2-1-2指數與對數-指數函數及其圖形

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(1)第二冊 1-2 指數與對數-指數函數及其圖形【目的】一般人口量通常呈現穩定的倍數成長，也就是為一種指數函數的例子，所以本節要介紹指數函數的圖形及其性質。【定義】指數函數：設 a > 0, x ∈ R ，稱函數 f ( x) = a x 為以 a 為底數的指數函數。註：一般只有討論 a ≠ 1 的情形。【問題】 1. 試用描點法畫出 y = 2 x 的圖形。 2. 試用描點法畫出 y = 3 x 的圖形。 1 3. 試用描點法畫出 y = ( ) x 的圖形。 2 1 4. 試用描點法畫出 y = ( ) x 的圖形。 3 5. 觀察上述幾個圖形中，哪幾個為互相對稱的圖形？註：底數互為倒數的兩指數函數，其圖形對稱於 y 軸。. 5. 4.5. 4. 3.5. 3. 2.5. 2. 1.5. 1. 0.5. -5. -4. -3. -2. -1. 1. 2. 3. 4. 5.

(2) 【方法】 1. 將函數中 ( x, y ) 以 ( x,− y ) 代入，表將圖形對 x 軸作對稱，也就是將 y = f (x ) 的圖形變數變換成為對 x 軸對稱的圖形 − y = f (x ) ，即 y = f ( x ) → y = − f ( x ) 表將圖形對 x 軸作對稱。 (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = f ( x) ⇔ y 0 = f ( x0 ) ⇔ − y 0 = − f ( x0 ) ⇔ ( x 0 ,− y 0 ) ∈ y = − f ( x ) 即將 y = f (x ) 的圖形對 x 軸作對稱會得到 y = − f (x ) 的圖形。 2. 將函數中 ( x, y ) 以 ( − x, y ) 代入，表將圖形對 y 軸作對稱，也就是將 y = f (x ) 的圖形變數變換成為對 y 軸對稱的圖形 y = f ( − x ) ，即 y = f ( x ) → y = f ( − x ) 表將圖形對 y 軸作對稱。 (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = f ( x) ⇔ y 0 = f ( x0 ) ⇔ y 0 = f (−(− x0 )) ⇔ (− x0 , y 0 ) ∈ y = f (− x) 即將 y = f ( x ) 的圖形對 y 軸作對稱會得到 y = f ( − x ) 的圖形。 3. 將函數中 ( x, y ) 以 ( − x,− y ) 代入，表將圖形對原點作對稱，也就是將 y = f ( x ) 的圖形變數變換成為對原點對稱的圖形 y = − f (− x ) ，即 y = f ( x ) → y = − f ( − x ) 表將圖形對原點作對稱。 (證明) 若 ( x0 , y 0 ) ∈ y = f ( x) ⇔ y 0 = f ( x0 ) ⇔ − y 0 = − f (−(− x0 )) ⇔ ( − x 0 ,− y 0 ) ∈ y = − f ( − x ) 即將 y = f ( x ) 的圖形對原點作對稱會得到 y = − f (− x ) 的圖形。 4. 求對稱圖形方程式：將原方程式的 ( x, y ) 替換成對稱點代入，所得到的新方程式即為對稱圖形方程式。 5. 對稱點： ( x, y ) 對於 x 軸、 y 軸、原點及 y = x 的對稱點分別如下： y ( y, x). ( − x, y ) ( − x, − y ). O. ( x, y ) x ( x,− y ).

(3) 【問題】試利用平移、旋轉、伸縮、對稱等幾何方法畫出下列圖形： 1. 試畫出 y = 2 x 的圖形。 2. 試畫出 y = 2 − x 的圖形。 3. 試畫出 y = −2 x 的圖形。 4. 試畫出 y = −2 − x 的圖形。 5. 試畫出 y = 2 x + 1 的圖形。 6. 試畫出 y = 2 x +1 的圖形。 7. 試畫出 y = 2 | x| 的圖形。 8. 試畫出 y = 2 −| x| 的圖形。 9. 試畫出 y = −2 | x| 的圖形。 10.試畫出 y = −2 −| x| 的圖形。 2 x + 2−x 11.試畫出 y = 的圖形。 2 2x − 2−x 12.試畫出 y = 的圖形。 2. 2.5. 2. 1.5. 1. 0.5. -5. -4. -3. -2. -1. 1. -0.5. -1. -1.5. -2. -2.5. 2. 3. 4. 5.

