科技部補助專題研究計畫成果報告
期末報告
基本數學運算能力高低者的乘法運算策略選擇與大腦認知
負荷之研究(第 3 年)
計 畫 類 別 ： 個別型計畫 計 畫 編 號 ： NSC 99-2511-S-004-001-MY3 執 行 期 間 ： 101 年 08 月 01 日至 103 年 07 月 31 日 執 行 單 位 ： 國立政治大學心理學系 計 畫 主 持 人 ： 顏乃欣 共 同 主 持 人 ： 郭文瑞 計畫參與人員： 碩士級-專任助理人員：吳佳芸 碩士級-專任助理人員：李宛霖 碩士級-專任助理人員：林家源 碩士級-專任助理人員：李佩芳 碩士級-專任助理人員：楊宗翰 碩士班研究生-兼任助理人員：張元怡 碩士班研究生-兼任助理人員：高常豪 碩士班研究生-兼任助理人員：林軒宇 碩士班研究生-兼任助理人員：謝瑋婷 碩士班研究生-兼任助理人員：張李竹 碩士班研究生-兼任助理人員：何華府 博士班研究生-兼任助理人員：王智賢 報 告 附 件 ： 出席國際會議研究心得報告及發表論文 處 理 方 式 ： 1.公開資訊：本計畫涉及專利或其他智慧財產權，1 年後可公開查詢 2.「本研究」是否已有嚴重損及公共利益之發現：否 3.「本報告」是否建議提供政府單位施政參考：否中 文 摘 要 ： 本計畫之研究目的在於探究運算能力高低不同者在乘法運算 時的策略選擇與大腦認知負荷情形。根據研究目的本計畫分 別進行了多個行為實驗探究乘法能力與工作記憶及數感的關 係，並設計 fMRI 實驗探討數學運算上題型變化上的所造成的 認知負荷與大腦活動之關係。第一年進行刺激材料收集與測 試，並探究了大學生乘法表現與工作記憶及數感之間的關 係，同時也探討了乘法表現高低不同能力者在不同題型與難 度上策略之差異，以及他們彼此在工作記憶能力與數感的差 異。本研究將第一年度所篩選出來的刺激材料設計成眼動實 驗，利用對認知負荷敏感的眼動指標─瞳孔變化，作為乘法 刺激材料的認知負荷穩定度檢查，以作為後續 fMRI 實驗中的 刺激材料。乘法心算中不同題型之認知負荷從 fMRI 實驗中發 現，在較高負荷的題型中相對於較低負荷的題型中，主要活 化差異表現在左右腦之 medial frontal gyrus、superior parietal lobule 以及 inferior parietal lobule 區域，以 及左腦之 cingulate gyrus 區域以及 left parietal lobe 的 precuneus 區域，參與者表現出在這些區域的活化程度較 高。此結果支持 frontoparietal cortical network 在數 學計算中扮演重要角色。
中文關鍵詞： 認知負荷、乘法表現、策略、瞳孔變化、功能性磁振造影 英 文 摘 要 ： The goal of this project is to examine the effect of
cognitive loading and its brain activity when
subjects with different computational ability work on complex multiplicative problems in order to
understand the relationship between computational ability and mathematical performance. We designed several behavior experiments to find out the
appropriate stimuli used for further fMRI studies, and tested some debates about the relationship between the essential capacities and multiplication in the first year. Because the pupil dilation is sensitive for the mental loading, in the second year, we tested the stimuli with pupil diameter to make sure those stimuli used in fMRI studies were stable. We then designed a fMRI experiment to examine the effect of loading and its brain activation. It was found that bilateral medial frontal gyrus, superior parietal lobule, inferior parietal lobule, and left cingulate gyrus, left precuneus were more activated in high mental loading problems. These findings
showed that fronto?parietal cortical network plays an important role in mathematical cognition.
英文關鍵詞： Mental Loading , Multiplication Performance, Strategies, Pupil Dilation, fMRI
基本數學運算能力高低者的乘法運算策略選擇
與大腦認知負荷之研究
The study of multiplication strategy and the cognitive
loading for participants with different level of
arithmetical ability
（NSC‐99‐2511‐S‐004‐001‐MY3）
中文摘要 本計畫之研究目的在於探究運算能力高低不同者在乘法運算時的策略選擇與大 腦認知負荷情形。根據研究目的本計畫分別進行了多個行為實驗探究乘法能力與 工作記憶及數感的關係，並設計 fMRI 實驗探討數學運算上題型變化上的所造成 的認知負荷與大腦活動之關係。第一年進行刺激材料收集與測試，並探究了大學 生乘法表現與工作記憶及數感之間的關係，同時也探討了乘法表現高低不同能力 者在不同題型與難度上策略之差異，以及他們彼此在工作記憶能力與數感的差 異。本研究將第一年度所篩選出來的刺激材料設計成眼動實驗，利用對認知負荷 敏感的眼動指標─瞳孔變化，作為乘法刺激材料的認知負荷穩定度檢查，以作為 後續 fMRI 實驗中的刺激材料。乘法心算中不同題型之認知負荷從 fMRI 實驗中發 現，在較高負荷的題型中相對於較低負荷的題型中，主要活化差異表現在左右腦 之 medial frontal gyrus、superior parietal lobule 以及 inferior parietal lobule 區域， 以及左腦之 cingulate gyrus 區域以及 left parietal lobe 的 precuneus 區域，參與者 表現出在這些區域的活化程度較高。此結果支持 fronto‐parietal cortical network 在數學計算中扮演重要角色。
中文關鍵字：認知負荷、乘法表現、策略、瞳孔變化、功能性磁振造影
Abstract The goal of this project is to examine the effect of cognitive loading and its brain activity when subjects with different computational ability work on complex multiplicative problems in order to understand the relationship between computational ability and mathematical performance. We designed several behavior experiments to find out the appropriate stimuli used for further fMRI studies, and tested some debates about the relationship between the essential capacities and multiplication in the first year. Because the pupil dilation is sensitive for the mental loading, in the second year, we tested the stimuli with pupil diameter to make sure those stimuli used in fMRI studies were stable. We then designed a fMRI experiment to examine the effect of loading and its brain activation. It was found that bilateral medial frontal gyrus, superior parietal lobule, inferior parietal lobule, and left cingulate gyrus, left precuneus were more activated in high mental loading problems. These findings showed that fronto‐parietal cortical network plays an important role in mathematical cognition. Keywords: Mental Loading , Multiplication Performance, Strategies, Pupil Dilation, fMRI
