2-1 直 線 方 程 式 及 其 圖 形

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2-1 直 線 方 程 式 及 其 圖 形

1. 試問下列哪一條直線的斜率大於 0？

(1)

L 通過₁ (3, 2)

﹐

(5, 7)

(2)

L 通過₂ (2, 1)

﹐

( 1, 5)

(3)

L 通過₃ (1, 2)

﹐

(3, 2)

(4)

L 通過₄ (3, 2)

﹐

(3, 5)

﹒ 解：

(1)L 的斜率_{1 1} 7 2 5

5 3 2 m   

 ﹒ (2)L 的斜率_{2 2} 5 1 4 1 2 3 m    

  ﹒ (3)L 的斜率_{3 3} 2 2

3 1 0 m   

 ﹒ (4)L 的斜率不存在﹒故選(1)﹒ ₄

2. 如右圖﹐設直線 OA ﹐直線 OB ﹐直線 OC ﹐直線 OD 的斜率分別為

m ﹐₁ m ﹐₂ m ﹐₃ m ﹐試問₄ m ﹐₁ m ﹐₂

m ﹐3 m 的值何者最小？ ₄

(1)

m (2)₁ m (3)₂ m (4)₃ m ﹒ ₄

解：

₁ ¹

m  ﹐2 m₂  ﹐1 m₃  ﹐1 ₄ 1 m   ﹐ 2 得m₂m₁m₄m₃﹐故選(3)﹒

3. 下列方程組中﹐何者方程組無解？

(1) 2 4

3 7

x y x y

 

   

 (2) 5 4 7 3 7 11

x y x y

 

   

 (3) 2 3 1 4 6 5

x y x y

 

   

 (4) 2 3 1 4 6 2

x y x y

 

   

 ﹒

解：

(1)1 2

3 ﹐方程組有唯一解﹒ (2)1 5 4

3 ﹐方程組有唯一解﹒ 7 (3)2 3 1

4  ﹐方程組無解﹒ (4)6 5 2 3 1

4  ﹐方程組有無窮多解﹒故選(3)﹒ 6 2

4. 試求下列直線方程式：

(1)通過

A(3, 1)

﹐斜率為

³

4

﹒ (2)通過

A(3, 1)

﹐斜率為

³

2

﹒

2 解：

(1)方程式 3

1 ( 3)

y 4 x ﹐整理得 3x4y  ﹒ 5 0 (2)方程式 3

1 ( 3)

y  2 x ﹐整理得 3x2y  ﹒ 11 0

5. 試求下列直線方程式：

(1)斜率為

²

3

﹐

y

截距為 1﹒ (2)斜率為

⁵

3

﹐

y

截距為

2

﹒ 解：

(1)方程式 2

3 1

y x ﹐得 2x3y  ﹒ 3 0

(2)方程式 5 3 2

y  x ﹐得 5x3y  ﹒ 6 0

6. 試求下列直線方程式：

(1)

x 截距為 3﹐y

截距為 5﹒ (2) x 截距為 3  ﹐

y

截距為 5  ﹒ 解：

(1)方程式 1

3 5

x  ﹐即 5y x3y15 ﹒ 0

(2)方程式 1

3 5 x  y 

  ﹐即 5x3y15 ﹒ 0

1. 設

L

：

x2y 7 0

﹐

(1)通過

(3, 1)

且與

L

平行的直線﹒ (2)通過

(3, 1)

且與

L

垂直的直線﹒

解：

(1)直線的方程式為x2y  ﹒ 5 0 (2)直線的方程式為 2x   ﹒ y 5 0

2. 已知平行四邊形的兩邊在

x3y0

與

x3y0

上面﹐一頂點為

(4, 3)

﹐試求 另外兩邊所在直線的方程式﹒

解：

與x3y 平行的直線為0 x3y13 ﹐ 0 與x3y 平行的直線為0 x3y  ﹒ 5 0

3. 已知 

ABC

中﹐

A(2, 1)

﹐

B(6, 5)

﹐

C(3, 8)

﹐試求：

(1)直線

AB

的方程式﹒ (2)

