圖解平面凸多邊形方程式的幾何意義:以三邊形、四邊形、五邊形為例(II)

全文

(1)

圖解平面凸多邊形方程式的幾何意義:

以三邊形、四邊形、五邊形為例(II)

李輝濱

【(續)科 學 教 育月 刊 第 403 期 第 33 頁 之後 】

B-3. 平面凸五邊形的邊角方程式:

(1) 推 證 平 面 凸 五 邊 形 的 邊 角 方 程 式 圖 8 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 五 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5,令 線 段

A

1

A

2=

V

1

A

2

A

3 =

V

2

A

3

A

4 =

V

3

A

4

A

5 =

V

4

A

5

A

1=

V

5,如 上 圖8 由 引 理 1 取 n=5 代 入方 程 式(1)與(2),並 作 內 角 轉 換 , 可 得 下 列 兩 式 ; 1

V

V

2

cos A

2+

V

3

cos(

A

2

A

3

)

+

V

4

cos(

A

5

A

1

)

V

5

cos A

1= 0 ··· ( 5 - 1 ) 2

2

sin A

V

V

3

sin(

A

2

A

3

)

+

V

4

sin(

A

5

A

1

)

V

5

sin A

1= 0 ··· ( 5 - 2 ) 由 引 理2.並 令

為 角 度 修 正 參 數 , 內 角 組 合 僅 任 意 選 取 下 列 2 情 況 ; (Case 1) 選 取

2

3

5 3 1

A

A

A

2

3

4 2

A

A

, 分 別 代 入 方 程 式(5-1)式與 (5-2)式中 ; 先 由代 入(5-1)式, 得 1

V

)

2

3

cos(

4 2

A

V

+

)

2

3

cos(

4 3 3

A

A

V

+

)

2

3

cos(

3 4

A

V

)

2

3

cos(

3 5 5

A

A

V

= 0

(2)

V

1+

V

2

sin(

A

4

)

+

V

3

sin(

A

3

A

4

)

+

V

4

sin(

A

3

)

V

5

sin(

A

3

A

5

)

= 0

V

1+

sin

[

V

2

cos

A

4

V

3

cos(

A

3

A

4

)

+

V

4

cos A

3

V

5

cos(

A

3

A

5

)

]+

cos

[

V

2

sin

A

4+

V

3

sin(

A

3

A

4

)

V

4

sin A

3+

V

5

sin(

A

3

A

5

)

]= 0 ··· (5-1a) 同 理 , 由 代 入(5-2)式 , 得

cos

[−

V

2

cos

A

4+

V

3

cos(

A

3

A

4

)

V

4

cos A

3+

V

5

cos(

A

3

A

5

)

]+

sin

[

V

2

sin

A

4+

V

3

sin(

A

3

A

4

)

V

4

sin A

3+

V

5

sin(

A

3

A

5

)

]= 0 ··· (5-2a) 倣 效 B-2.的(Case 2) 聯 立 解出(5-1a)式 與(5-2a)式 , 省略 計 算 過 程, 得

)

cos(

2 4 1

A

A

V

V

2

cos

A

4+

V

3

cos(

A

3

A

4

)

V

4

cos A

3+

V

5

cos(

A

3

A

5

)

= 0 ··· (5-1T)

)

sin(

2 4 1

A

A

V

V

2

sin

A

4

V

3

sin(

A

3

A

4

)

+

V

4

sin A

3

V

5

sin(

A

3

A

5

)

= 0 ··· (5-2T) 方 程 式 (5-1T)式 與(5-2T)式 即為 推 證 出 的第 一 組 五 邊形 的 邊 角 方程 式 。 (Case 2) 選 取

A

1

A

2

A

3

A

5

2

A

4

, 分 別 代 入 方 程 式 (5-1)式 與 (5-2)式中 , 先 由代 入(5-1)式, 得

V

1

V

2

cos(

2

A

1

A

3

A

5

)

