3 方程式圖形
同學們可能都聽說過類似「笛卡兒發明平面坐標，讓幾何和代數結為 連 理 」 這種 說法 。 更精 確 一 點兒 的說 ， 笛卡 兒 （René Descartes, 1596-1650）在西元 1637 年出版了一本提倡唯心論與理性主義的哲學 著作《方法論》，主張人的心靈具備理性的基礎，因此人可以獨立於 上帝而憑著自己的理性獲得真確的知識。至於運用理性的求知方法，
第一步就是要「懷疑一切」。他以「懷疑自己是不是真的存在？」作 為一個懷疑的範例，最後以「一個能夠提出這種懷疑的心靈必定是存 在的」作為結論。這就是他那句名言「我思故我在」的出處。1
笛卡兒為了替他提出的思考方法找一組能夠說服世人的範例，他 在書後補了一部題為《幾何》的附錄；其實這部附錄跟前面正文的頁 數差不多，可見附錄本身的份量之重。笛卡兒在附錄裡示範如何利 用單位長與直線參考坐標，將平面上的幾何關係（例如三點共線或 三點共圓）對應成代數關係，不但運用這個方法重新證明過去已知 的事實，更成功地發現了新知識：新數學定理與新作圖法，所以他 的哲學論述確實說服了許多知識分子。如今的數學史，都以笛卡兒 在1637 年出版的《幾何》（附錄），當作平面直角坐標的濫觴。在 西方，平面直角坐標就稱為卡氏坐標（Cartesian coordinates）。2
此後，在平面上不畫坐標的幾何學，例如國中階段的中垂線性 質、角平分線性質、三角形的全等判定，通稱為平面幾何（plan
geometry）。相對地，有坐標的幾何就稱為坐標幾何（coordinates geometry）。這部《別冊》
要講的重點之一是微積分，微積分是從坐標幾何發展出來的。從直角坐標的出現，到微積分的 誕生，其間只有三十幾年的光陰；也就是說，只經過一代人的思考，就從坐標幾何發展出微積 分了。由此可見，微積分應該不至於太難才對。確實如此，請跟著《別冊》一步步學下去。
方程 vs 方程式
讓我暫時岔開話題，釐清兩個名詞。
含有代數符號（稱為「元」）的等式，基本上分為兩種。像7x 22、x2 5x 6 0這種 等式，符號 x 的角色是「未知數」，只有特定的實數可以代入 x 而使等式成立。讓我們約定：
在《別冊》裡，我一律稱這種等式為方程。方程是中國固有數學的名詞，出自《九章算經》；
「方程」對應的英文名稱是equation with unknowns（含未知數的等式）。
1 《方法論》的書名原是法文，長達 16 個字；在十九世紀以前，西方的書名經常寫得很長，彷彿書名就是書的內 容摘要似的。這部書的名字譯為中文應是《談談正確引導理性在各門科學上尋找真理的方法》，因此也有人將它翻 譯成感覺比較平易的《談談方法》。書中第四部（Part IV）出現Je pense, donc je suis這句話，直譯為「因為我在思 考，所以我存在」，中文的標準翻譯是「我思故我在」。
2 Descartes 是笛卡兒的法文姓氏，字裡的兩個 s 都不發音。那個時代的官方文字是拉丁文，每位菁英人士都另有 一個拉丁名字，笛卡兒的拉丁文姓氏是Cartesius。這個字的所有格就變形為 Cartesian。所以 Cartesian coordinates 的意思就是「笛卡兒的坐標」。
另一方面，像2x 3y 1這種等式，符號 x 可以代入任何數（當我說任何數，意思就是任 何實數）而找到某個y，使得等式成立；反之，也可以將符號 y 代入任何數，然後找出使得等式 成立的x。在這種等式裡，符號 x 或 y 的角色都是「變數」，先隨意代入一個數的符號是「自變 數」，跟著被決定的另一個符號是「應變數」。同樣要約定：在《別冊》裡，我一律稱這第二 種等式為方程式。「方程式」對應的英文名稱是equation with variables（含變數的等式）。
兩個方程式卻可能變成方程。例如 2 3 1 4 2 x y
x y 是一個方程，詳細點兒的說法是聯立方程，
最詳細的說法是二元一次聯立方程。方程是世界各地的古文明遺產，巴比倫、埃及、希臘、中 國都有方程概念，也都有解方程的算法。方程式卻是西歐獨步於世界的發明，它是笛卡兒發明 坐標幾何之後才誕生的新物件。西歐科技超越全世界的關鍵發明之一，就在這裡。從操作的角 度來分辨方程和方程式，就是
對方程求解，對方程式作圖。
[隨堂練習 1]
以下哪些等式是方程？哪些是方程式？
○1 2 3 1
x y 5 ○2 x2 3x 2x 1 ○3 x2 3y 2x 1 ○4
2 3 1 3 1 2 2 x y
x y
○5 x2 y2 1 ○6 x3 x 1 ○7 x2 2xy y3
方程：__________________ 方程式：__________________
方程式作圖
在笛卡兒發明坐標幾何之後，傳統的有名稱的平面幾何圖形，都找到了對應 的方程式。意思是：例如，我們已經知道坐標平面上兩點O(0,0)和A(1,2)決 定一條直線，稱之為 L，則 L 上所有點 ( , )P x y 的坐標值都滿足等式y 2x ； 反之，滿足方程式2x y 0的所有x 值及 y 值，若寫成數對( , )x y 且將其「詮 釋」為坐標平面上的點，則所有這些點都落在L 上。在此意義下，直線 L 上 的點與滿足方程式2x y 0的數對，建立了一一對應的關係。因此我們說 直線L 的方程式是2x y 0，而方程式2x y 0的圖形是直線L。
