國小五年級學童平面圖形學習表現之研究

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國立台中師範學院進修推廣部數學教育系在職進修

教學碩士論文

指導教授：劉好教授

國小五年級學童平面圖形學習表現之研究

研究生：朱莉文撰

中華民國九十四年五月

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國小五年級學童平面圖形學習表現之研究摘要本研究目的旨在探討國小五年級學童對於平面圖形學習的表現情況及迷思概念。研究方法採調查研究法，利用紙筆、實作及個別訪談的方式收集研究資料：紙筆測驗樣本取自台中縣、台中市、彰化縣及南投縣等五所國小，筆測十班共 337 位學童（有效樣本 334 份）；筆試與實作訪談樣本取自台中縣兩所學校筆測學童樣本，選取高、中、低成就學童共 30 位。由資料分析結果本研究歸納出以下結論： 1. 在辨認平面圖形方面：約有三分之二的五年級學童在歐幾里得幾何學階段的認知已穩固，但尚有三分之一的學童仍不穩固，容易忽略圖形的封閉性與角的特徵，或受到方位擺放與直觀的錯覺影響其辨認。 2. 在平面圖形組成要素方面：五年級學童對三角形、四邊形及圓形的組成要素大都清楚，但不少學童對圖形角與角量的理解混淆。 3. 在兩形體的異同之區辨方面：（1）從文字敘述特性確認各類三角形的表現上，五年級學童絕大部份已瞭解三角形「邊」的特徵，但尚有不少學童對三角形「角」的特徵之瞭解有待加強。（2）從文字敘述特性找出符合的四邊形表現上，許多學童常只注意圖形一般化的定義特性，但對於包含關係的概念尚未清楚。 4. 在形體性質之察覺方面：（1）從情境圖形中察覺銳角三角形與鈍角三角形，不少五年級學童表現不佳，對於兩者的性質不熟悉或相互混淆。（2）察覺各類形狀所屬類別的三角形與四邊形會受到直觀的視覺誤差和方位改變所影響。（3）察覺圖形的直角與平行邊會受到方位、等邊或等角所影響。 5. 在線對稱關係方面：（1）五年級學童對於對稱軸為鉛直方向的線對稱圖形上對應的關係大都清楚，對於對稱軸是水平或傾斜方向的辨

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認較為困難。（2）不少學童缺乏判斷或檢驗對稱軸兩邊圖形是否全等以及對應點的連線與對稱軸垂直平分的特性之認知。 6. 在平面圖形實作評量表現方面：不少五年級學童對於利用兩個或三個三角形拼湊成指定的四邊形、觀察三角形內角和的操作方式與圓周長和直徑倍數關係的操作不熟悉。 7. 高、中、低成就學童在平面圖形學習的表現：大多數高成就學童，各概念大都清楚；少數中成就學童會受到方位影響或以視覺觀點辨認；多數低成就學童仍停留在視覺辨認，未能以圖形的構成要素或性質來分析。 8. 在平面圖形所產生的迷思概念成因有：（1）直觀上視覺的誤差。（2）方位變化的影響。（3）對圖形性質的認知不完整或死記。（4）與教材設計的圖形樣式、擺放的方位有關。（5）操作或實際測量的經驗不足所致。最後，本研究提出一些建議，提供有關人員在平面圖形教材設計、教學及進一步研究的參考。關鍵詞：五年級學童、平面圖形、學習表現

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The Study of Fifth-Grade Students’ Performance to the Learning of Plane Figures Abstract

The purpose of this research was to study the fifth-grade students’ performance and misconception to the learning of plane figures. The study was by investigation approach, using writing test, practical operation and individual interview to collect the data of the research. The total writing test samples were 337 students from 10 classes of five elementary schools that were in Taichung County, Taichung City, Chang-Hua County and Nan-Tou County. The effective writing test samples were 334. Both writing test and practical operation individual interview samples were 30 students from writing test samples of two schools in Taichung County. They included high, medium and low accomplishments separately. The data analysis results are as follows:

1. The aspect on recognizing plane figures: There were about two-third fifth-grade students had been stable in the cognition of Euclid geometrical phase, but one-third students were not stable yet, they were easy to neglect the closed figures and the characteristic of angles or were affected by positions and the direct illusion.

2. The aspect in plane figures’ composite elements: The fifth-grade students mostly understood the composite elements of triangles, quadrangles and circles, but a lot of students were confused with the figure of an angle and angular degrees.

3. The aspect on realizing the similarities and differences between two figures: （1） According to the performance on identifying triangles through words description, most fifth-grade students had understood the characteristics of triangles’ sides, but a lot of graders have to strengthen the understanding in the characteristics of triangles’ angles. （2）The performance of finding the suitable quadrangles from words description, a lot of students only paid attention to the general identities of figures, but were not clear to the inclusion concept .

4. The aspect of detecting the characteristics of figures: （1）A lot of fifth-grade students could not recognize acute triangles and obtuse triangles from illustration very well, and were unfamiliar with both their characteristics or confused with each other. （2）It was found that the shapes of triangles and quadrangles were affected by visual errors and the change of positions. （3）It was discovered that the right angle and parallel sides of figures were affected by positions, the equilateral length or equiangular degrees.

5. The aspect on the relation of line symmetry: （1）The fifth-grade students mostly understood the corresponding relation of symmetry that the line of symmetry was vertical, but they did not quite understand the corresponding relation of symmetry that the line of symmetry was horizontal or inclined. （2）A lot of students still lacked judgment or examination to two sided shapes of the line of symmetry were congruent or not, and lacked the recognition to the connected line of symmetric points was equally divided and vertically by the line of symmetry.

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were unfamiliar with two or three triangles to make a designated quadrangle, the operative method of observing the sum of the degrees on a triangle and the operative experience of relation between circumference length and diameter multiple.

7. The high, medium and low accomplishment students’ performance in plane figures’ learning: Mostly high accomplishment students understood every concepts. A few medium accomplishment students were affected by positions or recognized them by the visual point of view. Most low accomplishment students who could not analyse by shapes’ composite elements or characteristics, they still stayed in the visual recognition.

8. The causes of most fifth-grade students’ misconception to plane figures:（1）Direct visual errors.（2）The effect of position changes.（3）The cognition to figures’ characteristics is not completed or learn them by rote. （4）According to the figure forms of teaching materials’ design and figures’ position.（5）The experience of manipulation and practical measure was not enough.

At last, this research brings up some suggestions, and provides related people reference materials that are in plane figure teaching material design, teaching and advanced studies.

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致謝 ……… 中文摘要 ……… Ⅰ 英文摘要 ……… Ⅲ 目次 ……… Ⅴ 表次 ……… Ⅶ 圖次 ……… X 第一章緒論第一節研究動機與研究目的……… 1 第二節待答問題……… 3 第三節名詞定義……… 4 第四節研究之範圍與限制……… 6 第二章文獻探討第一節幾何概念……… 7 第二節兒童的學習發展及有關幾何概念發展的理論………… 17 第三節九年一貫數學領域課程綱要平面圖形各版本之教材分析……… ₃₀ 第四節國內外有關平面圖形概念學習情況的研究……… 53 第三章研究方法第一節研究架構……… 65 第二節研究步驟……… 66 第三節研究對象……… 69 第四節研究方法與工具……… 71 第五節資料處理方式……… 81 第四章結果與討論第一節平面圖形的筆試問題概念表現……… 83 第二節平面圖形實作評量的表現……… 175 第三節平面圖形筆試與實作評量高、中、低成就概念表現… 212 第四節國小五年級學童在平面圖形的迷思概念……… 243 第五章結論與建議第一節研究發現與結論……… 254 第二節建議……… 261 參考文獻中文部分 ……… 265

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英文部分 ……… 267 附錄附錄一紙筆測驗預試試題……… 270 附錄二實作訪談預試問卷……… 280 附錄三筆試試題預試結果分析表……… 282 附錄四紙筆測驗正式試題……… 284 附錄五實作訪談正式大綱及問題……… 294 附錄六 30 位訪談學生實作評量結果：概念編號 C2-1（1）拼湊正方形……… 296 附錄七 30 位訪談學生實作評量結果：概念編號 C2-2（1）拼湊長方形……… 297 附錄八 30 位訪談學生實作評量結果：概念編號 C2-3（1）拼湊菱形……… 298 附錄九 30 位訪談學生實作評量結果：概念編號 C2-4（1）拼湊平行四邊形……… 299 附錄十 30 位訪談學生實作評量結果：概念編號 C2-5（1）拼湊梯形……… 300 附錄十一 30 位訪談學生實作評量結果：概念編號 C5-1 拼湊線對稱圖形……… 301 附錄十二 30 位訪談學生實作評量結果：概念編號 C5-3 製作線對稱圖形……… 302

