)，（D）2.設一直角三角形有一股長為24公分，斜邊長比另一股長的3倍多4公分，則此三角形的面積為多少平方公分？(A)360平方公分 (B)260平方公分 (C)165平方公分 (D)84平方公分 Sol)設另一股長為 x 公分，則斜邊長為(3x+4)公分"(3x+4)2＝x2₊₂₄2_， 9x2+24x+16＝x2+5768x2+24x－560＝0，x2+3x－70＝0，(x－7)(x+10)＝0 ∴x＝7 或－10(－10 不合)"面積為1 2 ×7×24＝84(平方公分) （A）3.史老師出生於民國63年，經過3x年，正好是民國(x－3)2_{年，則x＝？} (A)15 (B)14 (C)13 (D)12 Sol)依題意得 63+3x＝(x－3)2，x2_{－3x－54＝0，(x－9)(x+6)＝0 ∴x＝9 或－6(－} 6 不合) （B）4.一三角形，其底和對應高的比是4：5，若面積為90平方公分，則此三角形的底和高相差多少公分？(A)4公分 (B)3公分 (C)2公分 (D)1公分 Sol)設底長為 4x 公分，高為 5x 公分，則1 2 ．4x．5x＝90，10x 2_＝90，x2_＝9 ∴x＝±3(－3 不合)，底長 12 公分，高為 15 公分 ∴底和高相差 3 公分（B）5.已知一線段AB的長為10公分，今在AB上取一點P且AP＜BP，分別以AP、 BP為直徑各作一圓，如果這兩圓的面積和為13(平方公分，則AP等於多少公分？(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

(9)

(x 2 )2π+( 10－x 2 )2π＝13π， x2 4 + 100－20x+x2 4 ＝13， 2x2－20x+100＝52，x2_{－10x+24＝0，(x－6)(x－4)＝0 ∴x＝4(6 不合)} 【基本觀念題】 （B）1.若 x 的二次方程式 x2_{＋x－a＝0 的一根的倒數為 2，則 a 的值為何？} (Ａ)2(Ｂ) 4 3 (Ｃ)－ 4 3 (Ｄ) 3 4 。 Sol) x＝ 2 1 代入：（ 2 1 ）2_＋ 2 1 －a＝0，∴a＝ 4 3 （D）2.若方程式（x－2）（3x＋1）＝0，則 3x＋1 之值為何？ (Ａ)7(Ｂ)2(Ｃ)0(Ｄ)7 或 0。 Sol) （x－2）（3x＋1）＝0x＝2 或－ 3 1 ，∴3x＋1＝   3×2＋1＝7 3×（－ 3 1_）＋1＝0

（A）3.設 ab≠0，若 a、b 為一元二次方程式 x2_{＋3ax＋2b＝0 的兩根，則 a＋b＝？}

(Ａ)－6(Ｂ)6(Ｃ)－3(Ｄ)3。

Sol) 利用根與係數 a＋b＝－3a，ab＝2b ∴a＝2，∴a＋b＝－32＝－6

（C）4.設 a 為方程式 9x2_{－x＋7＝0 的解，b 為方程式 3x}2_{＋2x－2＝0 的解，則}

（9a2_－a）_（3b2_{＋2b）的值為下列哪一選項？(Ａ)-7(Ｂ)2(Ｃ)-14(Ｄ)14。} Sol) x＝a 代入：9a2－a＋7＝0，∴9a2_－a＝－7

x＝b 代入：3b2＋2b－2＝0，∴3b2_＋2b＝2 ∴（9a2_－a）（3b2_{＋2b）＝－72＝－14} （B）5.方程式 3（x＋1）2_{＋5（x＋1）}_{（x－4）＋2（x－4）}2_{＝0 的二根之積為何？} (Ａ) 3 1 (Ｂ) 2 3 (Ｃ)3 (Ｄ)－4 。 sol) 1 1 3 2╳ ，（x＋1＋x－4）（3x＋3＋2x－8）＝0 （2x－3）（5x－5）＝0，x＝ 2 3 或 1 =3 1=3 2 2  積  （A）6.三個連續正整數 3、4、5 滿足 32_＋42_＝52_{；五個連續正整數 10、11、12、} 13、14 滿足 102_＋112_＋122_＝132_＋142_{。現在有七個連續正整數，其中} 前 4 數的平方和等於後 3 數的平方和，則此七數中最大數為何？ (Ａ)27(Ｂ)28(Ｃ)29(Ｄ)30。 Sol) 設七數為 x－3，x－2，x－1，x，x＋1，x＋2，x＋3 則（x－3）2_{＋（x－2）}2_{＋（x－1）}2_＋x2 ＝（x＋1）2_{＋（x＋2）}2_{＋（x＋3）}2 x2_－24x＝0 x（x－24）＝0，x＝24 或 0（不合），∴最大 24＋3＝27 （B）7. 耀則、正揚兩人利用公式同解一個一元二次方程式，耀則算錯判別式其