+

V

3

cos(

2

A

1

A

5

)

+

)

cos(

5 1 4

A

A

V

V

5

cos A

1= 0

V

1

V

2

cos(

A

1

A

3

A

5

)

+

V

3

cos(

A

1

A

5

)

+

V

4

cos(

A

5

A

1

)

V

5

cos A

1= 0

V

1+

V

4

cos(

A

5

A

1

)

V

5

cos A

1+

cos

[−

V

2

cos(

A

1

A

3

A

5

)

+

V

3

cos(

A

1

A

5

)

]+

sin

[−

V

2

sin(

A

1

A

3

A

5

)

+

V

3

sin(

A

1

A

5

)

]= 0 · ( 5 - 1 b ) 同 理 , 由 代 入(5-2)式 , 得

)

sin(

5 1

4

A

A

V

V

5

sin A

1+

sin

[

V

2

cos(

A

1

A

3

A

5

)

V

3

cos(

A

1

A

5

)

] +

cos

[−

V

2

sin(

A

1

A

3

A

5

)

+

V

3

sin(

A

1

A

5

)

]= 0 · ( 5 - 2 b ) 倣 效 B-2 的(Case 2).聯 立 解 出(5-1b)式 與(5-2b)式 ,省 略 計 算 過程 , 得

4 1

cos

A

V

(3)

=

V

2

cos(

A

1

A

3

A

5

)

V

3

cos(

A

1

A

5

)

··· (5-1c) 與

V

1

sin

A

4

V

4

sin(

A

5

A

1

A

4

)

+

V

5

sin(

A

1

A

4

)

=

V

2

sin(

A

1

A

3

A

5

)

V

3

sin(

A

1

A

5

)

··· (5-2c) 由

cos(

A

1

A

3

A

5

)

=

cos(

3

A

2

A

4

)

=

cos(

A

2

A

4

)

, 及

)

sin(

A

1

A

3

A

5 =

sin(

3

A

2

A

4

)

=

sin(

A

2

A

4

)

, 轉 換 內 角 , 最 後 得 4 1

cos

A

V

V

2

cos(

A

2

A

4

)

V

3

cos(

A

1

A

5

)

= −

V

4

cos(

A

5

A

1

A

4

)

+

V

5

cos(

A

1

A

4

)

··· (5-1G) 4 1

sin

A

V

V

2

sin(

A

2

A

4

)

+

V

3

sin(

A

1

A

5

)

=

V

4

sin(

A

5

A

1

A

4

)

V

5

sin(

A

1

A

4

)

··· (5-2G) 方 程 式(5-1G)式 與(5-2G)式 即為 推 證 出 的第 二 組 五 邊形 的 邊 角 方程 式 。 (2) 圖 解 五 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 圖 9 (I) 觀 察(Case 1)中的 (5-1T)式 與(5-2T)式 這兩 方 程 式,有 兩個 內 角的 差,即

A

3

A

4,請 看 上 圖 9 當 頂 角

A

3

A

4時 ,(這 不 失 為一 般 性 作 圖假 設) (a) 在 頂 角

A

3內 側 作 射 線

A

3B, 使

A

2

A

3

B

恰 等 於 頂 角

A

4, 則

=

A

4, (b) 自頂 點

A

2對 射 線

A

3B 作 一 垂直 射 線

A

2C, 使 C 點 為 垂直 線 交 點 。 (c) 自 頂 點

A

4對 射 線

A

3B 作 一 垂直 射 線

A

4E, 使 D 點 為 兩垂 直 線 交 點。 (d) 再自 頂 點

A

2作 一 與 射 線

A

3B 平行 的 平 行射 線

A

2H,另 自 頂 點

A

1作 一 與 射 線

A

2H 相 垂 直 的 射 線

A

1G,使 兩 射 線的 垂 直 交 點 為 H 點 。

(4)

