Unit 12 一元二次方程式

17  38  Download (0)

全文

(1)

Unit 12 一元二次方程式 能力指標:◎(A-4-05)能在具體情境中認識一元二次方程式,並理解其解的意 義。 ◎(A-4-05)能利用因式分解來解一元二次方程式。 ◎(A-4-05)能利用配方法解一元二次方程式。 ◎(A-4-05)能認識判別式,並利用公式解來解一元二次方程式。 ◎(A-4-05)能利用一元二次方程式解應用問題。 能力一:一元二次方程式的解法 一、一元二次方程式的意義 一個方程式中只含有一個未知數 x,此未知數的最高次數為二次,稱此方程 式為一元二次方程式。凡是使得方程式等號成立的數稱之為方程式的解; 而使得多項式的值為零的數稱之為多項式的根。因此,一元二次方程式的 解就是所對應的二次多項式的根。所以,我們也稱此類方程式的解為根。 二、一元二次方程式的解法 常見的一元二次方程式的三種解法:【因式分解法】、【配方法】和【公式解 法】等三種,另外也運用判別式來探討兩根的特性,並且討論根與係數之 間的關係。 (一)因式分解法 係運用【提出公因式法】、【平方差公式】、【完全平方公式】、及【十字交乘 法】來解題。 (二)配方法 配方法常用於不能用十字交乘法或無法求解的一元二次方程式,有時候遇到 係數較大時,使用配方法會比因式分解法容易。 1.平方根解一元二次方程式的三種形式 類型 型一: 2 x =k 型二:

(

x+h

)

2=k 型三:

(

ax+p

)

2=q 解 x= k x=-h k x=-p q a 

(2)

2.配方法: (三)公式解 將一元二次標準式配方之後,會得到一個公式,透過此公式即可求解。

(

2

)

-b D x= D=b -4ac 2a   公式解 其中【 2 D=b -4ac】稱為判別式,係用於判斷【根】的形式: 判別式的性質 D>0 D=0 D<0 D0 解(根)的情況 兩相異實根 兩根相等 (重根) 沒有實數解 (無解) 有實數解 (有解) 假設一元二次方程式的標準式: 2

(

)

ax +bx+c=0 a ,其【配方】的步驟如下: 0 (1)方程式 2 0 ax +bx+ = (ac 0) (2)兩邊同除以

a

 2 0 b c x x a a + + = (3)常數項移到右邊 2 b c x x a a + = − (4)在左右二式同加 2 ( ) 2 b a  2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 2 b b c b x x a a a a +   + = − + (5)左式可化為完全平方 2 2 2 4 ( ) 2 4 b b ac x a a − + = 這個結果與前面(x-h)2 = k 的形式相同,因為 2 2 b x a+      恆為正數或 0,所以 當b2 − ac4 0時,我們得到: 2 2 4 2 4 b b ac x a a − + =   2 4 2 b b ac x a − + − = 或x = 2 4 2 b b ac a − − − 若避開繁複的運算過程,直接將方程式的係數代入這個解的通式,即可得到 方程式的解。因此,我們利用上面的通式求解,稱為【公式解】。

(3)

三、一元二次方程式的【根】與【係數】關係 【因式分解法-解一元二次方程式】 講解一: 請用因式分解法,求一元二次方程式的根為何呢? (1) 2 4x=3x (2)x -9=02 (3)x -6x+9=02 (4)6x -13x+5=02 Sol)

( )

(

)

( )

( )(

)

( )

( )

( )

(

)

( )

(

)(

)

2 2 4 1 3x -4x=0, x 3x-4 =0, x=0 3 2 x-3 x+3 =0, x=3 -3 3 x-3 =0, x=3 1 5 4 2x-1 3x-5 =0, 2x-1=0 3x-5=0, x= 2 3     原式 或 原式 或 原式 重根 原式 或 或 練習一: 請用因式分解法,求一元二次方程式的根為何呢? (1)

(

x+8 x-9 = 8-x 9+x +56 (2)

)( ) ( )(

)

12x -23x=242 (3)3 x-2

( )

2-3=0 Sol)

( )

( )

( )

(

)(

)

