2020届高三下学期3月质量检测数学（理）试题答案

(1)

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2020 届高三年“线上教学”质量检测

理科数学参考答案及评分细则

评分说明： 1．本解答给出了解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制定相应的评分细则。 2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应给分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分。 3．解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4．只给整数分数。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题：本大题考查基础知识和基本运算．每小题 5 分，满分 60 分． 1. C 2. C 3. A 4. B 5. D 6.D 7.A 8. A 9. B 10.C 11.B 12.A 二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分． 13. 2 2− 14. 4 15 15. 13− 16. 8 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分． 17.【命题意图】本题主要考查解三角形、正弦定理和余弦定理等基础知识，意在考查逻辑推理、数学运算、直观想象的数学核心素养．满分 12 分．【解析】（1）因为 7

(

acosB+bcosA

)

=ac，根据正弦定理得， 7

sin cos sin cos sin , 7 A B+ B A= a C ··· 2 分 7 sin sin , 7 C a C  = 又因为 sinC 0,， 7. a  = ··· 3 分 sin 2A=sin ,A2sinAcosA=sin ,A

Q _{··· 4 分} 因为 sinA 0,所以cos 1 2 A = ， ··· 5 分 (0, ), . 3 A   =A  Q ··· 6 分（2）由（1）知， 7, . 3 a= A= 由余弦定理得 2 2 2 2 cos , a =b +c − bc A 2 2 2 7 b c bc, 7 (b c) bc,  = + −  = − + ··· 8 分因为b− = ，所以 7 4c 2 = +bc,所以bc =3. ··· 9 分 设 BC 边上的高为 h . 1 1 3 3 3 sin 3 . 2 2 2 4 ABC S bc A  _△ = =   = ··· 10 分 1 1 3 3 7 , 2 2 4 ABC S = ah  h= Q _△ ， 3 21. 14 h  = 即 BC 边上的高为3 21 14 . ··· 12 分 18.【命题意图】本题主要考查直线与直线、直线与平面的位置关系，二面角等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分 12 分． 【解析】（1）连结 CE ，交 DF 于 N ，连结 MN ，如图所示，

(2)

因为四边形 CDEF 是矩形，所以 N 是 CE 的中点， ··· 1 分 由于 M 是 AE 的中点， 所以MN AC ， ··· 2 分 // 由于 MN  平面 MDF ， AC  平面 MDF ， 所以AC 平面 MDF . ………4 分 // （2）因为平面 ABCD ⊥ 平面 CDEF ， 平面 ABCD I 平面 CDEF =CD， DE⊥CD， 所以 DE ⊥ 平面 ABCD ， 可知AD CD DE 两两垂直， ··· 5 分 , , 以点 D 为原点，分别以DA DC DE, ,

uuur uuur uuur

的方向为 x 轴、 y 轴、 z 轴 的正方向，建立空间直角坐标系 O xyz− . 因为AB =2，则M(1, 0,1)，F(0, 4, 2)，DM =uuuur (1, 0,1)， (0, 4, 2) DF = uuur ，设平面 MDF 的法向量为n1=( , , )x y z uur ，则 1 1 0, 0, n DM n DF   =   _ ₌  uuv uuuuv uuv uuuv 所以 0, 4 2 0, x z y z + =   ₊ ₌  ··· 7 分取y =1，则n =uur₁ (2,1, 2)− ， ··· 8 分 依题意，得平面 ABCD 的一个法向量为n =uur₂ (0, 0,1)， ··· 9 分 1 2 1 2 1 2 2 2 cos , 3 4 1 4 1 n n n n n n  −   = = = − + +  uur uur uur uur uur uur _{，··· 11 分} 故平面 MDF 与平面 ABCD 所成锐二面角的余弦值为2 3. ··· 12 分 19.【命题意图】本题主要考查线性回归、相关系数等基础知识，意在考查数学建模、数学抽象、数学运算、数据分析的数学核心素养．满分 12 分．【解析】（1）由折线图中的数据和附注中参考数据得 1 2 3 4 5 6 7 8 9 5 9 t = + + + + + + + + = ， ··· 1 分

(

)

9 2 1 60 i i t t = − =



， ··· 2 分

(

)(

)

