2-1 直線方程式及其圖形

(1)

2-1 直線方程式及其圖形

1. ^{A a}



^{, 3 ,}

   

^B ^{1 , 1 ,} ^C ^{ }^{2 , 1}



^{為平面上三點﹐}

(1)若 A﹐B﹐C 三點共線﹐求 a 之值﹒ (2)若AB BC﹐求 a 之值﹒

(1)BC所在的直線方程式為 2x3y  ﹐ 1 , ,

A B C 三點共線﹐故2a   3 3 1﹐得a4﹒ (2)BC斜率為 1 1 2

2 1 3

  

  ﹐ AB 斜率為1 3 1 a



 ﹐ ABBC﹐故 1 3 2

1 a 3 1

     

   

   ﹐得 1 a  ﹒ 3

2. 右圖為三直線x   ﹐2y 1 0 x   與y 2 0 x3y 1 0 的圖形﹐

(1)試判別L 的方程式﹒ (2)試判別₂ L 的方程式﹒ ₃ (1)L₂的斜率為負﹐得L₂: 2x  y 2 0﹒

(2)L 的斜率小於₃ L₁的斜率﹐得L₃:x3y 1 0﹒

(2)

3. 求下列直線方程式﹕

(1)過



^^{3 , 5}

 

^與 ^{6 , 1}^



兩點的直線﹒ (2)過



^^{3 , 5}



﹐斜率為 2 的直線﹒

(3)x 截距為 3﹐y 截距為5 的直線﹒ (4)通過



^^{3 , 5}



^且平行3^x^{  的直線﹒}^y ¹

(1)過



^^{3 , 5}

 

^與 ^{6 , 1}^



^{兩點的直線為}



⁵



^{1 5}

    

³



6 3

y    x 

  ﹐

整理得 2x3y ﹒ 9

(2)由點斜式﹕^y^{ }⁵ ²



^x^{ }

 

³



^{﹐整理得 2}^x^{   ﹒}^y ¹¹

(3)由截距式﹕ 1 3 5 x y

 

 ﹐整理得 5x3y15﹒

(4)設平行 3x  的直線為 3x y ky 1   ﹐通過



^^{3 , 5}



^﹐故^k ^{ }⁴^﹐

得直線為 3x   ﹒ y 4

4. 求通過點



^{2 , 3}



﹐且兩軸截距相等的直線方程式﹒

設 x 截距與 y 截距都為 a﹐

若a0﹐則直線過



^{2 , 3}



^與



^{0 , 0}



^{﹐方程式為} ³

y 2x﹐即 3x2y ﹒ 0 若a0﹐可設直線為 x y 1

a  ﹐又直線過點a



^{2 , 3}



^﹐

則2 3

1 a 5

a a   ﹐方程式為 1 5 5 x y

  ﹐即x  ﹐ y 5 故所求直線方程式為x y 5及3x2y0﹒

5. 設^A

  

^{1 ,}^a ^, ^B ^^{3 , 4}



^{兩點對稱於直線 y}^^{ax b}^{ ﹐求數對}



^{a b}^,



^﹒

A 與 B 對稱於直線﹐即直線是 AB 的中垂線﹒

AB 垂直該直線﹐即 AB 的斜率 4 1 3 1

a a

  

  ﹐得a2﹐ AB 的中點



^^{1, 3}



^{在直線上﹐即}³^{  }² ^b^﹐得^b^⁵^﹒

故



^{a b}^,

 

^ ^{2 , 5}



^﹒

(3)

6. 設^A



^{6 , 7 ,}

 

^B ^^{1 , 8 ,}

 

^C ^{2 , 9}



^﹐求

(1)△ABC 的外心坐標﹒ (2)△ABC 的垂心坐標﹒

AB 的中點 5 15 2, 2 M 

 