目錄
中文摘要………..1 英文摘要………2 壹、前言與研究目的 ... 7 貳、文獻探討 ... 8 工作記憶容量與數學成就的關係... 8 數學領域相關的認知能力... 9 數感與概數系統 ... 9 概數系統與數學學習的關係 ... 10 乘法心算之策略... 10 數學運算之神經機制... 11 數學運算與工作記憶成分的關係與其神經機制………15 認知負荷之生理指標... 16 參、研究方法 ... 16 乘法心算能力、策略選擇與工作記憶及數感關係之行為實驗... 17 乘法心算作業 ... 17 概數判斷作業（Numerical Discrimination Task） ... 19 工作記憶作業 ... 20 記憶更新作業 ... 21 運作廣度作業 ... 21 句子廣度作業 ... 22 空間短期記憶作業 ... 22 乘法眼動實驗... 23 受試者 ... 23 刺激材料 ... 23 實驗設計 ... 24 乘法題型與數字負荷的FMRI 實驗 ... 24 受試者 ... 25 實驗設計與程序 ... 25 作業與材料 ... 25 實驗程序 ... 25 fMRI 影像蒐集 ... 26 肆、研究結果 ... 26 乘法心算能力、策略選擇與工作記憶及數感關係之行為實驗... 26
各項作業的正確率與反應時間 ... 27 乘法心算作業 ... 27 概數判斷作業 ... 29 工作記憶作業 ... 31 乘法心算表現與工作記憶能力、概數感能力之間的相關性 ... 32 乘法心算的策略種類 ... 33 在乘法作業中不同題目之策略使用情形分佈狀況 ... 33 在乘法表現高低者的使用策略之差異 ... 34 高乘法表現者在不同難度題目中使用不同策略時所需解題時間不同 ... 35 記憶更新能力高低不同受者之乘法心算策略分布情形... 36 乘法心算表現群及記憶更新能力群之策略分布比較與反應時間差異 ... 37 含 5 題目之特殊效應 ... 39 乘法眼動實驗... 41 正確率與反應時間 ... 41 各項眼動指標 ... 43 瞳孔時序變化分析 ... 47 小結 ... 48 FMRI 實驗 ... 48 正確率與反應時間 ... 49 fMRI 分析結果 ... 50 在高負荷減低負荷題的對比 ... 52 四乘一題型下高負荷減低負荷的對比 ... 53 線性高低數字負荷的對比（load‐linear model）... 54 伍、討論 ... 55 數學運算需要的基本能力 ... 55 乘法心算表現、記憶更新能力與題型和策略使用的關係 ... 56 乘法心算中認知負荷與大腦活化之關係 ... 56 參考文獻 ...57
圖次
圖 1 乘法心算常見的兩種策略 ... 11 圖 2 乘法心算的心智負荷 ... 18 圖 3 乘法心算作業之實驗程序 ... 19 圖 4 概數判斷作業刺激材料範例 ... 20 圖 5 概數判斷作業的實驗程序 ... 20 圖 6 記憶更新作業的實驗程序 ... 21 圖 7 運作廣度作業的實驗程序 ... 22 圖 8 句子廣度作業的實驗程序 ... 22 圖 9 空間短期記憶作業的實驗程序 ... 23 圖 10 乘法眼動實驗程序 ... 24 圖 11 乘法題型與數字負荷之 fMRI 實驗程序 ... 26 圖 12 乘法心算作業中數字負荷難易度與正確率之關係圖 ... 28 圖 13 乘法心算作業中數字負荷難易度與反應時間之關係圖 ... 28 圖 14 概數判斷作業中之正確率圖 ... 30 圖 15 概數判斷作業中之反應時間圖 ... 31 圖 16 乘法心算表現與工作記憶作業、概數判斷作業表現之相關性 .. 32 圖 17 高乘法表現者在不同題型下的各策略之平均反應時間 ... 36 圖 18 不同分類之高低群反應時間差異比較 ... 39 圖 19 含 5 與不含 5 題目之各題型之反應時間 ... 40 圖 20 含 5 與不含 5 題目之各題型之反應時間 ... 40 圖 21 乘法眼動實驗之正確率 ... 42 圖 22 乘法眼動實驗之反應時間 ... 42 圖 23 乘法眼動實驗之平均凝視時間 ... 43 圖 24 乘法眼動實驗之凝視次數 ... 44 圖 25 乘法眼動實驗之第一凝視點平均停留時間 ... 44 圖 26 乘法眼動實驗之第二凝視點平均停留時間 ... 45 圖 27 乘法眼動實驗之瞳孔 X 軸平均大小 ... 46 圖 28 乘法眼動實驗之瞳孔隨時間變化 ... 47 圖 29 乘法眼動實驗 normalize 後之瞳孔隨時間平均變化（切 50 個 bins） ... 48 圖 30 乘法題型與數字負荷 fMRI 實驗之正確率 ... 49 圖 31 乘法題型與數字負荷 fMRI 實驗之正確率 ... 50 圖 32 fMRI 實驗之高負荷對比低負荷之大腦活化圖 ... 52 圖 33 fMRI 實驗中四乘一題型下高負荷對比低負荷之大腦活化圖 .... 53 圖 34 fMRI 實驗線性負荷對比大腦活化圖 ... 54表次
表 1 不同題型中數字負荷程度 ... 23 表 2 乘法眼動實驗之不同題型範例 ... 24 表 3 乘法心算作業之正確率與反應時間表 ... 27 表 4 概述判斷作業之正確率與反應時間（Dot‐Size vs.Area controlled） ... 29 表 5 概述判斷作業之正確率與反應時間（total dot number） ... 30 表 6 四種工作記憶作業之正確率 ... 32 表 7 乘法心算作業中受試者的策略分佈 ... 34 表 8 乘法心算高低能力在不同題型正確率之策略分布 ... 35 表 9 高低乘法表現群在不同類型題目下使用不同策略之平均反應時間 ... 36 表 10 記憶更新表現高低群在乘法心算之策略分佈 ... 37 表 11 以不同方式區分高低群之策略分布情形 ... 38 表 12 乘法眼動實驗正確率與反應時間之平均值與標準差（30 人） . 41 表 13 第一凝視點與第二凝視點之平均位置 ... 46 表 14 乘法題型與數字負荷 fMRI 實驗之正確率與反應時間平均值與標 準誤... 49 表 15 乘法題型與數字負荷的 fMRI 實驗之對比分析參照表 ... 51 表 16 fMRI 實驗之高負荷對比低負荷之腦區位置表（k=412） ... 52 表 17 fMRI 實驗中四乘一題型下高負荷對比低負荷之腦區位置表 （k=369） ... 53 表 18 fMRI 實驗線性負荷對比腦區位置表（（k=227） ... 54壹、前言與研究目的
著名的數學家高斯曾說過「數學為科學之母」，基本的數學運算和相關知識 除了是生活必備的技能外，從古至今不管是哲學、藝術或者是各種科學研究，數 學一直都是許多學門的核心基礎。因此無論國內外，探討數學成就的研究一直都 是熱門議題，像是 Krutetskii（1976,1993）的數學資優兒童個案研究，探討影響 數學成就的因素，其利用因素分析法發現運算能力即是影響數學成就的其中一個 重要因素。此外美國國家研究院的研究報告也認為培養良好的運算能力方能成就 良好的數學能力（National Research Council, 2001）。而過去探討數學解題歷程的 研究也提出運算能力在解題歷程的重要性（Krulik & Rudnick, 1989; Mayer,1992）， 有些研究亦認為缺乏基礎的運算能力，將無法達到對數學概念真正的理解（劉柏 宏，2004）。另外在探討數學學習障礙的研究也顯示，運算能力低落和數學學習 障礙有關連性（秦麗花，1995），Lerner（2003）的研究更認為教導學生具有基 本的先備運算能力是相關教育原則之一。綜上所述，顯示基本的運算能力和數學 成就間是有其必然的關係，如果在教育階段為培養良好的基本運算能力，可能會 影響之後複雜的數學解題能力以及相關的知識理解。有鑒於數學能力不僅和我們 日常生活息息相關，因此本計畫意欲利用腦造影技術探討不同數學能力成就的受 試者，其基本運算能力和認知負荷的相關腦區上是否有所差異。 過去研究顯示運算能力是影響數學成就的重要因素之一，且數學專家在解決 題目時優異的表現不只是有比較好的計算結果，還包括能彈性地依據問題使用不 同的策略（Staszewski, 1988）。但國內外研究較少在探討基本運算能力與策略選 擇的關係，也無研究顯示不同的策略選擇對大腦認知負荷的影響。有關專家與生 手的研究顯示，專家型的問題解決者不僅可熟練地將問題解決動作自動化，且有 較多的餘力監控整個過程的進行及可能發生的錯誤，比較能察覺到問題狀態及限 制因素，能適時的修正問題空間的規模及品質。生手則比較無法感知到問題狀態 中的限制因素，對整個過程的掌握能力不如專家來得好（Gentner, 1988; Glaser, & Chi, 1988）。因此本研究假設，數學運算能力高低不同者有不同的運算策略選擇， 而這些不同策略的運算選擇會影響大腦的認知負荷，進而造成表現上的差異；同 時，運算能力高者較能依題目難易彈性地選擇運算策略。 過去的研究顯示人們學習運算需要一些基本能力支援。許多研究正努力地瞭 解有哪些基本能力是在進行數學運算時所必須的。部分研究認為像是工作記憶以 及執行功能的一般認知能力是必要的；有些研究則認為領域特殊能力也很重要， 像是大數目的概數感、群數（numerosity of a set）以及執行運算時的數字表徵。 然而，哪些能力扮演重要的角色仍持續在爭議中（Butterworth, 2010）。 因此本計畫之研究目的在於探究運算能力高低不同者在乘法運算時的策略 選擇與大腦認知負荷情形。第一年度計畫的研究目的在於找出未來 fMRI 研究中 適合的刺激材料，也就是從不同難易度以及不同數字記憶負荷量的題型中，篩選