(e) 再 自 頂 點

A

5作 一 與 射 線

A

3B 平行 的 平 行射 線

A

5E,使 射線

A

5E 與 射線

A

4E 相 交 於 E 點 , 而 E 點為 垂 直 點 。至 此 , 作 圖 9 完 成 。

(f) 現 在看 方 程式(5-1T)式 的各 項 在 圖 9 中 出 現 的 位置 ;

(f-1) 參 閱 圖 9 在 頂 點

A

2位 置 處,兩 角 度

A

2+

=

A

2+

A

4=

,則

cos(

A

2

A

4

)

=

cos

sin(

A

2

A

4

)

=

sin

,故

V

1

cos(

A

2

A

4

)

=

V

1

cos

的 值 即 為 投 影 線 段

A

2H 的 負值 。 (f-2)

V

2

cos

A

4的 值 即 為 投 影 線 段

A

3C 的 負值 。 (f-3)

V

3

cos(

A

3

A

4

)

的 值 即 為 投 影 線 段

A

3D 的 正 值。 (f-4) 請 看 圖 9 中 的 三 角 形

A

3

A

4

B

,內 角

=

A

3,則

V

4

cos A

3=

V

4

cos

其 值 即 為 投 影 線 段

A

5E 的 正 值 。 (f-5) 在 頂點

A

5位 置 處,

A

5

=

A

3

A

5

,則

cos

=

cos(

A

3

A

5

)

sin

=

sin(

A

3

A

5

)

, 而

V

5

cos(

A

3

A

5

)

=

V

5

cos

即 為 投 影 線 段

A

5G 的 負 值 , 以 上 這 五 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式 (5-1T)式 。 (g) 現在 看 方 程式 (5-2T)式 的 各 項 在 圖 9.中 出 現 的位 置 ; (g-1)

V

1

sin(

A

2

A

4

)

=

V

1

sin

的 值 即 為 線 段

A

1H 的 負 值。 (g-2)

V

2

sin

A

4的 值 即 為 線 段

A

2C 的 負值 。 (g-3)

V

3

sin(

A

3

A

4

)

的 值 即 為 線 段

A

4D 的 負值 。 (g-4)

V

4

sin A

3=

V

4

sin

的 值 即 為 線 段

A

4E 的 正值 。 (g-5)

V

5

sin(

A

3

A

5

)

=

V

5

sin

的 值 即 為 線 段

A

1G 的 正值 。 以 上 這 五 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式(5-2T)式 。 (II) 觀 察(Case 2).中 的(5-1G)式與(5-2G)式 這兩 方 程 式,有 兩 個 內角 的 差,即

A

1

A

4,請 看 上 圖11 當 頂角

A

1

A

4時 ,(這 不失 為 一 般 性作 圖 假 設) 圖 10 圖11

(5)

(a) 在 頂 角

A

1內 側 作 射 線

A

1H,使

A

2

A

1

H

恰 等 於 頂 角

A

4, (b) 自頂 點

A

2對 射 線

A

1H 作 一 垂直 射 線

A

2B, 使 B 點 為 垂直 線 交 點 。 (c) 自 頂 點

A

4作 一 與 射 線

A

1H 平 行 的平 行 射線

A

4E, (d) 再自 頂 點

A

3作 一 與 射 線

A

1H 平 行的 平 行射 線

A

3C,射 線

A

3C 與 射 線

A

2B 相互 垂 直 於 C 點 , 另 自頂 點

A

3作 一 與 射 線

A

4E 相 垂直 的 射 線

A

3D,使 兩 射 線的 垂 直 交 點 為 D 點 。 (e) 再 自 頂 點

A

5作 一 與 射 線

A

1H 相垂 直 的 射線

A

5E, 使 射線

A

5E 與 射 線

A

4E 相交 於 E 點,而 E 點 為垂 直 點。另 再使 射 線

A

5E 與 射 線

A

1H 相 交 於 F 點,而 F 點 為 垂直 點 。 至 此 , 作 圖 11 完 成 。 (f) 現 在看 方 程式(5-1G)式 的各 項 在 圖 11 中 出 現 的 位置 ; (f-1)

