1−1 二元一次方程式
本節課程學習重點： ◎能從具體情境中，用 x、y 等符號列出二元一次式。 ◎能對算式中相同的文字符號、常數進行合併或化簡。 ◎能從具體情境中列出二元一次方程式，並理解其解的意義。 ◎能以代入法或枚舉法求二元一次方程式的解。 一、二元一次式： 含有兩種文字符號(二元)，且這兩種文字符號的次數都是一次的代數式，稱為二元一次式。 例如：x－2y、2x＋9y、5x＋3y＋8 都稱為二元一次式。 ◎列二元一次式：當問題中有兩種以上的數量時，就需要使用不同的符號來區分或代表這些數量。 練習 1：假設阿里山森林遊樂區的門票全票每張 x 元、半票每張 y 元，若小妍買 3 張全票、1 張半票， 小翊買 5 張全票、2 張半票，試以 x 和 y 分別表示小妍和小翊買門票各花了多少錢。 練習 2：小正和小文同逛一家文具店，小正買了 3 盒彩色筆和 2 盒蠟筆，小文買了 5 盒彩色筆和 4 盒 蠟筆。如果彩色筆每盒 x 枝、蠟筆每盒 y 枝，試以 x 和 y 分別表示小正和小文各買了幾枝筆。 練習 3：小俐和小萍一起到美食街吃點心。手工餅乾每片 10 元，小泡芙每個 15 元。小俐買了 x 片手工 餅乾、y 個小泡芙，而小萍比小俐多付了 125 元，那麼兩人分別花了多少錢？ 練習 4：小靖的口袋裡有 50 元硬幣 x 個、10 元硬幣 8 個和 1 元硬幣 y 個，則他的口袋裡共有多少錢？ ◎二元一次式的值：二元一次式的值是由二元一次式中的兩個文字符號所分別代表的數共同決定的。 例如：當 x＝3、y＝－2 時，5x－6y 的值為 5×3－6×(－2)＝27。 練習 5：在下表空格中，填入各二元一次式的值。 －2 2 1 2 －0.5 x 算式 y 0 －3 － 1 2 0.2 3x＋5y x－2y＋3◎二元一次式的化簡： 化簡二元一次式時，把有相同文字符號的合併在一起化簡，把沒有文字符號的合併在一起化簡。 例如：5x－6y＋2－3x＋y－5＝5x－3x－6y＋y＋2－5＝2x－5y－3。 練習 6：化簡下列各式。(1) x＋2y＋3x＋4y (2) 2x－5y＋2－4x＋2y－7 練習 7：化簡下列各式。(1) 5y＋6x＋7x＋8y (2) 2－3x－5y＋1－6x＋2y 練習 8：化簡下列各式。(1)(13x－5y)＋(4x＋3y) (2)(－x－4y＋3)－(3x－6y－4) 練習 9：化簡下列各式。(1)(3x－2y)＋(6x＋y) (2)(5y－3x＋ 7 2)－(－3x＋y＋ 5 2)
練習 10：化簡下列各式。(1)3(x＋3y－2) (2)－7(2x－3y＋1) (3)－4(x＋y)－2(5x－2y＋3)
練習 11：化簡下列各式。(1)－4(3x＋y－3)＋6(2x－y－2) (2)－(6x－5y－3)－2(－ 3 2x＋y＋2) 練習 12：化簡下列各式。(1)2x＋5y－4 3 ＋ 2x－3y 5 (2) 5－6y＋2[4x－(6x＋2y)]
練習 13：化簡下列各式。(1)－4x＋5y＋4 3 － 3x－y－1 2 (2)－[2y＋2(3x－8y＋6)＋3]－7 二、二元一次方程式： 含有兩種未知數(二元)，且這兩種未知數的次數都是一次的方程式，稱為二元一次方程式。 例如：3x＋4y＝185、x＋6y＋1＝0、y＝－3x＋7 都稱為二元一次方程式。 練習 14：小妍和小祐玩撲克牌，計分方式為大牌(A、K、Q、J )每張得 x 分、小牌(其餘的數字牌)每張得 y 分，依下列題意列出二元一次方程式。 (1)小妍手上有 2 張大牌和 3 張小牌，共得 400 分。 (2)小祐手上有 5 張大牌和 6 張小牌，差 150 分就得 1000 分。 練習 15：觀光局舉辦「臺灣老街商品展」。奮起湖的鐵路便當一個 x 元、雞腳凍一盒 y 元。 (1)媽媽買了 4 盒鐵路便當和 5 盒雞腳凍，共花了 1050 元， 依題意列出二元一次方程式： 。 (2)阿姨買了 2 盒鐵路便當和 2 盒雞腳凍，共比媽媽少付了 590 元， 依題意列出二元一次方程式： 。 ◎判斷二元一次方程式的解：如果一組 x、y 的值代入二元一次方程式，能使方程式的等號成立，那麼 這一組 x、y 的值就是二元一次方程式的解。 練習 16：下列各組數中，哪些是二元一次方程式 3x－5y＝1 的解？ (1) x＝2、y＝1 (2) x＝－1、y＝－2 (3) x＝ 2 3、y＝ 1 5 練習 17：下列各組數中，哪些是二元一次方程式 x＋6y＝－1 的解？ (1) x＝5、y＝－1 (2) x＝ 2 3、y＝－ 1 3 (3) x＝－2.2、y＝0.2
練習 18：找出二元一次方程式 2x＋y＝7 的四組解。(答案非唯一) 練習 19：在下表的空格中填入適當的數，使配對的 x、y 值是二元一次方程式 2x＋y＝7 的解。 【觀念釐清】二元一次方程式有無限多組解。 自我評量 1. 在下表的空格中，填入各二元一次式的值。 0 －1 1 3 －4 x 算式 y 2 3 － 1 3 －2 －3x＋4y 2x－5y 2. 化簡下列各式。 (1)－x＋9y－7－(－2x＋y＋2) (2) 1 2(2x＋4y－2)－5(3x＋ 2 5y＋7) (3)－3(2x－3y)－4[3x－(2y－1)] (4)3x＋2y－6 4 － x－4y＋3 5 x 3 2 4.3 y 11 －5
3. 學校裡有一塊長方形的花圃，長為(7x－2y－25)公分、寬為(11y－2x＋15)公分。老師要小雪用一條 繩子將花圃圍起來，若繩子兩端各預留 25 公分用來打結，則小雪要準備多長的繩子？ 4. 若 x＝－3、y＝1 是二元一次方程式－5x＋y＋k－5＝0 的解，則 k 的值為多少？ 5. 小翔根據右表計算每天攝取的熱量。 若他今天的三餐共含五穀根莖類 6 份、蔬菜類 2 份、 蛋豆魚肉類 5 份、奶類 3 份、水果類 1 份。則 (1)小翔今天一共攝取多少大卡的熱量？(以 x、y 列式) (2)小翔計算出今天所攝取的熱量共 2200 大卡，依題意列出二元一次 方程式。 (3)已知五穀根莖類每份含熱量 220 大卡，奶類每份含熱量 150 大卡， 則小翔計算的結果是否正確？ 習作 1. 以 x、y 列式： (1)小靖的錢包內有 x 張佰元鈔票、y 個拾元硬幣，那麼他的錢包內共有 元。 (2)小祐的錢包內有(y－2)張佰元鈔票、(x＋3)個拾元硬幣、12 個壹元硬幣，那麼他的錢包內 共有 元。 2. 在下表空格處填入各算式所代表的數。 x 2 －3 1 2 3 y 算式 －1 1 1 2 － 1 3 x＋3y －x－2y＋3 食物分類 (每份) 熱量 (大卡) 五穀根莖類 x 蔬菜類 40 蛋豆魚肉類 60 奶類 y 水果類 60
3. 化簡下列各二元一次式。 (1)3x－y－x＋3y (2)－2y＋5x－6x＋y (3)－7(x－5y－3) (4)3(－3x－6y＋1) (5)－13x＋2[8y－(－4x＋y)] (6)4(3y－x＋5)－5(－x＋6y＋4) (7)－(－5x－4y) 3 － (－x＋2y－1) 2 (8)－2(x－1 4 y＋1)－3( 2 3 x－ 7 6 y) 4. 小俐身上有 x 元，小萍身上有 y 元，根據下列哪一選項的敘述可列出二元一次方程式 4x－30＝y？ (A)小俐身上的錢是小萍的 4 倍少 30 元 (B)小萍身上的錢是小俐的 4 倍少 30 元 (C)小俐身上的錢是小萍的 4 倍多 30 元 (D)小萍身上的錢是小俐的 4 倍多 30 元 5. (1)媽媽織一條圍巾要花 8 小時，織一雙手套要花 5 小時。