出能達成研究目的的乘法題目。第二年度計畫研究目的仔細篩選第一年度測試的 題目，並設計出適合在 fMRI 研究的題型以及實驗程序，為了確保刺激材料在數 字記憶負荷程度上的穩定度，選擇使用對於認知負荷敏感之眼動指標─瞳孔變 化，作為篩選刺激材料的測試。第三年依序執行 fMRI 實驗並依據前階段的實驗 結果調整後續的實驗程序。
貳、文獻探討
本計畫為了探究基本運算能力高低者在執行較複雜的乘法運算時的大腦認 知活動負荷情形，參考前人關於數學基礎運算以及工作記憶認知負荷之相關神經 基礎研究。以下將依序介紹工作記憶能力與數學成就之關係、數學學習相關之認 知能力以及數學基本運算的神經機制。
工作記憶容量與數學成就的關係
工作記憶即同時處理資訊與儲存資訊的能力，因此在測驗其容量時，會使用 雙作業廣度測驗（dual‐task span test），也就是需要同時運用處理與儲存兩種能力 的測驗。一般而言，工作記憶被公認是有容量限制的，並因此造成個體差異。以 Conway 等人的理論來說,容量即表現在有多少在注意力範圍中的資訊被成功的記 憶下來。也就是能由記憶中活化資訊，並保持對資訊的注意力，以及忽略與主題 焦點無關的干擾訊息。目前被廣為接受的一般容量假說（Tuner & Engle, 1986） 修正了以前的作業特定性假說（Daneman & Carpenter, 1983, 1980），其差異在後 者假設當工作記憶與要處理的內容是同一個類型時，工作記憶容量跟表現出來的 結果才會有關連。一般容量假說指的是工作記憶對於任何類型的工作，都與其有 某種程度的關聯。工作記憶容量大指的也不是儲存的空間較大，而是指因為注意 力能集中在焦點資訊上，並加以處理，而能有較好的認知結果。從這裡可以得知， 如果受試者必須自行調控認知與注意力的集中位置與程度，則受試者的工作記憶 容量不同就會造成不同的結果。如果認知與注意力的集中位置與程度不需要被受 試者自行操控，則不會造成影響。換句話說，也就是不受工作記憶的影響。 為何工作記憶能力在數學成就上如此重要？其實不只是數學，工作記憶對不 同的認知功能來說都非常重要，如閱讀、計算、決策和學習新事物等。中央控制 系統被證實與學習新的字彙有關（Henry, 2001），與理解語言有關（Swanson & Ashbaker, 2000），也與數學計算能力有關（Bull & Scerif, 2001）。工作記憶因此對 學業成就有密切的關係，也是預測學業成就的一個指標（Hitch, Towse, & Hutton, 2001）。也有研究指出,工作記憶與英國小一學生的國家課程測驗成績有一致的結 果（Gathercole & Pickering, 2000）。國內亦有研究探工作記憶和數學障礙間的關
聯性（蔣大偉，2001）。 近代對於工作記憶的看法，Oberauer 等人認為，工作記憶至少有三種功能： 儲存與轉換,監督,與協調（Oberauer, Lange, & Engle, 2004; Oberauer, Schulze, Wilhelm, & Süss, 2005; Süß, Oberauer, Wittmann, Wilhelm, & Schulze, 2002）。其中 儲存與轉換是在保持相關聯的長期記憶隨時可被提取，並同時進行認知作業。監 督則是指中央執行系統，最重要的功能在於過濾與忽略不相關的訊息，並使個體 能集中注意力處理正在進行的作業。協調指的是協調來自不同部分的資訊，如語 音迴路及視覺空間模板，並安排處理程序，使得複雜的新訊息能彼此結合成一個 相關的整體結構。這樣的協調系統是容量有限的，並且可以決定要分割或保留收 到的訊息。在這些功能中，監督與協調的功能在整個工作記憶系統中是屬於記憶 力調控的部分，而非記憶的功能，也就是適當的在受到干擾的狀況下，選擇將注 意力調配在目標訊息上，進而使個體的處理效率提高。換句話說，工作記憶也就 代表了一個個體能夠集中注意力在新資訊上的能力，然後進而處理與儲存。 Oberauer 等人將工作記憶大致分為口語、數字和空間圖形幾個方向，因為 個體在處理外來資訊時，也是將其區分成口語、數字和空間圖形。而個體處理外 在資訊時應用的個人智力，即與工作記憶有密切關係。因此將這樣的分類對應到 工作記憶有其合理性。而 Oberauer 等人又進一步的將這些類型的作業細分，分 成三種功能（儲存與轉換,監督,協調）與三種資料類型（口語,數字,空間與圖形） 排列組合而成。這樣詳細的將作業分類有助於後來的研究者依不同的功能、內容 及研究需要選取不同的作業加以組合，並研究其關聯。目前尚待突破的則是如何 區辨個體是否只使用分類中的單一認知功能來進行作業；較可能的是每項認知功 能都在某個面向上協助作業，而使作業測量出來的結果有功能的重疊現象。 Iuculano、Moro 和 Butterworth（2011）整理出工作記憶的幾個成分與數學 運算之間的關係。像是語音迴路（Phonological Loop, PL）被認為與解決單一數字 的加法有關（Hecht, 2002; Seyler, Kirk, & Ashcraft, 2003）。視覺空間模板 （Visuo‐spatial sketchpad, VSSP）則與視覺呈現的問題有關（Logie et al., 1994）。 中央處理系統（Central Executive, CE system）則被認為在計算上扮演重要的角色， 藉由更新像是進位退位等運算，負責及時儲存與處理最後的結果（Baddeley, 2003）。
數學領域相關的認知能力
數感與概數系統 數感（number sense）被認為是基本的對於數（量）的直觀，是一個不需要 口語計數的，對於視覺或語音等項目之近似數量的估計能力。目前有越來越多的 研究發現，人類具有內在的數感，可以處理近似值的運算。這種對於數的近似值
估計能力不只在成人上發現，在嬰兒、小孩上，甚至非人類的動物上（哺乳類及 禽類）也發現具有這樣的能力，這些能力包括數的近似值、抽象表徵。因此許多 研究假設，生物存在一個內建的概數系統（approximate numerosity system, ANS），用來提供生物感知數（量）的近似值（Lemer, Dehaene, Spelke, & Cohe, 2003），認為此一假設的生理基礎，支援數（numerosities）的比較與操作（Barth, Kanwisher, & Spelke, 2003; Barth, Mont, Lipton, Dehaene, Kanwisher, & Spelke, 2006; Pica, Lemer, Izard, & Dehaene, 2004）。此外有研究發現，當成人與孩童比較或相加 符號數字時，他們的近似值表徵似乎會活化（Gilmore, McCarthy, & Spelke 2007）。 概數系統與數學學習的關係 許多非人類的物種似乎也都具有處理近似值的能力，因此認為可能具有一個 內建的直觀的生理機制，也就是概數系統，來處理日常生活需要不用細數也不很 精確的估算（Lemera et al., 2003）。另有一些研究則發現孩童概數能力與數學成 就有關，幼稚園時期的早期概數能力可以預測其未來的數學成就，而有運算功能 缺失的孩童也常見概數能力的不足（Halberda, Mazzocco, & Feigenson, 2008）。因 此提出計算障礙是所謂「概數系統和正規的數學符號」之間不連結造成的，並認 為概數系統與正式符號數學之間的不連結，是造成數學障礙或失算症的主因 （Attridgea, Gilmorea, & Inglis, 2009）。但不是所有的研究都呈現這樣的結果，有 些運算能力不足的孩童與控制組的孩童在相關的 ANS 作業上沒有什麼差異 （Iuculano, Moro, & Butterwoth, 2011）。Rouselle 及 Noël（2007）則主張失算症是 在概述系統中的概數表徵與使用在正式數學中的符號不連結的結果，因為他們發 現被認為是失算症的孩童，能夠在非符號比較作業中表現良好（像是，「藍點或 紅點誰比較多」的作業），但是卻無法成功處理使用符號的相同任務。
乘法心算之策略
