圖解平面凸多邊形方程式的幾何意義：
以三邊形、四邊形、五邊形為例(II)
李輝濱
【(續)科 學 教 育月 刊 第 403 期 第 33 頁 之後 】B-3. 平面凸五邊形的邊角方程式：
(1) 推 證 平 面 凸 五 邊 形 的 邊 角 方 程 式 圖 8 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 五 邊 形A
1A
2A
3A
4A
5，令 線 段A
1A
2=V
1，A
2A
3 =V
2，A
3A
4 =V
3，A
4A
5 =V
4，A
5A
1=V
5，如 上 圖8 由 引 理 1 取 n=5 代 入方 程 式(1)與(2)，並 作 內 角 轉 換 ， 可 得 下 列 兩 式 ； 1V
−V
2cos A
2+V
3cos(
A
2
A
3)
+V
4cos(
A
5
A
1)
−V
5cos A
1= 0 ··· ( 5 - 1 ) 22
sin A
V
−V
3sin(
A
2
A
3)
+V
4sin(
A
5
A
1)
−V
5sin A
1= 0 ··· ( 5 - 2 ) 由 引 理2.並 令
為 角 度 修 正 參 數 ， 內 角 組 合 僅 任 意 選 取 下 列 2 情 況 ； (Case 1) 選 取
2
3
5 3 1A
A
A
，
2
3
4 2A
A
， 分 別 代 入 方 程 式(5-1)式與 (5-2)式中 ； 先 由代 入(5-1)式， 得 1V
−)
2
3
cos(
4 2A
V
+)
2
3
cos(
4 3 3A
A
V
+)
2
3
cos(
3 4A
V
)
2
3
cos(
3 5 5A
A
V
= 0
V
1+V
2sin(
A
4)
+V
3sin(
A
3
A
4)
+V
4sin(
A
3)
V
5sin(
A
3
A
5)
= 0
V
1+sin
[V
2cos
A
4−V
3cos(
A
3
A
4)
+V
4cos A
3
V
5cos(
A
3
A
5)
]+
cos
[V
2sin
A
4+V
3sin(
A
3
A
4)
−V
4sin A
3+V
5sin(
A
3
A
5)
]= 0 ··· (5-1a) 同 理 ， 由 代 入(5-2)式 ， 得
cos
[−V
2cos
A
4+V
3cos(
A
3
A
4)
−V
4cos A
3+V
5cos(
A
3
A
5)
]+
sin
[V
2sin
A
4+V
3sin(
A
3
A
4)
−V
4sin A
3+V
5sin(
A
3
A
5)
]= 0 ··· (5-2a) 倣 效 B-2.的(Case 2) 聯 立 解出(5-1a)式 與(5-2a)式 ， 省略 計 算 過 程， 得)
cos(
2 4 1A
A
V
−V
2cos
A
4+V
3cos(
A
3
A
4)
−V
4cos A
3+V
5cos(
A
3
A
5)
= 0 ··· (5-1T))
sin(
2 4 1A
A
V
−V
2sin
A
4−V
3sin(
A
3
A
4)
+V
4sin A
3−
V
5sin(
A
3
A
5)
= 0 ··· (5-2T) 方 程 式 (5-1T)式 與(5-2T)式 即為 推 證 出 的第 一 組 五 邊形 的 邊 角 方程 式 。 (Case 2) 選 取A
1
A
2
A
3
A
5
2
，A
4
， 分 別 代 入 方 程 式 (5-1)式 與 (5-2)式中 ， 先 由代 入(5-1)式， 得V
1−V
2cos(
2
A
1
A
3
A
5)
+V
3cos(
2
A
1
A
5)
+)
cos(
5 1 4A
A
V
−V
5cos A
1= 0
V
1−V
2cos(
A
1
A
3
A
5)
+V
3cos(
A
1
A
5)
+V
4cos(
A
5
A
1)
−V
5cos A
1= 0
V
1+V
4cos(
A
5
A
1)
−V
5cos A
1+cos
[−V
2cos(
A
1
A
3
A
5)
+
V
3cos(
A
1
A
5)
]+sin
[−V