本週內媽媽織了 x 條圍巾和 y 雙手套， 共花了 68 小時，則依題意可列出二元一次方程式為 。(以 x、y 表示) (2)承(1)，下列哪一組數值可能是媽媽織的數量？ (A)7 條圍巾、3 雙手套 (B)6 條圍巾、4 雙手套 (C)5 條圍巾、5 雙手套 (D)4 條圍巾、6 雙手套 6. 在下表中填入適當的數，使每一組 x 與 y 的值都是二元一次方程式 2x＋7y＝35 的解。 x 0 (2) (3) 21 2 (5) y (1) 1 －5 (4) 5 7
7. 甲霸早餐店只賣傳統飯糰和豆漿。小靖買 2 個飯糰和 3 杯豆漿共要 120 元，如果小翊買 6 個飯糰 和 9 杯豆漿付了 500 元，可找回多少元？ 8. 已知 x＝－2、y＝1 4 是二元一次方程式 3x－8y＋(2k－1)＝0 的一組解，求 k 的值。 9. 小妍暑假到英國遊玩，在販售紀念品的商店裡看到明信片一張 15 元、書籤一張 20 元，小妍共花了 300 元買這兩種紀念品，且每一種至少買一張，那麼有幾種可能的買法？(Hint：正整數解) 類題補充 1. 蛋餅 9 份和奶茶 6 杯共要 360 元，老師買蛋餅 6 份和奶茶 4 杯付了 300 元，可找回多少元？ 2. 設 x、y 是正整數或 0，則 x＋3y＝10 共有幾組解？
3. 若 x＝3、y＝－6 是方程式 ax＋by＝18 的解，則 15a－30b＋10 的值為 。
4. 小珍的段考成績出爐，國文、英文兩科的總分為 x 分，數學、生物、社會三科的平均分數為 y 分，則 段考五科的平均分數為 分。
5. 有一個二位數的十位數字是 x，個位數字是 y，則此二位數可表示為 。若在 x 與 y 之間插入 數字 5 而成為一個三位數，則此三位數可表示為 。(以二元一次式表示)
6. 聯合商店的鹽 1 斤 x 元，糖 1 斤 y 元，大華買 50 斤鹽，25 斤糖，用 500 元付帳，找回 40 元；若買 10 斤鹽，5 斤糖，則用 500 元付帳會找回 元。
7. 已知 x＝3、y＝a 是 2x＋5y＝26 的解，則 a＝ 。
8. 若 10x－30y＝320，則 4x－12y＋20＝ 。 9. 長方形的長為(x＋3y)公分，寬比長少 10 公分，則長方形的周長為多少公分？(以 x、y 列式並化簡) 10. 如下圖，灰色部分面積＝ 。(以 x、y 表示) 2x－4 5 3 A B C D 6y＋2
11. 設 A＝－4x＋y－5、B＝3x－2y＋1，若 x＝5、y＝6，則 A－3B 的值為何？
12. 設班上有男生 x 人，女生 y 人，依題意列出二元一次方程式： (1)若全班共有 42 人，可列式為
。 (2)若男生比女生少 7 人，可列式為
。 (3)若男生人數的 4 倍等於女生人數的 5 倍，可列式為
。 (4)若男生人數為女生人數的 3 倍少 4 人，可列式為 。 13. 下列各組數值，哪些是二元一次方程式 2.5x＋3.75y＝－6.25 的解？
加強練習
1. 有甲、乙兩數，甲除以乙得商為 7，餘數為 4；甲的 3 倍除以乙的 2 倍得商為 11，餘數為 4。 設甲為 x
，
乙為 y，
則下列哪一選項可用來表示題目中的數量關係？(A) 7x＋y＝4，3x＋22y＝4 (B) 7x＋y＝4，22x＋3y＝4 (C) x＝7y＋4，3x＋22y＝4 (D) x＝7y＋4，3x－22y＝4 2. 若(2x－ay＋4)－(bx－5y－3)＝－3x＋y＋c，則 a＋b＋c＝？ 3. 某次數學評量共 20 題，其中選擇題 10 題，每題 3 分；填充題 10 題，每題 7 分。 假設艾琳答對了 x 題選擇題和 y 題填充題，成績為 64 分，則她可能答對幾題選擇題？ (A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5。 4. 若 x、y 皆為正整數，則方程式 3x＋4y＝96 的解有 組。 5. 大智今年 x 歲，阿仁今年 y 歲，若三年前老師的年齡是他們兩人年齡和的 2 倍，則老師今年 歲。(以 x、y 表示) 6. 下列哪一組數不是 2x－3y＝4 的解？ (A) ⎩⎪ ⎨ ⎪⎧ x＝1 y＝－2 (B)⎩⎪⎨ ⎪⎧ x＝2 y＝0 (C)⎩⎪⎨ ⎪⎧ x＝8 y＝4 (D)⎩⎪⎨ ⎪⎧ x＝5 y＝2。 7. 二元一次方程式 2x＋5y＝20 有幾組解？ (A) 2 組 (B) 3 組 (C) 4 組 (D)無限多組。 8. 父親現年 x 歲，兒子現年 y 歲，十年前父子的年齡和為 80 歲，則依題意可列式為何？
(A) x＋y＝80 (B) (x－10)＋(y－10)＝80 (C) x＋y＝80－10 (D) (x－10)＋y＝80。 9. 有五元、十元硬幣共 m 個，其中五元硬幣有 n 個(n＜m)，則這些硬幣共有多少元？
(A) 5n＋10m (B) 10m－5n (C) 5n＋10m－10 (D) 15(m＋n)。
10. 二元一次方程式 2x＋y＝7 的正整數解中，若 x 為偶數，y 為奇數，則 x＝ ，y＝ 。 11. 鉛筆每枝 x 元，原子筆每枝 y 元，已知小明買了 3 枝鉛筆和 5 枝原子筆，阿寶買了 5 枝鉛筆和 6 枝
原子筆，則阿寶要比小明多付 元。 12. 已知 x＝3，y＝4 是 3
2x－by＝1 的解，則 b＝ 。
13. 已知 x＝－2，y＝3 是二元一次方程式 ax＋by＝7 的解，則 6a－9b＋10＝？
14. 已知 x＝a、y＝b 是方程式 3x＋2y＝80 的解，若 a 為大於 20 且小於 30 的整數，則此方程式共有幾組 整數解？ (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 6。
15. 小燕帶 150 元在 YES 便利商店買 3 罐牛奶和 1 個蛋糕後找回 48 元，如果隔天小燕帶 500 元在 YES 便利商店買 9 罐相同的牛奶和 3 個相同的蛋糕，則應找回多少元？
(A) 144 (B) 194 (C) 204 (D) 296。
16. 若 x＝m、y＝n 是二元一次方程式 ax＋by＝－50 的解，則 5ma＋5nb－50＝ 。
17. 小祐帶了 100 元去文具行買每把 15 元的直尺和每枝 35 元的鋼珠筆，如果 100 元剛好花完，且兩種 東西都要買，則小祐買了 把直尺和 支鋼珠筆。
18. 小毅全班 38 人在週末到中和騎協力車，同學協議每輛只能兩人共騎或三人共騎，設兩人共騎的 有 x 輛，三人共騎的有 y 輛，依題意可列出二元一次方程式為 ax＋by＝c，則下列敘述何者正確？ (A) a＝3 (B) b＝2 (C) c＝5 (D) a＋b＋c＝43。
19. 下列哪一個二元一次方程式與 x－y＝5 有相同解？
(A) y＝－x＋5 (B) 3x＝3y＋15 (C) y＝－x－5 (D) x＝－y＋5。 20. 有一不規則圖形如下圖所示： (1)圖形的周長為多少？(以 x、y 表示並化簡) (2)圖形的面積為多少？(以 x、y 表示並化簡) 3 8 13 6x－y 5x＋4y 9x＋7y
Ans：1.(D)；2. 16；3.(D)；4. 7；5.2x+2y− ；6.(A)；7.(D)；8.(B)；9.(B)；10. 2，3； 9 11. 2x+ ；12.y 7
8；13.－11；14.(B)；15.(B)；16.－300；17. 2，2；18.(D)；19.(B)； 20.(1) 20x＋10y＋34，(2) 118x＋91y。