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 1 x -9x+8x-72=72+8x-9x-x +56 2x -200=0, x =100, x=10 -10 8 -3 2 3x-8 4x+3 =0, x= 3 4 3 3 x-2 =3, x-2 =1 x-2= 1, x=3 1             原式 或 原式 或 原式 或 設

為方程式 2 0 ax +bx+ =c 的兩根,因此 2 0 ax +bx+ =c 可化成 ( )( ) 0 a x

x

= 。我們知道 2

(

)(

)

ax

+

bx

+ =

c

a x

x

 2 ( b c) ( )( ) a x x a x x a a

+ + = − −  2 ( )( ) b c x x x x a a

+ + = − −  2 b c x x a a + + 2

(

)

x

 

x



=

+

+

,經由比較係數, 

+

b a = − 及

 

c a = 。

(4)

【配方法-解一元二次方程式】 講解二: 請用配方法,求一元二次方程式的根為何呢? (1) 2 x -40x+204=0 (2)3x -6x+1=02 (3)x +6x=48912 Sol)

( )

(

)

( )

( )

( )

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 x -40x=-204 x -40x+20 =-204+20 x-20 =196 x-20= 14 x=34 6 -1 -1 2 x -2x= x -2x+1 = +1 3 3 2 6 3 6 x-1 = x-1= x= 3 3 3 3 x +6x+3 =4891+3 x+3 =4900 x+3= 70                  原式 或 原式 原式 x=-3 70 x=67或-73 練習二: (1) 請用配方法將 2 2x -6x-1=0配方成

(

x+p

)

2=q的型式,求 p+2q 的值為何呢? (2) 設 2 x +bx+3=0可推得

( )

x-3 2=k,試求 b+k 的值為何呢? Sol)

( )

( ) ( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 1 9 1 9 1 2x -6x-1=0, x -3x= , x -3x+ = + 2 4 2 4 3 11 -3 11 x- = p= , q= p+2q=4 2 4 2 4 2 x-3 =k x -6x+9=k x -6x+ 9-k =0 b=-6, 9-k=3, k=6 b+k=0            【公式解法-解一元二次方程式】 講解三:

( ) ( )( )

( )

( )

(

)

2 2 1 2 x-1 x-3 =5x 2 3x -3x+1=0 3 設方程式x + k+2 x+2k+1=0,的兩根相等 求, k=? Sol)

(5)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

(

)

( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

(

)

2 2 2 2 2 1 2 x-1 x-3 =5x 2x -13x+6=0 D= -13 -4 2 6 =121>0 ! - -13 121 -b D 12 11 1 x= = = x=6 2a 2 2 4 2 2 3x -3x+1=0 D= -3 -4 3 1 =9-12=-3<0 ! 3 x + k+2 x+2k+1=0, , k=? D=0 k        Q 方程式有兩實數解 或 故方程式無實數解 設方程式 的兩根相等 求 兩根相等

(

) ( )(

)

( )

2 2 2 +2 -4 1 2k+1 =0 k +4k+4-8k-4=0 k -4k=0 k k-4 =0 k=0 4    或 練習三:

( )

( )

( )

2 2 2 1 x -3x=3 2 2x +9x+15=0 3 設方程式ax +ax+2=0的兩根相等 試求, a=? Sol)

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

( ) ( )( )

( )

( )

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 1 x -3x=3 x -3x-3=0 D= -3 -4 1 -3 =21>0 ! - -3 21 3 21 x= = 2 1 2 2 2x +9x+15=0 D= 9 -4 2 15 =81-120=-39<0 ! 3 ax +ax+2=0 , a=? D=0

D=a -4a 2 =0 a -8a=0 a a-8 =0 a=0         Q 有兩實數解 方程式無實數解 設方程式 的兩根相等 試求 兩根相等 或 8

(

但 不合0

)

【根與係數的關係】 講解四: 2 α, β x +4x-9=0 設 為 的兩根 ,試求下列各式的值為何呢?

( )

2 2

( ) ( )( ) ( )

1   + 2 -3 -3 3  +  

(6)

Sol)

( )

(

) ( )( )

( ) ( )( )

(

)

( ) ( )

( )

(

)

( ) ( )

2 2 2 2 2 2 c -9 -b -4 = = =-9, + = = =-4 a 1 a 1 1 + = + = -9 -4 =36 2 -3 -3 = -3 + +9= -9 -3 -4 +9=12 + -2 -4 -2 -9 + 16+18 34 3 + = = = = =--9 -9 9                           原式 練習四: 2 α, β x +5x+3=0 設 為 的兩根 ,試求下列各式的值為何呢?