2sin(
A
1
A
3
A
5)
+V
3sin(
A
1
A
5)
]= 0 · ( 5 - 1 b ) 同 理 ， 由 代 入(5-2)式 ， 得)
sin(
5 14
A
A
V
−V
5sin A
1+sin
[V
2cos(
A
1
A
3
A
5)
−
V
3cos(
A
1
A
5)
] +cos
[−V
2sin(
A
1
A
3
A
5)
+V
3sin(
A
1
A
5)
]= 0 · ( 5 - 2 b ) 倣 效 B-2 的(Case 2).聯 立 解 出(5-1b)式 與(5-2b)式 ，省 略 計 算 過程 ， 得4 1
cos
A
V
=
V
2cos(
A
1
A
3
A
5)
−V
3cos(
A
1
A
5)
··· (5-1c) 與V
1sin
A
4−V
4sin(
A
5
A
1
A
4)
+V
5sin(
A
1
A
4)
=
V
2sin(
A
1
A
3
A
5)
−V
3sin(
A
1
A
5)
··· (5-2c) 由cos(
A
1
A
3
A
5)
=cos(
3
A
2
A
4)
=
cos(
A
2
A
4)
， 及)
sin(
A
1
A
3
A
5 =sin(
3
A
2
A
4)
=sin(
A
2
A
4)
， 轉 換 內 角 ， 最 後 得 4 1cos
A
V
V
2cos(
A
2
A
4)
−V
3cos(
A
1
A
5)
= −V
4cos(
A
5
A
1
A
4)
+V
5cos(
A
1
A
4)
··· (5-1G) 4 1sin
A
V
V
2sin(
A
2
A
4)
+V
3sin(
A
1
A
5)
=V
4sin(
A
5
A
1
A
4)
−V
5sin(
A
1
A
4)
··· (5-2G) 方 程 式(5-1G)式 與(5-2G)式 即為 推 證 出 的第 二 組 五 邊形 的 邊 角 方程 式 。 (2) 圖 解 五 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 圖 9 (I) 觀 察(Case 1)中的 (5-1T)式 與(5-2T)式 這兩 方 程 式，有 兩個 內 角的 差，即A
3
A
4，請 看 上 圖 9 當 頂 角A
3A
4時 ，(這 不 失 為一 般 性 作 圖假 設) (a) 在 頂 角A
3內 側 作 射 線A
3B， 使
A
2A
3B
恰 等 於 頂 角A
4， 則
=A
4， (b) 自頂 點A
2對 射 線A
3B 作 一 垂直 射 線A
2C， 使 C 點 為 垂直 線 交 點 。 (c) 自 頂 點A
4對 射 線A
3B 作 一 垂直 射 線A
4E， 使 D 點 為 兩垂 直 線 交 點。 (d) 再自 頂 點A
2作 一 與 射 線A
3B 平行 的 平 行射 線A
2H，另 自 頂 點A
1作 一 與 射 線A
2H 相 垂 直 的 射 線A
1G，使 兩 射 線的 垂 直 交 點 為 H 點 。(e) 再 自 頂 點
A
5作 一 與 射 線A
3B 平行 的 平 行射 線A
5E，使 射線A
5E 與 射線A
4E 相 交 於 E 點 ， 而 E 點為 垂 直 點 。至 此 ， 作 圖 9 完 成 。(f) 現 在看 方 程式(5-1T)式 的各 項 在 圖 9 中 出 現 的 位置 ；
(f-1) 參 閱 圖 9 在 頂 點
A
2位 置 處，兩 角 度A
2+
=A
2+A
4=
，則cos(
A
2
A
4)
=
cos
，sin(
A
2
A
4)
=
sin
，故V
1cos(
A
2
A
4)
=
V
1cos
的 值 即 為 投 影 線 段A
2H 的 負值 。 (f-2)
V
2cos
A
4的 值 即 為 投 影 線 段A
3C 的 負值 。 (f-3)V
3cos(
A
3
A
4)
的 值 即 為 投 影 線 段A
3D 的 正 值。 (f-4) 請 看 圖 9 中 的 三 角 形
A
3A
4B
，內 角
=
A
3，則
V
4cos A
3=V
4cos