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表次

表 2-1-1 八十二年版課程平面圖形之教材大綱……… 11 表 2-1-2 九年一貫暫行綱要國小部分圖形與空間的能力指標………… 12 表 2-1-3 九年一貫正式綱要國小部分幾何的能力指標……… 14 表 2-2-1 皮亞傑認知理論……… 17 表 2-2-2 五年級學童平面圖形概念與 van Hiele 幾何層次對照表…… 26 表 2-2-3 五年級學童平面圖形概念與 Duval 幾何認知理論對照表…… 29 表 2-3-1 各階段學生主要的學習方式與思考型態的特徵……… 30 表 2-3-2 九年一貫正式綱要國小四~六年級有關平面圖形的分年細目能力指標……… 31 表 2-3-3 南一版平面圖形教材內容與能力指標（暫綱）之對照……… 34 表 2-3-4 康軒版平面圖形教材內容與能力指標（暫綱）之對照……… 36 表 2-3-5 翰林版平面圖形教材內容與能力指標（暫綱）之對照……… 37 表 2-3-6 北京人民教育出版社「空間與圖形」部份的教學內容……… 41 表 2-3-7 大陸人教版六年制小學教科書平面圖形概念教材內容分析表 43 表 2-3-8 美國 NCTM2000 數學課程標準幼稚園~八年級之幾何目標…… 45 表 2-3-9 美國 Every Mathematics 有關「平面圖形」教材內容分析表 48 表 3-3-1 預試筆試樣本數分布情形統計表……… 69 表 3-3-2 正式筆試樣本數分布情形統計表……… 70 表 3-3-3 晤談樣本數分布情形統計表……… 70 表 3-4-1 五年級學童平面圖形的概念與筆試題目的對照表……… 74 表 3-4-2 五年級學童平面圖形的概念與實作訪談題目的對照表……… 76 表 3-4-3 筆試試題預試修正後的難度、鑑別度分析表……… 78 表 4-1-1 辨認三角形概念各小題之作答情況統計表（N＝334）……… 84 表 4-1-2 辨認四邊形概念各小題之作答情況統計表（N＝334）……… 90 表 4-1-3 辨認圓形概念各小題之作答情況統計表（N＝334）………… 94 表 4-1-4 三角形組成要素 A4-1 概念之作答情況統計表（N=334）…… 97 表 4-1-5 三角形組成要素 A5-1 概念各小題之作答情況統計表（N=334） 97 表 4-1-6 四邊形組成要素 A4-2 概念之答題統計表（N=334）……… 99 表 4-1-7 四邊形組成要素 A5-2 概念各小題之作答情況統計表（N=334） 99 表 4-1-8 圓形組成要素 A4-3 概念之作答情況統計表（N=334）………… 101

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表 4-1-9 圓形組成要素 A5-3 概念各小題之作答情況統計表（N=334）… 101

表 4-1-10 A9-1 概念各小題之作答情況統計表（N＝334）……… 104

表 4-1-11 A9-2 概念各小題之作答情況統計表（N＝334）……… 104

表 4-1-12 A9-3、A9-4、A9-5、 A9-6、 A9-7 概念各小題之作答情況統計表（N=334）……… 110 表 4-1-13 第八大題第 1 題 A8-1、A8-2、A8-3、A8-4-1 概念各小題之作答情況統計表……… 120 表 4-1-14 第八大題第 2 題 A8-4-2、A8-5、A8-6 概念各小題之作答情況統計表……… 121 表 4-1-15 第九大題第 11 題 A9-8 概念各小題之作答情況統計表………… 122 表 4-1-16 第八大題第 3 題 A8-7、A8-8、A8-9、A8-10、A8-11 概念各小題之作答情況統計表……… 130 表 4-1-17 「直角之察覺」部分（A6）各小題之作答情況統計表（N=334）135 表 4-1-18 「平行邊之察覺」部分（A7）各小題之作答情況統計表（N=334）136 表 4-1-19 A5-4、A5-5、A5-6 概念各小題之作答情況統計表（N=334）… 142 表 4-1-20 B1 概念各小題之作答情況統計表（N=334）……… 146 表 4-1-21 B2 概念各小題之作答情況統計表（N=334）……… 152 表 4-1-22 B3 各小題之作答情況統計表（N=334）……… 155 表 4-1-23 B4 各小題之作答情況統計表（N＝334）……… 159 表 4-1-24 B5 概念之作答情況統計表（N=334）……… 165 表 4-1-25 B6 概念各小題之作答情況統計表（N=334）……… 170 表 4-2-1 三角形性質察覺與命名（C1）之作答情況統計表（N＝30）…… 176 表 4-2-2 C2-1（正方形性質察覺）之作答情況統計表（N=30）………… 182 表 4-2-3 C2-2（長方形性質察覺）之作答情況統計表（N=30）………… 184 表 4-2-4 C2-3（菱形性質察覺）之作答情況統計表（N=30）……… 188 表 4-2-5 C2-4（平行四邊形性質察覺）之作答情況統計表（N=30）…… 191 表 4-2-6 C2-5（梯形性質察覺）之作答情況統計表（N=30）……… 195 表 4-2-7 C3 概念（三角形內角和）之作答情況統計表（N=30）………… 200 表 4-2-8 C4 概念（圓周長與直徑關係）之作答情況統計表（N=30）…… 203 表 4-2-9 C5 概念（線對稱關係之辨認）之作答情況統計表（N=30）…… 207 表 4-3-1 辨認平面圖形概念高、中、低成就學童反應統計表……… 213 表 4-3-2 平面圖形組成要素概念高、中、低成就學童反應統計表……… 216

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表 4-3-3 兩形體的異同之區辨概念高、中、低成就學童反應統計表…… 218 表 4-3-4 察覺各類三角形形狀之高、中、低成就學童反應統計表……… 221 表 4-3-5 察覺各類四邊形形狀高、中、低成就學童反應統計表………… 224 表 4-3-6 察覺圓形概念高、中、低成就學童反應統計表……… 227 表 4-3-7 線對稱關係之辨認概念高、中、低成就學童反應統計表……… 229 表 4-3-8 三角形性質察覺與命名（C1）高、中、低成就學童反應統計表… 233 表 4-3-9 四邊形性質察覺與利用兩個或三個三角形拼成指定的四邊形及各形體異同之區辨（C2）高、中、低成就學童反應統計表… 235 表 4-3-10 三角形內角和（C3）高、中、低成就學童反應統計表………… 238 表 4-3-11 圓周長與直徑的倍數（C4）高、中、低成就學童反應統計表… 239 表 4-3-12 線對稱關係之辨認（C5）高、中、低成就學童反應統計表…… 240

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圖次

圖 2-1-1 抽象作用簡圖……… 7 圖 2-1-2 第二層次抽象作用簡圖……… 8 圖 3-1 本研究之概念架構圖……… 65 圖 3-2 研究流程圖……… 68 圖 3-4-1 實作題第一大題圖卡……… 80 圖 3-4-2 實作題提供圖卡與工具……… 80

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第一章緒論

第一節研究動機與研究目的

壹、研究動機縱觀我國國民小學數學科課程發展，民國五十七年的數學課程，是以數、計算與實測為教材中心，而有關形的幾何課程部分則散列於實測與計算兩類之內(教育部，1968)；於民國六十四年的修訂課程（以下簡稱「六十四年版課程」）中將數學課程內容分類為數與量、實測與計算、圖形與空間、統計與圖表、集合與關係、術語與符號等六大類 (教育部，1975)，有關形的幾何方面的教材由計算與實測中分出另一類，使數學課程規劃成數、量、形三個領域；在民國八十二年頒布國民小學數學的課程標準（以下簡稱「八十二年版課程」）將數學課程的教材分為數與計算、量與實測、圖形與空間、統計圖表、數量關係、術語與符號六類，課程內涵亦分為數、量、形三大領域，各有其重要性及相關性 (教育部，1993)；然而在民國八十九年公佈的「國民中小學九年一貫課程暫行綱要」（以下簡稱九年一貫數學領域暫綱），將數學領域分為五大主題：數與量、圖形與空間、統計與機率、代數、連結，圖形與空間仍被完整保留為一大主題；民國九十二年公佈的「國民中小學九年一貫課程正式綱要」（以下簡稱九年一貫數學領域正綱），將暫行綱要五大主題的「圖形與空間」主題改為「幾何」主題，可見幾何概念在小學數學課程中為極重要的部份。在我們週遭的自然與社會環境中，到處可見與數、量、形皆有關聯的現象。國內研究者盧銘法（1996）指出，幾何的學習涉及數學教材中的數、量、形三個領域，學童對於幾何教材的學習仍然感到相當困難。劉好（2001）對實施八十二年版課程的國小數學實驗教材的學童，進行總結性評量中之幾何概念－「圖形與空間」部分之解題特徵分析，發現學童的學習成就尚為理想，惟少部分概念與技能，不少學童尚有迷失或欠熟練之情況。沈佩芳（2002）