V

1

cos

A

4 的值 即 為投 影 線 段

A

1B。

(f-2) 圖 11 中 的

A

2

A

3

C

=

=

A

2

A

4, 而

cos

cos(

A

2

A

4

)

sin

=

)

sin(

A

2

A

4 , 則

V

2

cos(

A

2

A

4

)

=

V

2

cos

的 值 即 為 投 影 線 段

A

3C。 (f-3) 圖 11 中 的

=

(

A

5

A

1

A

4

)

, 而 在 頂 點

A

4

A

4+

(

A

5

A

1

A

4

)

=

+

=

A

5

A

1

cos(

A

5

A

1

)

=

cos

sin(

A

5

A

1

)

=

sin

, 所 以

)

cos(

1 5

3

A

A

V

=

V

3

cos

的值 即 為 投 影線 段

A

4D。 (f-4)

V

4

cos(

A

5

A

1

A

4

)

=

V

4

cos

的值 即 為投 影 線 段

A

4E。 (f-5)

V

5

cos(

A

1

A

4

)

的 值 即 為 投 影 線 段

A

1F。 以 上 這 五 項 的 值 恰 好 滿 足 了 方 程 式 (5-1G)式。 (g) 同理 , 方 程式(5-2G)式 的各 項 值 也 都滿 足 了 在 圖 11 中 出 現 的相 關 位 置 。 由 上 述 圖 示 解 說,可 確 認 知 方 程 式(5-1T)式,(5-2T)式,(5-1G)式 與(5-2G)式 四式 必 為 早 已 自 然 存 在 的 一 般 化 五 邊 形 恆 等 式 。

B-4. 平面凸六邊形的邊角方程式:

(1) 推 證 平 面 凸 六 邊 形 的 邊 角 方 程 式 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 六 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6, 令 線 段

A

1

A

2 =

V

1

A

2

A

3 =

V

2

A

3

A

4 = 3

V

A

4

A

5 =

V

4

A

5

A

6=

V

5

A

6

A

1=

V

6,如 下 圖 12 由 引 理 1 取 n=6 代入 方 程 式(1)與(2), 並 作 內 角 轉 換 , 可 得 下 列 兩 式 ;

(6)

圖 12 圖 13

1

V

V

2

cos

A

2+

V

3

cos(

A

2

A

3

)

V

4

cos(

A

2

A

3

A

4

)

)

cos(

6 1 5

A

A

V

V

6

cos A

1= 0 ··· (6-1) 2 2

sin

A

V

V

3

sin(

A

2

A

3

)

V

4

sin(

A

2

A

3

A

4

)

V

5

sin(

A

6

A

1

)

1 6

sin A

V

= 0 ··· (6-2) 由 引 理2 並 令

為 角 度 修 正 參 數 , 內 角 組 合 僅 選 取 下 列 1 種 情 況為 例 ; 選 取

A

1

A

3

A

5

2

,

A

2

A

4

A

6

2

, 分 別 代 入 方 程 式 (6-1)式 與 (6-2) 式中 ; 倣 效 B-2 的(Case 1) 聯 立解 出 , 省 略計 算 過 程 ,得

)

cos(

2 4 6 1

A

A

A

V

V

2

cos(

A

4

A

6

)

V

3

cos(

A

4

A

6

A

3

)

)

cos(

6 3 4

A

A

V

V

5

cos(

A

6

A

3

A

5

)

V

6

cos(

A

3

A

5

)

0

··· (6-1T)

)

sin(

2 4 6 1

A

A

A

V

V

2

sin(

A

4

A

6

)

V

3

sin(

A

4

A

6

A

3

)

)

sin(

6 3 4

A

A

V

V

5

sin(

A

6

A

3

A

5

)