(10)

2 4 -16 15 0 2 -3 x x+ =

(

)(

)

3 5 2 - 3 2 - 5 0, 2 2 2 -5 -10 - 6 -16 x x x or  = = = 餘均沒錯，得兩根為 3，－4，正揚看錯 x 項係數，其餘均沒錯，得兩根為 2，－1，則原方程式兩根和為多少？ (Ａ)－2(Ｂ)－1(Ｃ)0(Ｄ)1。 Sol) 耀則：看錯判別式即算錯常數 （x－3）（x＋4）＝0，x2_{＋x－12＝0} 正揚：（x＋1）（x－2）＝0，x2_－x－2＝0 ∴正確方程式：x2_{＋x－2＝0 ∴兩根和為－1} （C）8.若方程式 x2_{－30x＋k＝0 之兩根都是質數，則下列何者可為 k 的值？} (Ａ)29(Ｂ)81(Ｃ)209(Ｄ)319。 Sol) 30＝7＋23＝11＋19＝13＋17，∴k＝723＝161，1119＝209，1317 ＝221 （B）9.若 a 與 b 為兩個不同的正整數，且 a2_－b2_{＝48，則 a＋b 的最小值為多少？} (Ａ)6(Ｂ)8(Ｃ)10(Ｄ)12。 Sol) a2－b2_＝48__{（a＋b）（a－b）＝48} ∴a＋b 與 a－b 均為偶數   a＋b＝24 a－b＝2 或 a＋b＝12 a－b＝4 或 a＋b＝8 a－b＝6，故 a＋b 最小值 8 （C）10.王老先生有兩塊農地分別由兩個長方形重疊而成，且重疊部分(如圖中陰影)為正方形，已知農地總面積為1003平方公尺，若陰影部分闢成水池，則此水池的邊長為多少公尺？(A)13公尺 (B)12公尺 (C)11公尺 (D)10公尺 Sol)設正方形邊長 x 公尺 (14+x)(9+x)+(13+x)(15+x)－x2＝1003，126+23x+x2+195+28x+x2－x2＝1003， x2+51x－682＝0，(x－11)(x+62)＝0，∴x＝11(－62 不合) 【溫故歷屆基測試題】 （A）1.下列哪一個選項為方程式 4x2_{－16x＋15＝0 的兩根？ (Ａ)} 2 3 、 2 5 (Ｂ) 2 3 、－ 2 5 (Ｃ)－ 2 3 、 2 5 (Ｄ)－ 2 3 、－ 2 5 。【95.基測一】 Sol)

(11)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 若 , 則為的平方根, 為 - 29 247的一根, - 29 247, - 29 是247的平方根 m n m n b x b b =  = = 

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 - 6 0, - 6 - , - 6 3 3 - , - 3 9 - 與 - 7比較, 2, 2代入, - 6 2, - 6 0, - 6 3 0 3 , - 3 9 x x b x x b x x b x b x a a b x x b x x x x x + = = + = = = = = + = = + = + = （D）2.若 a、b 為方程式（x－29）2_{＝247 的兩根，則下列敘述何者正確？ (Ａ)} a 為 247 的平方根(Ｂ) a＋b 為 247 的平方根(Ｃ) a＋29 為 247 的平方根(Ｄ) 29－b 為 247 的平方根。【95.基測一】 Sol) （C）3.已知方程式（ 3 x －1）（x＋2）＝0 的兩根為 a、b，其中 a＞b，則下列哪一個選項是正確的？ (Ａ) 3a＝－6 (Ｂ) 2b＝6 (Ｃ) a＋b＝1 (Ｄ) a－ b＝－1。【95.基測二】 Sol) 3-1 0, 3, 2 0, -2, , 3, -2 x x x x a b a b = = + = =  = = Q （B）4.已知方程式 x2_{－5625＝0 的兩根為±75，則下列何者可為方程式 x}2_＋6x－ 5616＝0 的解？ (Ａ) x＝69 (Ｂ) x＝72 (Ｃ) x＝77 (Ｄ) x＝81。【95. 基測二】 Sol)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 6 - 5616 0, 3 - 5616 - 9 0, 72 3 - 5625 0, 3 5625, 3 75, -78 x x x x x x x + = + =  + = + = + =  _{= } 

