形式運思期 大約十一或十二 歲以上
以邏輯解決各類問題，能合乎科學的思考，在 理論的考慮下設計實驗，並在邏輯的架構下加 以解釋。
根據皮亞傑的看法，孩子的認知發展得依序經過以上四個主要階段，無 法跳過任一個階段，有些孩子認知成熟發展比較快，有些可能會停留在某一 階段較久，但認知發展的順序是不會變的。
另外，Mayer（1987）將皮亞傑的理論歸納為以下幾個要點：
一、 為了適應環境，人們積極在環境中求取新的、有用的訊息來修正自己對 環境的了解，以配合環境的需求。在學習過程中，人們會將舊知識組織 起來，使它們成為一個協調的整體。
二、 因為新知識必須和舊知識融合後，才能成為知識體系的一部份（亦即，
新知識的學習是建立在舊知識的基礎上）。所以不正確的舊知識會影響 新知識的汲取，也可能讓人對新知識產生誤解。
三、 認知發展有階段性。隨著年齡的增長，一個人對訊息需求的種類和了解 層次會發生變化。
從皮亞傑的認知理論可知：兒童的學習是有階段、順序性的，且與年齡 有關。這個認知理論雖然不是直接在說明圖形概念的學習發展，但幾何概念 之發展與此特徵應有所關聯。
貳、Piaget 和 Inhelder 的空間概念理論
兒 童 的 幾 何 概 念 如 何 發 展 呢 ？ 皮 亞 傑 等 人 (Piaget ， Inhelder &
Szeminska，1960) 研究兒童的幾何概念發展，隨著兒童年齡的成長對於空 間知覺能力的進展，所呈現出的幾何性質(geometrical properties)有拓樸 性(topological)、投影性(projective)、歐幾里得性(Euclidean)。兒童幾 何概念之形成即依上述三個階段之順序，在四歲以前為拓樸幾何概念，依據 圖形是否封閉或開放而定，完全忽視有關邊長、角度、大小等歐氏幾何關係，
完全是屬於基本拓樸幾何概念；約四~七歲為投影性空間概念；一直到七歲 開始才有歐氏幾何概念。以下將敘述這三種幾何體系（吳貞祥，1990；劉秋 木，1996；Piaget，1967）：
一、拓樸學概念階段（4歲以前）：
此一階段的兒童與運思前期認知發展階段有關，僅能掌握拓樸學的圖 形概念，即只注意到圖形的內或外，對於直線與曲線，尚未具有嚴格區分 的能力。同時，對於長度或角的差異，也不能做詳細觀察。例如要求兒童 仿畫正方形或長方形，則往往會畫成渾圓的形狀，或各邊中間畫成凹凸不 直，甚至畫成近乎圓的形狀。
此外，兒童對左右位置的變換也感到茫然，他們並非不能感覺左右或 曲直的不同，而是他們在認知上無法瞭解構成左右或曲直的差異因素罷
了。他們只能從接近、分離、包圍、順序、連續等觀點，來考慮事物的性 質。例如：圓或四邊形都是一個連續的簡單封閉圖形，然而，這階段的兒 童卻不能區分兩者的差異。他們對於物體的形狀、大小、角度等要素都不 會加予留意。
二、投影幾何學階段（約4－7歲）：
此一階段的兒童相當於運思前期到具體運思期認知發展階段。Piaget 和 Inhelder (1967)認為這個階段的兒童對外界的認知，自己本身所在觀 點的視覺比其他的條件佔較優越的地位，凡是經過視覺所承認的事物，他 們才認為是真實的存在，而蘊藏在視覺之外的事物都不真實，他們深信各 種形狀都會原本照著視覺的感受而變化，例如：本來已確認是正方形的顏 色紙，若一旦拿開，放在相隔一段距離的遠處，在兒童的心目中則認為變 成了菱形或梯形，而且也變小了。如果再把它拿回原來的位置，兒童卻又 認為形狀和大小都會回復到原來的樣子。又例如：平行的火車軌道，因隨 著距離的遠離，看起來其寬度會逐漸變狹窄，看同一物體時會因相隔愈遠 而顯得愈小，這種情形在小孩來說，並不是軌道的寬度看起來變狹窄，或 是物體的形狀看起來較小，而是認為真的變狹窄或形狀真的變小。
總之，這時期的兒童對外界的認知，視覺要比其他條件佔優勢，深信 形或量都會原原本本照著視覺的感覺而變化。
三、歐幾里得幾何學階段（約7、8~11、12歲）：
由於歐幾里得幾何學涉及測量工作者，與距離、角度、平行線、直線 等的保留有關，就歐幾里得幾何學的概念建構而言，長度保留與距離保留 二者是較為基本的。兒童獲得長度及距離保留能力，特別是長度保留能力 之後， 自然能發展出測量的概念，兒童最初是以最靠近自己的、本身最 熟悉的工具（自己的手或軀體）來測量，皮亞傑將此種策略稱為「手的遷 移」及「軀幹遷移」；以後隨著認知的發展，兒童漸會使用量尺工具以補 助測量，此外， 面積保留概念約在本階段發展。在小學，兒童的圖形概 念大部份都已發展到歐幾里得幾何學概念階段，所以根據皮亞傑的說法，
在本階段的兒童應該都具備有關於線段長短、角度大小或面的大小的意 識。
從以上的說明可知：皮亞傑理論的研究重點在於兒童發展幾何概念的 思考模式，探討幾何概念形成的運思程序，從最初發展的拓樸關係，到投 影再到歐幾里得關係，是屬於年齡取向的階段論，注重發展的過程。以上 的分析可供本研究試題編制的參考，五年級的學童依皮亞傑理論的觀點來 說已達到歐幾里得幾何學階段，其學習成就研究的重點可考慮圖形的封 閉、曲直、方位、邊長與角度等特性，以瞭解兒童辨認圖形的表現。
參、van Hiele 幾何思考層次
