第六章 相似形

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6.1 ּͧ

前面，我們學習了全等圖形。兩個全等圖形的形狀相同，大 小也相同，它們能夠完全重合。我們還常見到這樣的一些圖形， 如大正方形與小正方形；圖 6-1 中是兩幅大小不同的地圖。這些 圖形大小雖然不同，但形狀卻是相同的。 為了研究這些形狀相同的圖形之間的關係，我們須要先研究 比例與比例線段。 在小學裡，我們學過比例，就是兩個比相等的式子。如 80 240 2 = 6 或 80：2 = 240：6 如果用字母來表示數，那麼比例可以寫成如下的形式(只研究 所有字母都不等於零的情形)： a c b = 或 a：b = c：d d 在比例中，a、d 叫做比例外項，b、c 叫做比例內項，d 叫做 a、b、c 的第四比例項。如果比例中兩個比例內項相等，即比例 為 圖 6-1

a b b = 或 a：b = b：c c 時，我們把 b 叫做 a 與 c 的比例中項。 在比例 a c b = 的兩邊同乘以 bd，得到 d ad =bc 這個推理步驟就是： ∵ a c b = d ∴ ad =bc 為了簡明，可以把這個推理步驟寫成 a c ad bc b = ⇒d = (1) 符號「⇒ 」讀作「推出」。 在等式 ad =bc的兩邊同除以 bd，又得到 a c b = ，即 d ad bc a c b d = ⇒ = (2) (1)、(2)式合起來表明 a c b = 與 ad bcd = 可以互相推出，它是 比例的基本性質。 比例的性質定理 a c ad bc b = d ⇔ = 。 符號「⇔ 」讀作「等價於」。它表示從左端可以推出右端， 並且由右端也可以推出左端。 推論 a b b2 ac b = ⇔c = 。 根據比例的性質定理，一個比例可以得出多種不同的比例變 形，例如， a c b d ad bc bc ad b = ⇒d = ⇒ = ⇒ = a c

由於 ad =bc可以寫成 bc = ad、ad = cb、cb da= 、…等七種 形式，所以由 a c b = 又可以得出d b d a = 、c a b c = 、d c a d = 、…等七b 種不同的形式。 【ּ 1】 依據下列各式，求 a：b (1) 3a = 4b； (2) 5 7 a _{= 。} b

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ྋ !!! (1) 3 4 4 3 a a b b = ⇒ = ； (2) 5 5 7 7 a b a b = ⇒ = 。 下面，我們再學習比例的兩個重要性質。 1. 合比性質 a c a b c d b d b d ± ± = ⇒ = 證明： a c a 1 c 1 a b c d b d b d b d ± ± = ⇒ ± = ± ⇒ = 。 2. 等比性質 ( 0) a c m a c m a b d n b d n b d n b + + + = = = + + + ≠ ⇒ = + + + 證明： 設 a c m k b = =d = n = ，那麼 a bk= 、c = dk、…、m nk= 。 a c m bk dk nk (b d n k) k a b d n b d n b d n b + + + + + + + + + = = = = + + + + + + + + +

【ּ 2】 (1) 已知： 3 8 a b b − _{= 。求證：} 11 8 a b = ； (2) 已知： a c (b d 0) b = d ± ≠ 。求證： a c b d a c b d + ₌ + − − 。 證明： (1) 3 3 8 11 8 8 8 a b a b b a b b b − − + + = ⇒ = ⇒ = ； (2) a c a a c _{b d b} a c a c a c a b d b d b d b d b + ⎧ ₌ ⎫ ⎪ ⎪ _{+ −} ⎪ + ⎪ = ⇒ _{⎨ ⎬}⇒ = − + − ⎪ ₌ ⎪ ⎪ ₋ ⎪ ⎩ ⎭ a c b d a c b d + + ⇒ = − − 【ּ 3】 已知： a c e 3 b = =d f = 、b+ + = 。求 a c ed f 4 + + 。

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ྋ !!! a c e 3 a c e 3 b d f b d f + + = = = ⇒ = + + ! 3( ) 4 3 4 12 a c e b d f b d f a c e ⇒ + + = + + ⎫ ⎬ + + = ⎭ ⇒ + + = × =

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1. 求下列各式中的 x： (1) 4：x = 3：5； (2) (x+ ：x = 11：9； 2) (3) 3：x = x：12； (4) 1：x = x：(1− 。 x) 2. 已知 a c b = 。寫出其它七個比例式，並指出其中哪些是以 ad 與 d 為外項、以 b 與 c 為內項的比例式，哪些是以 b 與 c 為 外項、以 a 與 d 為內項的比例式。

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3. 求下列各式中的 x：y (1) 3y = 4x； (2) 3：2 = y：x； (3) 7：x = 4：y； (4) m：y = n：x； (5) (x+ y)：y = 8：3； (6) (x− y)：y = 1：2。 4. 已知 h 是 e、f、g 的第四比例項，寫出比例式。 5. 已知 5 7 a c e b = =d f = 。求 2 7 2 7 a c e b d f − + − + 。 6. (口答)： (1) a b 是不是等於 2 2 a b ？為什麼？ (2) 從a c b = 能不能得出d 2 2 2 2 a c b = d ？為什麼？ 7. 從下面兩個比例可以推出什麼結果： (1) b：a = c：b； (2) b：a = b：c。

6.2 ּͧቢ߱

我們先來研究兩條線段的比。 在同一單位下，兩條線段長度的比叫做這兩條線段的比。兩 條線段 AB、CD 的比值為 k 時，可以記作： AB k CD = 或 AB：CD = k 因為線段的長度是一個正量，所以兩個正數的比值一定是正數。 例如，課本的封面相鄰兩邊 a、b 的長度分別是 18.5 cm 與 13 cm， 那麼 18.5 37 13 26 a b = = 或 a：b = 18.5：13 = 37 26

如果改用 m、mm 作為線段的長度單位，那麼 a：b = 0.185：0.130 =37 26 a：b = 185：130 =37 26 由此可知：兩條線段的比與所採用的長度單位沒有關係。因 此，下面討論線段的比時，一般不指明長度單位。但如果遇到給 出的線段長度使用不同單位時，要先化成同一單位。 如圖 6-2，分別度量兩個矩形的長 a 與 b、寬 c 與 d，得 3 cm a = 、b =12 mm、c = 2 cm、d =8 mm 。 改用 mm 為單位，得a =30mm、c =20mm。可得 30 2.5 12 a b = = 、 20 2.5 8 c d = = 於是得 a c b = 或 a：b = c：d d 在四條線段 a、b、c、d 中，如果 a 與 b 的比等於 c 與 d 的 比，那麼，這四條線段叫做成比例線段或簡稱比例線段。 【ּ 1】 兩地的實際距離是 250 m，畫在一份地圖上的距離(圖距) 是 5 cm，圖距與實際距離的比(0.05：250)就是比例尺 ( 1 5000 )。在這樣的地圖上，圖距a = cm 的兩地 A、B，8 實際距離是多少 m？ 圖 6-2 c b a d

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ྋ !!! 根據題意 1 5000 a AB = ∴ 5000AB = a = 40000 (cm)= 400 (m) 答：A、B 兩地的實際距離是 400 m。 【ּ 2】 已知線段 AB l= ，C 是 AB 上的 一點(圖 6-3)，且 AC 是 AB 與 BC 的比例中項，求 AC 的長。

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ྋ !!! 設 AC = ，那麼 BC AB AC l xx = − = − 。因為 AC 是 AB 與 BC 的比例中項，得 2 2 2 ( ) 0 x l l x x lx l = − + − = 解得 2 2 4 2 l l l x = − ± + ₁ 1 5 2 x = − + l 、 ₂ 1 5 2 x = − − l (不合題意) 即 1 5 0.618 2 AC = − + l ≈ l。 把一條線段(AB)分成兩條線段，使其中較大的線段(AC)是原 線段(AB)與較小的線段(BC)之比例中項，叫做把這條線段黃金分 割。 在一條線段 AB 上截取這條線段的 0.618 倍得點 C，點 C 就 是線段 AB 的黃金分割點(近似)。我們也可以根據勾股定理，利 用尺規作圖做出 2 2 ( ) 2 l l + ，再作出一條線段的黃金分割點。作 法如下： 1. 過點 B 作 BD ⊥ AB，使 1 2 BD = AB(圖 6-4)。 2. 連結 AD，在 AD 上截取 DE = DB。 圖 6-3 B A C