（C）5.若 a、b 為方程式 x（3x＋7）＝0 的兩根，且 a＞b，則 b－a＝？ (Ａ) 7 3 (Ｂ) 3 7 (Ｃ)－ 7 3 (Ｄ)－ 3 7。【94.基測一】

Sol)由x 3x+7 =0得x=0或

(

)

-7, 又兩根為a,b且a>b, a=0, b=-7

3  3 （B）6.已知 x2_{－6x＋b＝0 可配方成（x－a）}2_{＝7 的型式。請問 x}2_{－6x＋b＝2 可} 配方成下列何種型式？ (Ａ)（x－a）2_{＝5 (Ｂ)（x－a）}2_{＝9 (Ｃ)（x} －a＋2）2_{＝9 (Ｄ)（x－a＋2）}2_{＝5。【94.基測二】} Sol) N N 10N

(12)

2 2 2 由 1 680, 1 680 26.077 5 5 2 26.077 -1, 又 , 為兩根,且 , 5 2 2 26.077 -1 25.077, -26.077 -1 -27.077 5 5 x x x a b a b a b  ₊  ₌ _{+ = } _{= }      =    = = = = 程式（ 2 5x＋1） 2_＝680 （D）7.已知 a、b 為方＞b，利用如表，求 2 5 的兩根，且 a a－ 2 5b 之值最接近下列哪一數？ (Ａ) 0 (Ｂ) 2 (Ｃ) 37 (Ｄ) 52。【94.基測二】 Sol) （B）8.利用配方法將 4x2_{＋8x＋a 化成 b（x＋c）}2_{＋3 的形式，則 a＋b＋c＝？ (Ａ)} 9 (Ｂ) 12 (Ｃ) 13 (Ｄ) 25。【93.基測二】 Sol)

(

)

( )

2 2 2 原式=4 x +2x +a=4 x+1 -4+a=b x+c +3 a=3+4=7, b=4 ,c=1 a+b+c=12  

（D）9.若一元二次方程式 x2_{－2x－323＝0 的兩根為 a、b，且 a＞b，則 2a＋b}

＝？ (Ａ)－53 (Ｂ) 15 (Ｃ) 55 (Ｄ) 21。【92.基測二】 Sol)

( )

2 2 2 x -2x=323, x -2x=323+1, x-1 =324, x-1 = 18, x=1 18 , x=19 或 -17  2a+b=2 19-17=21 （B）10.樂樂以配方法解 2x2_{－bx＋a＝0，可得 x－} 2 3 ＝± 2 15 ，求 a＝？ (Ａ) －6 (Ｂ)－3 (Ｃ) 6 (Ｄ) 3。【91.基測二】 Sol) 2 2 2 2 3 15 3 15 9 15 - - - 3 - 0 2 2 2 4 4 4 3 - 3 - 0 2 - 6 - 3 0 -3 2 x x x x x x x x a   =  _ _ =  + =    =  =  = （C）11.對於方程式（2x＋5）（x＋1）＝（3x－2）（x＋1）根的敘述，下列何者 正確？ (Ａ)方程式只有一根，而且這個根是正數(Ｂ)方程式有兩根，而且兩根的正、負號相同(Ｃ)方程式一根為正數，一根為負數(Ｄ)方程 2 1.414 4.472 5 2.236 7.071 34 5.831 18.439 68 8.246 26.077

(13)

( )

( ) (

)

( )

( )(

)

2 2

阿珠:

a-5 +25=89, a-5 =64, a-5= 8, ∴ a=13, -3 負不合阿花: b-5 +25=146, b-5 =121, b-5= 11, ∴ b=16, -6 負不合 a+b=13+16=29  

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 2 1 ₂ 2 2 2 x+1 -11 x+1 +15=0 2 x+1 -5 1 -3 =0, 5 10 x+1 = x+1 =3 x+1= x+1= 3, 2 2 10 x=-1 x=-1 3 -1+ 3 2  _{ } _ _ __ _       或或或其中最大根式無解。【91.基測一】 Sol)

( )( )

2 3 2 2x +7x+5=3x +x-2 -x +6x+7=0 x+1 x-7 =0, x=-1, 7   （D）12.小風想用一個遊戲的方法問出兩位朋友的年齡。他說：「將你的年齡，先減 5 ，再平方，最後加上 25。所出現的數字將會是你今天的幸運數字喔！」阿珠說：「我是 89 吔！」阿花說：「我的是 146！」 若阿珠的年齡是 a，阿花的年齡是 b，則 a＋b 的值會落 在下列哪一個範圍內？ (Ａ) 18≦a＋b＜21 (Ｂ) 21≦a＋b＜24 (Ｃ) 24≦a＋b＜27 (Ｄ) 27≦a＋b＜30。【91.基測二】 Sol) 【模擬學力基測試題】 （D）1.方程式2 x+1 -11 x+1 +15=0