其 值 即 為 投 影 線 段A
5E 的 正 值 。 (f-5) 在 頂點A
5位 置 處，
A
5，
=A
3
A
5
，則cos
=
cos(
A
3
A
5)
，
sin
=
sin(
A
3
A
5)
， 而V
5cos(
A
3
A
5)
=
V
5cos
即 為 投 影 線 段A
5G 的 負 值 ， 以 上 這 五 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式 (5-1T)式 。 (g) 現在 看 方 程式 (5-2T)式 的 各 項 在 圖 9.中 出 現 的位 置 ； (g-1)V
1sin(
A
2
A
4)
=
V
1sin
的 值 即 為 線 段A
1H 的 負 值。 (g-2)
V
2sin
A
4的 值 即 為 線 段A
2C 的 負值 。 (g-3)
V
3sin(
A
3
A
4)
的 值 即 為 線 段A
4D 的 負值 。 (g-4)V
4sin A
3=V
4sin
的 值 即 為 線 段A
4E 的 正值 。 (g-5)
V
5sin(
A
3
A
5)
=V
5sin
的 值 即 為 線 段A
1G 的 正值 。 以 上 這 五 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式(5-2T)式 。 (II) 觀 察(Case 2).中 的(5-1G)式與(5-2G)式 這兩 方 程 式，有 兩 個 內角 的 差，即A
1
A
4，請 看 上 圖11 當 頂角A
1A
4時 ，(這 不失 為 一 般 性作 圖 假 設) 圖 10 圖11(a) 在 頂 角
A
1內 側 作 射 線A
1H，使
A
2A
1H
恰 等 於 頂 角A
4， (b) 自頂 點A
2對 射 線A
1H 作 一 垂直 射 線A
2B， 使 B 點 為 垂直 線 交 點 。 (c) 自 頂 點A
4作 一 與 射 線A
1H 平 行 的平 行 射線A
4E， (d) 再自 頂 點A
3作 一 與 射 線A
1H 平 行的 平 行射 線A
3C，射 線A
3C 與 射 線A
2B 相互 垂 直 於 C 點 ， 另 自頂 點A
3作 一 與 射 線A
4E 相 垂直 的 射 線A
3D，使 兩 射 線的 垂 直 交 點 為 D 點 。 (e) 再 自 頂 點A
5作 一 與 射 線A
1H 相垂 直 的 射線A
5E， 使 射線A
5E 與 射 線A
4E 相交 於 E 點，而 E 點 為垂 直 點。另 再使 射 線A
5E 與 射 線A
1H 相 交 於 F 點，而 F 點 為 垂直 點 。 至 此 ， 作 圖 11 完 成 。 (f) 現 在看 方 程式(5-1G)式 的各 項 在 圖 11 中 出 現 的 位置 ； (f-1)V
1cos
A
4 的值 即 為投 影 線 段A
1B。(f-2) 圖 11 中 的
A
2A
3C
=
=
A
2
A
4， 而cos
cos(
A
2
A
4)
，sin
=)
sin(
A
2
A
4 ， 則
V
2cos(
A
2
A
4)
=V
2cos
的 值 即 為 投 影 線 段A
3C。 (f-3) 圖 11 中 的
=
(
A
5
A
1
A
4)
， 而 在 頂 點A
4處A
4+(
A
5
A
1
A
4)
=
+
=A
5
A
1 ，cos(
A
5
A
1)
=
cos
，sin(
A
5
A
1)
=
sin
， 所 以)
cos(
1 53
A
A
V
=V
3cos
的值 即 為 投 影線 段A
4D。 (f-4)
V
4cos(
A
5
A
1
A
4)
=V
4cos
的值 即 為投 影 線 段A
4E。 (f-5)V
5cos(
A
1
A
4)
的 值 即 為 投 影 線 段A