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的研究指出以幾何教材來說，「圖形與空間」指的就是有關幾何課程的單元，國民小學課程之幾何單元分佈於12 冊中，在12 冊的幾何單元中，概念的建立有其先後順序，前一幾何單元概念若未建立，將造成後續概念學習的困難。教師如果不去了解學生過去幾何概念的程度為何，就無法立即診斷學生的幾何概念形成及錯誤的原因，易造成教學的盲點。九年一貫數學領域暫綱在「圖形與空間」主題的基本想法（教育部， 2000）提到，認為圖形與空間的學習，應該從學生的生活經驗中所熟悉的形體入手，發現形體的組成要素及形體間的關係，進而能確立空間的基本概念，教材的設計應透過學生所熟悉的生活情境來發展概念，並安排適當的活動，讓學生獲得足夠的具體經驗，進而抽象到形式化的數學結果。九年一貫數學領域正綱中，「幾何」主題的基本想法（教育部，2003）提到小學的幾何教學，可以參考幾何歷史發展的軌跡與學童認知發展階段，盡量讓學童發揮、拓展其幾何直覺，在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此之間的關係，為以後銜接國中幾何的教學，打下良好的基礎。

美國數學教師協會(National Council of Teachers of Mathematics，簡稱NCTM，2000)指出數學教育的主要目標是要發展兒童的數學推理及思考能力，使其能夠應用所學的數學知識和技能來解決在實際的生活中所遭遇的問題情境。而其中幾何教學的目的是要協助學生學習瞭解以及運用幾何的性

質和關係。NCTM 在2000年出版的「學校數學之原則與標準」（Principles and

standards for school mathematics）中強調幾何教學應該發展學生的空間感，並且學習確認、描述、分析、比較和分類幾何圖形。綜合以上敘述，幾何知識和我們日常生活息息相關，不管國內或國外的幾何教材在數學課程都佔了相當重要的地位。而現今社會的變遷，教育改革的潮流下，九年一貫的數學課程於九十學年度全面實施，從原本的課程標準，現在改變為課程綱要；教科書方面，從以前單由國立編譯館編製也演變為現在很多出版社依據課程綱要來編製；從

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傳統的教學目標改為能力指標，強調的是學生的學習不只是知識的灌輸，而是在能力的開拓、帶著走的能力。因此研究學習九年一貫課程學生的幾何概念、幾何學習情況及幾何課程的設計與教學，也是一大重要課題。研究者自民國八十六年起從事教學工作至今，經歷了六十四年版、八十二年版及現行的九年一貫數學課程，從個人的教學經驗發現，學生在六十四年版課程學習幾何部分，往往只是注重圖形邊長、周長、面積的計量，死背一些公式或性質，若問其為什麼，往往不知其所以然，忽視了圖形的性質、關係、操作或描述的能力養成，而成為日後學習幾何的障礙。然而從八十二年版至現行九年一貫數學課程，在幾何教材部分，漸漸讓學生多從生活經驗操作中去體會、學習。從九十學年度開始，全面實施九年一貫課程，研究者認為國小六年級為第三階段之開端並延續國中的教材，同時六年級也是國小生涯的最後一年，若能瞭解學童第二階段五年級的平面圖形學習表現之情況，將有助於六年級學童幾何的學習與教師的教學。所以，五年級學童對平面圖形的學習情況是值得加以研究的。貳、研究目的基於上述的研究動機，本研究之目的如下：一、了解國小五年級學童平面圖形學習表現的情況。二、了解國小五年級學童平面圖形的迷思概念。

第二節待答問題

根據上述的研究動機與目的，本研究主要探討下列相關之問題：一、國小五年級學童在平面圖形紙筆測驗上的表現為何？ 1. 辨認平面圖形的表現為何？ 2. 平面圖形組成要素的表現為何？ 3. 兩形體的異同之區辨表現為何？ 4. 形體的性質之表現為何？

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5. 線對稱關係之辨認表現為何？二、國小五年級學童在平面圖形實作評量表現為何？三、國小五年級學童在平面圖形學習上，高、中、低成就的表現為何？四、國小五年級學童在平面圖形的可能迷思概念為何？

第三節名詞定義

為了能更清楚地瞭解本研究的用語，茲將本研究中的重要名詞定義如下：一、五年級學童本研究之「五年級學童」是指九十二學年度五年級的學生，其一至三年級是接受八十二年版課程標準的數學課程，其四、五年級是接受九年一貫暫行綱要數學課程，且已接受完第二階段數學課程的學童，而這群學生在九十三學年度為六年級。二、辨認平面圖形本研究中之辨認平面圖形包括辨認三角形、四邊形及圓形。從簡單圖形外觀上作基本的辨認，來瞭解學生是否考慮到圖形的封閉性、邊的曲直，圖形的方位、圖形的大小是否影響圖形的辨認之概念。三、平面圖形的組成要素就給定的平面圖形，能確認並說出圖形組成要素的名稱與個數。如：三角形有三個頂點、三個邊、三個角。四、兩形體的異同之區辨藉由察覺與實測，區辨比較圖形邊與角的關係，找出兩形體特性的相異之處或是符合同一個特性的平面圖形有哪些。如：找出正三角形和等腰三角形不同的特性為何？符合「四個角都是直角」特性的四邊形有哪些？五、形體的性質能透過實測察覺各種平面圖形邊和角關係的性質，如正三角形有三

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個邊一樣長或是三個角一樣大。六、線對稱關係之辨認線對稱關係之辨認，本研究是指能判斷一圖形是否滿足線對稱，找出該圖形的對稱軸（可能不只一條），知道對稱軸的意義及對稱軸兩側圖形全等，並描繪一簡單平面圖形的線對稱圖形。七、不同成就的學童本研究在選取訪談樣本，是依照筆試成績由高至低依序排列之後，取前 27%為高分組，後面的 27%為低分組，中間的 56%為中分組，高、中、低三組，再採分層隨機方式於每一組中抽取樣本將其分成高、中、低三種不同成就的學童來訪談。八、迷思概念（misconception）指學生在某一特定學科中，對某事件或現象，所持有的一些有別於目前科學家所公認的想法，一方面可能因知識的不足，一方面可能因為未具有足夠的推理能力、邏輯架構的不足，只依據個人的觀點來做判斷，而形成錯誤的概念。本研究之迷思概念係指學生對於幾何概念部分所產生不完整的概念。

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第四節研究之範圍與限制

本研究主要在瞭解接受完九年一貫數學領域暫綱第二階段課程之五年級的學童，其平面圖形概念的學習情況。本研究之範圍與限制有下列幾點：一、本研究基於時間、人力、物力之限制及立意抽樣，無法擴大本研究的範圍及人數，受試樣本僅限於中部地區的台中縣A、B兩學校、台中市的C學校、彰化縣的D學校、南投縣的E學校，各校皆選取兩班受試者進行紙筆測驗；而晤談部分，亦受時間、經費、人力之因素所限，晤談對象僅選自台中縣A、B兩學校的學生，因此本研究所得的結果無法推論到全國五年級學童，僅能提供研究者或教師進行幾何教學與設計時的參考。二、本研究之數學課程教材分析，僅以受試樣本學生所參考使用的康軒書局、南一書局及翰林書局出版者為主。

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第二章文獻探討

本章分成四節，第一節說明幾何概念，第二節說明兒童的學習發展及有關幾何概念發展的理論，第三節探討九年一貫數學領域課程綱要平面圖形概念之教材分析，第四節探討國內外有關平面圖形概念學習情況的研究與發現。

第一節幾何概念

本節首先說明一般學者對「概念」意義的解釋，再對幾何與圖形概念作一些敘述，最後探討我國國小課程中平面圖形的幾何概念。壹、概念的意義「概念」是什麼呢？Webster大辭典（1971）中的說明，有concept及 conception兩種表示方式，concept指對一連串特殊事例思考過後，所形成的概念，它是比較抽象的；而conception則強調想像的過程或概念形成的過程，而非結果。許多研究者或專家對「概念」有各種不同的說法，茲將整理如下：心理學家 Richard R. Skemp 於 1987 年出版的 The Psychology of Learning Mathematics（陳澤民譯，1995）提到，透過分類來說明概念的形成：在較低層次的知覺中，每次將所知覺到的事物作分類，雖然從事物那裡所得到的知覺很少有完全一樣的，但是當這些知覺被發現有著相似性，則人們會自然地從這些事物當中抽出這些相似性。例如圖2-1-1，以C1、C2、C3、… 代表我們對「椅子」的多次知覺經驗，將這些知覺的相似性抽出來，以 C 表示。 C ... Cn C1 C2 C3 圖2-1-1 抽象作用簡圖(取自陳澤民譯，1995，p.16)