( )

1 1

( ) (

) ( ) ( )( )

2 1 + 2  - 3 -1 -1   Sol)

( )

( )

( ) (

)

(

)

(

)

(

)

( ) ( )( )

( ) ( )( )

(

)

( )

2 2 2 2 2 2 2 2 2 x +5x+3=0 + = -5 , =3 1 1 + -5 1 + = = 3 2 - = -2 + = + -2 = + -2 -2 = + -4 = -5 - 4 3 =13 3 -1 -1 = - - +1= - + +1=3- -5 +1=9                                 【十分鐘即時練習】 (C)1.請問(-3)是下列那一個方程式的根? (A)x2-3x=0 (B)3 x2=0 (C)x2+3x=0 (D)x2+3=0 Sol) (A)x2-3x=0,x(x-3)=0 ∴x=0 或 3 (B)3x2=0 ∴x=0,0 (C)x2+3x=0,x(x+3)=0 ∴x=0 或-3"-3 為 x2+3x=0 的解 (D)x2+3=0 無法求得 x 值 (A)2.若x2+8x=0,則x=?(A)-8,0 (B)8,0 (C)4,0 (D)-4,0 Sol)x2+8x=0,x(x+8)=0 ∴x=0 或-8 (A)3.若有一數a介於(5x-2)(x+2)=0的兩根之間,則a不可能是下列那一個數? (A)1 (B)-1 (C)- (D)0 Sol)∵(5x-2)(x+2)=0 ∴5x-2=0 或 x+2=0,得 x=2 5 或-2,兩根為 2 5 、-2 ∴a 介於-2 與2 5 之間,不可能為 1

(7)

(A)4.設a為實數,若方程式4x2-12x+(a-3)=0的兩根相等,則方程式ax2

13x+3=0的兩根為何?

(A) (B) 、1 (C) (D) 、1

Sol)∵4x2-12x+(a-3)=0 的兩根相等 ∴(-12)2-4.4(a-3)=0,144-16a+48 =0,a=12, 12x2 -13x+3=0,(4x-3)(3x-1)=0,∴x=34 、13 (D)5.下列那一個方程式的解為相異實根? (A)x2+4=0 (B)x2+6x+9=0 (C)x2-x+1=0 (D)x2+22x+1=0 Sol) 相異實根方程式之判別式 D>0 (A)0-4.1.4=-16<0 (B)36-4.1.9=36-36=0 (C)(-1)2-4.1.1=1-4=-3<0 (D)(22)2-4.1.1=8-4=4>0 能力二:一元二次方程式的應用 一元二次方程式應用問題的解題步驟: 【二元一次方程式的應用問題】 講解一: 二年 18 班的公佈欄長為 400 公分,寬為 300 公分,今天學藝股長要在其四周黏 上一條等寬的紙條當做框,如此會增加佈告欄面積的 12%,請問此紙條的寬為多 少公分呢? Sol)

(

)(

)

(

)(

)

(

) (

)

2 2 2 x 2x+400 2x+300 -400 300=400 300 12% 4x +600x+800x+120000-120000=14400 4x +1400x-1400=0, x +350x-3600=0 x-10 x+360 =0 x=10 -360 10           設紙條的寬為 公分 或 不合 紙條寬為 公分 設定未知數 (以 x 表示) 列出方程式 解方程式 判斷並作答 驗 算

(8)

練習一: 有三個連續正偶數,第一、第二兩數的積加上第二、第三兩數的積等於 392,試 問此三數為何呢? Sol)

(

) (

)(

)

(

)(

)

( )