(

)

4

(

)

2 的所有根中，最大者為何呢？（A）1- 3 （B）1+ 3 （C） -1- 3 （D） -1+ 3 。 Sol) （B）2.請利用配分法解 x 的方程式： 2

(

)

ax +2bx-a=0 a 0 ，其根為何呢？（A） 2 2 b a -b a  （B） 2 2 -b a +b a  （C） 2 b b -2ac -2a  （D） 2 -b b -4ac 2a  。 Sol)

(14)

2 2 2 2 2 2 2 2 ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ ₂ 2 2b 2b b b ax +2bx-a=0 x + x=1 x + x+ =1+ a a a a b a +b b a +b -b a +b x+ = x+ = x= a a a a a      _ _     （B）3.七個連續正整數由小至大分別為 a、b、c、d、e、f、g，且 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c +d =e +f +g ，請問 a 值為何呢？（A）19（B）21（C）23 （D）25。 Sol)

( ) ( ) ( )

(

) (

)

( ) ( ) ( )

(

) (

)

(

)

2 2 2 ₂ 2 2 2 2 x-3 , x-2 , x-1 , x, x+1 , x+2 , x+3 x-3 + x-2 + x-1 + x = x+1 + x+2 + x+3 , x -24x=0, x= 0 24 x0  a=x-3=24-3=21 設七個連續正整數為或（C）4.已知 a、b 為常數，x 的二次方程式 2

(

)

2 x -a 3x-2a+b -b =0 ，的兩根之和為何呢？（A）a（B）2a（C）3a（D）4a。 Sol)

( )(

)

(

)(

)

2 2 2 2

x -3ax+2a -ab-b =0, x -3ax+ a-b 2a+b =0, x-a+b x-2a-b =0, x=a-b 或 2a+b 兩根之和=3a （A）5.假設方程式 2 2x +5x+1=0，的兩根為 a、b，請問 a + b 之值為何呢？（A） 5 2（B） -5 2 （C） 2 5（D） -2 5 。 Sol) 2 -5 17 5- 17 5+ 17 5 2x +5x+1=0 x= a + b = + = 4 4 4 2        _  _{ } _     （D）6.下列哪一個一元二次方程式無解呢？（A） 2 2x +3x-4=0（B） 2 x -x-1=0（C） 2 x +3x+1=0（D） 2 3x -4x+3=0。 Sol) 3x -4x+3=02 D= -4

( ) ( )( )

2-4 3 3 =16-36=-20<0 無解（C）7.方程式

(

2

)

2 3 x +1 =2x -6x+12之兩根為 a、b，則 2 2 a +b 的值為何呢？（A） 35（B）45（C）54（D）63。 Sol)

(15)

(

)

( ) ( )(

2

)

2 k 2x -5x+ 2+k D= -5 -4 2 2+k =0 9 25-16-8k=0 9-8k=0, k= 8   設再加上能成為完全平方式

(

)

( )

2 2 5 x y+1 =5 x= y+1 5 x y+1 5 5 5 1 = = = = = 1:4

y+1 y+1 _y+1 y +2y+1 19+1 4   

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 2 3 x +1 =2x -6x+12 x +6x-9=0 x=-3 3 2, a +b = -3+3 2 + -3-3 2 =9-18 2 +18+9+18 2 +18=54    （B）8.下列哪一點在直線 y=- 2x+2 的圖形上呢？（A）

(

3, 0 （B）

)

(

2, 0 （C）

)

(

0, 2 （D）

)

(

0, 3 。

)

Sol)將x= 2 , y=0 代入0=- 2 2+2=-2+2=0 （D）9.一元二次多項式 2 2x -5x+2需要再加上下列哪一個數之後才會形成完全平方式呢？（A）1 8（B） 3 8（C） 7 8（D） 9 8。 Sol) （B）10.若 1－ 2 為 x2_{－（a＋1）x－a＝0 的一根，則 a＝？ (Ａ)－1(Ｂ)1(Ｃ)} －1－ 2 (Ｄ)－1＋ 2 。 Sol) 一根 1－ 2 ，則另一根 1＋ 2，由根與係數：（1－ 2）＋（1＋ 2）＝2 （1－ 2）（1＋ 2 ）＝－1，∴方程式為 x2－2x－1＝0 與 x2－（a＋1）x－a＝0 比較，a＋1＝2，a＝1 【進階練習題】（B）1.若 2