 ﹐AC的中點^N



^{4 , 8}



^﹐

AB 的斜率為 1

 ﹐7 AC的斜率為 1

 ﹒ 2 (1)外心為三中垂線交點﹐

AB 的中垂線﹕7x y 10﹐ AC的中垂線﹕ 2x  ﹐ y 0 聯立解得外心為



^{2 , 4}



^﹒

(2)垂心為三高交點﹐

過 C 且垂直 AB 的直線﹕ 7x  ﹐ y 5 過 B 且垂直 AC的直線﹕ 2x   ﹐ y 10 聯立解得垂心為



^{3 , 16}



^﹒

7. 若三直線L x₁: 3y 1 0, L₂:x  y 3 0, L₃: 2xky  不能圍成三角1 0 形﹐則 k 的值可能為多少？

三直線不能圍成三角形的情形為彼此平行或三線共點﹐

(1)若L₁, L₂, L 共點﹐ ₃ 解 3 1 0

3 0 x y

x y

  

   

 得x 2, y ﹒ 1

代入 2xky  得1 0    4 k 1 0﹐即k 3﹒ (2)若L₁//L ﹐則₃ 1 2

3 k

   ﹐故k6﹒

(3)若L₂//L ﹐則₃ 1 2 1 k

  

 ﹐故k  2﹒ 故 k 的值可能為3, 6或 2 ﹒

(4)

8. ^A



^^{1 , 2 ,}

 

^B ^{7 , 2}



﹐設點 P 在 x 軸上﹐且PAPB為最小﹐求 (1)P 點坐標﹒ (2)PAPB的最小值﹒

(1)設 A 與 A' 對稱於 x 軸﹐則^A'



^{ }^{1 ,} ²



^﹐

則 P 為 A'B 與 x 軸的交點﹐得^P



^{3 , 0}



^﹒

(2)PAPBPA'PB A'B4 5﹒

9. 兩直線L₁:tx2y3t0﹐L₂:



³^^{t x}

 

^{ }^t ¹



^y^{ }³ ⁰^﹐

(1)若兩直線重合﹐求 t 的值﹒ (2)若兩直線平行﹐求 t 的值﹒

2 2

6 0 3

3 1

t t t t

t t       

  或 2﹐

2 3 2

2 0 1

1 3

t t t t

t        

 或 2﹐

(1)兩直線重合 2 3

3 1 3

t t

  

  ﹐故 t =2﹒

(2)兩直線平行 2 3

3 1 3

t t

  

  ﹐故 t =3﹒

10. 將一張畫有平面坐標系的紙摺疊一次﹐發現點 ^A



^{2 , 0}



^對到點^B



^{0 , 4}



^﹐

試問點^P



^{4 , 6}



所對到的點 Q 的坐標﹒

AB 的中垂線 L 即是坐標平面上的摺線﹒

先求 AB 的中垂線 L ﹕ 因為 AB 的斜率為4 0 0 2 2

  

 ﹐中點 ^{2 0 0 4}^,



^{1 , 2}



2 2

 

  

 

  ﹐

故 ^: ² ¹



¹



L y 2 x ﹐即 :L x2y  ﹒ 3 0

L 也是 PQ 的中垂線﹐過 P 且垂直 L 的直線為2x y 14﹐ 聯立 2 3 0

2 14 0 x y

x y

  

   

 ﹐解得 PQ 中點為



^{5 , 4}



^﹒

設點 P 對於直線 L 的對稱點為^{Q x y}



^,



^﹐

PQ 的中點 ⁴ ^,⁶



^{5 , 4}



2 2

x y

 

  

 

  ﹐得x6, y ﹐ 2 故點^P



^{4 , 6}



^{的對稱點為}^Q



^{6 , 2}



^﹒

(5)