3. 在 AB 上截取 AC = AE。點 C 就是所求的黃金分割點。 這是因為， 2 2 2 ( ) 2 2 5 2 2 5 1 2 AC AE AB AD AB AB AB AB AB AB = = − = + − = − − =

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1. 延長線段 AB 到 C，使 BC = AB。求

(1) AC：AB； (2) AB：BC； (3) AC：BC。

2. 求正方形的對角線與它一邊的比值： (1) 用根式表示； (2) 精確到 0.1； (3) 精確到 0.001。 3. (口答) 如圖所示的三個矩形中，那兩個矩形的長與寬是成比 例的線段？ 4. 已知：線段 1 7 a = cm、b= cm、4 c = 28 2 cm。求 a、b、c 的 第四比例項。 圖 6-4 B A C E D (第 3 題) 6 8 4 8 4.5 6

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5. 已知：如圖， AD AE DB = EC 、 AD =15、 40 AB = 、 AC =28。求 AE 的長。

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1. 煙囪高 30 m，影長 20 m；竿高 1.5 m，影長 1 m。物高與影 長成比例嗎？ 2. (1) 求等腰直角三角形的直角邊與斜邊之比； (2) 求正三角形的高與邊長之比。 3. 把下列各式寫成比例的形式： (1) mn = pq； (2) a2 =bc； (3) x bc a = 。 4. 已知 a c b = 。 d (1) 用 b、c、d 表示 a； (2) 用 a、c、d 表示 b。 5. 圖紙上畫出的某個零件之長是 32 mm，如果比例尺是 1：20， 這個零件實際的長度是多少？如果比例尺是 5：1 呢？ 6. 在相同時刻的物高與影長成比例。如果某建築物在地面上的 影長為 50 m，同時，高為 1.5 m 的測竿之影長為 2.5 m，那麼 建築物的高是多少 m？ (第 5 題) A E D C B

7. 在兩個比例式 a c b = 與d a c b d ′ ′ = ′ ′中，如果 a = 、b b′a′ = 、c c′= ， 那麼 d 與 d′ 是不是相等？為什麼？ 8. 已知： 2 3 4 x _{= = 。求} y z (1) x y z x + + ； (2) x y z x y z + + + − ； (3) y z x z x y + − + − 。 9. 已知 x：y：z = 3：4：5， x+ − = 。求 x、y 與 z 。 y z 6 (註：x：y：z = 3：4：5 是 x：3 = y：4 = z：5 的另一種寫法。) 10. (1) 求證： a c a b c d b d a b c d + + = ⇒ = − − ； (2) 求證： a c a c b = ⇒d a b+ = c+d 。 11. 如圖，△ABC 中，DE//BC 、 AH ⊥ BC、 AH 交 DE 於 點 G 。 已 知 AG AH DE = BC 且 12 DE = 、BC =15、GH = 。求高 AH。 6 12. (1) 已知：a = cm、4 b = cm、6 c = cm。3 求 a、b、c 的第四比例項 d； (2) 已知：a = 2.4cm、c = 5.4cm。求 a 與 c 的比例中項 b； (3) 已知：線段a = 、1 5 1 2 b = − 、 3 5 2 c = − 。求證：線段 b 是 a 與 c 的比例中項。 13. 已知：如圖， AE CF EB = FD 。依據比例的性質證明： (1) AE EB CF = FD； (2) AB CD EB = FD ； (3) AB AE CD = CF 。 14. 已知：如圖， 3 2 AD AE DB = EC = 。求 AB DB 、 EC AE 、 AB AD 、 EC AC 。 (第 11 題) B C A D H G _E

15. 已 知 ： 如 圖 ， AB BD AC = DC 。 AB = 2.8 cm 、 BC =3.6 cm 、 3.5 AC = cm。求 BD、DC。 16. 已知：在四邊形 ABCD 與 A B C D′ ′ ′ ′ 中， 2 3 AB BC CD DA A B′ ′ = B C′ ′ = C D′ ′ = D A′ ′ = 、AB+ BC +CD+ DA=13.6cm。 求 A B′ ′+ B C′ ′+C D′ ′+ D A′ ′。

6.3 πҖቢ̶ቢ߱јּͧؠந

在四邊形一章裡，我們學過平行線等分線 段定理。如圖 6-5，l₁ //l₂ //l ，如果 AB₃ = BC， 那麼 DE = EF 。 由於 AB 1 BC = 、 1 DE EF = ，我們可得比例： AB DE BC = EF 這就是說，平行線等分線段時，分得的線段成比例。 下 面 我們來 研 究平行 線 不等分 線 段的情 形 。如圖 6-6 ， 1 // 2 // 3 l l l ，如果 AB ≠ BC，那麼四條線段 AB、BC、DE、EF 是否 也有比例關係。 (第 13 題) (第 15 題) A B C D F E (第 14 題) A B C E D A B C D 圖 6-5 F E 1 l D C 2 l 3 l B A

以 B 為起點，在 BA 上順次截取與 BC 相等的線段，有以下 幾種可能情形： (1) 如果截取 3 次正好截盡，這些分點與點 B 四等分線段 AC (圖 6-6 (甲))，這時 AB 3 BC = 。經過分點分別作l′ 、 l′′ 平行l 。1 根據平行線等分線段定理， l′ 、 l′′ 與l 也 等 分 線 段 DF ，即₂ 3 DE = EF ， DE 3 EF = 。這就得到 AB DE BC = EF (2) 如果截取 3 次後還剩餘一條小於 BC 的線段 GA(圖 6-6 (乙))，那麼再以 G 為起點，在 GA 上順次截取等於 10 BC 的線段， 截 4 次正好截盡，這時 AB 3.4 BC = 。運用(1)中那樣作平行線的方 法，可以得到 DE 3.4 EF = ，因此也有 AB DE BC = EF (3) 如果 AB 3.47 BC = ，同樣有 3.47 DE EF = ；如果 3.476 AB BC = ， 也有 DE 3.476 EF = ； 3.476 AB BC = ，那麼，也有 3.476 DE EF = 。 圖 6-6 (甲) A B F E 1 l D C 2 l 3 l l′ l′′ a b C (乙) B A F E 1 l D 2 l 3 l a b G

這樣，對於 AB BC 是任何實數，都可得 AB DE BC = EF 利用合比性質，可得 AB DE AC = DF 這樣，我們就得到 平行線分線段成比例定理 三條平行線截兩條直線，所得的 對應線段成比例。 如 圖 6-7 ， 在 △ ABC 中 ， 已 知 // DE BC ，過點 A 作MN // DE ，依據上 述定理得： AD AE DB = EC 或 AD AE AB = AC 這樣，就得到 推論 平行於三角形一邊的直線 截其它兩邊，所得對應線段成比例。 利用比例的性質，從推論還可得到圖 6-7 中對應線段的各種 比例。例如 AD DB AB AE = EC = AC 等。 【ּ 1】 作已知線段 a、b、c 的第四比例項。 已知： 線段 a、b、c。 求作： 線段 x，使 a：b = c：x。 圖 6-7 A B C E D N M 圖 6-8 A B C O D N M c b a x c b a

作法： 如圖 6-8。 1. 作以點 O 為端點的射線 OM 與 ON。 2. 在 OM 上依次截取 OA a= 、 AB b= ； 在 ON 上截取 OC = 。 c 3. 連結 AC。過點 B 作BD// AC ，交 ON 於 點 D。 CD 就是所求的線段。 證明： 略。 【ּ 2】 平行於三角形的一邊，並且與其它兩邊相交的直線，所 截得的三角形之三邊與原三角形三邊對應成比例。 已知： △ABC 中，DE//BC ，分 別交 AB、AC 於 D、E (圖 6-9)。 求證： AD AE DE AB = AC = BC 。 分析： 由上一節定理的推論可 以直接得到 AD AE AB = AC DE BC 中的 DE 不在△ABC 的邊 BC 上，我們不能直接利 用前面所學的定理。但從比例 AD DE AB = BC 可以看出，除 DE 外，其它線段都在△ABC 的邊上，因此，我們只要 將 DE 移到 BC 邊上去，得到 CF = DE ，然後再來證明 AD CF AB = BC 就可以了。這只要過點 D 作DF // AC ，交 BC 於點 F，CF 就是平移 DE 所得的線段。 證明： 過點 D 作DF // AC ，交 BC 於點 F。 圖 6-9 A B C E D F