1F。 以 上 這 五 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式 (5-1G)式。 (g) 同理 ， 方 程式(5-2G)式 的各 項 值 也 都滿 足 了 在 圖 11 中 出 現 的相 關 位 置 。 由 上 述 圖 示 解 說，可 確 認 知 方 程 式(5-1T)式，(5-2T)式，(5-1G)式 與(5-2G)式 四式 必 為 早 已 自 然 存 在 的 一 般 化 五 邊 形 恆 等 式 。B-4. 平面凸六邊形的邊角方程式：
(1) 推 證 平 面 凸 六 邊 形 的 邊 角 方 程 式 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 六 邊 形A
1A
2A
3A
4A
5A
6， 令 線 段A
1A
2 =V
1，A
2A
3 =V
2，A
3A
4 = 3V
，A
4A
5 =V
4，A
5A
6=V
5，A
6A
1=V
6，如 下 圖 12 由 引 理 1 取 n=6 代入 方 程 式(1)與(2)， 並 作 內 角 轉 換 ， 可 得 下 列 兩 式 ；圖 12 圖 13
1
V
V
2cos
A
2+V
3cos(
A
2
A
3)
V
4cos(
A
2
A
3
A
4)
)
cos(
6 1 5A
A
V
V
6cos A
1= 0 ··· (6-1) 2 2sin
A
V
V
3sin(
A
2
A
3)
V
4sin(
A
2
A
3
A
4)
V
5sin(
A
6
A
1)
1 6
sin A
V
= 0 ··· (6-2) 由 引 理2 並 令
為 角 度 修 正 參 數 ， 內 角 組 合 僅 選 取 下 列 1 種 情 況為 例 ； 選 取A
1
A
3
A
5
2
,A
2
A
4
A
6
2
, 分 別 代 入 方 程 式 (6-1)式 與 (6-2) 式中 ； 倣 效 B-2 的(Case 1) 聯 立解 出 ， 省 略計 算 過 程 ，得)
cos(
2 4 6 1A
A
A
V
V
2cos(
A
4
A
6)
V
3cos(
A
4
A
6
A
3)
)
cos(
6 3 4A
A
V
V
5cos(
A
6
A
3
A
5)
V
6cos(
A
3
A
5)
0
··· (6-1T))
sin(
2 4 6 1A
A
A
V
V
2sin(
A
4
A
6)
V
3sin(
A
4
A
6
A
3)
)
sin(
6 3 4A
A
V
V
5sin(
A
6
A
3
A
5)
V
6sin(
A
3
A
5)
0
··· (6-2T) 方 程 式(6-1T)式 與(6-2T)式 即為 推 證 出 的一 組 六 邊 形的 邊 角 方 程式 。 (2) 圖 解 六 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 觀 察 方 程 式 中 的 (6-1T)式 與(6-2T)式 這兩 方 程 式，有 兩 個 內 角的 差，即A
6
A
3， 請 看 上 圖 12 與 圖 13 當 頂 角A
6A
3時 ，(這 不 失 為一 般 性 作 圖假 設) (a) 在 頂 角A
6處 內 側 作 射 線A
6B， 使
A
1A
6B
恰 等 於 頂 角A
3， 則
=A
6
A
3， (b) 通過 頂 點A
4處 作 一 直 線 CD，使
A
5A
4C
恰 等 於
=A
6
A
3。 (c) 接 下 來，仿 效前 述 五 邊 形過 程，將(6-1T)式 與(6-2T)式 的 各項 投 影 線 段作 圖 全 部 呈現 在 上 圖13.的 圖 示中 ， 請 依樣 作 圖 模 擬即 可 理 解 邊角 方 程 式 的意 義 。
B-5. 平面凸七邊形的邊角方程式：
(1) 推 證 平 面 凸 七 邊 形 的 邊 角 方 程 式 圖 14 圖 15 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 七 邊 形A
1A
2A
3A
4A
5A
6A
7， 如 圖 14 由引 理 2 並令
為 角 度 修 正 參 數 ， 內 角 組 合 僅 選 取 下 列 1 種 情況 為 例 ； 選 取A
1
A
3
A
5
A
7
(
2
.
5
)
, ,A
2
A
4
A
6
(
2
.