9 9 9 1 1 1 i i i i i i i i t t y y t y t y = = = − − = −



=3254.80− 5 582.01=344.75， ··· 4 分所以 344.75 0.997 345.90 r =  ， ··· 5 分 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.997，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高， 从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系. ··· 6 分 （2）由已知及（1）得

(

)(

)

(

)

9 1 9 2 1 ˆ i i i i i t t y y b t t = = − − = −



344.75 5.746 60 =  ， ··· 8 分 64.668 5.74 ˆ _{6 5} ₃ ˆ 5.94 a= −y bt  −  = ， ··· 9 分 所以 y 关于 t 的回归方程为 $ 35.94 5.75y= + t. ··· 10 分将 2021 年对应的年份代码t =12代入回归方程，

(3)

得 $ 35.94 5.75 12 104.94y = +  = ，所以预测 2021 年全国 GDP 总量约为 104.94 万亿元. ··· 12 分 20.【命题意图】本题主要考查椭圆方程、直线与椭圆的位置关系等基础知识，意在考查的数学核心素养是直观想象、逻辑推理与数学运算．满分 12 分. 【解析】(1)由题意得 2 2 2 2 4 1 1 3 1 2 a b c b e a a  ₊ ₌     = = − =  ， ··· 2 分解得 2 2 8, 2 a = b = ， ··· 3 分所以C的方程为 2 2 1 8 2 x ₊ y _{= . ··· 4 分} (2)设直线 : 1

(

0

)

2 l y= x+m m ，A x y

(

1, 1

) (

,B x y2, 2

)

，由 ₂ ₂ 1 2 1 8 2 y x m x y  = +    ₊ ₌  ，得 2 2 2 2 4 0 x + mx+ m − = ，由 2 2 4 8 16 0 0 m m m  = − +     ，解得 2−   或 0m 0   ， ··· 5 分 m 2 则 2 1 2 2 , 1 2 2 4 x +x = − m x x = m − ， ··· 6 分依题意，易知PA与PB的斜率存在，所以 , 2 2    ，  设直线PA与PB的斜率分别为k k1, 2，则tan= ，k1 tan = ， ··· 7 分 k2

欲证+ =  ，只需证 tan =tan

(

 −

)

= −tan，即证k₁+k₂=0. ··· 8 分

1 2 1 2 1 2 1 1 , , 2 2 y y k k x x − − = = − − Q 故 1 2

(

1

)(

₍

2

) (

₎₍

2

₎

)(

1

)

1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 2 2 2 y x y x y y x x x x k k − + − = − − + − − − = − − − + . ··· 9 分又 1 1 1 , 2 y = x +m ₂ 1 ₂ 2 y = x + ， m 所以

(

y1−1

)(

x2−2

) (

+ y2−1

)(

x1−2

)

(

)

(

)

1 2 2 1 1 1 1 2 1 2 2x m x 2x m x     =_ + − _ − +_ + − _ −     ··· 10 分

(

)(

) (

)

1 2 2 1 2 4 1 1 2 x x m x x m x x =  + − + − − _

(

)(

) (

)

2 2m 4 m 2 2m 4 m 1 = − + − − − − 0, = ··· 11 分 1 2 0, k k  + = 所以+ =  . ··· 12 分  21.【命题意图】本题主要考查函数和导数及其应用、三角函数等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分 12 分. 【解析】(1)设g x

( )

f

( )

x 1 1 2 cosx x  = = − + ， ··· 1 分当x 

( )

0, 时，g x

( )

2sinx 1₂ 0 x  = − −  ，

(4)

所以g x

( )

在

( )

0,  上单调递减， ··· 2 分又因为 3 1 1 3 0 3 g  = − + = _{  }    ， 2 1 0 2 g  = − _{  }   ， ··· 3 分所以g x

( )

在 , 3 2        上有唯一的零点，即函数f

( )

x 在

( )

0,  上存在唯一零点． ··· 4 分当x

(

0,

)

时，f

( )

x  ，0 f x 在

( )

(

0,

)

上单调递增; 当x

(

, 时，

)

f

( )

x  ，0 f x 在

( )

(

, 上单调递减;

)

所以 f x

( )

在

( )

0,  上存在唯一的极大值点 . 3 2 _  _   ··· 5 分 (2)①由(1)知： f x

( )

在

( )