V

6

sin(

A

3

A

5

)

0

··· (6-2T) 方 程 式(6-1T)式 與(6-2T)式 即為 推 證 出 的一 組 六 邊 形的 邊 角 方 程式 。 (2) 圖 解 六 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 觀 察 方 程 式 中 的 (6-1T)式 與(6-2T)式 這兩 方 程 式,有 兩 個 內 角的 差,即

A

6

A

3, 請 看 上 圖 12 與 圖 13 當 頂 角

A

6

A

3時 ,(這 不 失 為一 般 性 作 圖假 設) (a) 在 頂 角

A

6處 內 側 作 射 線

A

6B, 使

A

1

A

6

B

恰 等 於 頂 角

A

3, 則

=

A

6

A

3, (b) 通過 頂 點

A

4處 作 一 直 線 CD,使

A

5

A

4

C

恰 等 於

=

A

6

A

3。 (c) 接 下 來,仿 效前 述 五 邊 形過 程,將(6-1T)式 與(6-2T)式 的 各項 投 影 線 段作 圖 全 部 呈

(7)

現 在 上 圖13.的 圖 示中 , 請 依樣 作 圖 模 擬即 可 理 解 邊角 方 程 式 的意 義 。

B-5. 平面凸七邊形的邊角方程式:

(1) 推 證 平 面 凸 七 邊 形 的 邊 角 方 程 式 圖 14 圖 15 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 七 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

7, 如 圖 14 由引 理 2 並令

為 角 度 修 正 參 數 , 內 角 組 合 僅 選 取 下 列 1 種 情況 為 例 ; 選 取

A

1

A

3

A

5

A

7

(

2

.

5

)

, ,

A

2

A

4

A

6

(

2

.

5

)

, 分 別 代 入 方 程 式 中 , 仿 效 前 述 運 算 過 程 並 化 簡 , 最 後 得

)

cos(

2 4 6 1

A

A

A

V

V

2

cos(

A

4

A

6

)

V

3

cos(

A

4

A

6

A

3

)

)

cos(

6 3 4

A

A

V

V

5

cos(

A

6

A

3

A

5

)

V

6

cos(

A

3

A

5

)

0

)

cos(

3 5 7 7

V

A

A

A

··· (7-1T)

)

sin(

2 4 6 1

A

A

A

V

V

2

sin(

A

4

A

6

)

V

3

sin(

A

4

A

6

A

3

)

)

sin(

6 3 4

A

A

V

V

5

sin(

A

6

A

3

A

5

)

V

6

sin(

A

3

A

5

)

0

)

sin(

3 5 7 7

V

A

A

A

··· (7-2T) 方 程 式(7-1T)式 與(7-2T)式 即為 推 證 出 的一 組 七 邊 形的 邊 角 方 程式 。 (2) 圖 解 七 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 請 看 上 圖 14 與 圖 15 當 頂 角

A

6

A

3時 ,(這 不 失 為一 般 性 作 圖假 設) (a) 圖 14.中 , 在 頂 角

A

6處 內 側 預 先 作 一 射 線 , 將 頂 角

A

6分 割 成 一 頂 角 角 度

A

3及 另 一 角 度

, 使 得

=

A

6

A

3。 (b) 圖 15.中 , 通過 頂 點

A

4處 作 一 直 線CB, 使

A

5

A

4

B

恰 等 於

=

A

6

A

3。 (c) 接 下 來,仿 效前 述 五 邊 形過 程,將(7-1T)式 與(7-2T)式 的 各項 投 影 線 段作 圖 全 部 呈 現 在 上 圖 15 的 圖示 中 , 請 依樣 作 圖 模 擬即 可 理 解 邊角 方 程 式 的意 義 。

(8)

B-6. 平面凸八邊形的邊角方程式:

(1) 推 證 平 面 凸 八 邊 形 的 邊 角 方 程 式 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 八 邊 形

