aa 範 例 講 解 單 元 內 容 二元一次方程式的圖形

1

a a

二元一次方程式的圖形

單 元 內 容

1 二元一次方程式與線型函數 n 二元一次方程式與線型函數: 線型函數

y= ax+ b 也可視為二元一次方程式。而 ax+ by= c 的二元一次方程式，當 b≠0 的時候，也可視為y= -a

bx+

c

b的線型函 數。

【說明】線型函數y=5x+3 可視為 5x-y=-3 的二 元一次方程式。

【說明】二元一次方程式4x-y=2 可視為 y=4x-2 的線型函數。

【說明】二元一次方程式3x=1 中沒 y 項，就不 能改寫為線型函數。

範 例 講 解

Ex1.下列哪些二元一次方程式無法改寫為 y 是 x 的一次函數？ (Ａ) 2x＋y＝0 (Ｂ) 3x＝2 (Ｃ) 2y＋2＝0 (Ｄ) 4x－3y＝2。

Hw1.下列哪些二元一次方程式無法改寫為 y 是 x 的一次函數？ (Ａ) 2x＝7 (Ｂ) 3x-y＝

1(Ｃ) 4y-3＝0 (Ｄ) 5x－3y＝4。

Ex2.將下列二元一次方程式改寫成 y 是 x 的函 數。

(1) .4x+2y-6=0 (2) .x=5y-10

Hw2.將下列二元一次方程式改寫成 y 是 x 的函 數。

(1).3x+2y=6 (2).5x-3y-10=0

2 二元一次方程式的圖形

n 二元一次方程式的圖形：將二元一次方程式 ax+ by= c 的所有解(x,y)，描繪在坐標平 面上，所形成的圖形為一直線，其圖形就是 二元一次方程式的圖形。

n 二元一次方程式的作圖：

u 先求出二元一次方程式ax+ by= c 的 兩組解。

u 在坐標平面上描繪兩組解的對應點。

u 將兩對應點連成一直線，即為方程式的 圖形。

【說明】x-y=1 的作圖

2

n 二元一次方程式的圖形分類：二元一次方程 式ax+ by= c 的圖形可分下列幾種

u 當a≠ 0，b≠ 0 的時候，ax+ by= c 的圖形為一條斜直線。

u 當a= 0，b≠ 0 的時候，by= c 的圖 形為一條水平線。

u 當a≠ 0，b= 0 的時候，ax = c 的圖 形為一條鉛垂線。

【說明】y=5 的作圖

【說明】x=3 的作圖

範 例 講 解

Ex3.

(1).下列哪一個點在二元一次方程式 x－2y

＝3 的圖形上？ (Ａ)（0，3

2）(Ｂ)

（3，0）(Ｃ)（1，－2）(Ｄ)（2，

1）。

(2).下列哪一條線通過點（4，－3）？

(Ａ) x－y＝－7 (Ｂ) 3x＋y＝9 (Ｃ) x

＋2y＝5 (Ｄ) 7x－3y＝39。

Hw3.

(1).哪一個點在 x＋5y＝1 上？ (Ａ)（－

4，－1）(Ｂ)（－3，－2）(Ｃ)（1，

5）(Ｄ)（11，－2）。

(2).（－2，6）、（－4，－2）、（8，－

2）、（0，－2）、（－2，－4）五點 中有幾個點在 x＝－2 上？ (Ａ) 1 (Ｂ) 2 (Ｃ) 3 (Ｄ) 4。

Ex4.

(1). P（－1，－2）在直線 3x＋5y＝c 上，

則 c＝？

(2). 點（m，n）在直線 3x－5y＝7 上，則 9m－15n＝？

(3). 2x＋5y＋k＋4＝0 的圖形通過原點，則 k＝？

Hw4.

(1). P（－4，3）在 kx－y＝5 上，則 k

＝？

(2).點 Q（4k，2k－4）在直線 4x－y＝5 上，則 k＝？

(3).5x－8y＋（m－4）＝0 通過原點，則 m²＝？

3

(4).（4，a）、（－2，b）在直線 2x－3y

＝0 上，則（b，a）在第幾象限？

(4).已知（2，a），（3，－b）皆在 y＝x

＋2 的直線上，則： a＝？b＝？

Ex5.在坐標平面上，畫出下列方程式的圖形：

(1).3x＝9 (2).4y=5

(3).2x＋3y＝0 (4).2x＋5y＝10 (5).5x－4y=20

Hw5.在坐標平面上，畫出下列方程式的圖形：

(1).y=-2 (2).3y=6 (3).2y－x＝0 (4).2x－5y＝10 (5).3x－2y=6

Ex6.