2-2 線性規劃

1. 圖解下列各不等式﹕

(1) 2x3y ﹒ (2)6  x 2y ﹒ 2 (1)因為不等式 2x3y 沒有等號﹐ 6

所以我們將直線 : 2L x3y 以虛線表示﹒ 6 將



^{0 , 0}



^{代入 2}^x^³^y^得^{3 0 2 0}^{    }⁰ ⁶^﹐

因此 2x3y 的解為不包含6



^{0 , 0}



^{的半平面﹒}

如下圖所示﹕

(2)先畫出直線L: x 2y ﹒ 2

將



^{0 , 0}



^代入^{ }^x ²^y^得

 

     ¹ ^{0 2 0} ⁰ ²﹐

因此 x 2y 的解為不包含2



^{0 , 0}



的半平面與直線 L ﹒ 如下圖所示﹕

(6)

2. 圖解下列各二元一次聯立不等式﹕

(1) 2 0 x y x y

  

  

 ﹒ (2) 2 2 2 2 x y x y

 

   

 ﹒

(1)先畫出直線x  及y 2 x  ﹒ y 0 因為將

 

^{1 , 0} 代入兩個不等式皆滿足﹐

所以聯立不等式 2

0 x y x y

  

  

 的解如下圖所示﹕

(2)先畫出直線x2y 及2 x2y  ﹒ 2 因為將



^{0 , 0}



代入兩個不等式皆滿足﹐

所以聯立不等式 2 2 2 2 x y x y

 

   

 的解如下圖所示﹕

(7)

3. 設^A



^{0 , 0}



^與^{B k}



^{, 3}



^{﹒已知直線 : 3}^L ^x^⁴^y  與線段 AB 相交﹐求實數⁶ k 的範圍﹒

直線 : 3L x4y  將坐標平面分成兩個半平面﹐ 6 一個為 3x4y  ﹐另一個為 36 x4y  ﹒ 6 因為將^A



^{0 , 0}



^{代入 3}^x^⁴^y^{得到 0﹐}

所以^A



^{0 , 0}



^{在 3}^x^⁴^y  這個半平面上﹒ ⁶ 又因為直線 : 3L x4y  與線段 AB 相交﹐ 6 因此﹐^{B k}



^{, 3}



^{不在半平面 3}^x^⁴^y^{  上﹐}⁶

即^{B k}



^{, 3}



^{滿足 3}^x^⁴^y^{  ﹒}⁶

故將^{B k}



^{, 3}



^{代入 3}^x^⁴^y^{  得}⁶ ³^k^¹²^{ }⁶^﹐解得^k^²^﹒

本題亦可由圖觀察得k2﹒

4. 寫出聯立不等式﹐使其圖形為圖中的四邊形區域（含邊界）﹒

求出過點



^{0 , 2}



^與



^{2 , 3}



^{的直線方程式為}^x^²^y^{  ﹐}⁴

過點



^{2 , 3}



^與



^{3 , 0}



^{的直線方程式為 3}^x^{  ﹒}^y ⁹

因為點



^{0 , 0}



^{在四邊形區域內﹐}

所以將點



^{0 , 0}



^代入^x^²^y^{及 3x y}^{ 內分別可得}

0 2 0   4且3 0 0  9﹐

故四邊形區域在x2y  及 34 x  的解區域內﹒ y 9

又因為四邊形區域在x軸的上方﹐ y 軸的右方﹐所以滿足x0﹐ y ﹒ 0

即此四邊形區域為聯立不等式

2 4

3 9

0 0 x y

x y x y

  

  

 

 



所代表的圖形﹒

(8)

5. 圖示二元一次聯立不等式

2 5 11

2 5 1

2 x y x y x

 

  

  



的解﹐並求在此解區域內有多少

個格子點﹒

圖解二元一次聯立不等式如下圖﹕

由圖可知﹕聯立不等式的解滿足  2 x 3﹐故

(1)當x 1時﹐解區域內有



^^{1 , 0}



^﹐



^^{1 , 1}



^﹐



^^{1 , 2}



﹐共 3 個格子點﹒

(2)當x0時﹐解區域內有



^{0 , 0}



^﹐

 