2 2 2 2 2 x, x+2, x+4 x x+2 + x+2 x+4 =392 x +2x+x +6x+8=392 2x +8x+8=392 x +4x+4=196 x +4x-192=0 x-12 x+16 =0 x=12 -16 ! 12, 14, 16       →  假設此三數為 或 不合 此三數 【十分鐘即時練習】 (C)1.有一正方形,若將其一邊長減少3公分,另一邊長變為原邊長的2倍,則 所得新長方形的面積比原正方形的面積多7平方公分,則原正方形的邊 長為多少公分?(A)5公分 (B)6公分 (C)7公分 (D)9公分 Sol)設原正方形的邊長為 x 公分,則(x-3).2x=x2+7,2x2-6x=x2+7,x2-6x -7=0,(x-7)(x+1)=0,∴x=7 或-1(-1 不合), (D)2.設一直角三角形有一股長為24公分,斜邊長比另一股長的3倍多4公分, 則此三角形的面積為多少平方公分?(A)360平方公分 (B)260平方公分 (C)165平方公分 (D)84平方公分 Sol)設另一股長為 x 公分,則斜邊長為(3x+4)公分"(3x+4)2=x2+242 9x2+24x+16=x2+5768x2+24x-560=0,x2+3x-70=0,(x-7)(x+10)=0 ∴x=7 或-10(-10 不合)"面積為1 2 ×7×24=84(平方公分) (A)3.史老師出生於民國63年,經過3x年,正好是民國(x-3)2年,則x=? (A)15 (B)14 (C)13 (D)12 Sol)依題意得 63+3x=(x-3)2,x2-3x-54=0,(x-9)(x+6)=0 ∴x=9 或-6(- 6 不合) (B)4.一三角形,其底和對應高的比是4:5,若面積為90平方公分,則此三角 形的底和高相差多少公分?(A)4公分 (B)3公分 (C)2公分 (D)1公分 Sol)設底長為 4x 公分,高為 5x 公分,則1 2 .4x.5x=90,10x 2=90,x2=9 ∴x=±3(-3 不合),底長 12 公分,高為 15 公分 ∴底和高相差 3 公分 (B)5.已知一線段AB的長為10公分,今在AB上取一點P且AP<BP,分別以AP、 BP為直徑各作一圓,如果這兩圓的面積和為13(平方公分,則AP等於多少 公分?(A)3 (B)4 (C)5 (D)6

(9)

(x 2 )2π+( 10-x 2 )2π=13π, x2 4 + 100-20x+x2 4 =13, 2x2-20x+100=52,x2-10x+24=0,(x-6)(x-4)=0 ∴x=4(6 不合) 【基本觀念題】 (B)1.若 x 的二次方程式 x2+x-a=0 的一根的倒數為 2,則 a 的值為何? (A)2(B) 4 3 (C)- 4 3 (D) 3 4 。 Sol) x= 2 1 代入:( 2 1 )2 2 1 -a=0,∴a= 4 3 (D)2.若方程式(x-2)(3x+1)=0,則 3x+1 之值為何? (A)7(B)2(C)0(D)7 或 0。 Sol) (x-2)(3x+1)=0x=2 或- 3 1 ,∴3x+1=   3×2+1=7 3×(- 3 1)+1=0

(A)3.設 ab≠0,若 a、b 為一元二次方程式 x2+3ax+2b=0 的兩根,則 a+b=?

(A)-6(B)6(C)-3(D)3。

Sol) 利用根與係數 a+b=-3a,ab=2b ∴a=2,∴a+b=-32=-6

(C)4.設 a 為方程式 9x2-x+7=0 的解,b 為方程式 3x2+2x-2=0 的解,則

(9a2-a)(3b2+2b)的值為下列哪一選項?(A)-7(B)2(C)-14(D)14。 Sol) x=a 代入:9a2-a+7=0,∴9a2-a=-7

x=b 代入:3b2+2b-2=0,∴3b2+2b=2 ∴(9a2-a)(3b2+2b)=-72=-14 (B)5.方程式 3(x+1)2+5(x+1)(x-4)+2(x-4)2=0 的二根之積為何? (A) 3 1 (B) 2 3 (C)3 (D)-4 。 sol) 1 1 3 2╳ ,(x+1+x-4)(3x+3+2x-8)=0 (2x-3)(5x-5)=0,x= 2 3 或 1 =3 1=3 2 2  積  (A)6.三個連續正整數 3、4、5 滿足 32+42=52;五個連續正整數 10、11、12、 13、14 滿足 102+112+122=132+142。現在有七個連續正整數,其中 前 4 數的平方和等於後 3 數的平方和,則此七數中最大數為何? (A)27(B)28(C)29(D)30。 Sol) 設七數為 x-3,x-2,x-1,x,x+1,x+2,x+3 則(x-3)2+(x-2)2+(x-1)2+x2 =(x+1)2+(x+2)2+(x+3)2 x2-24x=0 x(x-24)=0,x=24 或 0(不合),∴最大 24+3=27 (B)7. 耀則、正揚兩人利用公式同解一個一元二次方程式,耀則算錯判別式其