// // // DE BC DE FC AD DE DF AC AB BC AD FC DF AC AB BC ⎫ ⎫ ⇒ = ⎬ _⎪⎪ ⎭ _{⎬⇒ =} ⎪ ⇒ = ⎪⎭ DE// BC AD AE AB AC ⇒ = ∴ AD AE DE AB = AC = BC

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1. 已 知 ： 如 圖 ， l₁ //l₂ //l 。₃ 3 AM = cm 、 BM = cm 、5 4.5 CM = cm、EF =15cm。求 DM、EK、FK 的長。 2. 已知：線段 a、b。 求作：線段 a、b 的第三比例 線段(即求 x，使 a：b = b：x)

3. 平行於△ABC 的邊 BC 之直線，與另兩邊 AB、AC(或 BA、CA) 的延長線相交於點 D、E，畫出圖形，並說出圖中所有的成比 例線段。 4. 已知：如圖 6-9，DE//BC 、DF // AC 。判斷下列比例是否正 確，不對的加以改正： (1) AD DE BD = BC ； (2) AE BF EC = FC ； (3) DF DE AC = BC 。

6.4 ˬ֎ԛ˘ᙝ۞πҖቢ̝ҿؠ

上一節我們研究了平行於三角形一邊的直線截三角形另兩 邊所得的對應線段成比例。下面，我們來研究它的逆命題是否成 立。 (第 1 題) M K F E 1 l D C 2 l 3 l B A

如圖 6-10，在△ABC 中， AD AE AB = AC ，那麼 DE 與 BC 是不是 平行呢？ 以前，我們判定兩條直線平行，一般要用到角相等或線段相 等，但現在的問題裡沒有這樣的條件。所以需要考慮另外的途徑。 我們來看，假如在已知條件下 BC 與 DE 不平行會發生什麼情況。過點 B 作直線 // BC′ DE，交直線 AC 於點 C′ 。這時 C′ 與 C 是不同的兩點，因而 AC′ ≠ AC 。但是， // AD AE BC DE AB AC AC AC AD AE AB AC ⎫ ′ ⇒ = _⎪⎪ ′ _{⇒ ′=} ⎬ ⎪ = ⎪⎭ 這樣就出現 AC′ ≠ AC 與 AC′ = AC 兩種相矛盾的結果。出現 矛盾的原因就是我們作了假設 BC 與 DE 不平行造成的，這說明 我們所做的假設是錯誤的。因此，BC //DE 。由此得到下面的定 理： 定理 如果一條直線截三角形的兩邊，其中一邊上截得的 一條線段與這邊與另一邊上截得的對應線段與另 一邊成比例，那麼，這條直線平行於第三邊。 根據比例的性質，我們很容易得到下面的結論： 推論 如果一條直線截三角形的兩邊所得之對應線段成 比例，那麼這條直線平行於三角形的第三邊。 例如，圖 6-10 中，如果 AB AC AD = AE 或 AD AE DB = EC，則DE// BC 。 【ּ】 已知： 如圖 6-11， AB// A B′ ′、BC //B C′ ′。 求證： AC // A C′ ′ 。 圖 6-10 A B C E D C′

證明： // // OA OB AB A B OA OB OC OB BC B C OC OB ⎫ ′ ′ ⇒ = _⎪⎪ ′ ′ ⎬ ⎪ ′ ′ ⇒ = ⎪ ′ ′⎭ OA OC AC// A C OA OC ′ ′ ⇒ = ⇒ ′ ′

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1. 一條直線交△ABC 的邊 AB 於點 D，交 AC 邊於點 E。如果 (1) AD = cm、3 BD = cm、4 AE =1.8cm、CE = 2.4cm； (2) AB = cm、11 BD = cm、6 AC = 4.4cm、 AE = 2.1cm； DE 與 BC 是否平行？

2. D、E 分別是△ABC 兩邊 AB、AC 上的 點，哪些線段成比例能推出 DE//BC ？ 3. 已知：如圖， OA OB OA′ = OB′ 。 求作： A∠ = ∠ 、 BA′ ∠ = ∠ 。 B′

6.5 ˬ֎ԛ֎π̶ቢ۞ّኳ

三角形內角平分線性質定理 三角形的內角平分線分對邊所得之兩條線段與這個角的兩 邊對應成比例。 已知： △ABC 中，AD 是角平分線(圖 6-12)。 求證： BD AB DC = AC 。 圖 6-11 A B C O A′ B′ C′ (第 3 題) O A′ B′ B A

分析： 在比例式 BD AB DC = AC 中，AC 是 BD、DC、AB 的第四比例項。從圖 6-12 中又可以看出，如果過點 C 作CE// AD ， 交 BA 的延長線於 E，就可以得到 BD、 DC 、 BA 的 第 四 比 例 項 AE ， 要 證 明 BD AB DC = AC ，只要證明 AC = AE 即可。 證明： 點 C 作CE// AD ，交 BA 的延長線於 E。 1 2 3 1 // 2 3 E E CE DA ∠ = ∠ ⎫ ⎪ ⇒ ∠ = ∠ ∠ = ∠ ⎧ ⎬ ⇒ ⎨_{∠ = ∠ ⎪} ⎩ ⎭ // AE AC BD AB BD BA DC AC CE DA DC AE ⇒ = ⎫ ⎪ ⇒ = ⎬ ⇒ = _⎪⎭ 在 一 條 線 段 上 的 一 個 點，將線段分成兩條線段， 這個點叫做這條線段的內分 點。如圖 6-13(甲)中，點 C 是線段 AB 的內分點，這時，點 C 內分線段 AB 成兩條線段 AC、 BC。在一條線段的延長線上之點，有時也叫做這條線段的外分 點。外分點分線段所得的兩條線段也是這個點分別與線段的兩個 端點確定之線段。如圖 6-13(乙)中，點 D(E)是線段 AB 的外分點， 外分線段 AB 成兩條線段 AD、BD(AE、BE)。 根據內分點定義，三角形內角平分線性質也可說成「三角形 內角平分線內分對邊所成的兩條線段與相鄰兩邊對應成比例」。 用類似的方法可以得到三角形外角平分線性質定理： 三角形外角平分線性質定理 如果三角形的外角平分線外分對邊成兩條線段，那麼這兩條 線段與相鄰的兩邊對應成比例。 圖 6-12 A B C E D 1 2 3 圖 6-13 (甲) A C B D (乙) E A B

已知： △ABC 中，AD 是外角平分線，交 BC 的延長線於 點 D (圖 6-14)。 求證： BD AB DC = AC 。 同學可以根據圖形自己寫出證明。 【ּ】 已知： 如圖 6-15，AD 與 AE 分別是△ABC 的內角 平分線與外角平分線。 求證： BD BE CD = CE 。 證明： 1 2 3 4 AB BD AC CD AB BE AC CE ⎫ ∠ = ∠ ⇒ = _⎪⎪ ⎬ ⎪ ∠ = ∠ ⇒ = ⎪⎭ BD BE CD CE ⇒ =

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1. (口答) (1) 等腰三角形頂角平分線分底邊所得兩條線段的比 值是多少？ (2) 三角形外角平分線性質定理為什麼在「三角形的外角平 分線外分對邊成兩條線段」之前一定要加如果二字？ 2. 總結本節兩個定理中作輔助線的方法，即怎樣根據比例作輔 助線(平行線)。 3. 已知：△ABC 中，AD 是角平分線，AB = cm、5 AC = cm、4 7 BC = cm。求 BD、DC 的長。 圖 6-14 A B C E D 1 2 3 4 圖 6-15 A B D C E 1 2 3 4

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1. (1) 把下列各式寫成比例，並使 x 為第四比例項： mx= np；x ac b = (2) 設 a、b、c、m、n、p 是已知線段，用直尺與圓規作出 上兩題中的線段 x。 2. 已知：梯形 ABCD，點 E 是腰 AB 上的一點。在腰 CD 上求作 一點 F，使CF BE FD = EA 。 3. 梯形 ABCD 的腰 BA 與 CD 之延長線交於點 F，FB：AB=8：5， 2.25 DC = cm。求 FC 的長。 4. 如圖，直線 PQ 經過菱形 ABCD 的頂點 C，分別交邊 AB 與 AD 的延長線於點 P 與 Q，並且 1 2 BP = AB。求證：DQ = 2AB。 5. 已知：如圖，EF //BC 、FD// AB、AE =1.8cm、BE =1.2cm、 1.4 CD = cm。求 BD。 (提示：設 BD = ，列出比例。) x 6. 已知：△ABC 中，DE//BC ，DE 與 AB 相交於點 D，與 AC 相交於點 E。 (1) 如果 AD：AB = 3：5，求 DE：BC； (2) 如果 AE：EC = 3：5，求 DE：BC。 (第 4 題) (第 5 題) C B D A Q P A F B E D C