^{0 , 1} ^﹐



^{0 , 2}



﹐共 3 個格子點﹒

 

^{1 , 1} ^{﹐1 個格子點﹒}



^{2 , 1}



^{﹐1 個格子點﹒}

綜合(1)(2)(3)(4)得共有 8 個格子點﹒

(9)

6. 清新蔬菜攤﹐今早向包鮮有機農場買進蔬菜﹐其總重量不超過 600 公斤﹐

總價錢不高於 21000 元﹒已知買進的蔬菜中含單價為每公斤 40 元的高麗菜﹐和每公斤 30 元的小白菜﹒如果清新高麗菜的售價為每公斤 58 元﹐

小白菜的售價為每公斤 45 元﹐而且所有的蔬菜均能於當天銷售完畢﹔那麼﹐清新應買進高麗菜與小白菜各多少公斤﹐才能有最大的利潤﹖

設清新買進x公斤的高麗菜和 y 公斤的小白菜﹐

其利潤為^P^



^{58 40}^

 

^x^ ^{45 30}^



^y^¹⁸^x^¹⁵^y^元﹒

依題意列式得

600

40 30 21000 0

0 x y

x y

  

  

 

 



﹐整理得

600 4 3 2100

0 0 x y

x y x y

  

  

 

 



﹒

此聯立不等式的解如下圖所示﹕

將



^{525 , 0}



^﹐



^{300 , 300}



^﹐



^{0 , 600}



^代入^P^¹⁸^x^¹⁵^y﹐所得對應的值如表﹕



^{x y}^,

 

^{525 , 0}

 

^{300 , 300}

 

^{0 , 600}



18 15

P x y 9450 9900 9000

因此當清新買進 300 公斤的高麗菜和 300 公斤的小白菜時﹐有最大的利潤 9900 元﹒

(10)

7. 某汽車公司有兩家裝配廠﹐生產甲﹑乙兩種不同型的汽車﹒若 A 廠每小 時可完成 1 輛甲型車與 2 輛乙型車﹔ B 廠每小時可完成 3 輛甲型車與 1 輛乙型車﹐今欲製造 30 輛甲型車﹑30 輛乙型車﹒問﹕這兩家裝配廠各工作幾小時﹐才能使所費的總工作時數最少﹖

設 A 廠工作x小時﹐ B 廠工作 y 小時﹐其總工作時數為 P  小時﹒ x y

A 廠 B 廠 限制

甲型 1 輛 3 輛 30 輛乙型 2 輛 1 輛 30 輛

依題意列式得

3 30 2 30

0 0 x y

x y x y

 

  

 

 



﹐

將



^{0 , 30}



^﹐



^{12 , 6}



^﹐



^{30 , 0}



^{代入 P}  ﹐所得對應的值如表﹕ ^x ^y



^{x y}^,

 

^{0 , 30}

 

^{12 , 6}

 

^{30 , 0}



P  x y 30 18 30

因此當 A 廠工作 12 小時﹐ B 廠工作 6 小時﹐其總工作時數最少為 18 小 時﹒

(11)

8. 安華帶了 60 元上市場買柳丁和葡萄柚﹒如果柳丁每個 6 元﹐葡萄柚每個 10 元﹐安華購買柳丁的個數至少是葡萄柚個數的 2 倍﹐且柳丁與葡萄柚至少各買一個﹐那麼安華有多少種購買的方法﹖

設安華購買柳丁x個﹐葡萄柚 y 個﹒

依題意列式得 2

6 10 60 1

1 x y

x y

 

  

 

 



﹐整理得 2

3 5 30 1

1 x y

x y x y

 

  

 

 



﹐

且x﹐ y 均為整數﹒

畫出解區域內的格子點如下圖﹕

共有 10 個格子點﹐因此共有 10 種買法﹒

(12)