(10)

2 4 -16 15 0 2 -3 x x+ =

(

)(

)

3 5 2 - 3 2 - 5 0, 2 2 2 -5 -10 - 6 -16 x x x or  = = = 餘均沒錯,得兩根為 3,-4,正揚看錯 x 項係數,其餘均沒錯,得兩 根為 2,-1,則原方程式兩根和為多少? (A)-2(B)-1(C)0(D)1。 Sol) 耀則:看錯判別式即算錯常數 (x-3)(x+4)=0,x2+x-12=0 正揚:(x+1)(x-2)=0,x2-x-2=0 ∴正確方程式:x2+x-2=0 ∴兩根和為-1 (C)8.若方程式 x2-30x+k=0 之兩根都是質數,則下列何者可為 k 的值? (A)29(B)81(C)209(D)319。 Sol) 30=7+23=11+19=13+17,∴k=723=161,1119=209,1317 =221 (B)9.若 a 與 b 為兩個不同的正整數,且 a2-b2=48,則 a+b 的最小值為多少? (A)6(B)8(C)10(D)12。 Sol) a2-b2=48(a+b)(a-b)=48 ∴a+b 與 a-b 均為偶數   a+b=24 a-b=2 或 a+b=12 a-b=4 或 a+b=8 a-b=6,故 a+b 最小值 8 (C)10.王老先生有兩塊農地分別由兩個長方形重疊而成,且重疊部分(如圖中 陰影)為正方形,已知農地總面積為1003平方公尺,若陰影部分闢成水 池,則此水池的邊長為多少公尺?(A)13公尺 (B)12公尺 (C)11公尺 (D)10公尺 Sol)設正方形邊長 x 公尺 (14+x)(9+x)+(13+x)(15+x)-x2=1003,126+23x+x2+195+28x+x2-x2=1003, x2+51x-682=0,(x-11)(x+62)=0,∴x=11(-62 不合) 【溫故歷屆基測試題】 (A)1.下列哪一個選項為方程式 4x2-16x+15=0 的兩根? (A) 2 3 、 2 5 (B) 2 3 、- 2 5 (C)- 2 3 、 2 5 (D)- 2 3 、- 2 5 。【95.基測一】 Sol)

(11)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 若 , 則 為 的平方根, 為 - 29 247的一根, - 29 247, - 29 是247的平方根 m n m n b x b b =  = = 

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 2 3 3 2 2 2 2 2 3 - 6 0, - 6 - , - 6 3 3 - , - 3 9 - 與 - 7比較, 2, 2代入, - 6 2, - 6 0, - 6 3 0 3 , - 3 9 x x b x x b x x b x b x a a b x x b x x x x x + = = + = = = = = + = = + = + = (D)2.若 a、b 為方程式(x-29)2=247 的兩根,則下列敘述何者正確? (A) a 為 247 的平方根(B) a+b 為 247 的平方根(C) a+29 為 247 的平方 根(D) 29-b 為 247 的平方根。【95.基測一】 Sol) (C)3.已知方程式( 3 x -1)(x+2)=0 的兩根為 a、b,其中 a>b,則下列哪 一個選項是正確的? (A) 3a=-6 (B) 2b=6 (C) a+b=1 (D) a- b=-1。【95.基測二】 Sol) 3-1 0, 3, 2 0, -2, , 3, -2 x x x x a b a b = = + = =  = = Q (B)4.已知方程式 x2-5625=0 的兩根為±75,則下列何者可為方程式 x2+6x- 5616=0 的解? (A) x=69 (B) x=72 (C) x=77 (D) x=81。【95. 基測二】 Sol)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 6 - 5616 0, 3 - 5616 - 9 0, 72 3 - 5625 0, 3 5625, 3 75, -78 x x x x x x x + = + =  + = + = + =  = 

(C)5.若 a、b 為方程式 x(3x+7)=0 的兩根,且 a>b,則 b-a=? (A) 7 3 (B) 3 7 (C)- 7 3 (D)- 3 7。【94.基測一】