7. 如圖，測量小玻璃管口徑的量具 ABC 上，AB 長為 5 mm，AC 被分為 50 等份。。如果小管口 DE 正好對著量具上 30 份處 (DE// AB )，那麼小管口徑就是 3 mm。為什麼？如果 DE 對 著量具上 38 份處呢？ 8. 已知：OC 是∠AOB內的一條射線。求證：自 OC 上的任意兩 點到 AOB∠ 的兩邊之距離成比例。 9. 已知：如圖， AC ⊥ AB、 BD ⊥ AB ，AD 與 BC 相交於點 E， EF ⊥ AB，垂足為 F。又 AC = 、BD qp = 、FE r= 、AF m= 、 FB = 。 n (1) 用 m、n 表示 r p ； (2) 用 m、n 表示 r q ； (3) 證明： 1 1 1 p + = 。 q r 10. 如圖，直立在點 B 處的標桿AB =2.5m，立在點 F 處的觀測者 從點 E 處看到桿頂 A、樹頂 C 在一直線上(點 F、B、D 也在一 直線上)。已知：BD =3.6m、FB =2.2m，人目高EF =1.5m， 求樹高 DC。 (第 7 題) A B C D E 50 30 40 (第 9 題) A B C F r m q p n D E (第 10 題) A B C E F D (第 11 題) A B C E D

11. 梯形 ABCD 的兩腰 BA 與 CD 延長相交於點 E (如圖)。已知： 3.2 AD = m、BC = m、6 BA= 2.8m。求 AE。(提示：設 AE = ，x 列出比例。) 12. 已知：如圖，B C′ ′// BC、C D′ ′//CD、D E′ ′//DE、 AB′： B B′ = 2：1。求 B E′ ′ ：BE。 13. 已知：如圖，A、C、E 與 B、F、D 分別是∠ 兩邊上的點，O 且 AB// ED 、BC //FE 。求證： AF //CD 。

14. △ABC 中，BC 的中點為 D，∠ADB與 ADC∠ 的平分線分別交

AB、AC 於點 M、N。求證：MN //BC 。

15. 已知：△ABC 中，D 為 BC 邊上一點， BD AB

DC = AC 。求證：AD

平分 BAC∠ 。

16. △ABC 中，BE 與 CF 為角平分線，FE// BC 。求證：△ABC

是等腰三角形。 17. 指出分點 C 是在線段 AB 上或是在 AB 哪一端的延長線上： (1) 內分線段 AB，使 AC：CB = 3：2； (2) 外分線段 AB，使 AC：CB = 3：2； (3) 外分線段 AB，使 AC：CB = 2：3； 18. 已知△ABC 的三邊 AB = cm、11 AC = cm、7 BC = cm，AD、6 AD′ 是內、外角平分線。求 DD′ 的長。 (第 12 題) A B C E D B′ E′ _D′ C′ (第 13 題) A B C O F E D

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6.6 ࠹Ҭˬ֎ԛ

前面我們學過，有一些圖的形狀相同，但大小不一定相同。 我們知道兩個全等三角形的形狀相同，大小也相同。有些三角形 的形狀是相同的，但大小不一定相同，如圖 6-16 中，△ABC、 A B C′ ′ ′ △ 、△A B C′′ ′′ ′′就是形狀相同大小不同的三角形。 僅依觀察是不能確定兩個三角形的形狀是否相同的。因而須 研究兩個形狀相同的三角形之間有什麼關係。為此，我們來測量 △ABC 與△A B C′ ′ ′的各邊與各角，可以得出： A A′ ∠ = ∠ '、 B∠ = ∠ '、 CB′ ∠ = ∠ 、C′ AB BC CA A B′ ′ = B C′ ′ = C A′ ′。 這就是說，這兩個三角形的對應角都相等，對應邊都成比例。 對應角相等，對應邊成比例的三角形，叫做相似三角形。相 似利用符號「~」來表示，讀作「相似於」，如圖 6-16 中的△ABC 與△A B C′ ′ ′相似，記作 ~ ABC A B C′ ′ ′ △ △ 。 與記兩個三角形全等一樣，在記兩個三角形相似時，通常把 表示對應頂點的字母寫在對應之位置上，這使得我們可以比較容 易地找出相似三角形的對應角與對應邊。 現在我們來研究下面兩個圖形。 圖 6-16 A C B B′′ _{C ′′} A′′ C ′ B′ A′ 圖 6-17 A B C E 1 2 _F 圖 6-18 A B C E F

如圖 6-17，△ABC 中，EF //BC ，可得 // 1 ~ 2 AE AF EF AB AC BC EF BC B AEF ABC C A A ⎫ ⎧ _{= =} ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ∠ = ∠_{⎨ ⎪ ⇒} ⎬ ⎪ ∠ = ∠ _⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ∠ = ∠ _⎭ △ △ 類似地，可以證明圖 6-18 中，當EF //BC 時，△AEF~△ABC。 由此，可以得到下面的定理： 定理 平行於三角形一邊的直線與其它兩邊(或兩邊的延 長線)相交，所構成的三角形與原三角形相似。 相似三角形對應邊的比，叫做兩個相似三角形的相似比(或相 似係數)。但要注意的是，如圖 6-16，△ABC 與△A B C′ ′ ′的相似 比是k ，而₁ △A B C′ ′ ′與△ABC 的相似比是k ，此時_{2 1} 2 1 k k = 。只有 當△ABC ≅ △A B C′ ′ ′時，相似比k₁ = k₂ = 。 1

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1. (1) 所有的等腰三角形都相似嗎？所有的等邊三角形呢？ 為什麼？ (2) 所有的直角三角形都相似嗎？所有的等腰直角三角形 呢？為什麼？ 2. 已知：如圖， (1) △ABC~△ADE，其中DE//BC ； (2) △OAB ~ △OA B′ ′，其中 A B′ ′// AB； (3) △ABC~△ADE，其中∠ADE = ∠ 。 B 寫出各組相似三角形的對應邊之比例式。 (第 2 題) A B C D E O A B A′ B′ E D C B A

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3. △ABC 中，BC =52cm、CA= 46cm、AB =63cm。另一個與 它相似的三角形之最短邊為 12 cm，求其餘兩邊的長度。 4. 已知：△ABC ~△A B C_{1 1 1}、△A B C_{1 1 1} ~ △A B C_{2 2 2}。 求證：△ABC ~ △A B C_{2 2 2}。 6

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我們知道，全等三角形是相似三角形的特殊情形。判定兩個 三角形全等的方法有「SAS」、「ASA」、「SSS」、「RHS」等，那麼 判定兩個三角形相似是否也有類似的方法呢？下面，我們來研究 這個問題。 如圖 6-19，△ABC 與△A B C′ ′ ′ 中，如果 AB AC A B′ ′ = A C′ ′ 、 A∠ = ∠ ，A′ 我們看△ABC 與△A B C′ ′ ′是否相似。 我們知道，如果在△ABC 的邊 AB 、 AC( 或 延 長 線 ) 上 ， 分 別 截 取 AD = A B′ ′、 AE = A C′ ′，連結 DE， 就得到與△A B C′ ′ ′ 全等的△ADE。這就相當於把△A B C′ ′ ′ 搬到 △ABC 中去。因而只要證明△ADE~△ABC。 // ~ AB AC A B A C AB AC AD A B BC DE ABC ADE AD AE AE A C AD A B AE A C ADE A B C A A ⎫ ⎫ = _{⎪ ⎪} ′ ′ ′ ′_{⎪ ⎪} ′ ′ = _⎬⇒ = ⇒ ⇒ _⎪ ⎪ ⎪ ′ ′ = _{⎪ ⎪} ⎬ ⎭ _⎪ ′ ′ = ⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ′ ′ ′ ′ ′ = _⎬⇒ ≅ _⎪ ⎪ _⎪ ′ ∠ = ∠ ⎭ ⎭ △ △ △ △ ~ ABC A B C′ ′ ′ ⇒ △ △ 圖 6-19 A C B B′ C ′ A′ E D