(1).畫出 3x＋8y＝48 的圖形，並標示出與 兩軸的交點。

(2).請問3x＋8y＝48 的圖形通過那些象 限？

Hw6.

(1).畫出 4x－5y＝20 的圖形，並標示出與 兩軸的交點。

(2).請問 4x－5y＝20 的圖形通過那些象 限？

Ex7.

(1).直線方程式 2x－3y＝6 的圖形交 x 軸於 A 點，交 y 軸於 B 點。求 A點、B 點的 坐標。若原點為 O，則三角形 AOB 的 面積為何？

(2).如圖，直線 y＝

6x＋8 交 y 軸 於 P 點且 PQ ＝

12，則△PQR 的面積＝？

(3). 8x＋my＝24 與兩軸所圍成的三角形面 積 24 平方單位，則 m＝？

Hw7.

(1).3x＋4y＝24 與 x 軸交於 P 點，交 y 軸 於 Q 點，O 是原點，則△OPQ 的面積

＝？

(2).如圖 L：3x＋5y＝－

6，求△ABC 的面 積？

(3).設 a＜0，且直線 ax

＋2y＝6 的圖形與兩軸所圍成的三角形 面積 10，則 a＝？

Ex8.

(1).如圖的直線 L 是 ax＋

y＝3 的圖形，下列敘 述何者正確？ (Ａ) a

＝3 (Ｂ) a＝0 (Ｃ) a 為負數(Ｄ) a 為正 數。

(2).若 ab≠0 且 ax－

Hw8.

(1). k＞0，則 5x＋y＋k＝0 的圖形通過哪 些象限？

(2). mn≠0，mx＋ny＝mn 所表示的圖形 不通過第三象限，則（m＋n，mn）在 第幾象限？

(3). ab＜0 且｜a｜＝－a，則直線 bx＋ay

＝ab 不通過第幾象限？

4

a

by＝1 的圖形如圖，則（a－b，ab）在 第幾象限？

(3).若 mn≠0 且直線 x m＋y

n＝1 不通過第一 象限，則（m，n）在第幾象限？

Ex9.直線 x r＋

y

s＝1 交 x 軸於（－4，0）、y 軸 於（0，－8），則 r＝？s＝？

Hw9.直線 x r＋

y

s＝1 交 x 軸於（3，0）、y 軸於

（0，－2），則 r＝？s＝？

3 直線方程式

n 直線方程式的標準式: 直線方程式的標準式 為y= ax+ b。

n 直線方程式的求法:如果直線通過(x₁,y₁)及 (x₁,y₁)兩點，將這兩點代入標準式

y= ax+ b 中，再聯立求出 a、b 的值，就 可以求出直線方程式。

n 水平線的直線方程式: 水平線的直線方程式 為y= k，k 為水平線通過的 y 軸坐標。

n 鉛垂線的直線方程式: 鉛垂線的直線方程式 為x= h，h 為鉛垂線通過的 x 軸坐標。

【說明】如果直線通過(1,3)、(2,5) 兩點，將 (1,3)、(2,5)代入 y=ax+b 中得聯立方 程式



3＝a＋b 5＝2a+b 解聯立方程式得 a=2，b=1

所以直線方程式為y=2x+1

【說明】如果一直線平行x 軸且通過(1,3)，則 直線方程式為y=3。

【說明】如果一直線垂直x 軸且通過(1,3)，則 直線方程式為x=1。

範 例 講 解

Ex10.

(1).寫出通過（－5，2）且平行於 x 軸的直 線方程式。

(2).寫出通過（－12，2）且垂直於 y 軸的 直線方程式。

(3).寫出通過（－3，2）和（－3，1）兩點 的直線方程式。

(4).直線 L 平行 x 軸且與 x 軸的距離是 6，

求 L 的方程式。

Hw10.

(1).寫出通過（－7，8）且平行 y 軸的直線 方程式。

(2).寫出垂直 y 軸且通過（－4，5）的直線 方程式。

(3).寫出通過（－4，3）、（－4，5）的直 線方程式。

(4).直線 L 平行 y 軸且與 y 軸的距離是 5，

求 L 的方程式。

5

Ex11.

(1).如果直線方程式 y＝ax＋b 的圖形通過

（1，－1）和（2，2）兩點，求 a 和 b。

(2).求通過 A（3，－2），B（5，4）的直 線方程式，與 x 軸的交點。

(3).P（2，－4）、B（12，3）、C（4，

k），已知 A、B、C 三點在同一直線 上，則 k＝？

Hw11.