在 1957 年 荷 蘭 數 學 家 P.M.van Hiele 及 他 的 妻 子 Dina van Hiele-Geldof開始研究幾何思維發展，對於學童至成人的幾何概念提出一個 幾何學習之模型，受到世界各地研究兒童幾何概念發展之學者和課程設計者 之矚目。其理論，內容包括幾何思考層次模型、幾何思考層次之特性及五階 段學習理論，分別說明如下：
一、van Hiele Model 幾何思考層次模型
van Hiele主張學童之思考可以分為五個層次，以下分別加以說明（吳 德邦，1998b；葛曉冬，2000；劉好，1998b；盧銘法，1996； van Hiele，
1986）：
（一）層次一（Level 1）－視覺（Visualization）
對於此一層次的學童而言，可以分辨、稱呼、比較及操弄幾何圖形，
可以藉著圖形的輪廓由視覺及觀察判斷得知形體，學童可以依據形體之 外觀，說出形狀，這個水準層次的學童，藉著視覺觀察各種事物，從其 外形輪廓來辨認形的概念，譬如：像門的形狀是長方形，像盤子的形狀 像圓形。雖然知道物件的形狀何者稱為「正方形」、「三角形」、「圓形」、
「長方形」，但不能瞭解其真正定義，而且如「 」，看起來不像正擺的 正方形，兒童認為這不是正方形，此階段兒童的思考推理，受視覺外觀
的影響很大。
（二）層次二（Level 2）－分析 (Analysis)
對於此一層次的學童而言，可以具有辨別圖形特徵之能力。學童藉 由構成要素的名稱，和構成要素之間的關係來分析圖形，並且可以利用 實際操作（如摺疊、尺量，以格子觀察或設計特別的圖樣）的方式，發 現某一群圖形的共有性質或規則，譬如：能察覺到長方形有四個邊，四 個角，且有兩個長邊，兩個短邊，對邊相等；但不能解釋性質間的關係
（例如：菱形、正方形、平行四邊形、長方形之間有何關係），學童並 不一定能知道當其邊長不相等時，其面積亦有可能相等，此階段的學童 無法推理得知其中之關係。
（三）層次三（Level 3）－關係（Relation）或非形式演繹（Informal Deduction）
對於此一層次的學童而言，可以針對兩個形體之間的關係加以說 明。在此一時期的學童已可使用定義去理解並發現其中的特性，並能以 非正式的討論去理解相關之關係。已經能夠了解構成各種圖形的要素，
並且能夠進一步探求各種幾何圖形的內在屬性以及各個圖形的包含關 係，如四邊形兩雙對邊相等即是平行四邊形，而不必將所有屬性均描述 出來才能確認其圖形。在瞭解圖形內在關係後，可以建立長方形是平行 四邊形的一種；平行四邊形中，有一個角為直角時，此四邊形即為長方 形；可以知道n邊多邊形的內角和為（n－2）×180°等概念。
（四）層次四（Level 4）－形式演繹（Formal Deduction）
對於此一層次的學童而言，可以用演繹邏輯證明定理，用幾何的方 式推論其所理解之幾何圖形之意義，並且建立相關定理之結構，他們可 以在一個公設系統中建立幾何理論，他們不只是記憶圖表的性質，而且 能夠證明，換言之，此階段之學童可以經由抽象推理的過程來證明幾何 問題，不必靠記憶公式來證明幾何問題，並瞭解一個證明的可能性常不 只一種方法，知道幾何圖形之充分必要條件及發現正逆命題間的差異
性。例如：正五邊形邊長均相等，內角亦均相等，但邊長均相等的五邊 形不一定是正五邊形。
（五）層次五（Level 5）－嚴密性（Rigor）或公理性（Axiomatic）
對於此一層次的學童而言，可以在不同之定理系統中操作，可以區 分非歐幾何或比較不同公設系統，也可瞭解抽象推理幾何，甚至可自創 一種幾何公設系統。此層次一般人很難達到，即使是以數學為專業者亦 不易達成。
根據van Hiele研究顯示，上述五個層次有其次序性，學習者必須具 備前一層次的先備知識後，教師才能依據該能力，進行更高層次的教學活 動。同時，亦由於教材內容屬性的差異，會影響學習者落入不同層次中。
二、van Hiele 的幾何思考層次的特性
van Hiele (1986)曾指出：幾何思考層次具有某些固定的特性。
Usiskin (1982) 又 將 這 些 思 考 的 層 次 性 質 分 為 固 定 順 序 (Fixed Sequential) 、 毗 連 性 (Adjacency) 、 特 異 性 (Distinction) 、 分 離 性 (Separation)以及造詣(Attainment)等。而 Crowley (1987)也曾將這些思 考層次特性定義為序列性 (Sequential)、進展 (Advancement)、內在和 外 在 (Intrinsic and Extrinsic) 、 語 言 (Linguistics) 及 不 協 調 (Mismatch) 等五個性質。分述如下 (譚寧君，1993；Crowley，1987；Wu，
1994 ) ：
(一)序列性 (Sequential / Fixed Sequential)
學生的幾何思考層次是循序漸進的，每一個層次的觀念是下一層次 的基礎觀念。因此學生不可能已達第二層次而未達第一層次，或已達到
學生的幾何思考層次是循序漸進的，每一個層次的觀念是下一層次 的基礎觀念。因此學生不可能已達第二層次而未達第一層次，或已達到