乘法的運算涉及了許多重複的單一數字操作，並且有許多必須執行的複雜過 程，像是提取一位數乘以一位數的資訊、將兩個數值相加、進位，記憶不同位數 的數值。在乘法中，當被要求將一個長的被乘數乘以一個數字的乘數時，在沒有 其他輔助情形時，我們會試著採取一些策略來處理相乘的順序。通常，在學校裡 教學的是乘數從右至左乘被乘數每一個數值，但一些研究發現有些人，特別是在 乘法心算表現特別好的人，常採取與學校教學相反的方向，將乘數從左至右乘被 乘數（Pesenti, 2005; Staszewski, 1988）。 當使用鍵盤作為計算結果的輸出時，會發現使用學校策略的受試者的按鍵行 為模式與使用專家策略者的按鍵模式不同（Rosenberg‐Lee, Lovett, & Anderson,
2009）。使用學校策略的受試者在心算出答案後，迅速將答案的所有數字依序迅 速按出，而使用專家策略的受試者的按鍵則會呈現「間歇性」的作答，在確定最 大位數的值後，就先按出第一個數字，而後隨著陸續由右至左乘被乘數後，逐漸 按出第二位、第三位，直到答案中所有的數值都輸出。兩者的按鍵反應模式可以 見圖1。這樣的按鍵模式不同可以讓研究者直接從行為反應立刻得知受試者採取 的策略，因此適合做為判斷受試者策略選擇的研究方法。 圖 1 乘法心算常見的兩種策略 此外，這樣的按鍵行為模式也適合用來探討乘法心算的認知負荷情形，當受 試者在同一題目中分別使用兩種不同的策略時，理論上，使用學校策略的認知負 荷會比使用專家策略時重。因為受試者必須記著相當多位的數值，同時還得不斷 地進行運算，而使用專家策略時，當確定最大位數的數值後，按鍵輸出後，就可 降低必須記憶的數值數量。
數學運算之神經機制
Roland 和 Friberg(1985)的研究是第一個探索人類處數學能力相關神經區域 的實驗，其利用正子斷層造影(Positron emission tomography，PET)的研究結果發 現，頂葉及額葉的新陳代謝在複雜計算過程中會增加。這研究的結果和之前從腦 傷病人的研究結果發現一致，證實頂葉在處理數字上扮演關鍵角色(Piazza & Dehaene, 2004)。 Dehaene、Piazza、Pinel 和 Cohen(2003)的研究回顧相關的神經生理證據，並 利用功能性磁振造影（functional magnetic resonance imaging，fMRI）觀察在不同 數字作業時腦區的活化表現，區分出大腦頂葉區域在與數相關處理時的活動情 形。他們提出三個頂葉區域在數相關作業中運作的部位及其處理機制： bilateral
posterior parietal lobes（PSPL）、left angular gyrus（AG）和 bilateral horizontal segment of the intraparietal sulcus（HIPS）。PSPL 與視覺空間處理有關； AG 與數 的語言處理（verbal processing）相關；而 HIPS 則與表徵數量有關，無論呈現方 式是用阿拉伯數字、數字文字或點數（dots），當受試者注意到數量時，HIPS 皆 會活化。
Piazza 和 Stanislas Dehaene（2004）綜合許多關於數與 HIPS 區域活化程度 的研究，指出 HIPS 這個區域活化程度增加有些個特徵（features），分別是： （1） 估計近似結果時 HIPS 會有較多的活化；（2）使用到數值比例（numerical scale） 的比較操作（comparative operation）時 HIPS 會被活化；（3）相對於物體或概念 的類別，與數類別有關時 HIPS 會相當穩定地活化；（4）數字呈現時， HIPS 的 活化並不受其數字呈現方式的影響；（5）即使是無意識地處理到數量， HIPS 亦 會活化。這些使大腦 HIPS 區域活動增加的特徵，都是關於編碼（encode）數量 尺度的類比表徵（analogical representation），而此表徵是源於對數量大小意義的 直覺。 此外，過去研究顯示受試者在計算估計加法題目的近似結果時，HIPS 有較多 的活化， Dehaene、Spelke、Pinel、Stanescu 和 Tsivkin（1999）的研究比較受試 者在做精算加法（exact addition）與概算加法（approximate addition）時的大腦 活動，結果發現 HIPS 在做概算加法時較活躍，此外和數字較小時相比，數字較 大活化量較大，活化時間也比較久。 Lee（2000）的實驗中則發現做精算（exact calculation）時，在確實有在做數值操作（manipulation）的作業（例如：減法）， 與由長期記憶中提取數值的作業（例如：乘法）相比較時，前者的 HIPS 較活躍， 然而 Lee 的實驗材料都是一位數對一位數的乘或減，而非二位數或三位數的運 算。 過去研究也顯示在需要使用到數值比例（numerical scale）的比較操作 （comparative operation）時 HIPS 也會被活化。 Pinel、Dehaene、Rivière 和 LeBihan （2001）的研究中要求受試者比較視覺呈現的數字比 65 大或小，發現數字距離 效應（numerical distance effect）的主要大腦活動在頂葉區域，包括 right intraparietal focus、bilateral posterior intraparietal foci 及 bilateral precuneus。這結 果與 Dehaene（1996）的 ERP 研究的發現一致。Temple 和 Posner（1998）則在 五歲的小孩上發現與成人一樣的數字距離效應，這樣的效果無論是在阿拉伯數字 上或是一堆的點的實驗設計上皆被發現。 在類別的研究也發現，相對於物體或概念的類別，在數類別上 HIPS 區域會 相對穩定地活化。Pesenti、Thioux、Seron 和 Volder（2000）在做比較判斷時， 受試者在處理數值比例時相對於處理非數值比例的物體類別，HIPS 有較高的活 動。Thioux、Pesenti、Costes、De Volder 和 Seron（2005）發現無論是在數字上 的語意作業或是比較作業，都觀察到 left and right intraparietal sulci 的活動，因 此認為 HIPS 的活動與數的類別特徵語意知識有關。 Eger、Sterzer、Russ、Giraud 和 Kleinschmidt (2003)的研究檢驗關於三重編碼理論（triple‐code theory）中所假
設的抽象語意「數字感」（abstract‐semantic "number sense"），要求受試者對數字、 字母及顏色做簡單的偵測作業（detection task），刺激材料中的字母與顏色為控 制材料，兩者皆包含距離效應（distance effect）。而字母還包含序列成分（serial component），但兩者都沒有數量的意義。在這個實驗中並沒有直接要求做數量 的判斷，只是簡單的偵測作業。結果顯示，相對於偵測字母和顏色，偵測數字時 HIPS 是唯一活化較多的部位，因此認為 HIPS 特別編碼了關於量的資訊。 過去研究進一步發現，數字呈現時，HIPS 的活化並不受其數字呈現方式的影 響。無論是阿拉伯數字、數字文字或點數，當受試者注意到它們的數量時，皆會 活化 HIPS 區域。 Piazza、 Giacomini、Le Bihan 和 Dehaene（2003）要求受試者 注意視覺（顏色）或聽覺（音高）呈現的數量訊息，發現無論是哪種模式的刺激， 皆會造成右側的 HIPS 活化。而無論數字是以阿拉伯數字或語文的方式呈現，皆 有數字距離效用，也都會活化兩側的 HIPS 區域（Pinel et al., 2001）。 此外，當受試者並未看到數字符號時，若有對其做數量處理，HIPS 亦會活化。 Naccache 和 Dehaene（2001）的實驗中受試者被要求比較目標數字比 5 大或小， 但在呈現目標數字時，短暫的呈現一個促發數字（prime number）。fMRI 資料顯 示兩側的 intraparietal region 對於相同數字是否重複相當敏感，即便是受試者並 沒有意識到。當觸發數字與目標數字一致的量時（例如，ONE 與 1）相較於不一 致量時（例如，FOUR 與 1）額葉的活動較低。這樣的結果顯示 intraparietal region 可能包含對於處理不同數量的神經部件（neural assemblies），因此在處理兩個數 量時，相較於只處理一個數量時，神經部件的活化較多。
Piazza 和 Dehaene（2004）整理關於額葉損傷的研究，亦顯示 HIPS 與數量 表徵有關，一些病人顯現出數字概念和其他語意概念雙重分離(double dissociation)的現象，left temporofrontal cortices 受傷但 intraparietal regions 未受 傷的病人語意能力很差，但仍保留數字理解及計算能力。而有些左側 parietal region 受傷的病人保留語言及語意能力，但是數字理解能力受損。在發展的研究 上亦顯示有計算困難的人通常在 HIPS 不正常，像是 left inferior parietal area 新 陳代謝不正常。而在 X 染色體不正常（只有一個 X）的 Turner’s syndrome 的病 人上，通常伴隨著數學技巧的缺失，但智力正常，測試其灰質密度，發現右側的 HIPS 的灰質密度較少，而 fMRI 研究亦顯示在做數字作業時，像是簡單加法， Turner’s syndrome 的病人的右側 HIPS 活化程度與正常人相比有顯著不同。 綜上所述，許多證據顯示 HIPS 區域在數學技巧發展上扮演關鍵的角色，然 而並非只有這個系統參與數字處理的過程。例如心算需要綜合許多心智過程，而 其中有些歷程可能不是僅在數字領域。Dehaene 等人（1999）的研究顯示，在精 算時，相對於概算，left angular gyrus 的活化程度較高。 Spelke 和 Tsivkin（2001） 研究則發現雙語受試者的語言與數字的關係，顯示精確數字的訊息以學習階段使 用的語言來提取較為有效，但是概略數字的訊息，無論用哪一種語言來提取都一 樣有效。一些研究發現顱內出血的病人有時會出現不同型態的計算缺損， Lee （2000）的 fMRI 實驗中觀察兩種不同運算方式的大腦活動，發現在做精算時，