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接著再以C、C’、C〞表示由抽象而得到的性質，由這些性質再去抽象出更多的共同性質，再給這些共同的性質一個共同的名稱「Chair」，如圖 2-1-2。 Chair C C’ C〞圖2-1-2 第二層次抽象作用簡圖(取自陳澤民譯，1995， p.17) 最後給予此事例共同的性質就是所謂的概念。因此要形成一個概念就必須先有實際經驗，而這些經驗又有某些相似性、相通性。以心理學的觀點來看，概念是思維形式之一。它反映客觀事物本質的一種理性知識，人類在認識過程中，把所感知的事物共同特點抽象出來，加以概括，就成為概念（王明良，1982）。以教育的觀點來看，概念是人類思考的一種形式。但是概念並不是一成不變的，隨著社會歷史的發展，有些概念的內涵也在發展著，並經歷著不斷的變化。概念具有外延和內涵兩個方面。例如：鳥的概念的外延是指所有各種各樣的鳥；鳥的概念內涵包含鳥有羽毛和鳥是動物等。不同時空、不同身份的人對同一概念都可能有不同的認知，因此其意義必須是其所使用的脈絡位置始能決定（顏慶祥，湯維玲，1994）。黃台珠（1984）提到概念是人類思考和了解的工具，也是學習的基本單位，也就是說，經由有意義的學習而獲得的概念，使得人類能夠具有深入思考的能力。概念是一個象徵的建構，它用來代表外界事物或事件的共通性，概念之所以形成，是由於我們能夠對外界的事物進行歸類（鄭昭明，1997）。概念是對具有共同屬性事物的概括性認識。概念分為兩類，一類是具體概念：指事物的共同屬性具體顯現者，例如形狀(如三角形)、顏色(如紅色)；另一類是定義概念：它不能用指認的方式來學習的抽象概念，例如民族、秩

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序、快樂、痛苦等概念(張春興，1994)。綜合以上看法，由於研究的角度不同，各類學科領域對概念的定義方式就會有所差異，以數學概念而言，學童所要學習的概念是具有共通屬性的科學概念，透過教學中提供正例、反例及足夠的例子，讓學童從知覺經驗中，將其共通屬性抽離出來，加以概括而形成，而此概念是需透過有意義的瞭解與學習，才能幫助學童思考能力，這也是本研究所要探討的概念。貳、幾何與圖形概念對於幾何概念，有許多學者提出說明，舉例如下：幾何是一門探討空間關係與邏輯推理的數學。幾何概念與表徵是數學與真實世界溝通的重要方式，且與數學其它領域緊密連結（左台益，2001）。幾何學所探討的主要對象為物體之結構和形狀之特性及變化（劉好， 1998a）。美國數學教師協會（NCTM，1991）提出：幾何乃研究空間中的形狀和空間關係，幾何可幫助人們用有條理的方式，表現和描述生活的世界。劉秋木（1996）在研討幾何概念的意義中也提到，人類生存於世界便需要認識世界的種種性質，人們透過知覺運動與世界互動中，發現有些東西是可以滾，有些是可堆疊，於是加以分析歸納，分別出平的與曲的兩種屬性，形成平面與曲面的概念。在這種探索中人們分析出許多有用的屬性，如形狀、大小、方向等等。依據這些屬性，幾何學家建立了他們的幾何學問，而產生一些幾何系統。以上皆是對幾何學的一些描述說明，表面敘述形式雖異，但皆強調幾何就是在研究空間中物體的變化和彼此間的關係，其內涵都是相同的。

舒茲等人（Schultz，Clarusso & Strawderman，1989）指出幾何模型與物體皆具有其「特質」，諸如包圍性、分離性、次序性、接近性、空間度數、

直或彎、大小尺寸、形狀（線段數、邊數、面數、點數）、位置、或方向（上、

下、左、右）等。當模型或物體以某種方式改變或變化而造成特質隨之改變或變化，在數學上稱為變形轉換（transformation）。與幾何教學有關的三種

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變形轉換有討論圖形的翻轉、移位與旋轉特性的歐幾里得幾何（Euclidean Geometry）；討論由不同視覺觀點而產生之特性的投影幾何（ Projective Geometry）；及討論拉扯與壓縮轉換特徵的拓樸幾何（Topology）。歷史上的幾何發明是以歐氏幾何為先，其次是十七世紀的投影幾何，最後才是十九世紀的拓樸幾何。在兒童的學習發展上，皮亞傑等（Piaget，1953；Piaget & Inhelder，1967；Smock，1976）認為兒童幾何概念的萌發是遵循：拓樸幾何最先建構，接著投影幾何與歐幾里得幾何之順序（周淑惠，1995）。其次，就幾何圖形概念而言，劉好（1998b）曾做以下描述：圖形並非實際存在的東西，它是附著於具體存在的物體上，從具體實物中摒棄其顏色、氣味、材質、輕重、硬度、厚度、大小、…特性之抽象結果。簡單地說，它僅是實物外觀的樣子。我們最常接觸的是立體的圖形，平面圖形是將具體物的表面拓印出來的結果，通常透過立體圖形的面來辨識。林碧珍（1993）也曾對兒童形狀的概念有如下描述：一個實物皆可能存在顏色、大小、圖案、材質、用途、擺放的位置、物質的輕重、厚薄、形狀、…等。其中顏色、大小、圖案、…厚薄，均可由肉眼具體明確的觀察，唯有此物體的「形狀」對兒童而言是較為抽象的，它必需摒棄此物體各種不相干的屬性，它不因物體的顏色，或大小，或擺放的位置而改變它。綜合以上描述幾何與圖形的概念可知，日常生活中經常與幾何息息相關，而建立空間的概念與圖形間的察覺、辨識、發現性質與關係是有相互關聯的。本研究擬針對幾何概念中的平面圖形作為研究的主要內容。參、國小課程中平面圖形及其相關的幾何概念由於幾何概念與人生活關係密切，人一生下來就在佈滿幾何現象的環境中成長、學習，因此將其列入學校課程中的一項重要學習內容。與本研究較有關係的課程為民國八十二年頒布之國小數學課程標準、九十學年度開始實施的九年一貫暫行綱要課程以及民國九十二年十一月頒布的九年一貫正式綱要課程，其中所包含的平面圖形及其相關的幾何概念，分

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別說明如下：一、八十二年國小數學課程涵蓋平面圖形概念與性質民國八十二年教育部頒布的課程標準，數學科之「圖形與空間」領域內的「平面圖形」大綱（教育部，1993），如下表2-1-1：表 2-1-1 八十二年版課程平面圖形之教材大綱年級平面圖形一 ◎複製實物的面，分辨出類似三角形、四邊形及圓形等圖形板的形狀。 ◎觀察實物與圖形，辨別直線與曲線。 ◎利用竹籤、釘板等構成簡單的平面圖形。二 ◎利用圖形板，拼排圖形，數出各圖形的數量。 ◎利用相同的數量，全等的圖形板，拼排不同形狀的圖形。 ◎利用不同的數量，全等的圖形板，比較圖形的大小。 ◎透過摺紙、剪紙、鏡射等活動，觀察線對稱的現象。 ◎利用以公分為刻度單位的直尺，畫出指定長度的線段。三 ◎透過製作的活動，瞭解三角形、四邊形的構成要素：角、邊、頂點及其個數；並認識周界及周長。 ◎做出或畫出滿足部分條件（指定一邊或二邊的長度，周長或一些頂點）的三角形或四邊形。 ◎透過摺紙製作直角，並在生活情境或圖形中辨認直角。 ◎利用直角，瞭解長方形、正方形、直角三角形的特性。 ◎角的初步概念。四 ◎使用量角器量角度及畫角。 ◎透過製作的活動，瞭解等腰三角形、正三角形的特性，並作圖。 ◎透過製作的活動，瞭解圓心、半徑、直徑、圓周。 ◎透過直角認識直線的垂直與平行。 ◎由邊長的相等或垂直與平行的觀點，把四邊形分類並命名，由此認識長方形、正方形、平行四邊形、菱形、梯形、箏形。 ◎圓規的使用。五 ◎透過圖形的疊合，認識全等的多邊形。 ◎透過實測活動，認識圓周率。六 ◎透過操作活動，認識線對稱圖形。 ◎透過操作活動，瞭解縮圖與擴大圖的關係。 ◎瞭解比例尺的意義及表示方法，並應用於地圖的閱讀。從表 2-1-1 之教材綱要中可看出各年級所要學習的平面圖形概念與性