5
)
, 分 別 代 入 方 程 式 中 ， 仿 效 前 述 運 算 過 程 並 化 簡 ， 最 後 得)
cos(
2 4 6 1A
A
A
V
V
2cos(
A
4
A
6)
V
3cos(
A
4
A
6
A
3)
)
cos(
6 3 4A
A
V
V
5cos(
A
6
A
3
A
5)
V
6cos(
A
3
A
5)
0
)
cos(
3 5 7 7
V
A
A
A
··· (7-1T))
sin(
2 4 6 1A
A
A
V
V
2sin(
A
4
A
6)
V
3sin(
A
4
A
6
A
3)
)
sin(
6 3 4A
A
V
V
5sin(
A
6
A
3
A
5)
V
6sin(
A
3
A
5)
0
)
sin(
3 5 7 7
V
A
A
A
··· (7-2T) 方 程 式(7-1T)式 與(7-2T)式 即為 推 證 出 的一 組 七 邊 形的 邊 角 方 程式 。 (2) 圖 解 七 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 請 看 上 圖 14 與 圖 15 當 頂 角A
6A
3時 ，(這 不 失 為一 般 性 作 圖假 設) (a) 圖 14.中 ， 在 頂 角A
6處 內 側 預 先 作 一 射 線 ， 將 頂 角A
6分 割 成 一 頂 角 角 度A
3及 另 一 角 度
， 使 得
=A
6
A
3。 (b) 圖 15.中 ， 通過 頂 點A
4處 作 一 直 線CB， 使
A
5A
4B
恰 等 於
=A
6
A
3。 (c) 接 下 來，仿 效前 述 五 邊 形過 程，將(7-1T)式 與(7-2T)式 的 各項 投 影 線 段作 圖 全 部 呈 現 在 上 圖 15 的 圖示 中 ， 請 依樣 作 圖 模 擬即 可 理 解 邊角 方 程 式 的意 義 。B-6. 平面凸八邊形的邊角方程式：
(1) 推 證 平 面 凸 八 邊 形 的 邊 角 方 程 式 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 八 邊 形A
1A
2A
3A
4A
5A
6A
7A
8， 如 圖 16 圖 16 圖 17 由 引 理2 並 令
為 角 度 修 正 參 數 ， 內 角 組 合 僅 選 取 下 列1 種 情 況為 例 ； 選 取A
1
A
3
A
5
A
7
3
，A
2
A
4
A
6
A
8
3
， 分 別 代 入 方 程 式 中 ， 仿 效 前 述 運 算 過 程 並 化 簡 ， 最 後 得)
cos(
2 4 6 8 1A
A
A
A
V
V
2cos(
A
4
A
6
A
8)
)
cos(
4 6 8 3 3A
A
A
A
V
V
4cos(
A
6
A
8
A
3)
)
cos(
6 8 3 5 5A
A
A
A
V
V
6cos(
A
8
A
3
A
5)
)
cos(
8 3 5 7 7A
A
A
A
V
V
8cos(
A
3
A
5
A
7)
0
··· (8-1T))
sin(
2 4 6 8 1A
A
A
A
V
V
2sin(
A
4
A
6
A
8)
)
sin(
4 6 8 3 3A
A
A
A
V
V
4sin(
A
6
A
8
A
3)
)
sin(
6 8 3 5 5A
A
A
A
V
V
6sin(
A
8
A
3
A
5)
)
sin(
8 3 5 7 7A
A
A
A
V
V
8sin(
A
3
A
5
A
7)
0
··· (8-2T) 方 程 式(8-1T)式 與(8-2T)式 即為 推 證 出 的一 組 八 邊 形的 邊 角 方 程式 。 (2) 圖 解 八 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 觀 察 方 程 式 中 的(8-1T) 式 與 (8-2T) 式 這 兩 方 程 式 ， 有 最 簡 要 的 內 角 組 合 ， 即 3 8 6A
A
A
， 請 看 圖 16 與 圖 17 當 頂 角A
6
A
8A
3時 ， (a) 圖 16.中 ， 在頂 角A
6處 外 側 預 先 作 一 射 線A
6Q ， 使
A
5A
6Q
恰 等 於 頂 角A
8， 再 作 一 射 線A
6R， 使
QA
6R
恰 等 於 頂 角A
3， 則
A
7A
6R
=A
6
A
8
A
3。(b) 圖 17.中 ， 通過 頂 點
A
4處 向 外 側 作 一 直 線A
4M， 使
A
5A
4M
恰 等 於R
A
A
7 6
=A
6
A
8
A
3。 (c) 接 下 來，仿 效前 述 五 邊 形過 程，將(8-1T)式 與(8-2T)式 的 各項 投 影 線 段作 圖 全 部 呈 現 在 上 圖 17 的 圖示 中 ， 請 依樣 作 圖 模 擬即 可 理 解 邊角 方 程 式 的意 義 。B-7. 平面凸九邊形的邊角方程式：
(1) 推 證 平 面 凸 九 邊 形 的 邊 角 方 程 式 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 九 邊 形A
1A
2A
3....