特別是相對於減法作業，乘法作業有比較多由長期記憶中提取數值，left angular gyrus 的活化程度較高。 Delazer 等人（2005）、Ischebeck 等人（2006）和 Ischebeck、Zamarian、Schocke 和 Delazer（2009）之研究亦證實 left angular gyrus 的活化與運算時長期記憶的提取有關。
Ischebeck、Zamarian、Schocke 和 Delazer（2009）比較受過乘法訓練的受試 者在已訓練過的乘法題型上與未訓練過乘法題型上的大腦活化情形，發現在反覆 學習過的題型作答時，受試者在額葉‐頂葉區域（fronto‐parietal areas）上，像是 intraparietal sulsi（IPS）及 left inferior frontal gyrus 活動較低，而 angular gyrus 的活化較高，這樣的大腦活動差異顯示，受試者在已訓練過的乘法題型上是從長 期記憶中提取已學習過的結果（fact），而非直接計算。 另外，在已訓練過的乘法題目的相關除法題目方面，亦發現遷移的大腦活化 情況。例如：在「4 乘以 7 等於 28」這樣乘法題型上，與「28 除以 4 等於 7」 及「28 除以 4 等於 7」等題型相關。除了「 4 乘以 7 等於 28」這樣的乘法題 型表現出額葉與頂葉區域活化減少與 angular gyrus 的活化增加外，相關的除法 題型「 28 除以 4 等於 7」及「28 除以 4 等於 7」也表現類似的大腦活化變化， 顯示學習效果的遷移。行為表現上也顯示學習效果的遷移，除了已經學習過的乘 法題目在測驗的時候反應速度較快且正確率較高外，在相關的除法問題上，行為 表現也較未訓練過的題目上速度快且正確率高。 Delazer 等人（2005）探究使用兩種不同學習策略學習乘法之後，回答乘法 問題時的大腦活化差異。這兩種學習策略分別是利用運算法則計算的學習，及機 械式背誦兩個運算子之間的結果的學習。發現後者的學習方式造成測試的表現相 對於前者有較多的 left angular gyrus 的活動，顯示機械式背誦學習方式會促發結 果的提取。 Ischebeck 等人（2006）比較乘法與減法的運算過程大腦活動，發現受試者 在訓練後的乘法與減法題目同時表現出額葉與頂葉區域活化降低的情形，但只有 在已訓練過的乘法題目上在 left angular gyrus 活動相較於未訓練過的乘法題目 顯著增加。這樣的結果被認為在乘法上相對於減法因訓練產生的記憶提取是比較 有效的策略。 然而數學專家在解決問題的時候，其表現優異並不只是限制在較好計算結果 的提取上，而是同時包含比較豐富的程序及概念的知識。程序知識是由已被儲存 的運算法則到解決複雜計算問題的一串序列步驟的例行公式似的應用（Ischebeck et al., 2009; McCloskey, Caramazza, & Basili, 1985）。程序知識不是推論的產生，且 可能與概念知識是分離的。要使推論產生與連結不同的概念資訊這兩部分形成有 意義的連結，概念知識是必要的。在算術上，概念知識包括運算子和運算法則的 基本瞭解。數個神經心理學研究顯示概念知識與結果知識（fact knowledge）是 分離的，也與程序知識及運算法則知識分離（Cappelletti, Kopelman, Morton, & Butterworth, 2005; Girelli & Delazer, 1996; Ischebeck et al., 2009），而腦傷的研究結 果認為在算術上至少有部分分開的神經網路可能分別支持重複學習結果知識、程
序知識和概念知識。Cappelletti 等人發現，語意性記憶受損的患者，在圖片及語 言呈現的作業皆表現較差，但數字相關知識卻沒有明顯損害。此結果顯示數字相 關記憶與圖片、語言記憶有不同運作系統（ Cappelletti, Butterworth, & opelman, 2001）。後續研究更進一步證實該病患即使非運算法則（nonarithmetic cenceptual knowledge）知識受損，但其運算法則知識仍能被保存。顯示概念知識與運算法 則知識分離（Cappelletti, Kopelman, Morton, & Butterworth, 2005）。除此之外， Girelli 等人發現書寫計算困難的患者 MT，其多位數相減的能力受損，此結果亦 支持運算法則與概念知識相互獨立（Girelli & Delazer, 1996）。 除了在 left angular gyrus 中的語言相關區域與數字處裡有關外，許多研究亦 分離出在 PSPL 上的視覺空間區域與數字處裡的空間及非空間注意力有關。在前 述之 Dehaene 等人（1999）及 Spelke 和 Tsivkin（2001）的研究，除了發現 left angular gyrus 在精算時比粗算時以及在乘法運算時比減法運算時活動高外，還發 現 PSPL 區域活化，且通常與 HIPS 一起活化。像是在數字比較作業中的數字處 理時（Pinel et al., 2001）、概算時（Dehaene et al., 1999）、或一些減法作業時（Lee, 2000）以及計數（counting）時（Pesenti et al., 2000），會看到 PSPL 區域的活動。 但此區不只是和數量有關，還與空間、時間的注意力有關，在 Wojciulik 和 Kanwisher（1999）的 fMRI 研究中企圖探討不同種類視覺注意力是否共用某些神 經基質（neural substrate），發現 PSPL 在空間與時間的注意力選擇上扮演重要角 色。因為數字本身及含有強烈的序列關係以及空間成分，可想而知這樣的結果很 可能是相同的運作發生在選擇空間上的位置及處理數線上的特定數量的注意力 切換。
Piazza、Mechelli、Price 和 Butterworth(2006)的 fMRI 研究探究在不同感覺通 路上粗估與精算方式的大腦神經網路活動，發現跨感覺輸入通路的神經活動。無 論是哪種感覺輸入，粗估方式時會活化 right lateralized fronto‐parietal cortical network，而精算時則增加左側前額葉、頂葉以及兩側前運動皮質區的活動。他 們認為精算的時候受試者必須注意哪些區域或是哪些訊息已經處理過（計數 過），因此活化的區域跟運動及注意力相關系統有關。
數學運算與工作記憶成分的關係與其神經機制
Lee 和 Kang（2002）利用雙作業抑制語音或視覺空間處理來探究計算功能與 工作記憶的關係，發現乘法的表現與語音迴路有比較高的關連，減法則與視覺空 間模版有關。這樣的結果與所有的算術是一件事（the arithmetic is done on a unitary）的看法衝突，反而比較支持人類數字認知上的三重編碼或模組處理模型 （modular processing models）的假設，這些假設中在輸入及輸出的模式中及計算 方式上的數字表徵是特殊的。這些在行為表現上的分離現象顯示計算的神經基礎 是異質的（heterogeneous）。激特殊資訊的維持與反應之間的關係，利用 fMRI 來測試是否數字的更新與數學 運作的更新在工作記憶中依賴相同的神經系統；其研究結果顯示在運作的更新時 大腦活化情形偏好在共同網路的前額葉部份，而數字更新則偏好在頂葉，顯示數 字與規則皆在工作記憶中被維持，但它們是不同的資訊，且分開被控制。
認知負荷之生理指標
Recarte and Nunes（2000）的研究證實可以利用口語或視覺想像的作業使得 瞳孔大小產生有效的變化。因此陸續許多研究發現這些發生一段時間的認知事件 與一連串的瞳孔突然放大有關（Marshall, 2002; Marshall, Pleydell‐Pearce, & Dickson, 2003），顯示作業會引發瞳孔放大，並且證明瞳孔放大是認知負荷有關 （Andreassi, 2000; Granholm, Asarnow, Sarkin, & Dykes, 1996; Siegle, Granholm, Ingram, & Matt, 2001, Karatekin, Couperus, & Marcus, 2003），也與情緒強度有關 （Gilzenrat, Nieuwenhuis, Jepma, & Cohen, 2010; Einhauser, Stout, Koch, & Carter, 2008）。也發現瞳孔大小的變化與作業的認知負荷以及注意力要求的關係（see also Goldwater, 1972; Granholm, Asarnow, Sarkin, & Dykes, 1996; Hoecks & Levelt, 1993; Iqbal, Zheng, & Bailey, 2004; Janisse, 1977; Porter, Troscianko, & Gilchrist, 2007），並且認為瞳孔放大的變化是測量認知負荷的一個穩定的指標。
