尋找失落的n邊形

尋找失落的 n 邊形

壹、一個數學遊戲

Shel

Silverstein在 1981 年出版了一本 搶炙人口的心理叢書 r

The Missing Piece

Meets the Big

0

J '中文譯本是「失落的一 角 J (譯者林良) ;內容描述缺了一角的圓 並不快樂，為此它緩緩地踏上旅程去尋找 它失落的一角，途中它上山下海，經歷人 生百態，等到它找到之後...。 幾年前在因緣際會下，我從一本舊書 (書名已不可考)中看過一個數學遊戲，遊 戲內容大概是:有一名老師先帶五名學生 A 、 B 、 C 、 D 、 E(手拿著繩子)到操場上團 成一個任意五邊形，然後他在地上做記號 定出各邊的中點 Mj 、 M] 、 M] 、 M

₄

、 M

₅

的 位置，再清空場地;最後他帶領全班到現 場，要求同學能否根據地上的 M_j •

M] .

M]

‘

M

4 • M

5

五點，找出 A 、 B 、 C 、 D 、 E 五人原來的位置。 這是一個從五邊形各邊的中點反求 各邊頂點位置的問題，作者直接利用中心 對稱的幾何變換方法來解決這個問題;文 末也拋出一個疑問「適用於任意 n 邊形 嗎 ? J 。針對這些問題，我從三角形出發 開始研究，也使用 GSP 做實驗數學，最 後利用解析幾何的方法來驗證'並作出結 論。

后唾

惠叫

楊劃

子

女

明

曉

{斗

私

市

中

薑

~J JJv~tih

貳、研究過程 一、三角形 在國中的幾何課程中，已知 M_j 、 M]

.

M] 為某三角形三邊的中點，我們只要過 Mj作 M2M3 的平行線、過 M

2

作M， M3 的平 行線且過 M] 作 M， M2 的平行線，設三條平 行線的交點為 A 、 B 、 C' 則 MBC 即為所 求。(見圖一)

A

M

₃

B

_M

2

c

圖一

二、四邊形 在國中的幾何課程中，也學過「連接 任意四邊形各邊的中點會形成平行四邊 形，且其周長為原四邊形的兩對角線長之 和」的性質;所以若 M]

. M

2 •

M

3 • M

4

為 某四邊形各邊的中點，則四邊形 M]M

2

M

3

M

₄

必為平行四邊形，而且以 M] 、 M

₂

、 M

₃

、 M

₄

為各邊中點的四邊形應該有

無限多個!今取

AC//M

₁

M

₂

且

AC=2M

₁

M

₂ • 在 AMI 上取 AMI

=BMI

• 在

三、五邊形

已知 M] 、 M

₂

•

M

₃ •

M

_{4 '} M

5

為某五邊 形各邊的中點，令 _{P為異於M] 、 M}

_{2 'M}

₃ • M

₄

、M

5

五點的任意點，以 _{M] 為對稱中心，} 求得對稱點為 P] ; 再以 M

₂

為對稱中心， 求得對稱點為 P

₂

; ...以此類推，最後求得 P

₅

; 連接 Pp， ， 則 Pp， 的中點便為五邊形的 一個頂點，令其為頂點 A· 然後以 M] 為 對稱中心求出第二個頂點 B' 如法炮製， 就不難把五個頂點 A 、 B 、 C 、 D 、 E 全部 都求出來了。(見圖三) AM

₄

上取 AM

₄

=DM

4 ' 依序連接起來即得 四邊形 ABeD 0 (見圖二)

P

P

₃

P2

M

₁

M

₃

P

₁

E

M

₅

D

c

A

圖三

A

B

M

₃

c

圖二

D

四、六邊形

根據四邊形不是惟一的經驗，我們是 否可以把上述適用於五邊形的中心對稱的 幾何變換方法加以推廣呢?我使用 GSP 做實驗數學(見圖四) ，發現結果是失敗 的!由圖中可以發現到 P

