因此，本研究擬參考 van Hiele 理論與九年一貫數學課程幾何概念之教 材，來設計評量工具，以了解第二階段學童幾何概念理解之情況。
肆、Duval 幾何圖形的認知理解
Duval(1995)把幾何圖形視為一個認知的「瞭解」（apprehension）， 這 個字是指有很多種不同的方式來看繪圖或一個外在刺激的視覺陳列。他認為 圖形的認知分為四個瞭解：知覺性、構圖性、論述性、操弄性四種，分別說 明如下：
一、知覺性瞭解(Perceptual apprehension)
只要一個圖形被提出，必定喚起知覺性的瞭解及至少一個其他的瞭 解，一個可被察覺的圖形和僅是呈現在視網膜上的圖形，其間最大的差異 在於圖形組織的原則，以及圖像所帶給視覺者的暗示，可區分和辨識出圖 形中的子圖形（sub-figure）(例如長方形被對角線分割出的兩個直角三 角形)，但這些子圖形未必完全建立在原圖形的結構上。我們可以把知覺 的圖形以平面或透視的方式去辨認給予圖形的一些子圖形， 這些子圖形 可能是它的組成要素，但不見得能架構出整個圖形。
二、構圖性瞭解(Sequential apprehension)
當我們在構圖的過程、或是描述該圖形的結構時必須對圖形作構圖性 的瞭解，其中構圖（或基本的圖形單位）不是靠知覺的法則和線索， 而 是靠著技術性的限制和數學的性質，技術性的限制是隨著使用工具而改變 的（如尺、圓規、幾何軟體等）。所謂構圖性瞭解，即是在構圖的過程中，
圖形的不同單位元件則會依序的浮現，若是因為繪圖工具的侷限而無法表 達出圖形性質間的關係，圖形則無法被瞭解。
三、論述性瞭解(Discursive apprehension)
幾何概念必須起源於對圖形的命名和一些假設，單由知覺性的瞭解，
並不能使所有人對圖形的幾何性質達到共同的理解。圖形所代表的數學特 質並不能完全靠著繪圖來呈現，有些必須靠著言詞「speech」（術語命名
「denomination」和假設）及其他的性質來描述。一個沒有術語命名和假 設的繪圖是一個含糊不清的呈現。在所有的幾何表徵中，對於其幾何性質 的辨認仍然必須建立在敘述上，然後經過一個演繹的過程來決定這個圖形 表現了什麼，論述性瞭解可以在知覺性瞭解不變的情況下而改變。
四、操弄性瞭解(Operative apprehension)
當觀察一個圖形時，透過操弄性的理解我們可以增加解題的洞察力。
當學生觀察一個圖形時，可以透過操弄圖形來得到解題的靈感，而在以不 同的方式更改圖形之後，得到操弄性的瞭解，而變更圖形的方式則大致分
為下列幾種：(1)分解組合圖形；(2)放大縮小圖形;(3)平移旋轉圖形等，
這三種方式可在心靈中操作，也可實際地去變動它，這些操弄可使圖形具 有啟發性的功能，故可以在操弄的過程中，突顯出圖形的變化而得到某個 證明步驟或解題的靈感。
在學習幾何知識來說，Duval(1998)則認為應有三種認知過程，分別是：
(一)視覺(visualization)過程
對於圖形空間表徵的認知，可能只是單純的表象圖形（線條與形狀 的組織體），也可以是幾何意義（角、平行、垂直、等距、等面積）的 洞察，也可以是根據文字敘述所進行的圖形再現。
(二)構圖(construction)過程
根據作圖工具對圖形的製作過程，通常這個過程有助於學生去發現 圖形中的幾何意義。
(三)推理(reasoning)過程
進行論說的過程，例如說明、證明等。
在幾何認知的教學方面，Duval(1998)則主張：
(一)視覺、構圖、推理的幾何認知過程應該獨立發展；
(二)不同視覺過程的區分以及不同推理過程的區分是教學不可或缺的；
(三)三種認知過程的整合只有在這些區分活動趨於成熟後才有可能。
解題與論證在數學中是重要的一個核心，學生要以什麼樣的經驗才能有 較好的圖形論證與解題呢？Duval(2002)認為一般的幾何教學，學生有充分 的操弄圖形經驗，學生才有可能發展出圖形論證能力。
左台益（2003）提到，Duval 提出的四種認知理解方式，並沒有優劣之 分，都能提供學習者對於圖形的思考方式。
在民國九十二年所頒布的正式課程綱要中的幾何主題更詳細的說明，圖 形與空間的瞭解可分為知覺性、操弄性、構圖性、論述性的瞭解（教育部，
2003），此與Duval（1995）對幾何圖形瞭解類型的研究有關，且在幾何主題 的基本理念提到，小學的幾何教學，應盡量讓學童發揮，拓展其幾何直覺，
在操作中，認識各種簡單幾何形體與其性質，再慢慢加入簡單的推理性質與 彼此間的關係，以奠定國中推理能力的基礎。
依我國課程之內容來看，五年級學童所應具有的平面圖形概念，與Duval 對圖形的認知理解理論對照，可以下表2-2-3表示：
表 2-2-3 五年級學童平面圖形概念與 Duval 幾何認知理論對照表 平面圖形概念內容
Duval 幾何認知理論◎圖形外觀的基本辨識。 知覺性瞭解、論述性瞭解
◎辨識圖形中的直角。 構圖性瞭解
◎辨識圖形中的平行邊。 構圖性瞭解
◎形體的構成要素名稱與個數。 構圖性瞭解
◎形體組成要素間的關係，比較形體的異同。 構圖性瞭解、論述性瞭解
◎形體的性質。 構圖性瞭解
◎圖形的全等關係。 構圖性瞭解、論述性瞭解
◎線對稱圖形的關係。 構圖性瞭解、論述性瞭解
◎圖形的分解組合。 構圖性瞭解、操弄性瞭解
為了更了解學生對圖形的理解情形，本研究亦擬參考Duval幾何認知理論，來探討學生更完整的平面圖形概念。
本節文獻對本研究之啟示：
皮亞傑的空間概念理論、van Hiele的幾何思考層次、Duval的幾何認知 理論對於幾何教材的內容與編排具有很大的影響力，在小學階段的學童已經 可以學習拓樸性、投影性及歐幾里得性的幾何教材、在幾何教材設計上，要 配合學童學習幾何的發展順序來編排，才不致讓學童感到學習幾何是很困難 的，也才能提昇學童的幾何發展層次，並藉由適當的活動啟發學童的興趣，
透過視覺、構圖、推理的認知過程來學習幾何。本研究依據這些理論設計研 究工具，配合理論來分析五年級學童對平面圖形的表現情況。
第三節 九年一貫數學領域課程綱要平面圖形各版本之教材分析
本節先對九年一貫數學領域暫綱幾何課程的設計與學生的學習進行探 討，再對各版本的教材編輯理念作說明，將各版本第二階段（四、五年級）
與第三階段（六年級）平面圖形概念的教材加以分析，最後以中國大陸及美 國國小數學課程中有關幾何部分的教材內容作對照分析。
壹、九年一貫數學領域課程綱要幾何課程設計
「國民中小學課程發展專案小組」，在設計數學領域課程時，將九年國 民教育區分成四個階段，下表 2-3-1 是各階段學生主要的學習方式與思考型 態的特徵（教育部，2000）：