(1).求過（1，－5），（2，－7）兩點的直 線方程式。

(2).直線 L 通過（4，3）、（2，1）兩點，

求 L 與 x 軸的交點坐標。

(3). A（－4，3）、B（－6，2）、C（k－

3，5）在同一條直線上，則 k＝？

Ex12.

(1).若一次函數 y＝ax＋b 的圖形通過（1，

－1）、（2，－2）、（3，k），求 k

＝？

(2).二元一次方程式通過（3，－4），

（2，－5）兩點，求此直線與兩軸所圍 成的三角形面積？

Hw12.

(1). y＝ax＋b 通過（－1，5）、（－3，

－2），則 a＋b＝？

(2).二元一次方程式通過（3，4），（－

1，－2）兩點，求此直線與兩軸所圍 成的三角形面積？

Ex13.如圖，試回答下列問題：

(1).求直線 L 的方 程式？

(2). PQ y⊥ 軸，則 P 點坐標為何？

(3).求 OPB△ 面積？

Hw13.如圖，直線 L 通過 A、B、P 三點且 ¯¯PQ平行 於x 軸，求：

(1).求直線 L 的 方程式？

(2).P 的坐標。

(3).四邊形 PQOB 的面積。

Ex14.凱恩颱風中心點上午 9：00 位置在（3，

0），上午 10：00 中心點位置在（5，－

4），已知颱風等速行走且路徑符合直線方 程式，則：

(1).求此直線方程式？

(2).求下午 3：00 颱風中心點位置？

(3).臺北位置在（35，－40），颱風中心會 通過臺北嗎？

Hw14.賀伯颱風中心點上午 7：00 位置在

（3，-1），上午 9：00 中心點位置在（- 2，1），已知颱風等速行走且路徑符合 直線方程式，則：

(1).求此直線方程式？

(2).求下午 1：00 颱風中心點位置？

(3).約拿市位置在（-7，3），則颱風中心會 通過約拿市嗎？

Ex15.第二次段考數學成績低落，老師利用方程 式y＝ax＋b 來提高全班的段考成績，方

Hw15.有一特殊溫度計，刻有巴氏與哈氏兩種度 數，當巴氏0 度時，哈氏為 32 度；當巴

6

a

法是原本考 x 分調整後分數為 y 分，小芬 原本考 85 分，提高後變成 100 分，大寶 原本考 51 分提高後成為 64 分，則：

(1).浩庭原本考 68 分提高後成為多少分？

(2).宜涵提高後分數是 46 分，宜涵原本考 幾分？

氏25 度時，哈氏為 77 度。請回答下列 問題：

(1).如果巴氏 30 度，求哈氏是多少度？

(2).如果哈氏 23 度，求巴氏是多少度？

(3).幾度時巴氏和哈氏度數會相等？

4 聯立方程式的圖形

n 二元一次聯立方程式的圖形: 二元一次聯立 方程式可視為兩個直線方程式，它的圖形就 是兩條直線。

n 二元一次聯立方程式的作圖:分別畫出兩個 直線方程式的圖形，就是二元一次聯立方程 式的圖形。

※ 兩條直線的交點就是二元一次聯立方程 式的解。

【說明】求作



x＋y＝1

x－y＝1的圖形。

先繪製直線方程式x＋y＝1 的圖形 x 0 1

y 1 0

先繪製直線方程式x－y＝1 的圖形 x 0 1

y -1 0

n 二元一次聯立方程式的圖形關係

u 當聯立方程式有一個解時兩直線交於一 點。

u 當聯立方程式無解時兩直線互相平行。

u 當聯立方程式有無限多解時兩直線重 合。

【說明】x＋y＝1

x－y＝1有一組解，兩直線交於(0,1)

【說明】x＋y＝1

x＋y＝3沒有解，兩直線互相平行

7

【說明】x＋y＝1

2x＋2y＝2有無限多解，兩直線重合 在一起。

範 例 講 解

Ex16.

(1).求過（1，2）且和 x 軸平行的直線方 程式。

(2).求過（－2，－4）且和 y 軸平行的直 線方程式。

(3).求(１)和(２)兩條直線交點的坐標。

Hw16.

(1).直線方程式 y＝4x＋5 的圖形和過

（1，0）的鉛直線相交於一點，求此 點的坐標。

(2).直線方程式 y＝4x＋5 的圖形和過

（0，－3）的水平線相交於一點，求 此點的坐標。

Ex17.