再舉一個例子。坐標平面上，與點A(1,2)的距離皆為 2 的所有點，
形成以A 為圓心、 2 為半徑的圓；若我們稱此圓為 ，3 則 上所有點 ( , )
P x y 的坐標值都滿足等式 (x 1)2 (y 2)2 2，將等號兩側平方，
得 到 較 簡單 的 方程 式(x 1)2 (y 2)2 2； 反 過 來說 ， 滿足 方程式 (x 1)2 (y 2)2 2的所有x 值及 y 值，若寫成數對( , )x y 且「詮釋」為 坐標平面上的點，則所有這些點都落在圓 上。因此，圓 上的點與滿 足方程式(x 1)2 (y 2)2 2的數對，建立了一一對應的關係，我們說 圓 的方程式是 (x 1)2 (y 2)2 2，而方程式 (x 1)2 (y 2)2 2 的圖形是圓 。
[定義] 方程式圖形
將滿足二元方程式的數對x、y 詮釋為坐標平面上的點坐標 ( , )x y ，則所有（通常有無窮多）這 些點在坐標平面上聚集而成的圖形（通常是直線或曲線），即是方程式圖形。
前面的定義有兩個重點：
(1) 方程式並非「天生」就有圖形，而是有人「發明」了坐標，並將滿足二元方程式的兩個數
「詮釋」為點坐標之後，才「創造」了方程式圖形。
(2) 方程式圖形是由無窮多個點「聚集」而成的，並非由若干個點「連」起來的。
如今同學們都知道方程式2x 3y 1的圖形是直線，二次函數y x2 4x 3的圖形是拋物 線，國中老師已經教會妳／你們畫這些方程式圖形的「巧門」，例如：用兩個點畫直線，用三 或五個點畫拋物線。同學們要能繼續使用這些技巧，並且延伸到其他情境。
[隨堂練習 2]
請在以下方格紙上，畫方程式 x y2 4y 3 的圖形。妳／你認為該怎樣稱呼這個圖形？
（請勿使用電腦繪圖軟體；手繪之後，可以比對軟體繪製的方程式圖形。）
以上練習要帶給同學的新知是：方程式 x y2 4y 3 也可以視為以 y 為自變數的二次函 數，這時候，它的作圖方法跟二次函數 y x2 4x 3 的作圖方法完全相同，只要把縱軸（y 軸）當作自變數的軸就好了。
如果現在繼續使用二元一次方程式或者二次函數（以 x 或 y 為自變數皆可）來繪圖，因為 同學們已經學過了技巧，所以就沒機會「體驗」方程式圖形乃是由無窮多點聚集而成的概念。
因此，我們換一個比較有新奇感的例子來練習方程式作圖。
[隨堂練習 3]
請在以下方格紙上，畫方程式 x2 2xy y3 的圖形。
（請勿使用電腦繪圖軟體；手繪之後，可以比對軟體繪製的方程式圖形。）
[活動] 我們必須製造一張滿足方程式 x2 2xy y3 的 x、y 對照表。
按照習慣，先代入x 0，可解得 y 0，請自行填寫右側表格。
接著代入x 1發現要解三次方程 y3 1 2y，雖然我們「會」
用計算機去求近似解，但是太麻煩。不如代入 y 吧；其實這也是設 計此方程式的用意之一：不一定要讓 x 自變，也可以讓 y 自變，先 代入y，再求 x。
試試看 y 1，代入之後，方程式變成二次方程x2 2x 1 0， 用公式得到兩個解x 1 2。但是含根式的解無助於繪圖，取它們 的兩位小數近似值2.41 和 0.41，請填寫表格。
接下來試試看 y 1，代入之後，方程式變成二次方程x2 2x 1 0，可求解 1
x ，請填寫表格。再試 y 2，請同學自行算出兩個解，將它們約至二位小數，填 入表格。
接著試 y 2，代入之後得到方程 x2 4x 8 0，卻發現無解。哪些 y 會無解 呢？將y 當作參數，則二次方程 x2 (2y x) ＋( y3) 0 的判別式為 4y2 4y3，4 解 不等式 0 得到解區間 y 1。因此，當 y 1 則方程式無解，不必再嘗試了。
將以上表格中的6 組解，詮釋為坐標平面上的 6 個點，畫在以下方格紙上。各位 同學能夠將這 6 個點「連」成一個圖形嗎？很難吧。因此我們需要知道更多點。請看 作業。
x y 0
1 1 2
作業 3
班級座號＿＿＿＿＿＿＿＿ 姓名＿＿＿＿＿＿＿＿
1. 完成隨堂練習 3 的方程式圖形。如果有同學可以合作，建議分配大家計算 y 的二分點與四分 點所對應的x 解：代入y 0.5、0.5、1.5，然後代入 y 0.75、 0.25、0.25、0.75、1.25、
1.75。將對應的 x 約至二位小數。如果人手夠多，讓每個 y 被兩個人算過，比對彼此的解，
當作驗算。在方格紙上，塗繪前述18 個點之後，可否猜想方程式圖形的模樣？如果還不確 定，在不確定的範圍內代入y 的八分點，以便求得更細緻的圖形。到了能夠確定的程度之後，
就把圖形畫出來。
這份作業希望同學們確實理解：方程式圖形是無窮多點聚集而成的。
2. 大家都能立刻畫出方程式
2 2 1
x y
的圖形。讓我們只調整一個數，請 在右側方格紙的坐標範圍內，描繪 方程式
3 2 1
x y
的圖形吧。請忍耐一下，不要用電 腦軟體，這樣才能體會「方程式圖 形」的意義，順便體會計算機是學 習數學的一個多麼方便的工具。