AB

邊上的高﹐所在直線的方程式﹒

3 解：

(1)直線 AB 的斜率為 1﹐得直線 AB 的方程式為x   ﹒ y 1 0

(2)高所在的直線斜率為 1 ﹐通過 (3, 8) ﹐ 得直線方程式為x   ﹒ y 11 0

4. 如右圖﹐若三角形 ABC 中﹐直線

AB

﹐直線 BC ﹐直線 CA 的 斜率分別為

m ﹐₁ m ﹐₂ m ﹐請比較₃ m ﹐₁ m ﹐₂ m 的大小﹒ ₃

解：

m₁ ﹐0 m₂ ﹐0 m₃  ﹐得0 m₃m₁m₂﹒

5. 右圖為兩直線

L ：₁ xay 1 0

﹐

L ：₂ x by  1 0

的圖形﹐

(1)試判別

a ﹐ b 的正負﹒(2)試判別 a ﹐ b 的大小﹒

解：

L ﹐₁ L 的斜率分別為₂ 1 a﹐1

b﹐ (1)1

a ﹐0 1

b ﹐得0 a ﹐0 b ﹒ 0 (2)1 1

a  ﹐得 b ab 0  ﹒

6. 右圖四邊形中﹐已知 OB 

OD

﹐且直線

AB

﹐直線 BC ﹐直 線 CD ﹐直線

DA

的斜率分別為

m ﹐₁ m ﹐₂ m ﹐₃ m ﹐ ₄

(1)比較

m ﹐₁ m ﹐₂ m ﹐₃ m 的大小﹒ ₄

(2)判別

m₁



m₂

的正負﹒

解：

(1)m₃m₁m₄m₂﹒(2)m₁m₂ ﹒ 0

7. 有一直角三角形三邊的斜率分別為

m ﹐₁ m ﹐₂ m ﹐且₃ m₁



m₂



m₃

﹐ (1)試判別

m 的正負﹒ (2)試判別₁ m 的正負﹒ ₃

解：

直角三角形中﹐其中直角兩邊的斜率乘積為 1 ﹐且可知必為一正一負﹒

(1)至少有一正數﹐知m₁ ﹒ 0 (2)至少有一負數﹐知m₃ ﹒ 0

8. 右圖為三直線

x  y 1 0

﹐

2x  y 2 0

與

x3y 1 0

的圖形﹐

(1)試判別

L 的方程式﹒(2)試判別₂ L 的方程式﹒ ₃

解：

(1)L 的斜率為負﹐得₂ L ： 2₂ x   ﹒ y 2 0

(2)L 的斜率小於₃ L 的斜率﹐得₁ L ：₃ x3y  ﹒ 1 0

4 9. 三直線

L ：₁ x  y 1 0

﹐

L ：₂ x3y 1 0

﹐

L ：₃ ax  y 3 0

﹐

(1)若三直線相交於同一點

P

﹐試求 a 值﹒

(2)若三直線圍成一直角三角形﹐試求

a 值﹒

解：

(1)L 與₁ L 交於₂ P(2, 1)﹐代入L 得 2₃ a  ﹐故4 0 a ﹒ 2 (2)m₁ ﹐1 ₂ 1

m  ﹐3 m₃ ﹐ a

1 3 1

m．m   或m₂．m₃ 1﹐得a  或1 a  ﹐ 3 而三直線相交於同一點時a ﹐ 2

知所求 a 值為a  或1 a  ﹒ 3

1. 將一張畫有平面坐標系的紙摺疊一次﹐發現點

A(2, 0)

對到點

B(0, 4)

﹐試求點

(4, 6)

P

所對到的點

Q

的坐標﹒（8 分）

解：

因 AB 的中垂線 L ：x2y  是坐標平面上的摺線﹐ 3 0 故自點 (4, 6)P 作 L 的對稱點為 (6, 2)Q ﹒

2. 某民宿共有三棟﹐

B

棟在

A

棟東方 120 公尺﹐而 C 棟在

A

棟北方 50 公尺﹐

有間咖啡廳到三棟都一樣遠﹐試求咖啡廳到

A

棟的距離﹒（8 分）

解：

咖啡廳 P 在ABC的外心﹐即 BC 的中點﹐

由 1

2 65

APBPCP BC （公尺）﹒

3. 圖書館前的階梯共有 23 階﹐如果甲每次都跨 2 階或 3 階﹐已知甲一共移動 10 次時剛好走完這 23 階﹐試問甲共走了幾次的一次 3 階？（9 分）

解：

設一次 2 階有 x 次﹐一次 3 階有 y 次﹐

則 10

2 3 23 x y

x y

  

  

 ﹐得 7

3 x y

 

 

知共走了 3 次的一次 3 階﹒