A

1

A

2

A

3

A

4

A

5

A

6

A

7

A

8, 如 圖 16 圖 16 圖 17 由 引 理2 並 令

為 角 度 修 正 參 數 , 內 角 組 合 僅 選 取 下 列1 種 情 況為 例 ; 選 取

A

1

A

3

A

5

A

7

3

A

2

A

4

A

6

A

8

3

, 分 別 代 入 方 程 式 中 , 仿 效 前 述 運 算 過 程 並 化 簡 , 最 後 得

)

cos(

2 4 6 8 1

A

A

A

A

V

V

2

cos(

A

4

A

6

A

8

)

)

cos(

4 6 8 3 3

A

A

A

A

V

V

4

cos(

A

6

A

8

A

3

)

)

cos(

6 8 3 5 5

A

A

A

A

V

V

6

cos(

A

8

A

3

A

5

)

)

cos(

8 3 5 7 7

A

A

A

A

V

V

8

cos(

A

3

A

5

A

7

)

0

··· (8-1T)

)

sin(

2 4 6 8 1

A

A

A

A

V

V

2

sin(

A

4

A

6

A

8

)

)

sin(

4 6 8 3 3

A

A

A

A

V

V

4

sin(

A

6

A

8

A

3

)

)

sin(

6 8 3 5 5

A

A

A

A

V

V

6

sin(

A

8

A

3

A

5

)

)

sin(

8 3 5 7 7

A

A

A

A

V

V

8

sin(

A

3

A

5

A

7

)

0

··· (8-2T) 方 程 式(8-1T)式 與(8-2T)式 即為 推 證 出 的一 組 八 邊 形的 邊 角 方 程式 。 (2) 圖 解 八 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 觀 察 方 程 式 中 的(8-1T) 式 與 (8-2T) 式 這 兩 方 程 式 , 有 最 簡 要 的 內 角 組 合 , 即 3 8 6

A

A

A

, 請 看 圖 16 與 圖 17 當 頂 角

A

6

A

8

A

3時 , (a) 圖 16.中 , 在頂 角

A

6處 外 側 預 先 作 一 射 線

A

6Q , 使

A

5

A

6

Q

恰 等 於 頂 角

A

8, 再 作 一 射 線

A

6R, 使

QA

6

R

恰 等 於 頂 角

A

3, 則

A

7

A

6

R

=

A

6

A

8

A

3

(9)

(b) 圖 17.中 , 通過 頂 點

A

4處 向 外 側 作 一 直 線

A

4M, 使

A

5

A

4

M

恰 等 於

R

A

A

7 6

=

A

6

A

8

A

3。 (c) 接 下 來,仿 效前 述 五 邊 形過 程,將(8-1T)式 與(8-2T)式 的 各項 投 影 線 段作 圖 全 部 呈 現 在 上 圖 17 的 圖示 中 , 請 依樣 作 圖 模 擬即 可 理 解 邊角 方 程 式 的意 義 。

B-7. 平面凸九邊形的邊角方程式:

(1) 推 證 平 面 凸 九 邊 形 的 邊 角 方 程 式 在 平 面 上 給 定 一 個 凸 九 邊 形

A

1

A

2

A

3

....

A

7

A

8

A

9, 如 下 圖 18。 圖 18 圖 19 由 引 理 2 並 令

為 角 度 修 正 參 數 , 內 角 組 合 僅 選 取 下 列 1 種 情 況 為 例 ; 選 取

3 5 7 9

(

3

.

5

)

1

A

A

A

A

A

A

2

A

4

A

6

A

8

(

3

.