參、研究方法
本研究採用實驗設計法，並依照實驗需求配合功能性核磁共振造影，探討在執 行較為複雜的乘法運算時大腦的認知活動負荷情形。本計畫為達成研究目的，依 序進行了多個行為實驗，包含了乘法心算作業、概數判斷作業、四種工作記憶作 業、乘法眼動實驗，fMRI 實驗來探索不同乘法運算策略對認知負荷的影響。 行為實驗的目的除了為後續要進行的 fMRI 找尋並測試合適的刺激材料外， 還探究乘法心算能力與一些基本認知能力之間的關係，以及在不同的乘法題型下 的運算策略以及不同運算能力者之策略與其工作記憶能力之關係．眼動實驗則是 在更進一步利用瞳孔縮放對認知負荷的敏感性，來檢視行為資料中篩選出來的刺 激材料是否具備穩定數字負荷，最後設計 fMRI 實驗來探究乘法牽涉的認知成分 以及大腦活化情況． 與過去研究多以簡單的一位數加法與乘法運算不同之處在於，本研究將使用 較為複雜的數學運算題目作為實驗的刺激材料，嘗試釐清受試者在執行數學運算 時認知負荷不同對大腦活化的影響。因眼動指標中的瞳孔變化對於認知負荷較具 敏感度，因此本研究將第一年度所篩選出來的刺激材料設計成眼動實驗，在第二 年時利用眼動儀來觀察受試者的瞳孔隨著刺激材料在運算時數字記憶負荷程度 的變化。第三年之 fMRI 實驗中所使用的刺激材料則依據認知負荷之瞳孔變化實
驗的結果來篩選。以下將依序報告行為實驗之實驗結果，以及依據眼動實驗結果 和研究目的設計出來的 fMRI 實驗。
乘法心算能力、策略選擇與工作記憶及數感關係之行為實驗
受試者 48 位同學參與實驗，平均年齡 24，男女各半，多數為國立政治大學之 大學部或研究所之學生。最後資料分析在乘法心算能力與工作記憶及數感關係上 只有 45 位的資料（因為其中一位參與者在乘法心算的正確率過低，80 題中僅有 26 題正確，因此不納入最後分析；另有兩位參與者之概數判斷作業上正確率方 向與他人完全相反，容易判斷之題型反而正確率較低，因此不納入相關分析中）。 在乘法策略變化與工作記憶之關係部分，有 47 位的資料（刪除之資料則同為上 述之參與者，因為其在乘法心算的正確率過低，80 題中僅有 26 題正確，無法納 入）。 作業與程序 本研究受試者參與的作業總共有三種，共含六個作業，分別是乘法 心算作業、概數判斷作業以及四個工作記憶作業。半數的受試者參與作業的順序 為：乘法心算作業概數判斷作業工作記憶作業；另外半數的受試者參與作業 的順序則為：工作記憶作業概數判斷作業乘法心算作業。 以下將分別說明各作業之詳細內容，包含他們的所使用的刺激材料以及實驗程 序。 乘法心算作業 刺激材料 此作業總共包含 80 個題目，每 20 題有一個休息。題目的種類依照題 目難度（四種）及數字負荷程度（兩種）而分，共八類，每一類有 10 題，共 80 題。題目難度分為兩個數字乘以一個數字（二乘一）、三個數字乘以一個數字（三 乘一）、四個數字乘以一個數字（四乘一）及兩個數字乘以兩個數字（二乘二）； 數字負荷程度，則依據 Anderson（2009）之學校策略分成簡單題（較低數字負 荷題型）與困難題（較高數字負荷題型）。 為了避免數字重複產生促發效果，題目中的數字皆不重複；此外，題目中的 數字不包括 1 或 0，另，被乘數還不包含 5。 題目的類型舉例如下，依難度分，二乘一（35x4）、三乘一（356x4）、四乘 一（3567x4）及二乘二（35x67）。而題目的數字負荷程度範例（見圖 3），依據 Anderson（2009）的研究，以學校策略的方式計算時的數字最大負荷來篩選題目。 同一類型的題目之最大負荷值相同。以 3456 乘以 2 為例，若以學校策略（藍色 方框）來計算，整個心算過程的數字負荷依序為 2‐>4‐>5‐>3‐>4‐>6‐>3‐>4‐>7‐>4‐>
3‐>2‐>1；最大數字心智負荷為 7（紅圈處）(參見圖 2)。 圖 2 乘法心算的心智負荷 在本實驗中，刺激材料的數字負荷之最大負荷分別為，二乘一簡單題之數字 負荷順序為 2‐>3‐>4>2，最大數字負荷為 4；二乘一難題之數字負荷順序為 2‐>4‐>5‐>3，最大數字負荷為 5；三乘一簡題之數字負荷順序為 2‐>3‐>4‐>2‐>3‐>5‐>3，最大數字負荷為 5；三乘一難題之數字負荷順序為，最大 數字負荷為 7；四乘一簡題之數字負荷順序為 2‐>4‐>5‐>3‐>4‐>6‐>3‐>4‐>7‐>4，最 大數字負荷為 7；四乘一難題之數字負荷順序為 2‐>4‐>5‐>3‐>5‐>7‐>4‐>6‐>9‐>5， 最大數字負荷為 9；二乘一簡題之數字負荷順序為 2‐>3‐>4‐>2‐>4‐>5‐>3‐>4‐>6‐>4， 最大數字負荷為 6；二乘一難題之數字負荷順序為 2‐>4‐>5‐>3‐>5‐>6‐>3‐>5‐>7‐>4， 最大數字負荷為 7。 實驗程序 實驗中螢幕將會依序出現題目，不同的題型隨機出現，受試者看到題 目後，開始心算，並口頭報告心算過程，實驗者同時記錄參與者的口語報告並錄 音；受試者計算出答案後，按鍵出答案後，螢幕同時出現參與者的按鍵結果；當 參與者按確認鍵後（Enter），題目跳出，再出現下一題（見圖 3）。每位參與者每 回答 20 題後可休息，共可休息三次，共回答 80 題。實驗結束後再依據參與者的 口語資料回溯每一題之計算過程，確認每一題的計算方式。
圖 3 乘法心算作業之實驗程序 概數判斷作業（Numerical Discrimination Task） 刺激材料 在概數判斷作業中，刺激材料為分布在螢幕上不同地方的黃點與藍點 （見圖 4），半數的題目中，是黃點比較多，另半數的題目則是藍點多。黃點與 藍點數目的比例分別為 2（2:1）、1.33（4:3）、1.2（6:5）及 1.14（8:7）。半數的 題目中控制黃點與藍點的區域相同（area controlled：全部黃點的像素大小與全 部藍點的像素大小相同），半數的題目則控制黃點與藍點的點尺寸相同（dot‐size controlled：黃點與藍點的平均尺寸相同）。
718
718
718x4
236x7= 1652
236x7
呈現問題 按數字鍵回答圖 4 概數判斷作業刺激材料範例 實驗程序 實驗中，每一個題目出現十字後，立刻呈現刺激在螢幕上 200 毫秒， 然後刺激消失，出現問號，參與者按鍵回答剛剛出現的刺激中，哪一個顏色的點 比較多（見圖 5）。為了避免參與者慣性按左鍵或右鍵造成偏誤，半數的參與者 在黃點多的時候按左鍵（N 鍵），藍點多時按右鍵（M 鍵）；半數的參與者則是藍 點多的時候按左鍵（N 鍵），黃點多時按右鍵（M 鍵）。 圖 5 概數判斷作業的實驗程序 工作記憶作業 在工作記憶作業中，我們選擇了四種著名的工作記憶作業作為本實驗的作業 （Lewandowsky, Oberauer, Yang, & Ecker, 2010），分別為記憶更新作業（Memory Updating task）、運作廣度作業（Operation span task）、句子廣度（Sentence span task）作業以及空間短期記憶作業（Spatial short‐term memory task）。
?
Display only 200ms Display until answer記憶更新作業 實驗程序 記憶更新作業的實驗程序如下：在每次嘗試開始時，螢幕上會呈現 3‐5 個不等的方框，方框中依序呈現數字，數字呈現完後會呈現算式，參與者須 將算式與先前該方框出現過的數字結合進行運算，然後在出現「?」方框的時候 運算結果，將數字填入欄位中。作答時間不限，但作答後，不能修改答案，作答 完畢後繼續下一個嘗試。所有的過程見圖 6。 圖 6 記憶更新作業的實驗程序 運作廣度作業 實驗程序 運作廣度作業的實驗程序如下：在每次嘗試開始時，螢幕上會呈現一 個簡單數學算式，參與者必須判斷這個數學算式是否正確，並按鍵作答反應；算 式只會在螢幕上呈現 3 秒鐘，參與者必須在這段時間內儘快作答，若無作答，3 秒鐘後數學算式亦會消失。算式消失後，螢幕會呈現一個英文字母，參與者必須 記住這個字母。這樣的過程會重複 4 到 8 次，接著會出現「?」，參與者必須把之 前呈現的英文字母依序按出來。作答時間不限，但作答後，不能修改答案，作答 完畢後繼續下一個嘗試。整個過程見圖 7。
圖 7 運作廣度作業的實驗程序 句子廣度作業 實驗程序 句子廣度作業的實驗程序如下：在每次嘗試開始時，螢幕上會呈現一 個簡單數學算式，參與者必須判斷這個數學算式是否正確，並按鍵作答反應；算 式只會在螢幕上呈現 5 秒鐘，參與者必須在這段時間內儘快作答，若無作答，5 秒鐘後數學算式亦會消失。算式消失後，螢幕會呈現一個英文字母，參與者必須 記住這個字母。這樣的過程會重複 3 到 7 次，接著會出現「?」，參與者必須把之 前呈現的英文字母依序按出來。作答時間不限，但作答後，不能修改答案，作答 完畢後繼續下一個嘗試（見圖 8）。 圖 8 句子廣度作業的實驗程序 空間短期記憶作業 實驗程序 空間短期記憶作業的實驗程序如下：在每次嘗試開始時，螢幕上會呈 現一個 10x10 的棋盤式矩陣，接著螢幕上會出現 2 到 6 個不等的黑點，一次只會 出一個點，每個點呈現約一秒鐘後消失。參與者必須儘可能地記下這些點的位 置。之後螢幕會出現「Please reproduce the dot pattern」字樣，表示黑點已經完 全呈現完畢，接者螢幕會出現相同的但空白的棋盤，此時參與者使用滑鼠在棋盤 上點出黑點所出現過的位置。此作業可以更改答案。參與者作答出所有黑點後， 螢幕會呈現「Next」，按下「Next」後，則進行下一個嘗試（見圖 9）。作答時不