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質為：低年級（一、二年級）的內容有：三角形、正方形、長方形、圓形的基本形體，曲線、直線、線段，複合圖形結構，疊合、全等、圖形大小、線對稱等的初步概念。中年級（三、四年級）的內容有：三角形、四邊形、圓形的構成要素與名稱，各類三角形、四邊形的特性，周界、周長，角、直角、角度、量角器，直線的垂直、平行。高年級（五、六年級）的內容有：多邊形、正多邊形，圓周率、扇形，線對稱，擴大圖、縮圖、比例尺等。二、九年一貫課程數學領域小學階段涵蓋平面圖形概念與性質（一）九年一貫數學領域暫行綱要課程小學階段涵蓋平面圖形概念與性質九年一貫數學領域暫綱課程，國小部分第一階段至第三階段，有關圖形與空間的能力指標（教育部，2000），如下表 2-1-2：表 2-1-2 九年一貫暫行綱要國小部分圖形與空間的能力指標能力指標代號內容 S-1-1 能由形體的外觀辨認出某一形體。 S-1-2 能依據二維、三維基本形體的外觀做簡單分類。 S-1-3 能複製二維、三維的基本形體。 S-1-4 能使用非標準或標準的名稱描述基本形體。 S-1-5 能察覺在生活情境或形體中的角。 S-1-6 能運用上下、左右、前後、內外等方位語詞描述兩物的相對位置。 S-1-7 能透過實際操作認識鉛垂線與水平線、水平面。 S-1-8 能辨認周遭物體中的直線、平面。 S-1-9 能辨認平面圖形的內部、外部及其輪廓線(周界)。 S-1-10 能透過具體操作判斷某些簡單圖形可作無空隙的平面舖設或立體堆疊(面積、體積)。 S-2-1 就給定的幾何形體，能確認並說出組成要素的名稱，並在檢驗後適當地描述其要素間的關係。 S-2-2 能依基本形體的組成要素之間的關係比較兩形體的異同。 S-2-3 能透過實測察覺形體的性質。 S-2-4 能運用東西南北的語詞描述位置及方向。 S-2-5 能瞭解兩鉛垂直線及兩水平直線互相平行。

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S-2-6 能瞭解張開程度、旋轉程度和角的關係。 S-2-7 能辨認平面圖形上的線對稱關係。 S-3-1 能使用形體的性質描述某一類形體。 S-3-2 能指出合於所予性質的形體。 S-3-3 從一類形體的特性中，指出哪些性質也適用於另一類形體。 S-3-4 能利用構成要素間的可能關係，描述複合形體要素間的可能關係。 S-3-5 能利用形體的性質解決幾何問題。 S-3-6 能運用直角坐標系及方位距離來標定位置。 S-3-7 能瞭解平面上兩直線互相平行、垂直的概念。從表 2-1-2 之圖形與空間的能力指標中，針對國小各階段所要學習的平面圖形概念與性質為：第一階段（一~三年級）的內容有：正方形、長方形、三角形、圓形的外觀，角，鉛垂線、水平線、水平面，直線、平面，圖形的內部、外部、周界，平面舖設。第二階段（四、五年級）的內容有：三角形、四邊形、圓形的構成要素名稱、個數，構成要素間的關係、性質，兩形體的比較，平行，直角、角度、量角器，線對稱。第三階段（六年級）：描述形體的性質，圖形間的關係與運用，平行、垂直。（二）九年一貫數學領域正式綱要課程小學階段涵蓋平面圖形概念與性質九年一貫數學領域正式綱要課程，將暫綱中「圖形與空間」的主題改為「幾何」主題。國小部分第一階段至第三階段，有部分內容重新修訂，國小部分「幾何」主題能力指標（教育部，2003），如下表 2-1-3：

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表 2-1-3 九年一貫正式綱要國小部分幾何的能力指標能力指標代號內容 S-1-01 能由物體的外觀，辨認、描述與分類簡單幾何形體。 S-1-02 能描繪或仿製簡單幾何形體。 S-1-03 能認識周遭物體中的角、直線和平面。 S-1-04 能認識平面圖形的內部、外部及其周界。 S-1-05 能透過操作，將簡單圖形切割重組成另一已知簡單圖形。 S-1-06 能描述物體的相對位置。 S-1-07 能認識生活周遭中水平、鉛直、平行與垂直的現象。 S-2-01 能運用簡單幾何形體的組成要素，作不同形體的分類。 S-2-02 能理解垂直與平行的意義。 S-2-03 能透過操作，認識簡單平面圖形的性質。 S-2-04 能認識平面圖形全等的意義。 S-2-05 能理解旋轉角的意義。 S-2-06 能理解平面圖形的線對稱關係。 S-2-07 能理解長方形面積、周長與長方體體積的公式。（N-2-17） S-2-08 能運用切割重組，理解三角形、平行四邊形與梯形的面積公式。（N-2-19） S-3-01 能利用幾何形體的性質解決簡單的幾何問題。 S-3-02 能認識平面圖形放大、縮小對長度、角度與面積的影響，並認識比例尺。 S-3-03 能以適當的正方形單位，對曲線圍成的平面區域估算其面積。（N-3-15） S-3-04 能理解圓面積與圓周長的公式，並計算簡單扇形面積。（N-3-16） S-3-05 能認識直圓錐、直圓柱與直角柱。 S-3-06 能理解簡單直立柱體的體積為底面積與高的乘積。（N-3-17）從表 2-1-3 之幾何的能力指標中，發現幾何形體數量性質（如角度、邊長、面積）的內容也放入幾何的主題，在此只針對國小各階段所要學習的平面圖形概念與性質作整理：第一階段（一~三年級）的內容有：正方形、長方形、三角形、圓形的外觀，平面舖設，位置，角，水平、鉛直、平行與垂直，直線、曲線、線段，圖形的內部、外部、周界、周長，尺規畫圓。第二階段（四、五年級）的內容有：三角形、四邊形、圓形的構成

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要素名稱、個數，構成要素間的關係、性質，角度、量角器，全等，線對稱，圓心角、扇形。第三階段（六年級）：利用形體性質解決幾何問題，放大、縮小、比例尺。林秀瑾（2004）對八十二年版課程、九年一貫數學領域暫綱、九年一貫數學領域正綱的幾何教材綱要有所分析，在各年級階段分布的情形發現： 1. 在理解形體組成要素及其關係之探究上，八十二年版先在一年級對直線、平面等有初步認識後，形體構成要素部分則編排在三年級；九年一貫數學領域暫綱亦在第一階段先對直線、平面等有初步認識後，形體構成要素部分則編排在第二階段；九年一貫數學領域正綱則在一、二年級先認識角、直線、平面，而後在三年級開始認識圓的構成要素，對於三角形、四邊形構成要素何時引入並未有明顯說明。 2. 在形體性質之探究上，八十二年版在垂直平行、相似全等及對稱部分的銜接情形較為適當，但在形體之轉換、變換部分分布較欠平均；九年一貫數學領域暫綱則在垂直平行、對稱性質之銜接上較為連貫，而在相似全等部分編排不足；至於九年一貫數學領域正綱之編排情形，除了對稱部分所佔比例較少外，其餘在垂直平行、相似全等、形體轉換變形部分均注意到課程的銜接與連貫，編排較為周延。因此，從九年一貫數學領域暫綱與正綱比較中，正式綱要的「幾何」主題能力指標比暫行綱要「圖形與空間」能力指標的內容有再增加，如圓心角、扇形、放大縮小圖、比例尺等，且和八十二年版數學課程的內容相似而更周延。比較三個不同時期的教材綱要編排順序，可知其共通點就是都有注意到學童幾何思考的發展，提供學童多樣化的操作經驗，進而探索形體的性質與關係，掌握由具體到抽象的順序，並重視課程的連貫性。