(1).在同一坐標平面上畫出下列聯立二元一 次方程式3x＋y＝2

－2x＋y＝2的圖形，並求其交 點的坐標。

(2).圖示



5x－3y＝15

3x＋2y＝12的圖形，並說明兩直 線關係。

Hw17.

(1).圖示



x＋2y＝7

2x＋y＝8的圖形，並求其交點的 坐標。

(2).圖示二元一次聯立方程式



4x＋y＝8

2x－y＝－2，並說明兩直線的關係。

(3).以圖示表解二元一次聯立方程式

8

(3).圖示二元一次聯立方程式



2x＋y＝4 2x＋y＝6，

並說明兩直線的關係。

(4).圖示二元一次聯立方程式



x－y＝3

6x－6y＝18，並寫出有多少個交點？



5x＋5y＝15

3x＋3y＝12，並說明兩直線的關係。

(4).圖示二元一次聯立方程式



7x－3y＝1 14x－6y＝2 在直角坐標平面上的圖形有多少個交 點？

Ex18.

(1).何者的圖形是相交於一點的兩直線？

(Ａ) 3x＋y＝8

3x＋y＝6 (Ｂ) _^

7x－y＝1

5x＋3y＝3 (Ｃ)



6x＋3y＝15

12x＋6y＝30 (Ｄ) _^

7x＋15y＝1 14x＋30y＝2。

(2).何者的圖形是兩平行直線？ (Ａ)



x＋3y＝10

2x＋6y＝2 (Ｂ) _^

6x－y＝1 3x＋y＝3 (Ｃ)



6x＋5y＝7

12x＋10y＝14 (Ｄ) _^

12x－3y＝3 4x＋y＝5 。

(3).5x＋3y＝4

20x＋ky＝16 的圖形是兩重合直線，

則 k＝？

(4).6x＋ay＝3

3x＋7y＝5表示兩平行線，a＝？

Hw18.

(1).何者的圖形是相交於一點的兩直線？

(Ａ) 2x＋y＝8

2x＋y＝6 (Ｂ) _^

4x－3y＝5 5x＋2y＝3 (Ｃ)



x＋2y＝5

2x＋4y＝10 (Ｄ) _^

10x＋15y＝25 4x＋6y＝10 。 (2).下列何者的圖形是不相交的兩直線？

(Ａ) x－5y＝－4 x－5y＝－6 (Ｂ)



20x＋30y＝50 2x＋3y＝5 (Ｃ)



6x＋5y＝5 4x＋3y＝10 (Ｄ) 7x＋3y＝1

6x＋7y＝2。

(3).7x＋3y＝5

mx＋6y＝10是兩重合直線，則 m＝？

(4).7x－12y＝8 與 mx－6y＝5，兩直線沒 有任何交點，則 m＝？

Ex19.

(1).mx＋4y＝5 與 5x－ny＝－6，若（－

3，－2）在此二直線上，求 m＝？n

＝？

(2).kx－5y＝1，6x－my＝8 的交點在 y 軸 上，求：交點坐標？

(3).若直線 4x＋ky＝16 與直線 13x＋y＋4

＝0 交點是（m，9），則 m＝？k＝？

Hw19.

(1).直線 L：mx＋5y＝4，直線 M：x＋ny

＝5，L、M 交於（1，－4），則（m

＋n，m－n）在第幾象限？

(2).直線 L：4x－ay＝－8，直線 M：kx－

4y＝12，L、M 交於 y 軸上，則 a

＝？，L、M 的交點坐標為何？

(3).坐標平面上 L1：5x＋y＝26，L2：kx－

y＝18，若（2，m）在 L1 上並在 L2

上。求 k＝？m＝？畫出 mx＋ky＝

272 的圖形？

Ex20.如圖，已知 ABCD 是正方形，求：

(1).C、D 坐標為何？

Hw20.求 x＝3、y＝5、x＝－5、y＝－4 四條直 線所圍成的區域面積為多少平方單位？

9

(2).通過 AB 的直線方 程式？

(3).通過 AD 的直線方 程式？

Ex21.直線 y＝3x＋k 與直線 x＝4，直線 y＝－x

＋3，三直線有共同的交點 P，則：

(1). P 坐標是【 】。

(2). k＝？

Hw21.若直線 3x－2y＝5 通過 kx－y＝8，4x＋

3y＝1 的交點，則 k＝？

Ex22.如圖 PQ ⊥y 軸且

PQ ＝1，求：

(1).P 點坐標？

(2).k＝？

Hw22.如圖 PQ ⊥x 軸且 PQ ＝ 5，求：

(1).P 點坐標？

(2).k＝？