Sol)由x 3x+7 =0得x=0或

(

)

-7, 又兩根為a,b且a>b, a=0, b=-7

3  3 (B)6.已知 x2-6x+b=0 可配方成(x-a)2=7 的型式。請問 x2-6x+b=2 可 配方成下列何種型式? (A)(x-a)2=5 (B)(x-a)2=9 (C)(x -a+2)2=9 (D)(x-a+2)2=5。【94.基測二】 Sol) N N 10N

(12)

2 2 2 由 1 680, 1 680 26.077 5 5 2 26.077 -1, 又 , 為兩根,且 , 5 2 2 26.077 -1 25.077, -26.077 -1 -27.077 5 5 x x x a b a b a b  += + =  =       =    = = = = 程式( 2 5x+1) 2=680 (D)7.已知 a、b 為方 >b,利用如表,求 2 5 的兩根,且 a a- 2 5b 之值 最接近下列哪一數? (A) 0 (B) 2 (C) 37 (D) 52。【94.基測二】 Sol) (B)8.利用配方法將 4x2+8x+a 化成 b(x+c)2+3 的形式,則 a+b+c=? (A) 9 (B) 12 (C) 13 (D) 25。【93.基測二】 Sol)

(

)

( )

( )

2 2 2 原式=4 x +2x +a=4 x+1 -4+a=b x+c +3 a=3+4=7, b=4 ,c=1 a+b+c=12  

(D)9.若一元二次方程式 x2-2x-323=0 的兩根為 a、b,且 a>b,則 2a+b

=? (A)-53 (B) 15 (C) 55 (D) 21。【92.基測二】 Sol)

( )

( )

2 2 2 x -2x=323, x -2x=323+1, x-1 =324, x-1 = 18, x=1 18 , x=19 或 -17  2a+b=2 19-17=21 (B)10.樂樂以配方法解 2x2-bx+a=0,可得 x- 2 3 =± 2 15 ,求 a=? (A) -6 (B)-3 (C) 6 (D) 3。【91.基測二】 Sol) 2 2 2 2 3 15 3 15 9 15 - - - 3 - 0 2 2 2 4 4 4 3 - 3 - 0 2 - 6 - 3 0 -3 2 x x x x x x x x a   =   =  + =    =  =  = (C)11.對於方程式(2x+5)(x+1)=(3x-2)(x+1)根的敘述,下列何者 正確? (A)方程式只有一根,而且這個根是正數(B)方程式有兩根, 而且兩根的正、負號相同(C)方程式一根為正數,一根為負數(D)方程 2 1.414 4.472 5 2.236 7.071 34 5.831 18.439 68 8.246 26.077

(13)

( )

( )

( ) (

)

( )

( )

( )(

)

2 2

2 2

阿珠:

a-5 +25=89, a-5 =64, a-5= 8, ∴ a=13, -3 負不合 阿花: b-5 +25=146, b-5 =121, b-5= 11, ∴ b=16, -6 負不合 a+b=13+16=29  

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

4 2 1 2 2 2 2 x+1 -11 x+1 +15=0 2 x+1 -5 1 -3 =0, 5 10 x+1 = x+1 =3 x+1= x+1= 3, 2 2 10 x=-1 x=-1 3 -1+ 3 2          或 或 或 其中最大根 式無解。【91.基測一】 Sol)

( )( )

2 3 2 2x +7x+5=3x +x-2 -x +6x+7=0 x+1 x-7 =0, x=-1, 7   (D)12.小風想用一個遊戲的方法問出兩位朋友的年齡。他說:「將你的年齡, 先減 5 ,再平方,最後加上 25。所出現的數字將會是你今天的幸運數 字喔!」 阿珠說:「我是 89 吔!」 阿花說:「我的是 146!」 若阿珠的年齡是 a,阿花的年齡是 b,則 a+b 的值會落 在下列哪一個範圍內? (A) 18≦a+b<21 (B) 21≦a+b<24 (C) 24≦a+b<27 (D) 27≦a+b<30。【91.基測二】 Sol) 【模擬學力基測試題】 (D)1.方程式2 x+1 -11 x+1 +15=0

(

)

4

(

)