₅

以 M

₆

_為對稱中 心所求出來的對稱點九恰為點 p_。所以無 法利用中心對稱的幾何變換方法來求出原 六邊形(虛線處)。

科學教育月刊 第 334 期 中華民國九十九年十一月 P5 P2 P₃ 圖四

參、解析幾何的方法

經由上述三~六邊形的四個結果，我 們不難推測:可利用中心對稱的幾何變換 方法求出來的 n邊形 ， n 必為奇數 (n 三 3) 。 我試著用解析幾何的方法來驗證這個猜 測。首先，我還是以五邊形及六邊形為例 作說明。 一、五邊形 令五邊形(見圖五)的五個頂點坐標

A

,

(xpyJ'

i=1-5

;點 P 的坐標為徊，β)

,

利用 M

_I

同時為 _A

_I

_A

₂

_與

_{P~ 的中點，}

所以 ~(X2 +X

_I

一α

'Y

₂

+

YI 一 β)

;

同樣的 M

₂

也是 A

₂

A

₃

_與

~}己的中點， 所以尺 (X

₃

-X

_I

+ α，九一 Y

_I

+ β)

;

依序作下去，可得 P' (X

₄

+X

_I

一α

_，几

+YI 一 β) 、 P. (X

₅

-X

_I

+ α， Y，

-YI

+ β) ，最後得到

P+

P.

P,

(2x

_I

一 α，2YI 一 β) ，因為一τ~=(XI ， YI) ， 所

以 AI'I合為 Pp， 的中點。 p(α， β)

lM

1 1\_~A2(x2，y2}

t、

'、、\ M2

'

M₅ ♂ A5(x5

,

y5}

fhit

'.電 ••• 勻 ， ιhuH 、h一 -x 、 U' 巴圓 、、 JA

M'

州

官叫

一JrM

\l11.' 、 4 P M 圈五

二、六邊形

令六邊形(見圖六)的六個頂點坐標

Ai(xpYi)

,

i=1-6

;點 P 的坐標為徊，β) 利用中點坐標公式可得 ~(X2 +X

I

一 α'Y

2

+Y

I

一 β) 、

P,

(X

3-XI +α， Y，

-Y

I + β) 、 P'(几 +X

I

一 α'Y4 + YI 一 β) 、 汽 (X， -X

I

+ α 'Y

5

-YI

+ β) 、 P'(九 +X

_I

一 α

_，几

+ YI 一 β)

,

最後得到 P

₆

徊， β) ，恰為起始點 P 的坐標。 所以，無法利用中心對稱的幾何變換方法 來求出原六邊形。 總之，對於任意的 n 邊形 A

_I

A

₂

，·.A

_n

'

(

n 三 3) ，令各頂點坐標為 Ai(x"yJ

'

i=l-n' 設 P 為異於各邊中點 M

_I

、 M2... Mn 的任意點，那麼以 M

_，(i

=l-n-l) 為對稱 中心所求得的對稱點為 、‘ FF Ry

-) l ( + y -z ) l ( l + -t y α ) 1 ( + X I ) l Ja. ‘‘ 1 + I x ( RI

最後P"

-I

以 Mn 為對稱中心所求得的對稱 點為 : (l)當 _n 為奇數時 _{， Pn 的坐標為} (2x

I 一 α

_，

2YI

一β) ，所以

Al

必為

Pp" 的中點。

(2) 當 n 為偶數時'F"的坐標為徊， β) ，恰 為起始點 P 的坐標。因此，能利用中心對 稱的幾何變換方法來「尋找失落的 n 邊形」 的邊數一定是奇數邊，而且不管是凸 n 邊 形或是凹 n 邊形都試用喔! P5

P;

-IMi :

P;

Mi

=

1:

r

(設起始點_P=

_P，，)

_{， 那麼} n 邊形的頂點

_Al

會落在 po凡上，且滿足

F"

A

_，

月A

_，

=

r" :

1 。現在我取n=5' r=2為 例作圖說明(見圖七)如下，從圖中數據資料 可知

_PsA

_，

_:

_p"

_A

,

=

32 : 1

'我想這樣大家應該會 更清楚這個結果吧! PsA

_,

= 10.20cm P₄

、

Mqf A4(x4

_，

y4)一-

...--- --

- - d 國六 P₁

,

A2(x2

,

y2) PoA

_,

= O.32cm P5 A₃ 其次，在國中課程中己學過的相關內 容有「連接任意三角形各邊中點所形成的 三角形的周長為原三角形周長的一半」、 「連接任意四邊形各邊的中點所形成的四 邊形的周長為原四邊形的兩對角線長之 和

