第二章 函数与基本初等函数

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第二章 函数与基本初等函数

1 ．作函数图象的一般方法：描点法、变换法 2 ．描点法作函数图象的一般步骤

(1) 确定定义域； (2) 列表； (3) 描点； (4) 连线成图．

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(4) 翻折变换

① 由 y ＝ f(x) 的图象作出 的图象 (y ＝ f(|x|) 的 图象关于 y 轴对称，保留 y 轴右边图象，作出关于 y 轴对称图 象． )

② 由 y ＝ f(x) 的图象，作出 的图象 ( 保留 x 轴上 方图象，将 x 轴下方图象翻折上去． )

y ＝ f(|x|)

y ＝ |f(x)|

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1 ． (2010· 安徽， 6) 设 abc ＞ 0 ，二次函数 f(x) ＝ ax² ＋ b x ＋ c 的图象可能是 ( 　　 )

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[ 答案 ] 　 D

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[ 答案 ] 　 B

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[ 答案 ] 　②③

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　分别画出下列函数的图象：

(1)y ＝ |lgx| ； (2)y ＝ 2^{x＋ 2}； (3)y ＝ x²－ 2|x| － 1.

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[ 点评与警示 ] 　本题先将函数化简，转化为作基本函数的 图象的问题 . 作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”．同 时也可利用图象变换得出．

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(3) 当 x≥0 时 y ＝ sin|x| 与 y ＝ sinx 的图象完全相同，又 y

＝ sin|x| 为偶函数其图象关于 y 轴对称，其图象如图 3.

(4) 首先做出 y ＝ log2x 的图象 c1 ，然后将 c1 向左平移 1 个 单位，得到 y ＝ log2(x ＋ 1) 的图象 c2 ，再把 c2 在 x 轴下方图象 作关于 x 轴对称图象，即为所求图象 c3 ： y ＝ |log2(x ＋ 1)|. 如 图 4( 实线部分 ) ．

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[ 答案 ] 　 B

[ 点评与警示 ] 　运用函数图象或抓住函数图象特征是解答 与函数有关问题的常用方法，这类问题是高考客观题 ( 选择、

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方程 lgx ＝ sinx 的实根个数是 ________ 个．

[ 解析 ] 　设 f1(x) ＝ lgx ， f2(x) ＝ sinx ，∴ lg10 ＝ 1 ，而 3 π<10<4π ，∴ f1(x) 与 f2(x) 的图象有 3 个交点．

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　 f(x) 是定义在区间 [ － c ， c] 上的奇函数，其图象如 右图所示，令 g(x) ＝ af(x) ＋ b ，则下列关于函数 g(x) 的叙述 正确的是

( 　　 ) A ．若 a<0 ，则函数 g(x) 的图象关于原点对称

B ．若 a ＝ 1,0<b<2 ，则方程 g(x) ＝ 0 有大于 2 的实根

C ．若 a ＝－ 2 ， b ＝ 0 ，则函数 g(x) 的图象关于 y 轴对 称

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解法二：当 a ＝ 1,0<b<2 时， g(x) ＝ f(x) ＋ b ，由图可知

， g(2) ＝ f(2) ＋ b ＝ 0 ＋ b>0 ， g(c) ＝ f(c) ＋ b< － 2 ＋ b<0

，所以当 x∈(2 ， c) ，必有 g(x) ＝ 0 ，故 B 正确．

[ 答案 ] 　 B

[ 点评与警示 ] 　本题属于读图题型，解答读图题型的思维 要点是：仔细观察图象所提供的一切信息，并和有关知识结合 起来，全面判断与分析．上述解法一为淘汰法；解法二为直接 法，两法均属于解选择题的通法．

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(2010· 山东， 11) 函数 y ＝ 2^x－ x² 的图象大致是 ( 　　 )

[ 解 ] 　由图象可知， y ＝ 2^x与 y ＝ x² 的交点有 3 个，说明 函数 y ＝ 2^x－ x² 的零点有 3 个，故排除 B 、 C 选项，当 x ＜ x0

(x₀ 是 y ＝ 2^x － x²的最小的零点 ) 时，有 x² ＞ 2^x成立，即 y ＜ 0

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　 ( 人教 A 必修 1 改编 ) 现有如图所示的一个圆 台型杯子，向杯中匀速注水，杯中水面的高度 h 随时 间 t 变化的图象是 ( 　　 )

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　回答下述关于图象的问题：

向形状如右图，高为 H 的水瓶注水，注满 为止，若将注水量 V 看作水深 h 的函数，则函 数 V ＝ f(h) 的图象是下图中的 ( 　　 )

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[ 解析 ] 　水量 V 显然是 h 的增函数，将容器的高等分成 n 段，每一段记为 Δh ，从开始注水起 ( 即从下到上 ) 计算，每段 Δh 对应的水量分别记为 ΔV1 ， ΔV2 ，…， ΔVn ，由于容器上小 下大，∴ ΔV1 ＞ ΔV2 ＞…＞ ΔVn ，即当 h 愈大时，相等高度增 加的水量愈少，∴其图象呈“上凸”形状，故选 A.

[ 答案 ] 　 A

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1 ．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免 盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这 就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一 个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式 等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定 以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，

这也是个难点．

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(2) 点 (x ， y) 关于 y 轴的对称点为 ( － x ， y) ；

函数 y ＝ f(x) 关于 y 轴的对称曲线方程为 y ＝ f( － x) ；

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(3) 点 (x ， y) 关于 x 轴的对称点为 (x ，－ y) ；

函数 y ＝ f(x) 关于 x 轴的对称曲线方程为 y ＝－ f(x) ； (4) 点 (x ， y) 关于原点的对称点为 ( － x ，－ y) ；

函数 y ＝ f(x) 关于原点的对称曲线方程为 y ＝－ f( － x) ； (5) 点 (x ， y) 关于直线 y ＝ x 的对称点为 (y ， x) ；曲线 f (x ， y) ＝ 0 关于直线 y ＝ x 的对称曲线的方程为 f(y ， x) ＝ 0

；点 (x ， y) 关于直线 y ＝－ x 的对称点为 ( － y ，－ x) ；曲线 f(x ， y) ＝ 0 关于直线 y ＝－ x 的对称曲线的方程为 f( － y ，－

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