需依照呈現的順序，也不限時間，只許要將點的位置正確回憶出來即可；如果參 與者無法精確的回憶出點所出現的位置，則儘可能的描繪出點與點之間的正確關 聯性。 圖 9 空間短期記憶作業的實驗程序
乘法眼動實驗
受試者 國立政治大學校園招募之學生 30 名（男 5 名，女 25 名，平均年齡 20.9 歲）， 受試者費 200 元新台幣，矯正後視力正常。 刺激材料 以第一年度所建立之刺激材料庫中篩選出題型不同（2x1、3x1 及 4x1）與數 字記憶負荷程度不同（數字負荷較低題與數字負荷較高題）的題目共 48 題。控 制同一題目內數字不重複，且所有的題目的數字皆不含 0、1 和 5。不同題型中 的數字負荷程度見表 1，不同題型之範例見表 2。 表 1 不同題型中數字負荷程度 題型 數字負荷程度 2 位數 x1 位數 3 位數 x1 位數 4 位數 x1 位數 簡單 4 5 7 困難 5 7 9
表 2 乘法眼動實驗之不同題型範例 題型 數字負荷程度 2 位數 x1 位數 3 位數 x1 位數 4 位數 x1 位數 簡單 27x3 348x2 4396x2 困難 98x4 279x6 97298x6 實驗設計 本實驗為 3（2x1、3x1、 4x1）x2（簡單題與困難題）之受試者內設計，每 一個操弄皆有 8 題，共 48 題。受試者進行的實驗程序如圖 10，實驗中同時收集 受試者的眼動與瞳孔縮放資料。如果刺激材料的數字記憶負荷穩定，預期將從受 試者的正確率以及反應時間，以及眼動指標（平均凝視時間、凝視點數以及瞳孔 大小變化）觀察到隨著數字記憶負荷程度的變化。 圖 10 乘法眼動實驗程序
乘法題型與數字負荷的
fMRI 實驗
為達成研究目的，依據前述之乘法行為實驗以及乘法眼動實驗之結果，篩選 出適合在 fMRI 實驗中進行之刺激材料，並依據受試者在 MRI 掃瞄室中平均適合 之實驗時間（約 45 分鐘）設計出 fMRI 實驗。以下將依序說明。受試者 以網路公告的方式招募政治大學自願參與實驗的學生，每位受試者在一小時 的實驗結束後可獲得 500 元的獎金。參與者須符合下列條件：(1) 有近視者矯正 後視力正常，並需配戴隱形眼鏡。(2) 沒有動過心臟或腦部手術者。(3) 沒有情 感性或心智疾病、腦傷、心臟血管疾病、癲癇等病史。(4) 體內沒有植入金屬物 質：鋼釘、心律調節器、人工心臟瓣膜、人工耳蝸、胰島素體內注射器、體內電 極、刺機器、神經刺激器、植入之藥物注射器、血管支架等。(5) 口腔內沒有植 入金屬假牙、沒有固定式金屬牙套及牙齒矯正器。(6) 沒有懷孕。(7) 沒有持續 服用任何藥物、沒有抽菸、沒有習慣性喝酒。(8)沒有幽閉恐懼症。(9)簽署實驗 同意書，了解實驗相關注意事項和參與者權益。 實驗設計與程序 在所有的 fMRI 實驗開始前，實驗者先和受試者詳細說明實驗目的與進行腦照 影實驗的注意事項。受試者填寫完實驗同意書後，實驗者確定受試者身上未攜 帶金屬物品以及其他會受磁力干擾的物件，接著請受試者於模擬的 fMRI 機器中 完成加法與乘法的練習題，以確定受試者熟悉 fMRI 內部環境與按鍵作答方式。 作業與材料 在乘法的題目中，根據被乘數的不同分成「兩位數乘以一位數( 2 x 1)」， 以及「四位數乘以一位數( 4 x 1 )」兩類型題目。而每種類型的題目內又根據 數字負荷程度分成「數字負荷程度低」和「數字負荷程度高」兩組。每個細 格的題目如下：「2 x 1 / 數字負荷程度低」20 題，「2 x 1 / 數字負荷程度高」 32 題， 「4 x 1 / 數字負荷程度低」24 題，「4 x 1 / 數字負荷程度高」36 題， 共 112 題。 實驗程序 首先，螢幕先呈現十次凝視點 ( 200 ms )，接著出現題目，受試者只要 計算出答案便可按鍵作答，最長作答時間為 20000 ms，超過時間則出現下一 個題目的十字凝視點。實驗結束後感謝受試者並給予 500 元酬金。實驗中共 分成 4 個 session，受試者在每個 session 間可以休息(參見圖 11)。
圖 11 乘法題型與數字負荷之 fMRI 實驗程序 fMRI 影像蒐集 本研究將使用政治大學的功能核磁共振腦照影儀器 ( Siemens MAGNETOM Skyra 3T)。解剖影像 (T1) 將使用 1x1x1 mm 的高解析度取得。功能性核磁共振 T2*影像將使用 EPI 序列掃描程序 ( echo‐planar imaging sequence ) 取得。其他參 數值設定如下：TR=2000 ms; TE= 35 ms; flip angle = 90∘; slice thickness = 3 mm; matrix size = 64x64; FOV = 192x192 mm。
肆、研究結果
乘法心算能力、策略選擇與工作記憶及數感關係之行為實驗
本實驗研究結果將依序報告乘法心算作業、概數判斷作業以及工作記憶作業 的結果（反應時間及正確率）；然後再報告這幾項作業彼此之間的相關性。接著 進一步分析乘法心算作業中參與者的在執行乘法心算時的策略表現。再將依據參 與者的乘法心算表現，分成高表現組及低表現組，比較高低表現組的策略運用在 不同難度的題目中的分布。
各項作業的正確率與反應時間 乘法心算作業 乘法心算作業的刺激材料依題型（2x1、3x1、4x1 及 2x2）及數字負荷程度 （easy 及 difficult）而分，共有八種。受試者在各題型的正確率（圖 12）及正確 解題之反應時間（圖 13）之平均值見表 3。因此作業為 4x2 之二因子受試者內設 計，隨後進行正確率之完全相依設計二因子變異數分析，發現題型與數字負荷程 度兩自變項之主要效果皆達顯著，題型變項上 F（3,138）= 87.346，p< .001；數 字負荷變項上 F（1,46）= 65.333，p< .001；；兩變項之間有交互作用，F（3,138） = 10.564，p< .001。 表 3 乘法心算作業之正確率與反應時間表 Type 2x1 3x1 4x1 2x2 Accuracy Easy Mean 0.94 0.93 0.85 0.64 SE 0.004 0.004 0.005 0.009 Difficult Mean 0.90 0.80 0.61 0.56 SE 0.004 0.006 0.010 0.009 total Mean 0.92 0.86 0.73 0.60 SE 0.003 0.004 0.006 0.008 Reaction Time （sec） Easy Mean 4.64 8.07 15.50 31.45 SE 0.081 0.121 0.308 0.829 Difficult Mean 8.55 18.67 33.30 40.79 SE 0.143 0.344 0.701 0.842 total Mean 6.54 12.87 23.04 35.78 SE 0.102 0.207 0.394 0.727 註：SE 為平均標準誤。
圖 12 乘法心算作業中數字負荷難易度與正確率之關係圖 進一步分析單純主要效果，在數字負荷的效果上，2x1 題型中數字負荷不同 對正確率沒有影響，F（1,184）= 2.815，p= .120；在 3x1、4x1、2x2 則有差，3x1： F（1,184）= 23.753，p< .001，4x1：F（1,184）= 77.241，p< .001，2x2：F（1,184） =9.218，p< .005，數字負荷高的題目之正確率都比較低。 在題型效果上，數字負荷低之簡單題中，題型類別對正確率有影響，F（3,276） = 49.000, p< .001，其中 2x1 與 3x1 之正確率比 4x1、2x2 的正確率高，4x1 題型之 正確率比 2x2 高，2x1 與 3x1 之正確率沒有差異；在數字負荷較高的難題中，題 型亦有影響，F（3,276）= 63.023，p< .001，2x1 之正確率顯著高於 3x1、4x1、2x2 題型，而 3x1 之正確率也高於 4x1 及 2x2，4x1 題型與 2x2 題型之間之正確率則 無顯著差異。 圖 13 乘法心算作業中數字負荷難易度與反應時間之關係圖