這樣，我們就得到下面的定理： 三角形相似的判定定理 1 如果一個三角形的兩條邊與另一個三角形的兩條邊對應成 比例，並且夾角相等，那麼這兩個三角形相似。 類似地，我們可以得到下面的判定定理： 三角形相似的判定定理 2 如果一個三角形的兩個角與另一個三角形的兩個角對應相 等，那麼這兩個三角形相似。 如 圖 6-19 ， △ ABC 與 △A B C′ ′ ′ 中 ， 如 果 ∠ = ∠ 、A A′ B B′ ∠ = ∠ ，那麼△ABC ~ △A B C′ ′ ′。 三角形相似的判定定理 3 如果一個三角形的三條邊與另一個三角形的三條邊對應成 比例，那麼這兩個三角形相似。 如圖 6-19，△ABC 與△A B C′ ′ ′中，如果 AB BC CA A B′ ′ = B C′ ′ = C A′ ′， 那麼△ABC ~△A B C′ ′ ′。 關於直角三角形的相似，還有下面的判定定理： 定理 如果一個直角三角形的斜邊與一條直角邊與另一 個直角三角形的斜邊與一條直角邊對應成比例， 那麼這兩個三角形相似。 已知： Rt△ABC 與 Rt△A B C′ ′ ′中， C∠ = ∠ = ∠ 、 C′ Rt AB CA A B′ ′ = C A′ ′ (圖 6-20)。 求證： Rt△ABC ~ Rt△A B C′ ′ ′ 證明： 在 CA(或延長線)上，截 取CA₁ =C A′ ′，過點 A ₁ 作 A B_{1 1} // AB，交 CB(或 延長線)於點B 。 ₁ A C B C ′ B′ A′ 1 A 1 B

1 1 1 1 1 1 1 1 // AB AC AB A B _{AB AC} A B A C A B A C A C A C AB AC A B A C ⎫ ⎫ ⇒ = _{⎪ ⎪} ⇒ = ⎬ ⎪ ′ ′⎪ ⎪ ′ ′ = _⎭ ⎬ ⎪ ⎪ = _⎪ ′ ′ ′ ′⎭ 1 1 1 1 1 AB AB A B A B A B A B C C Rt A C A C ⎫ ′ ′ ⇒ = ⇒ = _⎪ ′ ′ ⎪ ⎪ ′ ∠ = ∠ = ∠⎬ ⎪ ′ ′ = _⎪ ⎪ ⎭ ⇒ Rt△A B C_{1 1} ≅ Rt△A B C′ ′ ′ 又 AB// A B_{1 1} ⇒ △ABC ~ △A B C_{1 1} ∴ Rt△ABC ~ Rt△A B C′ ′ ′

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1. 說明三角形相似的判定定理 2。 2. 依據下列各組條件，判定△ABC 與△A B C′ ′ ′是否相似，並說 明為什麼？ (1) ∠ =A 45° 、 AB =12cm、AC =15cm、 45 A′ ∠ = ° 、 A B′ ′ =16cm、A C′ ′ = 20cm； (2) ∠ = °、A 68 ∠ =B 40° 、∠ = ° 、A′ 68 ∠ = ° ； C′ 72 (3) AB =12cm、BC =15cm、 AC =24cm、 A B′ ′ = 20cm、B C′ ′ = 25cm、 A C′ ′ = 40cm。 3. 兩個三角形中，一個三角形的兩邊分別是 1.5 cm 與 2 cm，另 一個三角形的兩邊分別是 2.8 cm 與 2.1 cm，且夾角均為 47°。 這兩個三角形是否相似？為什麼？ 4. (口答)判定兩個三角形全等與兩個三角形相似的條件有什麼 相同與不同？為什麼三角形全等的判定「ASA」中有對應邊相 等，而三角形相似的判定中只要兩角對應相等就可以了？

【ּ 1】 直角三角形被斜邊上的高分成之兩個直角三角形與原 三角形都相似。 已知： Rt△ABC 中，CD 是斜邊上的高(圖 6-21)。 求證： △ABC~△CBD~△ACD 證明： ~ B B ABC CBD Rt ACB Rt CDB ∠ = ∠ _⎫⎪ ⇒ ⎬ ∠ = ∠ _⎪⎭ △ △ 同理可證 △ABC~△ACD ∴ △ABC~△CBD~△ACD 【ּ 2】 已知： 如圖 6-22，BE、CF 是△ABC 的中線，它們相 交於點 G。 求證： 1 2 GE GF GB = GC = 分析： 要證明四條線段成比例，一般是證明這四條線 段分別是某兩個相似三角形的對應邊。從圖中可以看 到，GF、GB 在△FGB 中，GE、GC 在△EGC 中，但是， 即使△FGB 與△EGC 相似，由於 FGB∠ = ∠EGC，可能 得到的比例 GE GF GC = GB 或 GE GB GC = GF 也不符合要求，因而 只能另找辦法。考慮到點 E、F 是 AB、AC 的中點，如 果連結 EF，那麼EF //BC ，又 GF、GE 在△FGE 中，

GB、GC 在△BGC 中，這樣就可以證明比例成立了。 圖 6-21 A B C G D 圖 6-22 A B C E F

證明： 連結 EF。 1 2 2 // FE BC BC EF AE EC GE GF EF AF FB FE BC GB GC BC ⎧ _{= ⇒ =} ⎫ ⎪ ⎪ = _{⎫⎪ ⎪ ⎪} ⇒ ⎬ ⎨ ⎬ = _{⎪⎭ ⎪ ⇒ = = ⎪} ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ 1 2 GE GF GB GC ⇒ = = 如果 AD 是圖 6-22 中△ABC 的另一 條中線(圖 6-23)，同樣可以證明它與 BE 的交點也分別內分 AD、BE 為 2：1。即 AD 與 BE 的交點也是 BE 與 CF 的交點 G。就是說，三角形的三條中線交於一 點。三角形三條中線的交點叫做三角形的 重心。由以上證明可以得到 三角形重心與頂點的距離等於它與 對邊中點距離的兩倍。 【ּ 3】 已知△ABC，P 是 AB 上的一 點，連結 CP。滿足什麼條件 時，△ABC 與△ABC 相似？ 分析： 從圖形可以看出，兩 個三角形有一個公共角 A∠ 。根 據三角形相似的判定定理，只 要還有另一對對應角相等，或 夾 A∠ 的對應邊成比例，兩個三 角形相似。因為 2∠ > ∠ 、 1B ∠ < ∠ACB，所以 AP 與 AB、 AC 與 AC 不可能是對應邊。只能∠ = ∠ 與 21 B ∠ = ∠ACB

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ྋ !!! 1 B ACP ~ ABC A A ∠ = ∠ ⎫ ⇒ ⎬ ∠ = ∠ ⎭ △ △ G 圖 6-23 A B C E F D 圖 6-24 A C B P 1 2

2 ACB ACP ~ ABC A A ∠ = ∠ ⎫_⇒ ⎬ ∠ = ∠ _⎭ △ △ ~ AB AC ACP ABC AC AP A A ⎫ = _{⎪ ⇒} ⎬ ⎪ ∠ = ∠ ⎭ △ △ 又因 AB AC AC2 AB AP AC = AP ⇔ = i ，因此，得 當 1∠ = ∠ ，或 2B ∠ = ∠ACB，或 AC2 = AB APi 時， △ACP ~△ABC 。

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1. 已知：D、E、F 分別是△ABC 的三邊 AB、BC、CA 之中點。 求證：△DEF ~△ABC。

2. 如圖：D、E 是△ABC 的邊 AC、AB 上的點。

證明：(1) 如果∠ = ∠ ，那麼 AD AC AE AB1 B i = i ； (2) 如果 AD ACi = AE ABi ，那麼 1∠ = ∠ 。 B 3. 如圖，△ABC 中，P 是 AB 上的點，∠ = ∠ 。 1 B 求證：CP AC BC AB = i 。 4. 已知：P 是正方形 ABCD 的邊 BC 上之點，且BP =3PC 、Q 是 CD 的中點。求證：△ADQ ~△QCP。 1 C B A D E (第 2 題) (第 3 題) A B C P 1

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1. 已知：如圖， AB// A B′ ′、BC //B C′ ′。