_J'

還有從前面的討論過程中，我們也可 以發現「連接任意五邊形各邊的中點所形 成的五邊形的周長為原五邊形的所有對角 線長總和的一半」的性質。 肆、改變各遁的分點比例「還原」 出原

n

遍形

在(圖五)中，我取

M;

為各邊的中點，也

就是A;M;

:A;+IM;

=1: 1(i=I~n

_'

n為奇數; 其中 A

_叫

=A

_，)

; _{其實，我們也可以改變它們} 的比例為 A;M;:A

_汁

_，

M;

=1:r

'

這時也要取 圖七 事實上，我們是可以改變各邊的分點 比例為任意比例的，當然也要稍微調整一 下作法，就可「還原」出原 n 邊形，我以 三角形(見圖八)為例作圖說明如下:今設 定 A

_，

M

_，

:A2M

,

=1:2 、 A

2

M

2 :A

,

M 2

=2:3 、

A3M

_,

:A

_,

M

_,

=3:4

_'取

_R

_為異於M

_，

、 M

2 、

M3 的任意點，且滿足p"M

_，

:P;

M

_,

=1:2 、

P;

M 2 :P2M 2

=2:3 、 P

₂

M

₃

:fJ,

M

_,

=3:4

'那 麼頂點

_Al

_{會落在九月上，且滿足}

P3A

,

:PoA

,

=4:1 。理由是因為

M

_,

PoM

_,

~_M

₂

_P;M

，

、 M月M

₂

~M3P2M2 、

M

3

P

2

M ,

~

M

,fJ, M

3

'

利用對應邊成比例的 性質，因此 p" A

_，

:P;

_{A2 :P2A3}

:fJ,

A

J=1:2:3:4 。

科學教育月刊 第 334 期 中華民國九十九年十一月

A

2 PoMI

=1.00

em PIMI

=2.00

em PIM2= 1.36 em P2M2

=2.04

em P2M戶4.70 em P3M3

=6.27

em P3AI=6.03 em PoAI=1.

51

em 圖八 我們來回顧一下(圖五)的情形，頂點 Al 以 M

_I

作中心對稱變換落到頂點爪的位 置，頂點_A

₂

_{再以 M}

₂

_{作中心對稱變換落到} 頂點

₄

_{的位置... ，同樣地，我們所取的任} 意點 P 以 M

_I

作中心對稱變換落到~的位 置...在這個過程中，由於在中心對稱下， 一雙對應向量是線段大小相同且方向相 反，所以 AlP 與 ~A2 是大小相同且反 向... ，最後同理可得AlP 與 p， A

_I

_也是大小 相同且反向，因此頂點Al 恰為 Pp， 的中 點。我們另從全等的角度來看，因為 “IPMI 主 M2~MI 、 M2~M2 主 M

₃

P' M

2

.

Mλ M

_s

生

_{MI P' M}

_s

_{' 所以 AIP=AIP}

_s

。 同樣地，我們再回頭看看(圖七)的情 形，也不難發現原來

MJPoM

_{J -}

M2~MI 、

M2~M2

- M

3

P2M 2...' M

S

P

4

M s - MIPsMs '

因為邊長比例為 1:

r

' 所以最後可推得

耳互:耳互 = r

5 :

1 。推廣這個想法在 n 邊形

上(仰n 為奇數 )ν，我們當然可以隨心所欲地 改變各個邊長的分點比例 1:

r

' 只要掌握 作圖的關鍵是使得 M

_Jλ

PO刊M賦f武I -M2~M賦l 、 M2~M帆2 -Mλf

3

_尺己

M帆_{2'· 、 M.λλP.九1ζ_1}M_{• -M}

_Iλ

_P.M. ' 即可，至於 P.A

_{I :}

p" A

_I

的比例也只要稍加計 算一下便可輕易地知道了!

參考文獻

蔣聲著 _{1944 年幾何變換凡異出} 版社

P.25-P.26