A
7A
8A
9， 如 下 圖 18。 圖 18 圖 19 由 引 理 2 並 令
為 角 度 修 正 參 數 ， 內 角 組 合 僅 選 取 下 列 1 種 情 況 為 例 ； 選 取
3 5 7 9(
3
.
5
)
1A
A
A
A
A
，A
2
A
4
A
6
A
8
(
3
.
5
)
，分 別 代 入 方程 式 中； 並 化 簡 ， 仿 效 前 述 運 算 過 程 ， 最 後 得)
cos(
2 4 6 8 1A
A
A
A
V
V
2cos(
A
4
A
6
A
8)
)
cos(
4 6 8 3 3A
A
A
A
V
V
4cos(
A
6
A
8
A
3)
)
cos(
6 8 3 5 5A
A
A
A
V
V
6cos(
A
8
A
3
A
5)
)
cos(
8 3 5 7 7A
A
A
A
V
V
8cos(
A
3
A
5
A
7)
0
)
cos(
3 5 7 9 9
V
A
A
A
A
··· (9-1T))
sin(
2 4 6 8 1A
A
A
A
V
V
2sin(
A
4
A
6
A
8)
)
sin(
4 6 8 3 3A
A
A
A
V
V
4sin(
A
6
A
8
A
3)
)
sin(
6 8 3 5 5A
A
A
A
V
V
6sin(
A
8
A
3
A
5)
)
sin(
8 3 5 7 7A
A
A
A
V
V
8sin(
A
3
A
5
A
7)
0
)
sin(
3 5 7 9 9
V
A
A
A
A
··· (9-2T)方 程 式(9-1T)式 與(9-2T)式 即為 推 證 出 的一 組 九 邊 形的 邊 角 方 程式 。 (2) 圖 解 九 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 觀 察 方 程 式 中 的(9-1T) 式 與 (9-2T) 式 這 兩 方 程 式 ， 有 最 簡 要 的 內 角 組 合 ， 即 3 8 6
A
A
A
， 請 看 圖 18 與 圖 19 當 頂 角A
6
A
8A
3時 ， (a) 圖 18.中，在 頂 角A
6處 外 側 預 先 作 一 射 線A
6Q，使
A
5A
6Q
恰 等 於 頂 角A
8，再 作 一 射 線A
6R， 使
QA
6R
恰 等 於 頂 角A
3， 則
A
7A
6R
=A
6
A
8
A
3。 (b) 圖 19 中 ， 通 過 頂 點A
4處 向 外 側 作 一 直 線A
4M， 使
A
5A
4M
恰 等 於
A
7A
6R
= 3 8 6A
A
A
。 (c) 接 下 來，仿 效前 述 五 邊 形過 程，將(9-1T)式 與(9-2T)式 的 各項 投 影 線 段作 圖 全 部 呈 現 在 上 圖 19 的 圖示 中 ， 請 依樣 作 圖 模 擬即 可 理 解 邊角 方 程 式 的意 義 。 本 文 的 說 明 中 僅 列 舉 上 述 三 至 九 邊 形 的 邊 角 恆 等 式 證 明 及 圖 解 情 形，而 十 邊 形 以 上 所 有 圖 形 者 也 全 都 能 仿 照 前 述 方 法 一 一 展 現。當 需 要 運 用 到 更 多 邊 形 的 邊 角 恆 等 式，我 們 就 會 有 更 多 樣 性 的 思 考 理 念 找 出 最 適 合 的 角 度 組 合 恆 等 式 來 應 用 。參、結論