求證：△ABC ~ △A B C′ ′ ′。

2. 已知：如圖， AB// A B′ ′、BC //B C′ ′。

求證：△OAC ~△OA C′ ′。

3. M 是△ABC 的邊 BC 之中點，∠AMB 的平分線交 AB 於 E、

AMC ∠ 的平分線交 AC 於 D。 求證：△AED ~△ABC 。 4. 作△A B C′ ′ ′，使它與已知△ABC 相似，且與邊 BC 相對應的 邊 B C′ ′等於已知線段 a′ 。 5. 已知：△ABC。 求作：△A B C′ ′ ′，使它與△ABC 相似，並使相似比為2 3 。 6. 比例規是一種畫圖工具(如圖)，使用它可以把線段按一定比 例伸長或縮短。它是由長度相等的兩腳 AD 與 BC 交叉構成 的。如果把比例規的兩腳合上，使螺絲釘固定在刻度 3 的地 方(即同時使OA= 3OD、OB =3OC)，然後張開兩腳，使 A、 B 兩個尖端分別在線段 l 的兩個端點上，這時 1 3 CD = AB，為 什麼？ (第 1 題) (第 2 題) A B C O C B A O A′ C′ B′ A′ C′ B′

7. 已知如圖所示的零件之外徑為 a，要求它的厚度 x，須先求出 內孔的直徑 AB，但不能直接量出 AB。現用一個交叉卡鉗(兩 條尺長 AC 與 BD 相等)去量，若 OC OD 1 OA = OB = ，且量得n CD = ，求厚度 x。 b 8. 證明： (1) 兩個直角三角形有一個銳角相等，兩個三角形相似； (2) 兩個等腰三角形的頂角(或底角)相等，兩個三角形相似； (3) 兩個等腰三角形中，腰與底對應成比例，兩個三角形相 似。 9. 如圖，△ABC 中，∠ 為直角；C △ DEF 中 ， ∠ 為 直 角 ；F DE ⊥ AC 、 DF ⊥ AB 。 求證：DF AC DE AB = i 。 10. 已知：四邊形 ABCD 中，AC 平 分 DAB∠ 、 ACD∠ = ∠ABC 。

求證： 2 AC = AB ADi 。 11. 設 AD、BE 與 CF 是△ABC 的三條高。 求 證 ： AD BCi = BE CAi =CF i AB ( 用 比 例 線 段 證 明 ) 。 (分△ABC 是銳角三角形、直角三角形與鈍角三角形三種情 況。) (第 6 題) (第 7 題) C A B O D l A B C O D b x a φ (第 9 題) A D C B E F

12. 已知：△ABC 中， AB = AC 、∠ = ° 、BD 是角平分線。 A 36 求證： (1) BD = AD； (2) △ABC ~ △BCD； (3) 5 1 0.618 2 BC = − AB ≈ AB。 13. 已知：AD 是△ABC 的角平分線， BH ⊥ AD，垂足為 H， CH ⊥ AD， 垂足為 K。 求證： AB DH AC = DK 。

14. 已知：O 是△ABC 內任一點，OA、

OB、OC 的中點分別是 A′、B′、C′ 。 求證：△ABC ~ △A B C′ ′ ′。 15. 求證：如果一個三角形的兩邊與其中一邊上的中線與另一個 三角形的對應部分成比例，那麼這兩個三角形相似。 16. 已知：如圖， AB BC AC AD = DE = AE 。 求證： BAD∠ = ∠CAE 。 17. 求證：如果一個三角形的兩邊與 第三邊上的中線與另一個三角形 的對應部分成比例，那麼這兩個 三角形相似。 18. 如圖，在正方形網格上有兩個三角形 A B C 與_{1 1 1} A B C 。 _{2 2 2} 求證：△A B C_{1 1 1} ~△A B C_{2 2 2} 。 (第 13 題) A D C B H K (第 16 題) A D C B E (第 18 題) 1 A 1 B C1 2 A 2 B 2 C M N L F E G H (第 19 題) A D C B K

19. 如圖，人字型屋架上的六段距離 BD、DE、EF、FG、GH、 HC 彼此相等。MD、NE、AF、KG、LH 都垂直於 BC，中柱 2 AF = m，求支柱 DM、EN 的長度。 20. 求證：如果一個直角三角形的一條直角邊與斜邊上的高，與 另一個直角三角形的一條直角邊與斜邊上的高成比例，那麼 這兩個直角三角形相似。

6.8 ࠹Ҭˬ֎ԛ۞ّኳ

兩個三角形相似，根據定義可知它們具有對應角相等，對應 邊成比例這些性質。下面我們來研究其它性質。 已知△ABC ~ △A B C′ ′ ′。相似比為 k，AD、 A D′ ′ 是對應高(圖 6-25)。那麼在△ABD 與△A B D′ ′ ′中， B∠ = ∠ 、B′ ADB A D B′ ′ ′ Rt ∠ = ∠ = ∠，所以 ~ AD AB ABC A B C k A D A B ′ ′ ′ ⇒ = = ′ ′ ′ ′ △ △ 類似地，可以推得兩個相似三角形對應中線的比，對應角平 分線的比也等於相似比。就是 相似三角形對應高的比，對應中線的比與對應角平分線的比 都等於相似比。 如圖 6-26，△ABC ~△A B C′ ′ ′，相似比是 k。 圖 6-25 C B A D A′ C′ B′ D′

~ AB BC CA ABC A B C k A B B C C A AB BC CA k A B B C C A ′ ′ ′ ⇒ = = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ + + ⇒ = ′ ′+ ′ ′+ ′ ′ △ △ 由此可得 相似三角形周長的比等於相似比。 如圖 6-25，△ABC ~△A B C′ ′ ′，相似比是 k，AD、 A D′ ′ 分別 是兩個三角形的高。那麼， 2 1 2 1 2 ABC A B C AD BC S AD BC k k k S _{′ ′ ′} = _{A D′ ′ B C′ ′} = A D′ ′ B C′ ′ = = i i i i i i △ △ 由此得到下面的定理： 定理 相似三角形面積的比等於相似比之平方。 【ּ 1】 有一塊三角形餘料 ABC，它的 邊BC =120mm，高 AD =80mm (圖 6-27)。要把它加工成正方形 零件，使正方形的一邊在 BC 上，其餘兩個頂點分別在 AB、 AC 上。加工成的正方形零件之 邊長為多少 mm？

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ྋ !!! 設正方形 PQMN 為加工成的正方形。邊 QM 在 BC 上， 頂點 P、N 分別在 AB、AC 上，高 AD 與邊 PN 相交於 點 E。設正方形的邊長為 x mm，則有 圖 6-26 C B A A′ C′ B′ 圖 6-27 C B A D N P Q E M

// ~ AE PN PN BC APN ABC AD BC ⇒△ △ ⇒ = 因此，可以列出方程： 80 80 120 x x − ₌ 解得 x = 48。 答：加工成的正方形零件為 48 mm。 【ּ 2】 已知：如圖 6-28，DE// BC 、 3 5 AD AB = 、S△ABC = S。 求S_△ADE。

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ྋ !!! DE// BC ⇒ △ADE ~△ABC 2 2 3 5 ADE ABC S AD S AB AD AB ⎫ ⇒ = _⎪ ⎪ ⎬ ⎪ = ⎪_⎭ △ △ 2 2 3 5 ADE ABC S S ⇒ △ = △ 9 25 ADE ABC ABC S S S S ⎫ ⇒ = _⎪ ⎬ ⎪ = ⎭ △ △ △ 9 25 ADE S S ⇒ _△ =

【ּ 3】 已知： △ABC 與△A B C′ ′ ′中，AD、BE 是△ABC 的高，

A D′ ′ 、 B E′ ′ 是 A B C△ ′ ′ ′的高，且 AB A B AD A D ′ ′ = ′ ′ 、 ∠ = ∠ (圖 6-29)。 C C′ 求證： AD A D BE B E ′ ′ = ′ ′ 。 圖 6-28 C B A D _E

分析： 從圖形可知， 求證的四條成比例線段 並不分別在兩個三角形 中，所以不能用直接證 兩個三角形相似得出。 但我們可以知道這四條 線段分別是△ABC 與 △A B C′ ′ ′的高，如果能證明△ABC ~△A B C′ ′ ′，那麼比 例就成立了。可是由題設不能直接證得這兩個三角形相 似，但可證得△ABD ~ △A B D′ ′ ′，得 ABC∠ = ∠A B C′ ′ ′， 從而△ABC ~ △A B C′ ′ ′。 證明： ⇒ △Rt ABD ~ Rt△A B D′ ′ ′ ~ ABC A B C ABC A B C C C AB BE AD A B B E A D AD A D BE B E ′ ′ ′ ⇒ ∠ = ∠ _⎫⎪ ′ ′ ′ ⇒ ⎬ ′ ∠ = ∠ ⎪⎭ ⇒ = = ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ⇒ = ′ ′ △ △