2 的所有根中,最大者為何呢?(A)1- 3 (B)1+ 3 (C) -1- 3 (D) -1+ 3 。 Sol) (B)2.請利用配分法解 x 的方程式: 2

(

)

ax +2bx-a=0 a 0 ,其根為何呢?(A) 2 2 b a -b a  (B) 2 2 -b a +b a  (C) 2 b b -2ac -2a  (D) 2 -b b -4ac 2a  。 Sol)

(14)

2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2b 2b b b ax +2bx-a=0 x + x=1 x + x+ =1+ a a a a b a +b b a +b -b a +b x+ = x+ = x= a a a a a          (B)3.七個連續正整數由小至大分別為 a、b、c、d、e、f、g,且 2 2 2 2 2 2 2 a +b +c +d =e +f +g ,請問 a 值為何呢?(A)19(B)21(C)23 (D)25。 Sol)

( ) ( ) ( )

(

) (

) (

)

( ) ( ) ( )

(

) (

) (

)

(

)

2 2 2 2 2 2 2 2 x-3 , x-2 , x-1 , x, x+1 , x+2 , x+3 x-3 + x-2 + x-1 + x = x+1 + x+2 + x+3 , x -24x=0, x= 0 24 x0  a=x-3=24-3=21 設七個連續正整數為 或 (C)4.已知 a、b 為常數,x 的二次方程式 2

(

)

2 x -a 3x-2a+b -b =0 ,的兩根之和為 何呢?(A)a(B)2a(C)3a(D)4a。 Sol)

( )(

)

(

)(

)

2 2 2 2

x -3ax+2a -ab-b =0, x -3ax+ a-b 2a+b =0, x-a+b x-2a-b =0, x=a-b 或 2a+b 兩根之和=3a (A)5.假設方程式 2 2x +5x+1=0,的兩根為 a、b,請問 a + b 之值為何呢?(A) 5 2(B) -5 2 (C) 2 5(D) -2 5 。 Sol) 2 -5 17 5- 17 5+ 17 5 2x +5x+1=0 x= a + b = + = 4 4 4 2                (D)6.下列哪一個一元二次方程式無解呢?(A) 2 2x +3x-4=0(B) 2 x -x-1=0(C) 2 x +3x+1=0(D) 2 3x -4x+3=0。 Sol) 3x -4x+3=02 D= -4

( ) ( )( )

2-4 3 3 =16-36=-20<0 無解 (C)7.方程式

(

2

)

2 3 x +1 =2x -6x+12之兩根為 a、b,則 2 2 a +b 的值為何呢?(A) 35(B)45(C)54(D)63。 Sol)

(15)

(

)

( ) ( )(

2

)

2 k 2x -5x+ 2+k D= -5 -4 2 2+k =0 9 25-16-8k=0 9-8k=0, k= 8   設再加上 能成為完全平方式

(

)

( )

2 2 5 x y+1 =5 x= y+1 5 x y+1 5 5 5 1 = = = = = 1:4

y+1 y+1 y+1 y +2y+1 19+1 4   

(

)

(

) (

)

2 2 2 2 2 2 2 3 x +1 =2x -6x+12 x +6x-9=0 x=-3 3 2, a +b = -3+3 2 + -3-3 2 =9-18 2 +18+9+18 2 +18=54    (B)8.下列哪一點在直線 y=- 2x+2 的圖形上呢?(A)

(

3, 0 (B)

)

(

2, 0 (C)

)

(

0, 2 (D)

)

(

0, 3 。

)

Sol)將x= 2 , y=0 代入0=- 2 2+2=-2+2=0 (D)9.一元二次多項式 2 2x -5x+2需要再加上下列哪一個數之後才會形成完全平 方式呢?(A)1 8(B) 3 8(C) 7 8(D) 9 8。 Sol) (B)10.若 1- 2 為 x2-(a+1)x-a=0 的一根,則 a=? (A)-1(B)1(C) -1- 2 (D)-1+ 2 。 Sol) 一根 1- 2 ,則另一根 1+ 2,由根與係數:(1- 2)+(1+ 2)=2 (1- 2)(1+ 2 )=-1,∴方程式為 x2-2x-1=0 與 x2-(a+1)x-a=0 比 較,a+1=2,a=1 【進階練習題】 (B)1.若 2