5

)

,分 別 代 入 方程 式 中; 並 化 簡 , 仿 效 前 述 運 算 過 程 , 最 後 得

)

cos(

2 4 6 8 1

A

A

A

A

V

V

2

cos(

A

4

A

6

A

8

)

)

cos(

4 6 8 3 3

A

A

A

A

V

V

4

cos(

A

6

A

8

A

3

)

)

cos(

6 8 3 5 5

A

A

A

A

V

V

6

cos(

A

8

A

3

A

5

)

)

cos(

8 3 5 7 7

A

A

A

A

V

V

8

cos(

A

3

A

5

A

7

)

0

)

cos(

3 5 7 9 9

V

A

A

A

A

··· (9-1T)

)

sin(

2 4 6 8 1

A

A

A

A

V

V

2

sin(

A

4

A

6

A

8

)

)

sin(

4 6 8 3 3

A

A

A

A

V

V

4

sin(

A

6

A

8

A

3

)

)

sin(

6 8 3 5 5

A

A

A

A

V

V

6

sin(

A

8

A

3

A

5

)

)

sin(

8 3 5 7 7

A

A

A

A

V

V

8

sin(

A

3

A

5

A

7

)

0

)

sin(

3 5 7 9 9

V

A

A

A

A

··· (9-2T)

(10)

方 程 式(9-1T)式 與(9-2T)式 即為 推 證 出 的一 組 九 邊 形的 邊 角 方 程式 。 (2) 圖 解 九 邊 形 邊 角 方 程 式 的 意 義 觀 察 方 程 式 中 的(9-1T) 式 與 (9-2T) 式 這 兩 方 程 式 , 有 最 簡 要 的 內 角 組 合 , 即 3 8 6

A

A

A

, 請 看 圖 18 與 圖 19 當 頂 角

A

6

A

8

A

3時 , (a) 圖 18.中,在 頂 角

A

6處 外 側 預 先 作 一 射 線

A

6Q,使

A

5

A

6

Q

恰 等 於 頂 角

A

8,再 作 一 射 線

A

6R, 使

QA

6

R

恰 等 於 頂 角

A

3, 則

A

7

A

6

R

=

A

6

A

8

A

3。 (b) 圖 19 中 , 通 過 頂 點

A

4處 向 外 側 作 一 直 線

A

4M, 使

A

5

A

4

M

恰 等 於

A

7

A

6

R

= 3 8 6

A

A

A

。 (c) 接 下 來,仿 效前 述 五 邊 形過 程,將(9-1T)式 與(9-2T)式 的 各項 投 影 線 段作 圖 全 部 呈 現 在 上 圖 19 的 圖示 中 , 請 依樣 作 圖 模 擬即 可 理 解 邊角 方 程 式 的意 義 。 本 文 的 說 明 中 僅 列 舉 上 述 三 至 九 邊 形 的 邊 角 恆 等 式 證 明 及 圖 解 情 形,而 十 邊 形 以 上 所 有 圖 形 者 也 全 都 能 仿 照 前 述 方 法 一 一 展 現。當 需 要 運 用 到 更 多 邊 形 的 邊 角 恆 等 式,我 們 就 會 有 更 多 樣 性 的 思 考 理 念 找 出 最 適 合 的 角 度 組 合 恆 等 式 來 應 用 。