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1. 證明：兩個相似三角形的對應中線之比等於相似比。 2. 已知：點 M、N、P 分別是△ABC 的中線 AD、BE、CF 的中 點。求△ABC 與△MNP 面積的比。 3. 把一個三角形改成與它相似的三角形。 (1) 如果邊長擴大為原來的 100 倍，那麼面積擴大為原來的 多少倍？ (2) 如果面積擴大為原來的 100 倍，那麼邊長擴大為原來的 多少倍？ 圖 6-29 A B C E D A′ D′ C′ B′ E′ 90 AB A B AD A D ADB A D B ′ ′ ⎫ = _⎪ ′ ′⎬ ⎪ ′ ′ ′ ∠ = ∠ _{= °⎭}

6.9 ۡ֎ˬ֎ԛ̚јּͧ۞ቢ߱

從一點到一直線所作垂線的垂足，叫做這點在這條直線上正 射影。圖 6-30 中，點 P′ 、₁ P′ 、₂ P′ 分別是點₃ P 、₁ P 、₂ P 在直線₃ MN 上的正射影。 一條線段的兩個端點在一條直線上的正射影之間的線段，叫 做這條線段在這條直線上的正射影。圖 6-31 中的那些線段 A B′ ′ 都 是對應的線段 AB 在直線 MN 上的正射影(當 AB ⊥ MN 時，A B′ ′ 縮 為一個點)。 點、線段在一條直線上的正射影，簡稱射影。 定理 直角三角形中，斜邊上的高是兩條直角邊在斜邊上 的射影之比例中項；每一條直角邊是這條直角邊在 斜邊上的射影與斜邊之比例中項。 已知： 圖 6-32 中，AB 是 Rt△ABC 的斜邊，CD 是高。 求證： (1) 2 CD = AD BDi (2) AC2 = AD ABi 2 BC = BD ABi 證明： (1) ⇒ △ACD ~ △CBD CD BD CD2 AD BD AD CD ⇒ = ⇒ = i (2) 的證明由同學自己寫出。 圖 6-30 N M 1 P′ 3 (P′) 2 P′ 1 P 3 P′ 2 P A A′ B′ N M B A A′ B′ B _A A′ B′ B A A′ (B′) B A ( ) A B′ ′ B 圖 6-31 圖 6-32 A B C D 90 ACB CD AB ∠ _{= °⎫⎪} ⎬ ⊥ _⎪⎭

在第五章中，我們曾用面積割補法證明了勾股定理，現在利 用上面的定理很容易證明勾股定理。把上面定理中(2)的兩個關係 式之兩邊分別相加，得 2 2 2 ( ) AC BC AD AB BD AB AB AD BD AB + = + = + = i i

【ּ】 已知：△ABC 中，∠ACB = ° ，CD 是高，CE 是角平 90 分線， AC = cm，9 BC =12cm (圖 6-33)。求 CD、CE 的長。

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ྋ !!! 由勾股定理可得 AB = AC2 + BC2 =15cm ∴ 2 144 48 15 5 BC BD AB = = = cm 27 5 AD = AB−BD = cm 36 5 CD = BD ADi = cm ∵ ∠ACE = ∠BCE ∴ AC BC AC BC AE BE AE BE + = = + cm 得 12 15 60 9 12 7 BC AB BE AC BC × = = = + + i cm 48 60 36 5 7 35 DE = BD−BE = − = ∴ 2 2 (36)2 (36)2 36 2 5 35 7 CE = CD +DE = + = cm 圖 6-33 C B A D E

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1. 證明本節定理(2)。 2. CD 是 Rt△ABC 的斜邊 AB 上之高。 (1) 已知AD = cm、9 DB = cm。求 CD 與 AC； 4 (2) 已知AB = 25cm、BC =15cm。求 DB 與 CD。 3. 設 CD 是 Rt△ABC 斜邊 AB 上的高。求證： (1) 2 2 AC AD CB = DB ； (2) CA CDi =CB ADi 。

6.10 ࠹Ҭкᙝԛ

前面，我們研究了相似三角形，現在來研究相似多邊形。 如果兩個邊數相同的多邊形之對應角都相等，對應邊都成比 例，這兩個多邊形叫做相似多邊形。 例如，四邊形 ABCD 與四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 中(圖 6-34) A A′ ∠ = ∠ '、 B∠ = ∠ '、 CB′ ∠ = ∠ 、 DC′ ∠ = ∠ 、D′ 2 3 AB BC CD DA A B′ ′ = B C′ ′ = C D′ ′ = D A′ ′ = ' 所以四邊形 ABCD ~ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 。 相似多邊形的對應邊之比叫做相似比(或相似係數)。如圖 6-35 中的四邊形 ABCD ~ A B C D′ ′ ′ ′ ，對應邊的比是 3 2 ，那麼四邊 圖 6-34 A B A′ B′ C C′ D′ D A _{B′ A′} C D′ C′ B D 圖 6-35

形 ABCD 與 A B C D′ ′ ′ ′ 的相似比 ₁ 3 2 k = 。而四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 與 ABCD 的相似比是 ₂ 2 3 k = 。 現在，我們來研究相似多邊形的性質。 我們知道，過多邊形一個頂點的對角線有n− 條，它將多邊3 形分成n− 個三角形，由於我們已經學過相似三角形的性質，因2 此，我們先研究兩個相似多邊形的對應對角線之性質，然後再利 用相似三角形來研究相似多邊形。 六邊形 ABCDEF ~ 六邊形 A B C D E F′ ′ ′ ′ ′ ′ (圖 6-36)。相似比為

k。AC 與 A C′ ′ 、AD 與 A D′ ′ 、AE 與 A E′ ′分別是對應對角線。

六邊形 ABCDEF ~ 六邊形 A B C D E F′ ′ ′ ′ ′ ′ ~ B B AC k A C ABC A B C AB BC k ACB A C B A B B C ′ ∠ = ∠ ⎧ ⎫ ⎧ ₌ ⎪ ⎪ _{′ ′ ′} ⎪ _{′ ′} ⇒ _{⎨ ⎬}⇒ ⇒ _⎨ = = ⎪ _{′ ′ ′ ′} ⎪ ⎪_{∠ = ∠ ′ ′ ′} ⎩ ⎭ ⎩ △ △ 由此又可推出∠ACD = ∠A C D′ ′ ′、 AC DC k A C′ ′ = D C′ ′ = 。可得到 ~ AD ACD A C D k A D ′ ′ ′ ⇒ = ′ ′ △ △ 同理可得 AE k A E′ ′ = 。 一般地，可以得到 兩個相似多邊形對應對角線的比等於相似比。 圖 6-36 A A′ E′ B C F ′ D B′ F D′ C′ E

以兩個相似多邊形的對應頂點為頂點之兩個三角形(相似多 邊形中的對應三角形)，它們的邊或是多邊形之邊，或是多邊形 的對應對角線，所以這樣的兩個三角形之三邊對應成比例，它們 是相似三角形。例如△ACD ~△A C D′ ′ ′。於是有 定理 相似多邊形中的對應三角形相似，相似比等於相似 多邊形的相似比。 與相似三角形一樣，利用等比定理可得： 定理 相似多邊形周長的比等於相似比。 我們知道，經過 n 邊形的任何一個頂點之n− 條對角線，將3 多邊形分成n− 個環繞著這個頂點按順序排列的三角形。兩個相2 似 n 邊形分別這樣一組對應對角線分成的對應三角形分別相似。 由等比定理可得： 定理 相似多邊形的面積比等於相似比之平方。 【ּ 1】 已知四邊形 ABCD ~ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′，它們的對角線分 別交於點 O、 O′ (圖 6-37)。求證：△OAB ~△O A B′ ′ ′。

證明： 四邊形 ABCD ~ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ ~ 2 4 ~ 1 3 ABD A B D ABC A B C ′ ′ ′ ⇒ ∠ = ∠ ⎧ ⎫ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎬ ′ ′ ′ ⇒ ∠ = ∠ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ △ △ △ △ ⇒ △OAB ~ △O A B′ ′ ′ 圖 6-37 A B C O D A′ D′ C′ B′ O′ 1 2 3 4