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三、五年級學童研討過之平面圖形概念與性質本研究對象的五年級學童，一到三年級是接受八十二年版數學課程，四、五年級接受九年一貫數學領域暫綱課程。從表 2-1-1 可知，兒童於八十二年版一至三年級數學課程曾研討過之有關平面圖形的幾何概念可歸納為：（一）簡單平面圖形的特徵；（二）觀察全等、線對稱的現象；（三）三角形、四邊形的構成要素名稱與個數；（四）周界、周長；（五）直角，長方形、正方形、直角三角形的特性。對應表 2-1-2，九年一貫數學領域暫行綱要課程四~五年級（第二階段）圖形與空間中的平面圖形能力指標，最主要的是讓學童瞭解：（一）幾何形體的構成要素；（二）形體的性質；（三）構成要素間的關係，兩形體的差異比較；（四）平行、角概念；（五）線對稱。由上分析可知，五年級學童雖歷經八十二年版數學課程及九年一貫數學領域暫綱課程，其平面圖形的概念教材並沒有斷層之處，而僅是延續、加深與加廣。這些概念在二階段教學之後，學童學習情況為何，應有加以探討的必要。本節文獻對本研究之啟示：歸納八十二年版數學課程及九年一貫數學領域（暫綱、正綱）課程小學階段的平面圖形概念與性質可知，其內容、編排順序大致皆相同，主要都是先對平面圖形的外觀做辨識、進而探究各類圖形組成要素及其關係、察覺各類形體的性質、最後理解性質後，能對幾何問題加以解決與應用。唯此兩者數學課程對於小學年段的分法有所不同，因此在八十二年版數學課程裡，三年級時，就已先提及三角形、四邊形的構成要素與直角的概念，這部分是在九年一貫數學領域暫綱課程第二階段的四、五年級才會學習到。換言之，對於本研究五年級學童第二階段平面圖形學習之前，他們已經有部分舊經驗的概念了。在教育課程漸次改革下，本研究五年級學童接受前後兩版綱要之課程，其學習的表現會是如何，是值得本研究來研討的。

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第二節兒童的學習發展及有關幾何概念發展的理論

本節先就皮亞傑（Piaget）認知理論來說明兒童的學習發展，再以與兒童幾何概念發展相關的研究理論：Piaget 和 Inhelder 的空間概念理論、van Hiele 幾何思考層次、Duval 幾何圖形的認知理解分別作探討。壹、皮亞傑認知發展理論兒童的學習發展研究，以瑞士心理學家皮亞傑（Piaget，1896-1980）的貢獻最為卓越。他認為每個兒童的認知是以相同的順序經由四個階段來發展（林美珍，1996；黃慧真譯，1994），其特性可整理如表 2-2-1：表 2-2-1 皮亞傑認知理論發展階段年齡發展階段特徵感覺動作期出生到兩歲以反射性動作為基礎發展複雜的行為，兒童的身體與物體的互動提供發展的原動力。前運思期兩歲到六或七歲透過表徵（語言、心象、繪畫）來解決問題。思考和語言均以自我為中心，不能適切的表徵轉換，而只能表徵靜止情境。具體運思期六、七歲到十一、十二歲具反推能力，能正確地表徵轉換及靜止情境，對於守恆概念較能理解。但無法將所有合乎邏輯的可能性都考慮清楚，無法了解高度抽象概念。形式運思期大約十一或十二歲以上以邏輯解決各類問題，能合乎科學的思考，在理論的考慮下設計實驗，並在邏輯的架構下加以解釋。根據皮亞傑的看法，孩子的認知發展得依序經過以上四個主要階段，無法跳過任一個階段，有些孩子認知成熟發展比較快，有些可能會停留在某一階段較久，但認知發展的順序是不會變的。另外，Mayer（1987）將皮亞傑的理論歸納為以下幾個要點：一、為了適應環境，人們積極在環境中求取新的、有用的訊息來修正自己對環境的了解，以配合環境的需求。在學習過程中，人們會將舊知識組織起來，使它們成為一個協調的整體。

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二、因為新知識必須和舊知識融合後，才能成為知識體系的一部份（亦即，新知識的學習是建立在舊知識的基礎上）。所以不正確的舊知識會影響新知識的汲取，也可能讓人對新知識產生誤解。三、認知發展有階段性。隨著年齡的增長，一個人對訊息需求的種類和了解層次會發生變化。從皮亞傑的認知理論可知：兒童的學習是有階段、順序性的，且與年齡有關。這個認知理論雖然不是直接在說明圖形概念的學習發展，但幾何概念之發展與此特徵應有所關聯。 貳、Piaget 和 Inhelder 的空間概念理論

兒童的幾何概念如何發展呢？皮亞傑等人 (Piaget ， Inhelder & Szeminska，1960) 研究兒童的幾何概念發展，隨著兒童年齡的成長對於空間知覺能力的進展，所呈現出的幾何性質(geometrical properties)有拓樸性(topological)、投影性(projective)、歐幾里得性(Euclidean)。兒童幾何概念之形成即依上述三個階段之順序，在四歲以前為拓樸幾何概念，依據圖形是否封閉或開放而定，完全忽視有關邊長、角度、大小等歐氏幾何關係，完全是屬於基本拓樸幾何概念；約四~七歲為投影性空間概念；一直到七歲開始才有歐氏幾何概念。以下將敘述這三種幾何體系（吳貞祥，1990；劉秋木，1996；Piaget，1967）：一、拓樸學概念階段（4歲以前）：此一階段的兒童與運思前期認知發展階段有關，僅能掌握拓樸學的圖形概念，即只注意到圖形的內或外，對於直線與曲線，尚未具有嚴格區分的能力。同時，對於長度或角的差異，也不能做詳細觀察。例如要求兒童仿畫正方形或長方形，則往往會畫成渾圓的形狀，或各邊中間畫成凹凸不直，甚至畫成近乎圓的形狀。此外，兒童對左右位置的變換也感到茫然，他們並非不能感覺左右或曲直的不同，而是他們在認知上無法瞭解構成左右或曲直的差異因素罷

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了。他們只能從接近、分離、包圍、順序、連續等觀點，來考慮事物的性質。例如：圓或四邊形都是一個連續的簡單封閉圖形，然而，這階段的兒童卻不能區分兩者的差異。他們對於物體的形狀、大小、角度等要素都不會加予留意。二、投影幾何學階段（約4－7歲）：此一階段的兒童相當於運思前期到具體運思期認知發展階段。Piaget 和 Inhelder (1967)認為這個階段的兒童對外界的認知，自己本身所在觀點的視覺比其他的條件佔較優越的地位，凡是經過視覺所承認的事物，他們才認為是真實的存在，而蘊藏在視覺之外的事物都不真實，他們深信各種形狀都會原本照著視覺的感受而變化，例如：本來已確認是正方形的顏色紙，若一旦拿開，放在相隔一段距離的遠處，在兒童的心目中則認為變成了菱形或梯形，而且也變小了。如果再把它拿回原來的位置，兒童卻又認為形狀和大小都會回復到原來的樣子。又例如：平行的火車軌道，因隨著距離的遠離，看起來其寬度會逐漸變狹窄，看同一物體時會因相隔愈遠而顯得愈小，這種情形在小孩來說，並不是軌道的寬度看起來變狹窄，或是物體的形狀看起來較小，而是認為真的變狹窄或形狀真的變小。總之，這時期的兒童對外界的認知，視覺要比其他條件佔優勢，深信形或量都會原原本本照著視覺的感覺而變化。三、歐幾里得幾何學階段（約7、8~11、12歲）：由於歐幾里得幾何學涉及測量工作者，與距離、角度、平行線、直線等的保留有關，就歐幾里得幾何學的概念建構而言，長度保留與距離保留二者是較為基本的。兒童獲得長度及距離保留能力，特別是長度保留能力之後，自然能發展出測量的概念，兒童最初是以最靠近自己的、本身最熟悉的工具（自己的手或軀體）來測量，皮亞傑將此種策略稱為「手的遷移」及「軀幹遷移」；以後隨著認知的發展，兒童漸會使用量尺工具以補助測量，此外，面積保留概念約在本階段發展。在小學，兒童的圖形概念大部份都已發展到歐幾里得幾何學概念階段，所以根據皮亞傑的說法，

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在本階段的兒童應該都具備有關於線段長短、角度大小或面的大小的意識。從以上的說明可知：皮亞傑理論的研究重點在於兒童發展幾何概念的思考模式，探討幾何概念形成的運思程序，從最初發展的拓樸關係，到投影再到歐幾里得關係，是屬於年齡取向的階段論，注重發展的過程。以上的分析可供本研究試題編制的參考，五年級的學童依皮亞傑理論的觀點來說已達到歐幾里得幾何學階段，其學習成就研究的重點可考慮圖形的封閉、曲直、方位、邊長與角度等特性，以瞭解兒童辨認圖形的表現。參、van Hiele 幾何思考層次

在 1957 年荷蘭數學家 P.M.van Hiele 及他的妻子 Dina van Hiele-Geldof開始研究幾何思維發展，對於學童至成人的幾何概念提出一個幾何學習之模型，受到世界各地研究兒童幾何概念發展之學者和課程設計者之矚目。其理論，內容包括幾何思考層次模型、幾何思考層次之特性及五階段學習理論，分別說明如下：