( )

xy+x=5且y +2y=19, 請問x : y+1 =?(A)4:1(B)1:4(C)3:4 (D)4:3。 Sol) (C)2.若 2 y=kx -2x+1的圖形 與 x 軸不相交,請問 k 值的範圍?(A)k>-1(B) k>0(C)k>1(D)k>2。 Sol)

( ) ( )( )

2 2 2 y=ax +bx+c x y=0 D=b -4ac<0 -2 -4 k 1 <0 k>1    二次函數 的圖形與 軸不相交 (D)3.若方程式 2 x +mx+n=0,其中 m 及 n 為正數,若方程式的兩根差為 1,請 問 m 值為何呢?(A)n+1(B)n-1(C) 4n-1(D) 4n+1。

(16)

Sol)

(

)

(

)

(

) (

)

(

)

(

)

(

)

2 2 2 2 + +1 =-m m = +2 +1 + +1 =2 +1 +2 +1 =1 +1 =n m =2n+2n+1=4n+1 m= 4n+1                    負不合 (A)4.設 a、b、c 皆為實數,若 1 為 2 x +ax+2=0的一根,且 a、b 為 2 x +5x+c=0 的兩根,請問 3a+2b+c 的值為何呢?(A)-7(B)-5(C)5(D)7。 Sol) 1 1 +a+2=0 a b=c a=-3, b=-2, c=6 3a+2b+c=-7 a+b=-5         (D)5.設方程式 3x2-6x-1=0 的正根為 a,方程式(3x-5)(x+2)=42 的 負根為 b,則下列何者正確? (A)b=-4(B)a= 3 3 2 3+ - (C)a+b= 3 3 2 16+ - (D)a-b= 3 3 2 16+ 。 Sol) 3x2-6x-1=0,x= 3 3 2 3  ∴a= 3 3 2 3+ 3x2+x-52=0(x-4)(3x+13)=0,x=4,- 3 13 ∴b=- 3 13 a+b= 3 3 2 3+ - 3 13 = 3 3 2 10+ - ,a-b= 3 3 2 3+ + 3 13 = 3 3 2 16+ (A)6.解方程式(x+1)2+│x+1│-6=0,可得 x 的值之和為何呢?(A)-2 (B)0(C)2(D)4。 Sol)│x+1│2+│x+1│-6=0,(│x+1│-2)(│x+1│+3)=0 │x+1│=2 或-3(不合),∴x+1=2,故 x=1 或-3,x 的和為-2。 (D)7.利用配方法,將 x 的一元二次方程式-2x2-4x+1=0 改寫成-2(x-h) 2+k=0 型式,則 h×k=?(A)-1(B)0(C)-2(D)-3。 Sol) -2x2-4x+1=0,-2(x2+2x+1)+3=0,-2(x+1)2+3=0 ∴h×k=-1×3=-3 (D)8.設α、β是二次方程式 x2+4x-3=0 的兩根,則以 α 2 、 β 2 為兩根的二次 方程式為何呢?(A) 3 -3x +8x=4(B) 3 -3x -8x-4=0(C) 3 3x -8x=-4(D) 3 3x -8x-4=0。 Sol) 由根與係數:α+β=-4,αβ=-3,∴ α 2 + β 2 αβ (α+β) 2 3 4 2 - ) (-  = 3 8 α 2 β 2 = αβ 4 = 3 4 - =-3 4 ,∴方程式為 x2 3 8 x- 3 4=0,即 3x2-8x-4=0

(B)9.設 a、b、c 是△ABC 之三邊長,(a+b)x2+2cx+(a-b)=0 有等根,

(17)

腰三角形(D)鈍角三角形。

Sol) D=(2c)2-4(a+b)(a-b)=0,4c2-4a2+4b2=0,即 a2=b2+c2∴為直角△

(C)10.柯南向中花商銀借款 6400 元,言明以年利率 x%計息,如果兩年後他 連本帶利還給中花商銀 7056 元的話,請問每年利率是多少%?(A)7% (B)6%(C)5%(D)4%。 Sol) 6400(1+ 100 x )2=7056(1+ 100 x )2 6400 7056 = 400 441 ∴1+ 100 x = 20 21 ,∴ 100 x = 20 1 或- 20 41 (不合) ∴x=5%。

數據

Updating...

參考文獻

Updating...

相關主題 :