【ּ 2】 如圖 6-38，已知四邊形 ABCD 與四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 中， ∠ = ∠ 、 DB B′ ∠ = ∠ 、D′ AB BC CD DA A B′ ′ = B C′ ′ = C D′ ′ = D A′ ′。 求證：四邊形 ABCD ~ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 。 證明： 連結 AC、 A C′ ′ 。 1 1 ~ 2 2 B B ABC A B C AB BC A B B C ′ ∠ = ∠ ⎫ _{⎧∠ = ∠ ′} ⎪_{⇒ ′ ′ ′⇒} ⎪ ⎬ ⎨ ′ ∠ = ∠ = ⎪ ⎪_⎩ ′ ′ ′ ′⎭ △ △ 同理 3 3 ~ 4 4 ADC A D C ′ ∠ = ∠ ⎧⎪ ′ ′ ′ ⇒ ⎨ ′ ∠ = ∠ ⎪⎩ △ △ 1 1 3 3 2 2 4 4 BAD B A D B B BCD B C D D D AB BC CD DA A B B C C D D A ′ ∠ = ∠ _⎫⎪ ⎫ ′ ′ ′⎪ ⇒ ∠ = ∠ ⎬ ⎪ ′ ∠ = ∠ ⎪⎭ ⎪ ⎪ ′ ∠ = ∠ ⎪ ⎪⎪ ′ ∠ = ∠ ⎫⎪_{⇒ ∠ = ∠ ′ ′ ′⎬} ⎬ _⎪ ′ ∠ = ∠ ⎪⎭ _⎪ ⎪ ′ ∠ = ∠ ⎪ ⎪ ⎪ = = = _⎪ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′⎭ ⇒ 四邊形 ABCD ~ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 圖 6-38 A B C D A′ D′ C′ B′ 1 2 4 3 1′ 2′ 3′ 4′

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1. 在下表的空白處填入合適的數值： 兩個多邊形的相似比 10 1 100 它們周長的比 5 1 8 它們面積的比 4 1 3 2. 在 四 邊 形 ABCD 與 四 邊 形 A B C D′ ′ ′ ′ 中，如果 B∠ = ∠ 、B′ C C′ ∠ = ∠ 、 AB BC CD A B′ ′ = B C′ ′ = C D′ ′，那麼，這兩個四邊形相似。

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1. 如圖，鐵道口的欄桿之短臂長 1.25 m、 長臂長 16.5 m。當短臂端點下降 0.85 m 時，長臂端點升高多少(桿的寬度忽略不 計)？ 2. △ABC 中，AB =12cm，BC =18cm，CA= 24cm。另一個與 它相似的△A B C′ ′ ′，周長為 81cm，求△A B C′ ′ ′的各邊長。 3. 兩個相似三角形的一對對應邊長分別為 35 cm 與 14 cm。 (1) 它們的周長相差 60 cm，求這兩個三角形的周長； (2) 它們的面積相差 588 cm2，求這兩個三角形的面積。 4. CD 是 Rt△ABC 斜邊 AB 上的高。設 BC = 、CA ba = 、AB c= 、

CD = 、 AD qh = 、 DB p= 。 (1) 已知：c = 29、 p = ，求 h 與 b； 4 (2) 已知：a = 、5 h= ，求 p 與 q； 4 (3) 已知：a =10、 p = ，求 q 與 b； 6 (4) 已知： p = 、4 h =10，求 a 與 b。 (第 1 題)

5. 已知：△ABC 中， BAC∠ 是直角， AC > AB，AD 是高，M

是 BC 的中點。求證： 2 2

2

AC − AB = DM i BC 。

6. △ABC 中，∠BAC是直角，AD 是高，DE 是△ABD 的高。

求證： 2

AD = AC DEi 。

7. △ABC 中，∠BAC是直角，AD 是高。求證：

(1) 如果AB = 2AC ，那麼 5AD = 2BC ； (2) 如果BC =5DC ，那麼BC2 =5AC2。 8. 矩 形 ABCD 中 ， AB = 、 BC ba = 、M 是 BC 的中點、 DE ⊥ AM ，E 是垂足。求證： 2 2 2 4 ab DE a b = + 。 9. 在一張比例尺為 1：50000 的地圖上，一塊多邊形地區的周長 是 72 cm，面積是 320 cm2。地區的實際周長是多少？面積是 多少？ 10. 如圖，設 O 是四邊形 ABCD 對角線 AC 上的一點，OF //CD 、 // OE BC 。求證：四邊形 AEOF ~ 四邊形 ABCD。 11. 已知：四邊形 ABCD 與四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 中， A∠ = ∠ 、A′ AB BC CD DA A B′ ′ = B C′ ′ = C D′ ′ = D A′ ′。 求證：四邊形 ABCD ~ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 。 (第 8 題) A D C B E M (第 10 題) A D _C B O E F

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+

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6.11 ҜҬԛ

現在，我們來研究相似形的一種特殊 情形。 如圖 6-39，O 是四邊形 ABCD 內的任 一點， A′、 B′、C′ 、 D′ 分別是 OA、OB、 OC、OD 的點。 2 3 OA OB OC OD OA OB OC OD ′ ′ ′ ′ = = = = 可以證明四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ ~ 四邊形 ABCD，並且相似比為 2 3。 OA OB OC OA OB OC ′ ′ ′ = = 2 3 // 2 3 // A B OB AB OB A B AB OB A OBA B C OB BC OB B C BC OB C OBC ′ ′ ′ ⎧ ⎧ _{= =} ⎫ ⎪ _{′ ′} ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ _{⎩∠ ′ ′= ∠} ⎪ ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎬ ′ ′ ′ ⎪ ⎧ _{= =} ⎪ ⎪ _{′ ′} ⎪ ⎪ ⇒ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ _{⎩∠ ′ ′= ∠} ⎪ ⎩ ⎭ 2 3 A B B C AB BC A B C ABC ′ ′ ′ ′ ⎧ _{= =} ⎪ ⇒ ⎨ ⎪_{∠ ′ ′ ′ = ∠} ⎩ 同理可得 2 3 A B B C C D D A AB BC CD DA ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ ′ = = = = ∠B C D′ ′ ′= ∠BCD、 C D A∠ ′ ′ ′= ∠CDA、 ∠D A B′ ′ ′ = ∠DAB ∴ 四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ ~ 四邊形 ABCD，相似比為 2 3 。 * 此大節為選學內容。 圖 6-39 A B C O D A′ D′ C′ B′

由此看出，在四邊形 ABCD 與四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 中，如果有： (1) 對應頂點 A′ 與 A、 B′ 與 B、 C′ 與 C、 D′ 與 D 的連線都經過 同一點 O；(2) 2 3 OA OB OC OD OA OB OC OD ′ ′ ′ ′ = = = = ，那麼四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 與四邊形 ABCD 相似，相似比等於2 3，這樣的兩個四邊形有特殊 的位置關係。 如果一個圖形上的點 A′、B′、…、P′ 與另一個圖形上的點 A、 B、…、P 分別對應，並且 (1) 直線 A A′ 、 B B′ 、…、 P P′ 都經過同一點 O； (2) OA OB OP k OA OB OP ′ ′ ′ = = = = ， 那麼這兩個圖形叫做位似圖形，點 O 叫做位似中心。 位似圖形不僅形狀相同，而且有特殊的位置關係。 對於兩個多邊形來說，只要它們的對應頂點 A′、 B′、…、 P′ 與 A、B、…、P 有上面的(1)、(2)兩個關係，這兩個多邊形就是 位似多邊形。如圖 6-39 中的四邊形 A B C D′ ′ ′ ′ 與四邊形 ABCD 是位 似四邊形。 用類似的方法，可以證明(由同學自己證明) 兩個位似多邊形一定相似，它們的相似比等於對應頂點與位 似中心的距離之比，它們的各對對應邊分別平行。 兩個位似圖形的各對對應點可以全部都在位似中心的同 旁，這時這兩個位似圖形叫做相互外位似，位似中心叫做外位似 中心；也可以全部都在位似中心的兩旁，這時這兩個位似圖形叫 圖 6-40 A B C O D A′ D′ _C′ B′ E E′ 圖 6-41 A B C O D A′ D′ C′ B′ E E′