( )

xy+x=5且y +2y=19, 請問x : y+1 =?（A）4：1（B）1：4（C）3：4 （D）4：3。 Sol) （C）2.若 2 y=kx -2x+1的圖形與 x 軸不相交，請問 k 值的範圍？（A）k＞-1（B） k＞0（C）k＞1（D）k＞2。 Sol)

( ) ( )( )

2 2 2 y=ax +bx+c x y=0 D=b -4ac<0 -2 -4 k 1 <0 k>1    二次函數的圖形與軸不相交（D）3.若方程式 2 x +mx+n=0，其中 m 及 n 為正數，若方程式的兩根差為 1，請問 m 值為何呢？（A）n+1（B）n-1（C） 4n-1（D） 4n+1。

(16)

Sol)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 + +1 =-m m = +2 +1 + +1 =2 +1 +2 +1 =1 +1 =n m =2n+2n+1=4n+1 m= 4n+1              _       負不合（A）4.設 a、b、c 皆為實數，若 1 為 2 x +ax+2=0的一根，且 a、b 為 2 x +5x+c=0 的兩根，請問 3a+2b+c 的值為何呢？（A）-7（B）-5（C）5（D）7。 Sol) 1 1 +a+2=0 a b=c a=-3, b=-2, c=6 3a+2b+c=-7 a+b=-5         （D）5.設方程式 3x2_{－6x－1＝0 的正根為 a，方程式（3x－5）（x＋2）＝42 的} 負根為 b，則下列何者正確？ (Ａ)b＝－4(Ｂ)a＝ 3 3 2 3＋－ (Ｃ)a＋b＝ 3 3 2 16＋－ (Ｄ)a－b＝ 3 3 2 16＋。 Sol) 3x2－6x－1＝0，x＝ 3 3 2 3  _∴a＝ 3 3 2 3＋ 3x2＋x－52＝0（x－4）（3x＋13）＝0，x＝4，－ 3 13_∴b＝－ 3 13 a＋b＝ 3 3 2 3＋－ 3 13 ＝ 3 3 2 10＋－，a－b＝ 3 3 2 3＋＋ 3 13 ＝ 3 3 2 16＋（A）6.解方程式（x＋1）2_{＋│x＋1│－6＝0，可得 x 的值之和為何呢？（A）-2} （B）0（C）2（D）4。 Sol)│x＋1│2_{＋│x＋1│－6＝0，（│x＋1│－2）（│x＋1│＋3）＝0} │x＋1│＝2 或－3（不合），∴x＋1＝2，故 x＝1 或－3，x 的和為-2。（D）7.利用配方法，將 x 的一元二次方程式－2x2_{－4x＋1＝0 改寫成－2（x－h）} 2_{＋k＝0 型式，則 h×k＝？（A）-1（B）0（C）-2（D）-3。} Sol) －2x2－4x＋1＝0，－2（x2_{＋2x＋1）＋3＝0，}__{－2（x＋1）}2_＋3＝0 ∴h×k＝－1×3＝-3 （D）8.設α、β是二次方程式 x2_{＋4x－3＝0 的兩根，則以} α 2 、 β 2 為兩根的二次方程式為何呢？（A） 3 -3x +8x=4（B） 3 -3x -8x-4=0（C） 3 3x -8x=-4（D） 3 3x -8x-4=0。 Sol) 由根與係數：α＋β＝－4，αβ＝－3，∴ α 2 ＋ β 2_＝ αβ （α＋β） 2 _＝ 3 4 2 －）（－  ＝ 3 8 α 2 _ β 2 ＝ αβ 4 ＝ 3 4 －＝－3 4 ，∴方程式為 x2_－ 3 8 x－ 3 4_{＝0，即 3x}2_{－8x－4＝0}

（B）9.設 a、b、c 是△ABC 之三邊長，（a＋b）x2_{＋2cx＋（a－b）＝0 有等根，}

(17)

腰三角形（D）鈍角三角形。

Sol) D＝(2c)2－4(a＋b)(a－b)＝0，4c2_－4a2_＋4b2_{＝0，即 a}2_＝b2_＋c2_{∴為直角△}

（C）10.柯南向中花商銀借款 6400 元，言明以年利率 x％計息，如果兩年後他連本帶利還給中花商銀 7056 元的話，請問每年利率是多少％？（A）7% （B）6%（C）5%（D）4%。 Sol) 6400（1＋ 100 x ）2_＝7056_（1＋ 100 x ）2_＝ 6400 7056 ＝ 400 441 ∴1＋ 100 x _＝ 20 21 ，∴ 100 x ＝ 20 1 或－ 20 41 （不合） ∴x＝5％。