(4) 【定義】 1. 嚴格遞增函數：若函數 y = f ( x ) 的圖形，由左往右逐漸上升，即滿足對於任意實數 x1 , x2 ，恆有 x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) 。 2. 嚴格遞減函數：若函數 y = f ( x ) 的圖形，由左往右逐漸下降，即滿足對於任意實數 x1 , x2 ，恆有 x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) 。 3. 一對一函數：若函數 y = f ( x ) 的定義域內任意兩個相異元素 x1 , x2 ，它們所對應的函數值 f ( x1 ), f ( x2 ) 也相異，就稱 y = f ( x ) 為一對一函數 4. 函數圖形的凹凸性涵意： f ( x1 ) + f ( x 2 ) x + x2 ) 時，稱函數凹向上。 ≥ f( 1 (1)凹向上：函數 y = f ( x) 滿足 2 2 f ( x1 ) + f ( x 2 ) x + x2 ) 時，稱函數凹向下。 ≤ f( 1 (2)凹向下：函數 y = f ( x) 滿足 2 2 【性質】指數函數 y = a x , a > 0, a ≠ 1 之圖形的特性： 1. 圖形恆在 x 軸的上方，即對於任意實數 x ， f ( x) = a x > 0 恆成立。 2. y = a x 之圖形恆過點 (0,1) 。 3. y = a x 的圖形是連續的(沒有斷點)。 4. (指數律)對於任意實數 x1 , x2 ，恆有 (1) f ( x1 + x2 ) = f ( x1 ) f ( x 2 ) 。 f ( x1 ) 。 (2) f ( x1 − x 2 ) = f ( x2 ) 5. f ( x) = a x ， a > 0, a ≠ 1, x ∈ R ，對於任意實數 x1 , x2 ，恆有 (1)當 a > 1 時， x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) < f ( x 2 ) (嚴格遞增)(大於 1 越乘越大)。 (2)當 0 < a < 1 時， x1 < x2 ⇔ f ( x1 ) > f ( x 2 ) (嚴格遞減)(小於 1 越乘越小)。 6. 一對一函數：平行於 x 軸的直線都至多與 y = a x 的圖形交於一點。 7. 當 a > 1 時，圖形由左往右逐漸上升，愈向右邊( x → ∞ )上升得愈快，愈向左邊( x → −∞ )圖形愈接近 x 軸，稱 x 軸是 y = a x 圖形的漸近線。 a>1. y. y = ax 較大的 a. 較小的 a. (0,1) O. x.

(5) 8. 當 0 < a < 1 時，圖形由左往右逐漸下降，愈向左邊( x → −∞ )上升得愈快，愈向右邊( x → ∞ )圖形愈接近 x 軸，稱 x 軸是 y = a x 圖形的漸近線。 y. y = ax 較大的 a. 0<a<1. 較小的 a. (0,1) x. O 1 9. y = a x 的圖形與 y = ( ) x 的圖形對稱於 y 軸。 a. y 1 y = ( )x a. y = ax. (0,1) x. O. 10.指數函數 y = a x 圖形凹向上： (1)代數意義即為算幾不等式：對於任意的正數 a ，實數 x1 , x2 而言下列的不等式成立： x +x. 1 2 a x1 + a x2 a x1 + a x2 ≥ a x1 a x2 ) ≥ a 2 ，且等號成立的充要條件為 x1 = x2 。(即 2 2 (2)幾何意義：. y. y = ax y2 = a. x2. x1 + x 2 2. a. + a x1 2 y1 = a x1. a. x2. x. O x1. x1 + x 2 2. x2.

(6) 【問題】下列何者表示函數 y = f ( x ) 為一對一函數的判別法？何者表示 y = f ( x) 為函數的判別法？ 1. 若 x1 ≠ x2 ，則 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) 。 2. 若 f ( x1 ) = f ( x2 ) ，則 x1 = x2 。 3. 任一水平線與圖形至多交一點。 4. 不同的 x 對不同的 y 。 5. 若 f ( x1 ) ≠ f ( x2 ) ，則 x1 ≠ x2 。 6. 若 x1 = x2 ，則 f ( x1 ) = f ( x2 ) 。 7. 任一鉛垂線與圖形至多交一點。 8. 不同的 y 對不同的 x 。解答：前四個選項為一對一函數判別法，後四個選項為函數判別法。【定義】生長函數：形如 f ( x) = ca x , a > 0, c > 0 的函數稱為生長函數，其中 a 是生長因子， c 是 f ( x ) 在 x = 0 的初始值。當 0 < a < 1 時，生長因子 a 的意義是衰變(蛻變)因子【方法】指數形式的問題中，比較大小的常用方法有如下幾種： 1. 化成同底數。 2. 化成同指數。 3. 與 0,1 比較大小。 4. 兩兩相比。 5. 取對數。【性質】指數比較大小時所使用的性質： 1. 當 a > 1 (嚴格遞增)： (1) x > 0 ⇒ a x > 1 。(2) x < 0 ⇒ a x < 1 。 2. 當 0 < a < 1 (嚴格遞減)： (1) x < 0 ⇒ a x > 1 。(2) x > 0 ⇒ a x < 1 。 y 1 y = ( )x a. y = ax. (0,1) O. x.

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