9. 某工廠用兩種不同原料均可生產同一產品﹒若採用甲種原料﹐每公噸的材料費 1000 元﹐運費 500 元﹐可得產品 90 公斤﹔若採用乙種原料﹐每公噸的材料費 1500 元﹐運費 400 元﹐可得產品 100 公斤﹒今工廠每天預算為總材料費不得超過 6000 元﹐總運費不得超過 2000 元﹒問﹕此工廠每天最多可生產幾公斤的產品﹖

設此工廠每天採用甲種原料x公噸﹐乙種原料 y 公噸﹐

每天可生產P90x100y公斤的產品﹒

甲種乙種限制材料費 1000 元 1500 元 6000 元

運費 500 元 400 元 2000 元

依題意列式得

1000 1500 6000 500 400 2000

0 0

x y

 

  

 

 



﹐整理得

2 3 12 5 4 20

0 0 x y x y x y

 

  

 

 



﹒

將



^{0 , 4}



^﹐



^{4 , 0}



^﹐ ^{12 20}^,

7 7

 

 

 代入P90x100y﹐ 所得對應的值如表﹕



^{x y}^,

 

^{0 , 4}

 

^{4 , 0}



^{12 20}^,

7 7

 

 

 

90 100

P x y 400 360 440 因此當工廠使用甲種原料12

7 公噸﹐乙種原料 20

7 公噸時﹐

可得最多的產品 440 公斤﹒

(13)

10. 某農夫有一塊菜圃﹐至少須施氮肥 5 公斤﹑磷肥 4 公斤及鉀肥 7 公斤﹒

已知農會出售甲﹑乙兩種肥料﹐甲種肥料每公斤 20 元﹐其中含氮 20%﹐

磷 10%﹐鉀 20%﹔乙種肥料每公斤 25 元﹐其中含氮 10%﹐磷 20%﹐鉀 20 %﹒問他須向農會購買甲﹑乙兩種肥料各多少公斤加以混合施肥﹐才能使花費最少﹐而且又有足夠分量的氮﹑磷與鉀肥﹖

設農夫購買甲種肥料x公斤﹐乙種肥料 y 公斤﹐總花費為P20x25y元﹒

甲種乙種限制氮肥 20% 10% 5 公斤磷肥 10% 20% 4 公斤鉀肥 20% 20% 7 公斤每公斤價格 20 元 25 元

依題意列式得

20% 10% 5 10% 20% 4 20% 20% 7

0, 0

x y

   

    

    

  



﹐整理得

2 50 2 40 35 0, 0 x y x y x y

x y

  

  

  

  



﹒

將



^{0 , 50}



^﹐



^{15 , 20}



^﹐



^{30 , 5}



^﹐



^{40 , 0}



代入P20x25y﹐所得對應的值如表﹕



^{x y}^,

 

^{0 , 50}

 

^{15 , 20}

 

^{30 , 5}

 

^{40 , 0}



20 25

P x y 1250 800 725 800

因此當農夫向農會購買甲種肥料 30 公斤﹐乙種肥料 5 公斤時﹐有最少的花費﹐而且有足夠分量的氮﹑磷與鉀肥﹒

(14)

2-3 圓與直線的關係

1. 在坐標平面上﹐^S^:



^x^³

 

²^ ^y^⁴



²  ﹐下列何者正確﹖ ⁵

(1)圖形為一個圓 (2)圖形對稱於x3 (3)圖形對稱於y 4 (4)圖形過原點 (5)圖形所圍的區域面積為5 ﹒

圖形S化成圓的標準式﹕



^x^³

 

²^ ^y^⁴



²^

 

⁵ ²^﹐

圓心為



^{3 , 4}



^{﹐半徑 5 ﹐面積為}⁵^{ ﹒}

原點



^{0 , 0}



^代入﹕



^{0 3}^

 

²^{ }^{0 4}



² ^

 

⁵ ²^{﹐故圖形不過原點﹒}

故選(1)(2)(3)(5)﹒

2. 下列何者的圖形為一圓﹖

(1) x²y²  (2)0



^x^¹

 