在受試者正確解題之反應時間上，亦同樣的進行完全相依設計二因子變異數 分析。同樣的發現題型與數字負荷程度兩自變項之主要效果皆達顯著，題型變項 上 F（3,138）= 126.921，p< .001；數字負荷變項上 F（1,46）= 140.166，p< .001；； 兩變項之間有交互作用，F（3,138）= 15.287，p< .001。 進一步分析單純主要效果，數字負荷程度對所有的題型皆有影響，2x1：F （1,184）= 5.964，p< .05；3x1：F（1,184）= 44.110，p< .001，4x1：F（1,184） = 132.475，p< .001，2x2：F（1,184）= 39.737，p< .001，在所有的題型中受試者 解題所花的時間，在數字負荷高的題目皆比同題型但數字負荷低的多。 在題型效果上，數字負荷低之簡單題中，題型類別對反應時間有影響，F（3,276） = 74.172, p< .001，2x1 和 3x1 所花時間比 4x1 及 2x2 短，4x1 題型之反應時間也 比 2x2 少；在數字負荷較高的難題中，題型亦有影響，F（3,276）= 114.732，p< .001， 2x1 題型之反應時間顯著低於 3x1、4x1 與 2x2，3x1 題目解答速度也比 4x1 及 2x2 的快，2x2 的題目解答所花時間也比 4x1 多。 上述結果顯示本研究在乘法心算的選題上，題目的數字負荷度與題型區分大 部分是有效的；只有在 2x1 題型的難易度的正確率上區分不出來，對受試者而言 都數字負荷度都太低，但在反應時間上，依然能將數字負荷程度區分出來。 概數判斷作業 在概數判斷作業上，刺激材料的操弄上有數量大小，以及兩色點之數量比例 （2（2:1）、1.33（4:3）、1.2（6:5）及 1.14（8:7）），並控制色點的分布為 area controlled 及 dot‐size controlled。而結果呈現上，分成「數量大小」對比於「點之間的比例」 以及「色點分布控制」及「「點之間的比例」兩種，見表 4 及表 5。 表 4 概述判斷作業之正確率與反應時間（Dot‐Size vs.Area controlled） Ratio 1.14 1.20 1.33 2.00 Accuracy Dot‐Size Controlled Mean 0.66 0.70 0.82 0.97 SE 0.004 0.005 0.006 0.008 Area Controlled Mean 0.63 0.68 0.74 0.93 SE 0.005 0.005 0.007 0.010 Total Mean 0.63 0.68 0.77 0.93 SE 0.003 0.003 0.004 0.006 Reaction Time （msec） Dot‐Size Controlled Mean 668.0 665.6 573.7 419.1 SE 12.95 11.89 9.94 6.78 Area Controled Mean 658.5 639.4 592.7 415.3 SE 13.05 11.20 11.84 6.02 Total Mean 677.4 666.3 595.6 426.1 SE 12.20 10.53 9.56 5.34
表 5 概述判斷作業之正確率與反應時間（total dot number） ratio 1.14 1.2 1.33 2.0 Dots Size S L S L S L S L Dot Number 15 30 11 22 14 28 15 24 Accuracy Mean 0.62 0.64 0.68 0.67 0.77 0.76 0.91 0.92 SE 0.004 0.003 0.004 0.003 0.006 0.006 0.007 0.006 RT Mean 683.2 661.4 685.5 641.9 592.7 606.9 453.1 409.9 SE 12.51 12.98 11.51 11.11 11.75 10.59 8.08 7.04
在正確率上，ratio 與 control 之 4x2 因子 F 考驗之統計分析顯示，Dots Size Control 與 Area Control 有差異，F（1,46）= 23.082，p< .001；ratio 之間也有差異，
F（3,138）= 198.885，p< .001，無交互作用（但接近邊緣），F（3,138）= 2.645，
p= .052。Area Control 的正確率顯著較 Dots Size Control 的低，而 ratio 越高，正
確率越高。 在 ratio 與 total dots number 之 4x2 因子 F 考驗統計分析部分，點的數量並 不影響正確率，F（1,46）= 0.093，p= .762，只有 ratio 影響正確率，F（3,138）= 136.160，p< .001，ratio 越高，正確率越高（見圖 14）。兩變項之間沒有交互作 用，F（3,138）= 1.113，p= .353。 圖 14 概數判斷作業中之正確率圖
在分析完概數判斷作業之正確率後，接續進行反應時間部分的 2x4 相依二因 子設計 F 考驗統計分析。在反應時間上，dot size control 與 Area control 之受試者 表現沒有差異，F（1,46）= 0.291，p= .592；反應時間只與 ratio 有關，F（3,138） = 38.097，p< .001，當 ratio 越接近，也就是 ratio 越小，反應時間越長。兩變項 之間沒有交互作用，F（3,138）= 0.73，p= .537。(參見圖 15) 圖 15 概數判斷作業中之反應時間圖 若以點的數量大小與 ratio 進行反應時間之 4x2 相依樣本二因子 F 變異數統 計分析，則發現依然只有 ratio 的影響，F（3,138）= 31.354，p< .001，也就是 ratio 越小，反應時間越長；而點的數量大小對於反應時間沒有影響，F（1,46）= 1.240， p= .272；點數量大小與 ratio 之間無交互作用，F（3,138）= 0.918，p= .437。 工作記憶作業 在工作記憶作業中，本研究共執行了四種工作記憶的作業，分別為記憶更新 作業（MU）、運作廣度作業、句子廣度作業以及空間短期記憶作業（SSTM）。其 中運作廣度作業中受試者的必須要做的判斷有兩個，一個是判斷數學方程式是否 正確，另一個則是必須依序回憶出題目中出現的字母，前者為稱作運作廣度作業 中的運算判斷（OSpt），後者運作廣度記憶表現（OS）。在句子廣度作業部分，也 分成句子判斷（SSpt）跟句子廣度記憶（SS）兩部分。四個作業共有六種正確率 的結果（見表 6）。六種結果彼此之間的相關性見圖 16，MU 與 OS、SS 之間彼此 呈現高度正相關，OSpt 與 SSpt 彼此有高正相關，SSTM 與其他五種皆無關。
表 6 四種工作記憶作業之正確率
WM MU OS OSpt SS SSpt SSTM
Accuracy Mean 0.84 0.78 0.93 0.85 0.83 0.88
SE 0.006 0.005 0.006 0.005 0.005 0.003
註：MU 為記憶更新作業；OS 為運作廣度作業中的廣度記憶表現；OSpt 為運作廣度作業中的運 算判斷表現；SS 為句子廣度作業中之廣度記憶表現； SSpt 為句子廣度作業中句子判斷表現；SSTM 為視覺短期記憶作業之表現。 乘法心算表現與工作記憶能力、概數感能力之間的相關性 為了解工作記憶能力及領域特殊能力中概數感，與乘法運算之間的關係，本 研究將上述共六個實驗的結果，進行彼此之間的正確率及反應時間之相關分析 （見圖 16）。 圖 16 乘法心算表現與工作記憶作業、概數判斷作業表現之相關性 MU 為記憶更新作業；OS 為運作廣度作業中的廣度記憶表現；OSpt 為運作廣度作業中的運算判 斷表現；SS 為句子廣度作業中之廣度記憶表現； SSpt 為句子廣度作業中句子判斷表現；SSTM 為視覺短期記憶作業之表現。 結果顯示，工作記憶能力與乘法心算表現之關係中，以記憶更新作業與運作 廣度能力與乘法心算較有關係。在記憶更新作業上，此作業之正確率與乘法心算 表現有較高的相關性，在正確率上為較高的正相關（r = .61），與反應時間則為中
度負相關（r = ‐.41）。也就是記憶更新作業表現越好，其乘法心算表現則呈現反 應時間越短（計算速度越快）且正確率越高。在運作廣度上，此作業之正確率與 乘法心算之正確率及反應時間呈現接近於中度相關，在正確率上呈現正相關 （r= .33），在反應時間上呈現負相關（r= ‐.38）。也就是運作廣度能力越好，其乘 法心算表現則呈現反應時間越短（計算速度越快）且正確率越高。其他之工作記 憶能力，如句子廣度及視覺短期記憶，則表現出低度的相關（見圖 15）。 在概數判斷作業表現上，則發現與乘法心算表現之正確率無關（r < .1），但 概數判斷作業之正確率與乘法心算之反應時間則呈現中度負相關（r = .‐40）。也 就是當受試者在概數判斷作業中之正確率越高，其在乘法心算作業中之反應時間 越快。 乘法心算的策略種類 本實驗中依據受試者在乘法心算計算中之口語資料將受試者的策略分成以 下三種：專家策略、學校策略以及拆解策略。以 3456 乘以 2 為例，受試者在執 行專家策略，口語資料多半會呈現出報告 6、8、10、9、12、6912 等資訊；若採 取的策略為學校策略的話，則會報告出 12、10、112、8、912、6、6912 等資料； 若是採取拆解策略的話，則口語資料將會可能呈現出 68、 6800、 112 、6912， 表示受試者先將 3456 拆解成 3400 及 56，再分別乘以 2 後，把 3400 乘以 2 的結 果與 56 乘以 2 的結果相加。以下則是本研究中受試者在乘法心算作業中的表現 情形。 在乘法作業中不同題目之策略使用情形分佈狀況 在乘法心算作業中，分析 47 受試者在不同題型（2x1、3x1、4x1、2x2）及 策略分佈（專家策略、學校策略及拆解策略）的關係，其分佈情形如表 7。在所 有題型中，受試者採取專家策略共佔 39.8%，學校策略佔 49.6%，拆解策略佔 10.6%。以不同題型與策略兩個變項所構成的列連表以卡分檢驗分析發現，X2（1） = 1424.787，p<.001，達顯著，表示兩個變項之間不相互獨立，有顯著關聯。另 參考關聯係數 phi= .616，p< .001，亦非常顯著，同卡方檢驗，顯示兩變項之間並 不呈現對稱關係。不同的題型使得受試者採取不同策略來解題。