一、van Hiele Model 幾何思考層次模型

van Hiele主張學童之思考可以分為五個層次，以下分別加以說明（吳德邦，1998b；葛曉冬，2000；劉好，1998b；盧銘法，1996； van Hiele， 1986）：（一）層次一（Level 1）－視覺（Visualization）對於此一層次的學童而言，可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形，可以藉著圖形的輪廓由視覺及觀察判斷得知形體，學童可以依據形體之外觀，說出形狀，這個水準層次的學童，藉著視覺觀察各種事物，從其外形輪廓來辨認形的概念，譬如：像門的形狀是長方形，像盤子的形狀像圓形。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、「長方形」，但不能瞭解其真正定義，而且如「」，看起來不像正擺的正方形，兒童認為這不是正方形，此階段兒童的思考推理，受視覺外觀

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的影響很大。（二）層次二（Level 2）－分析 (Analysis) 對於此一層次的學童而言，可以具有辨別圖形特徵之能力。學童藉由構成要素的名稱，和構成要素之間的關係來分析圖形，並且可以利用實際操作（如摺疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發現某一群圖形的共有性質或規則，譬如：能察覺到長方形有四個邊，四個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等；但不能解釋性質間的關係（例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有何關係），學童並不一定能知道當其邊長不相等時，其面積亦有可能相等，此階段的學童無法推理得知其中之關係。（三）層次三（Level 3）－關係（Relation）或非形式演繹（Informal Deduction）對於此一層次的學童而言，可以針對兩個形體之間的關係加以說明。在此一時期的學童已可使用定義去理解並發現其中的特性，並能以非正式的討論去理解相關之關係。已經能夠了解構成各種圖形的要素，並且能夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性以及各個圖形的包含關係，如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形，而不必將所有屬性均描述出來才能確認其圖形。在瞭解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行四邊形的一種；平行四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方形；可以知道n邊多邊形的內角和為（n－2）×180°等概念。

（四）層次四（Level 4）－形式演繹（Formal Deduction）

對於此一層次的學童而言，可以用演繹邏輯證明定理，用幾何的方式推論其所理解之幾何圖形之意義，並且建立相關定理之結構，他們可以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖表的性質，而且能夠證明，換言之，此階段之學童可以經由抽象推理的過程來證明幾何問題，不必靠記憶公式來證明幾何問題，並瞭解一個證明的可能性常不只一種方法，知道幾何圖形之充分必要條件及發現正逆命題間的差異

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性。例如：正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊形不一定是正五邊形。（五）層次五（Level 5）－嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）對於此一層次的學童而言，可以在不同之定理系統中操作，可以區分非歐幾何或比較不同公設系統，也可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦不易達成。根據van Hiele研究顯示，上述五個層次有其次序性，學習者必須具備前一層次的先備知識後，教師才能依據該能力，進行更高層次的教學活動。同時，亦由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。二、van Hiele 的幾何思考層次的特性 van Hiele (1986)曾指出：幾何思考層次具有某些固定的特性。 Usiskin (1982) 又將這些思考的層次性質分為固定順序 (Fixed Sequential) 、毗連性 (Adjacency) 、特異性 (Distinction) 、分離性 (Separation)以及造詣(Attainment)等。而 Crowley (1987)也曾將這些思考層次特性定義為序列性 (Sequential)、進展 (Advancement)、內在和外在 (Intrinsic and Extrinsic) 、語言 (Linguistics) 及不協調 (Mismatch) 等五個性質。分述如下 (譚寧君，1993；Crowley，1987；Wu， 1994 ) ：

(一)序列性 (Sequential / Fixed Sequential)

學生的幾何思考層次是循序漸進的，每一個層次的觀念是下一層次的基礎觀念。因此學生不可能已達第二層次而未達第一層次，或已達到第三層次而未達第二層次。

(二)毗連性 (Adjacency / Intrinsic and Extrinsic)

在每一幾何思考層次中，先前一個層次的隱藏元素為下一個層次的顯現因素，即某一層次的內在性質為下一層次的外在因素。

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(三)特異性 (Distinction / Linguistics) 每一個層次均有其特定的語言符號，和這些符號相關聯的網絡 (van Hiele，1986)，例如「性質」、「特性」是描述層次的語言，但到了理論層次則為「定義」，然而「公理」是屬於理論層次的語言。 (四)分離性 (Separation / Mismatch ) 處於不同幾何思考層次的人，彼此間無法相互溝通、了解。假若學生位於第一層次，而教學設計卻在另一層次，那麼希望學習的效果就不會發生。尤其是教師在教學時，教學的內容、教具的選擇、語彙的使用若處於和學生不同的層次，則學生將無法理解。 (五)進展性 (Advancement) van Hiele (1986)曾指出：幾何思考層次的進步，並非依賴生理的成熟度或隨著年齡的增加而進入較高的層級，而是依賴教學過程，所以教與學在層次的進展中扮演一個基本的角色。 (六)不連續性 (Discontinuity) 學生的學習是由一個層次到較高的一個層次，這個過程 van Hiele 形容為思考危機。克服了思考危機，學生就可以建立一個關係網絡。以上這些特性，頗值得數學課程設計者與教學者之參考。三、van Hiele 五階層學習理論 van Hiele 認為以上所述各層次間的學習，主要依靠教學的組織與方法，因此從某一層次進階到下一個層次間的過程，教學活動扮演著極重要的角色，而且正確的教學活動可以使進階更為容易(Wu，1994）；依照van Hiele 的架構，教師在教學的過程中應該理解並注意到學童的幾何層次，才能設計適當的學習課程幫助學童們進到更高階的幾何思考層次。為了引導學生的思考層次進階到下一個更高的思考層次，van Hiele (1986)訂定五個學習階層，依序為：學前諮詢(Information)、引導導向 (Guided Orientation) 、解說 (Explication) 、自由導向 (Free Orientation)、統整(Integration)，茲將整理描述如下（譚寧君，1993；

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Billstein, Libeskind & Lott，1993；Crowley，1987；Hoffer，1983； Wu，1994）：（一）學前諮詢階段 (Information) 教師在教學活動之前，先與學生做雙向溝通，藉由觀察和詢問，暸解學生的先備知識，藉以作為教學的參考。在此階段，教師與學生從事保留的活動，或針對這一水準研究目標的活動，經由觀察、探討問題與介紹此一層次之特殊字彙，因此，教師和學生在探討主題的對話中，使用的語彙與介紹的術語名詞對於本階段的學習格外重要。（二）引導導向階段（Guided Orientation）教師引導學童探索、操作，例如：分類、排列、組合、堆積木、摺紙等活動，引導學童在探索的活動過程中，協助其瞭解幾何之概念。教師應規劃具備次序性教材，來引導學生，使這些次序性的活動也逐漸的呈現這個層次架構的特徵，大多數的教材，都是一些小的設計作業或操作型任務，用來引導學生的特殊反應。（三）解說階段（Explication）在此學習階段的學童，可以從觀察到的現象彼此交換、討論和發表他們的觀點，在老師最少的協助下，能正確且適當的使用語言相互討論。而教師可以引導學童討論學習的主要內容，使學童的幾何概念提昇到理解的層次，教師的角色是幫助學童有正確及合適的字彙及語言。（四）自由導向階段（Free Orientation）此階段的學童，教師可以選擇適當的教材以及幾何問題，鼓勵學童思考以及解答這些問題，學童面對一個可能需要許多步驟才能完成的複雜題目，或是以很多不同的方式來解決問題，或是一個開放性的任務時，他們往往會從解決問題的活動獲得了經驗。（五）統整階段（Integration）學童在此一階段能經由觀察目標，摘錄出他們學習到什麼，能統整他們所學會的幾何概念和知識，學童必須將他獲得的知識吸收內化。教