0,  上存在唯一的极大值点 . 3 2 _  _   所以

( )

ln 2 2 0 2 2 2 2 f   f  _{ } =  − +  −    ，又因为 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2sin 2 2 0 e e e e f _  = − − +_  − − +    ，所以 f x

( )

在

(

0,

)

_{上恰有一个零点． ··· 6 分} 又因为f  =

( )

ln −   −   ， 2 0 所以 f x

( )

在

(

, 上也恰有一个零点． ··· 7 分

)

②当x   



, 2

)

时， sinx≤ ，0 f x

( )

≤lnx−x，设h x

( )

=lnx− ，x h x

( )

1 1 0 x  = −  ，所以h x

( )

在



  上单调递减，所以, 2

)

h x

( )

„ h  

( )

0， ··· 8 分所以当x   



, 2

)

时， f x

( )

≤h x

( )

≤h  

( )

0恒成立，所以 f x

( )

在



  上没有零点． ··· 9 分 , 2

)

③当x 



2 , + 时，

)

f x

( )

≤lnx− +x 2，设

( )

x =lnx− + ，x 2

( )

x 1 1 0 x  _{= −  ，} 所以

( )

x 在



2 , + 上单调递减，

)

所以

( )

x ≤

( )

2 =ln 2 −  +  −  + = −  2 2 2 2 2 4 2 0 ··· 10 分所以当x 



2 , + 时，

)

f x

( )

≤

( )

x ≤

( )

2 0_恒成立所以 f x

( )

在



2 , + 上没有零点． ··· 11 分

)

综上，f x

( )

有且仅有两个零点． ··· 12 分 22.【命题意图】本题主要考查直线的参数方程和参数的几何意义，直角坐标方程和极坐标方程的互化，直线和圆的位置关系等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分 10 分.

(5)

【解析】(1)曲线 C 的方程=4cos+6sin， ∴ 2 4 cos 6 sin



=





+





， ··· 2 分 ∴ 2 2 4 6 x +y = x+ y， ··· 4 分即C的直角坐标方程为

(

x−2

) (

2+ y−3

)

2 =13. ··· 5 分 (2)设点 M，对应的参数分别为N t₁， . t₂ 把直线 2 3 2 2 1 2 x t y t  = −    = +  ( t 为参数)代入 C 得， 2 2 2 2 1 2 13 2 t 2 t     − + − + =             ，整理得， 2 3 2 8 0 t − t− = .

(

)

2 3 2 32 50 0  = − + =  ，t₁+ =t₂ 3 2，t t = − ， ··· 7 分 _{1 2} 8 ∴t₁，为异号， ··· 8 分 t₂ 又∵点A

( )

3,1 在直线 l 上， ∴

(

)

2 1 2 1 2 1 2 41 2 50 5 2 AM + AN = t +t = −t t = t +t − t t = = . ··· 10 分 23.【命题意图】本题主要考查解绝对值不等式和不等式恒成立等基础知识，意在考查直观想象、逻辑推理与数学运算的数学核心素养．满分 10 分. 【解析】

( )

1

当a =2时，f x

( )

= 2x− −1 2x+  ， 1 1 当 1 2 x„ − 时，不等式 f x

( ) (

= −1 2x

)

+2x+ =  成立； ··· 1 分 1 2 1 当 1 1 2 x 2 −   时，f x

( ) (

= −1 2x

) (

− 2x+ = −1

)

4x ， 1 1 1 2 x 4 −   − ； ··· 2 分当 1 2 x … 时，f x

( ) (

= 2x− −1

) (

2x+ = −  不成立， ··· 3 分 1

)

2 1 综上，不等式 f x 

( )

1的解集为 1 4 x x  _{ −}     . ··· 5 分 (2)当x 

( )

1, 2 时，f x

( )

 − 化为 21 x x− −1 ax+  − ， 1 1 x 3x 2 ax 1  −  + ， ··· 6 分 2 3x ax 1 3x 2,  −  +  − 1 3 a 3 3 x x  −   − ， ··· 7 分 1 3 y x = − Q 在

( )

1, 2 单调递减，故 5 2 2 y −   − ； ··· 8 分 3 3 y x = − 在

( )

1, 2 单调递增，故0 3 2 y   ， ··· 9 分所以 2− 剟a 0， 所以 a 的取值范围是



−2, 0



. ··· 10 分