參、結論

檢 視 正 文 內 明 列 的 各 型 多 邊 形 恆 等 式 內 涵,可 發 現 方 程 式 裡 有 部 份 項 數 的 內 角 組 合 是 含 有 內 角 差 之 型 態,其 餘 項 數 則 是 純 加 法 性 內 角 組 合;此 兩 類 型 的 組 合 項 數 在 需 要 被 選 取 時,恰 好 可 以 適 當 地 作 為 替 代 互 換 ! 尤 其 這 些 帶 有 純 加 法 性 內 角 組 合 的 項 數 恰 能 完 美 巧 妙 地 被 代 換 在 平 面 凸 多 邊 形 的 面 積 公 式 中 ! 在 本 文 的 推 證 說 理 圖 解 過 程 中,每 一 凸 多 邊 形 都 僅 選 取 代 表 性 的 一 或 二 種 內 角 組 合 來 作 展 示. 事 實 上,每 一 凸 多邊 形 皆 有 包含 許 多 種 相異 的 內 角 組合,而 每 一組 合 都 會 有意 想 不 到 的 用 途 , 都 能 形 成 完 全 正 確 且 有 幾 何 意 義 的 邊 角 恆 等 式 。 幾 何 作 圖 時,歷 經 反 覆 思 考,終 於 歸 納 出 一 套 成 功 的 作 圖 準 則;(1)即 對 三,四,五 邊 形 圖 形 須 從 有 出 現 兩 內 角 差 的 項 開 始 分 析 起,先 作 出 兩 內 角 差 的 角 度,接 著 觀 察 圖 形 的 內 角 相 關 位 置 , 即 可 逐 項 找 出 內 角 組 合 的 圖 解 意 義 。(2)六 邊 形 以上 者 須 從第 4 項的 邊 長

V

4 內 角 組 合 開 始 分 析 作 圖 , 即 先 在 頂 點

A

4處 向 外 側 作 出

V

4內 角 組 合 的 一 直 線 , 然 後 依 序 至 3

V

,

V

2,

V

1,

V

n,

V

n1,…,

V

9,

V

8,

V

7,

V

6,

V

5等 各 邊 長 順 序 在 各 頂 點 處 各 作 出 相 關 的 平 行 線 和 垂 直 線,以 尋 找 出 所 對 應 的 不 同 內 角 配 置。這 個 過 程 是 最 關 鍵 的,因 而 可 由 此 作 出 恆 等 式 中 每 一 項 出 現 的 投 影 線 段,再 比 對 這 些 投 影 線 段 的 正 負 值,即 可 徹 底 理 解 整 體 方 程 式 裡 的 邊 長 與 內 角 組 合 關 係 項 數 都 是 自 然 形 成 的 正 確 多 邊 形 恆 等 式 。

(11)

幾 何 圖 示 中,是 由 選 取 內 角 差 的 邊 長 開 始 作 圖,例 如

V

4邊,以 順 時 針 方 向 順 勢 作 出 各 邊 長 角 度 投 影 線 段 來 完 成 整 個 作 圖 過 程。實 際 上,亦 可 以 逆 時 針 方 向 依 序 作 出 各 頂 點 處 相 關 的 平 行 線 和 垂 直 線 , 以 證 明 恆 等 式 的 圓 滿 圖 形 意 義 。 無 論 何 種 情 況,所 有 作 圖 圖 形 中 第 一 條 被 作 出 的 直 線 就 是 指 標 線 ! 自 所 有 其 餘 頂 點 作 出 的 平 行 線 與 垂 直 線 都 以 它 為 基 準,而 恆 等 式 中 每 一 項 的 投 影 線 段 正 負 值 也 都 能 定 向 地 投 射 到 這 指 標 線 上 或 指 標 線 的 垂 直 線 上 。

參考文獻

李 輝 濱 (2013)。 圓 內 接 奇 數 邊 多 邊 形 的 正 弦 定 律 。 數 學 傳 播 季 刊 37 卷 4 期 。 李 輝 濱(2017)。圓 內 接 六 邊 形 的 面 積 。 科學 教 育 月 刊 396 期 。 李 輝 濱(2017)。預 測 與 驗 證 平 面 凸 多 邊 形 面 積 公 式 ,科 學 教 育 月刊 398,399 期。 蔡 聰 明(2000)。數 學 發 現 趣 談 。 第 12,13 章 ,三 民 書局 。 林 聰 源(1995)。數 學 史 --古 典 篇 。凡 異 出版 社 。 項 武 義(1998)。基 礎 分 析 學 。五 南 圖 書 出版 公 司 。

E.W. Hobson(1957) : A treatise on plane and Advanced trigonometry, Dover . Z.A. Melzek (1983) : Invitation to geometry, John Wiley and Sons .

數據

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