檢 視 正 文 內 明 列 的 各 型 多 邊 形 恆 等 式 內 涵，可 發 現 方 程 式 裡 有 部 份 項 數 的 內 角 組 合 是 含 有 內 角 差 之 型 態，其 餘 項 數 則 是 純 加 法 性 內 角 組 合；此 兩 類 型 的 組 合 項 數 在 需 要 被 選 取 時，恰 好 可 以 適 當 地 作 為 替 代 互 換 ！ 尤 其 這 些 帶 有 純 加 法 性 內 角 組 合 的 項 數 恰 能 完 美 巧 妙 地 被 代 換 在 平 面 凸 多 邊 形 的 面 積 公 式 中 ！ 在 本 文 的 推 證 說 理 圖 解 過 程 中，每 一 凸 多 邊 形 都 僅 選 取 代 表 性 的 一 或 二 種 內 角 組 合 來 作 展 示. 事 實 上，每 一 凸 多邊 形 皆 有 包含 許 多 種 相異 的 內 角 組合，而 每 一組 合 都 會 有意 想 不 到 的 用 途 ， 都 能 形 成 完 全 正 確 且 有 幾 何 意 義 的 邊 角 恆 等 式 。 幾 何 作 圖 時，歷 經 反 覆 思 考，終 於 歸 納 出 一 套 成 功 的 作 圖 準 則；(1)即 對 三，四，五 邊 形 圖 形 須 從 有 出 現 兩 內 角 差 的 項 開 始 分 析 起，先 作 出 兩 內 角 差 的 角 度，接 著 觀 察 圖 形 的 內 角 相 關 位 置 ， 即 可 逐 項 找 出 內 角 組 合 的 圖 解 意 義 。(2)六 邊 形 以上 者 須 從第 4 項的 邊 長V
4 內 角 組 合 開 始 分 析 作 圖 ， 即 先 在 頂 點A
4處 向 外 側 作 出V
4內 角 組 合 的 一 直 線 ， 然 後 依 序 至 3V
,V
2,V
1,V
n,V
n1,…,V
9,V
8,V
7,V
6,V
5等 各 邊 長 順 序 在 各 頂 點 處 各 作 出 相 關 的 平 行 線 和 垂 直 線，以 尋 找 出 所 對 應 的 不 同 內 角 配 置。這 個 過 程 是 最 關 鍵 的，因 而 可 由 此 作 出 恆 等 式 中 每 一 項 出 現 的 投 影 線 段，再 比 對 這 些 投 影 線 段 的 正 負 值，即 可 徹 底 理 解 整 體 方 程 式 裡 的 邊 長 與 內 角 組 合 關 係 項 數 都 是 自 然 形 成 的 正 確 多 邊 形 恆 等 式 。幾 何 圖 示 中，是 由 選 取 內 角 差 的 邊 長 開 始 作 圖，例 如
V
4邊，以 順 時 針 方 向 順 勢 作 出 各 邊 長 角 度 投 影 線 段 來 完 成 整 個 作 圖 過 程。實 際 上，亦 可 以 逆 時 針 方 向 依 序 作 出 各 頂 點 處 相 關 的 平 行 線 和 垂 直 線 ， 以 證 明 恆 等 式 的 圓 滿 圖 形 意 義 。 無 論 何 種 情 況，所 有 作 圖 圖 形 中 第 一 條 被 作 出 的 直 線 就 是 指 標 線 ！ 自 所 有 其 餘 頂 點 作 出 的 平 行 線 與 垂 直 線 都 以 它 為 基 準，而 恆 等 式 中 每 一 項 的 投 影 線 段 正 負 值 也 都 能 定 向 地 投 射 到 這 指 標 線 上 或 指 標 線 的 垂 直 線 上 。參考文獻
李 輝 濱 (2013)。 圓 內 接 奇 數 邊 多 邊 形 的 正 弦 定 律 。 數 學 傳 播 季 刊 37 卷 4 期 。 李 輝 濱(2017)。圓 內 接 六 邊 形 的 面 積 。 科學 教 育 月 刊 396 期 。 李 輝 濱(2017)。預 測 與 驗 證 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式 ，科 學 教 育 月刊 398，399 期。 蔡 聰 明(2000)。數 學 發 現 趣 談 。 第 12，13 章 ，三 民 書局 。 林 聰 源(1995)。數 學 史 --古 典 篇 。凡 異 出版 社 。 項 武 義(1998)。基 礎 分 析 學 。五 南 圖 書 出版 公 司 。E.W. Hobson(1957) : A treatise on plane and Advanced trigonometry, Dover . Z.A. Melzek (1983) : Invitation to geometry, John Wiley and Sons .