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師主要的工作，只是負責提供普遍性的資料與整體的概念，協助學童將所學的知識轉化成綜合概念，鼓勵並啟發學童理解與運用幾何概念，來了解各種有關的教學問題，並不需呈現任何新的或不一致的概念。學生在某一個幾何思考層次，經過這五階層學習後，會得到一個新的幾何思考層次。新的思考範圍也會取代舊的思考範圍，而學生也將進入下一個更高層次，再開始重複上述這五個階層的歷程。也就是透過教師適當的教學與引導活動，使學生進階到下一層次能變得更容易，而不是因為學生的年齡發展成熟度來進階到下一個層次。國內幾位專家學者曾提出幾何課程的設計及教學與 van Hiele 幾何層次思考層次有密切關聯：劉好（1998b）曾說明由於幾何教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中，國小低年級學童大都在層次一的視覺期，故其對幾何圖形的瞭解須藉由實物的操作、觀察、描述與比較，經過無數次具體經驗，使其在視覺層次具備豐富經驗後，才能漸進的達到較高層次。中年級學童大約可以達到層次二，宜安排一些製作及檢驗的活動，使學童從製作與檢驗中獲得圖形的性質。高年級學童大約在層次二至層次三的過渡時期，可經由適當的觀察學習及實際驗證的方法，分析圖形構成要素及圖形的性質。朱建正（1999）提到：八十二年版以及九年一貫課程的數學教材，其幾何部分都是根據van Hiele幾何思考理論所編輯的。吳德邦（2003）指出，九年一貫數學領域圖形與空間的主題與van Hiele （1986）幾何思考層次的發展順序，不謀而合。由以上所述的許多研究指出，國小階段學童的幾何思考層次僅發展到 van Hiele 提出的前二或前三層次。從 van Hiele 幾何思考理論觀點，層次一的重點在於以視覺認識圖形，層次二重點在分析圖形的構成要素與其間關係，層次三的重點在於圖形的定義及其間關係的推理，前三層次是屬國小、國中的學習內容。層次四則是幾何概念的演繹推理，層次五的重點在瞭解抽

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象推理幾何，此兩個層次應屬於高中、大學以上或專家的學習內容。而對照九年一貫暫行綱要數學領域「圖形與空間」的主題能力指標，其第一階段所要達成的能力大致與 van Hiele 的層次一相符合，教材的設計以觀察、操作具體物來認識形狀；第二階段所要達成的能力與 van Hiele 的層次二也大致相符合，強調透過實測和製作的活動探討各種幾何圖形的構成要素及其關係；第三和第四階段所要達成的能力與 van Hiele 的層次三亦極相近，教材強調透過操作與觀察，進一步探討圖形間的包含關係，而且能做應用。五年級學童所學過之平面圖形概念與 van Hiele 幾何概念發展層次相互對照，大致可以表 2-2-2 表示：表 2-2-2 五年級學童平面圖形概念與 van Hiele 幾何層次對照表平面圖形概念內容 van Hiele 幾何層次 ◎圖形外觀的基本辨識。層次一（視覺的層次） ◎圖形的分解組合。 ◎辨識圖形中的直角。 ◎辨識圖形中的平行邊。 ◎形體的構成要素名稱與個數。 ◎形體組成要素間的關係，比較形體的異同。 ◎形體的性質。 ◎圖形的全等關係。 ◎線對稱圖形的關係。層次二（分析的層次）因此，本研究擬參考 van Hiele 理論與九年一貫數學課程幾何概念之教材，來設計評量工具，以了解第二階段學童幾何概念理解之情況。肆、Duval 幾何圖形的認知理解 Duval(1995)把幾何圖形視為一個認知的「瞭解」（apprehension），這個字是指有很多種不同的方式來看繪圖或一個外在刺激的視覺陳列。他認為圖形的認知分為四個瞭解：知覺性、構圖性、論述性、操弄性四種，分別說明如下：

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一、知覺性瞭解(Perceptual apprehension) 只要一個圖形被提出，必定喚起知覺性的瞭解及至少一個其他的瞭解，一個可被察覺的圖形和僅是呈現在視網膜上的圖形，其間最大的差異在於圖形組織的原則，以及圖像所帶給視覺者的暗示，可區分和辨識出圖形中的子圖形（sub-figure）(例如長方形被對角線分割出的兩個直角三角形)，但這些子圖形未必完全建立在原圖形的結構上。我們可以把知覺的圖形以平面或透視的方式去辨認給予圖形的一些子圖形，這些子圖形可能是它的組成要素，但不見得能架構出整個圖形。二、構圖性瞭解(Sequential apprehension) 當我們在構圖的過程、或是描述該圖形的結構時必須對圖形作構圖性的瞭解，其中構圖（或基本的圖形單位）不是靠知覺的法則和線索，而是靠著技術性的限制和數學的性質，技術性的限制是隨著使用工具而改變的（如尺、圓規、幾何軟體等）。所謂構圖性瞭解，即是在構圖的過程中，圖形的不同單位元件則會依序的浮現，若是因為繪圖工具的侷限而無法表達出圖形性質間的關係，圖形則無法被瞭解。三、論述性瞭解(Discursive apprehension) 幾何概念必須起源於對圖形的命名和一些假設，單由知覺性的瞭解，並不能使所有人對圖形的幾何性質達到共同的理解。圖形所代表的數學特質並不能完全靠著繪圖來呈現，有些必須靠著言詞「speech」（術語命名「denomination」和假設）及其他的性質來描述。一個沒有術語命名和假設的繪圖是一個含糊不清的呈現。在所有的幾何表徵中，對於其幾何性質的辨認仍然必須建立在敘述上，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形表現了什麼，論述性瞭解可以在知覺性瞭解不變的情況下而改變。四、操弄性瞭解(Operative apprehension) 當觀察一個圖形時，透過操弄性的理解我們可以增加解題的洞察力。當學生觀察一個圖形時，可以透過操弄圖形來得到解題的靈感，而在以不同的方式更改圖形之後，得到操弄性的瞭解，而變更圖形的方式則大致分

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為下列幾種：(1)分解組合圖形；(2)放大縮小圖形;(3)平移旋轉圖形等，這三種方式可在心靈中操作，也可實際地去變動它，這些操弄可使圖形具有啟發性的功能，故可以在操弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某個證明步驟或解題的靈感。在學習幾何知識來說，Duval(1998)則認為應有三種認知過程，分別是： (一)視覺(visualization)過程對於圖形空間表徵的認知，可能只是單純的表象圖形（線條與形狀的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的洞察，也可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。 (二)構圖(construction)過程根據作圖工具對圖形的製作過程，通常這個過程有助於學生去發現圖形中的幾何意義。 (三)推理(reasoning)過程進行論說的過程，例如說明、證明等。在幾何認知的教學方面，Duval(1998)則主張： (一)視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展； (二)不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的； (三)三種認知過程的整合只有在這些區分活動趨於成熟後才有可能。解題與論證在數學中是重要的一個核心，學生要以什麼樣的經驗才能有較好的圖形論證與解題呢？Duval(2002)認為一般的幾何教學，學生有充分的操弄圖形經驗，學生才有可能發展出圖形論證能力。左台益（2003）提到，Duval 提出的四種認知理解方式，並沒有優劣之分，都能提供學習者對於圖形的思考方式。在民國九十二年所頒布的正式課程綱要中的幾何主題更詳細的說明，圖形與空間的瞭解可分為知覺性、操弄性、構圖性、論述性的瞭解（教育部， 2003），此與Duval（1995）對幾何圖形瞭解類型的研究有關，且在幾何主題的基本理念提到，小學的幾何教學，應盡量讓學童發揮，拓展其幾何直覺，

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在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與彼此間的關係，以奠定國中推理能力的基礎。依我國課程之內容來看，五年級學童所應具有的平面圖形概念，與Duval 對圖形的認知理解理論對照，可以下表2-2-3表示：表 2-2-3 五年級學童平面圖形概念與 Duval 幾何認知理論對照表平面圖形概念內容 Duval 幾何認知理論 ◎圖形外觀的基本辨識。知覺性瞭解、論述性瞭解 ◎辨識圖形中的直角。構圖性瞭解 ◎辨識圖形中的平行邊。構圖性瞭解 ◎形體的構成要素名稱與個數。構圖性瞭解 ◎形體組成要素間的關係，比較形體的異同。構圖性瞭解、論述性瞭解 ◎形體的性質。構圖性瞭解 ◎圖形的全等關係。構圖性瞭解、論述性瞭解 ◎線對稱圖形的關係。構圖性瞭解、論述性瞭解 ◎圖形的分解組合。構圖性瞭解、操弄性瞭解為了更了解學生對圖形的理解情形，本研究亦擬參考Duval幾何認知理論，來探討學生更完整的平面圖形概念。本節文獻對本研究之啟示：皮亞傑的空間概念理論、van Hiele的幾何思考層次、Duval的幾何認知理論對於幾何教材的內容與編排具有很大的影響力，在小學階段的學童已經可以學習拓樸性、投影性及歐幾里得性的幾何教材、在幾何教材設計上，要配合學童學習幾何的發展順序來編排，才不致讓學童感到學習幾何是很困難的，也才能提昇學童的幾何發展層次，並藉由適當的活動啟發學童的興趣，透過視覺、構圖、推理的認知過程來學習幾何。本研究依據這些理論設計研究工具，配合理論來分析五年級學童對平面圖形的表現情況。