²^ ^y^¹



² ^⁶⁴ ⁽³⁾ ^x²^^y²^⁴^x^⁴^y^⁰

(4)x²y²4x4y16 (5)0



^x^¹



^x^{ }³

 

^y^²



^y^⁴



^⁰^﹒

(1)是一個點



^{0 , 0}



^﹒

(2)是圓心



^{1 , 1}^



^{﹐半徑 8 的圓﹒}

將(3)配方得



^x^²

 

²^ ^y^²



²  ﹐其圖形為一圓﹒ ⁸ 將(4)配方得



^x^²

 

²^ ^y^²



²   ﹐其圖形不存在﹒ ⁸ (5)是以



^{1 ,}^²



^﹐



^{3 , 4}



^{為直徑的圓﹒}

故選(2)(3)(5)﹒

(15)

3. 設k為實數﹐方程式C x: ² y²2kx2y2k  ﹐ 4 0

(1)若C表一圓﹐求k的範圍﹒ (2)若C表一點﹐求k的值﹒

將方程式x²y²2kx2y2k  配方得 4 0



^{x k}^

 

²^ ^y^¹



² ^^k²^²^k^{ ﹒}³

(1)C表一圓﹐所以k²2k  ﹐即3 0



^k^³



^k^{ }¹



⁰^﹐^k ^³^或^k^{ }¹^﹒

(2)C表一點﹐所以k²2k  ﹐得3 0 k 3或 1 ﹒

4. 求圓心在直線 2x3y 上且通過兩點5



^{6, 0}



^﹐



^{5, 3}



^{的圓方程式﹒}

設圓心^{M h k}



^,



^﹒

因圓心在直線 2x3y 上﹐所以5 2h3k 5﹒ 又圓通過兩點^A



^{6 , 0}



^﹐^B



^{5 , 3}



^{﹐所以 MA MB}^ ^﹐

即



^h^⁶



²^^k² ^



^h^⁵

 

²^ ^k^³



²^﹐得^h^³^k^¹^﹒

解 2 3 5 3 1 h k h k

 

  

 ﹐得



^{h k}^,

 

^ ^{4, 1}



^﹐

半徑^^MA^



^{4 6}^

 

²^{ }^{1 0}



² ^ ⁵^﹐

故圓方程式為



^x^⁴

 

²^ ^y^¹



²^{ ﹒}⁵

5﹒ 設圓C與x軸相切於



^{3 , 0}



且截 y 軸的弦長為 8﹐求圓C的方程式﹒

圓C與x軸相切於



^{3 , 0}



^{﹐設圓心 M 為}



^{3 , k}



^﹐

則半徑為 k ﹐且圓心 M 到 y 軸的距離為3﹒ 由截 y 軸的弦長為8﹐得

2 2 2

3 4 25

k     k  5﹒

故圓C的方程式為



^x^³

 

²^ ^y^⁵



² ^²⁵^或



^x^³

 

²^ ^y^⁵



² ^²⁵^﹒

(16)

6. 求過點



^^{2 , 1}



且與兩軸都相切的圓方程式﹒

過點



^^{2 , 1}



且與兩軸都相切﹐所求的圓必在第二象限﹒

設圓半徑為 r ﹐因為與兩軸都相切﹐圓心為



^^{r r}^,



^﹐

過點



^^{2 , 1}



^﹐所以



^{  }^r

 

²



²^{ }



^r ¹



² ^^r²^﹐

即r²6r  ﹐得5 0 r 5或 1﹒

故圓方程式為



^x^⁵

 

²^ ^y^⁵



² ^²⁵^或



^x^¹

 

²^ ^y^¹



² ^{ ﹒}¹

7. 下列哪一條直線是圓x²y²  的切線﹖ 4

(1)x2 (2)y  (3)2 x   (4) 3y 2 0 x4y10 ﹒ 0 (1)圓心



^{0 , 0}



至直線距離等於半徑 2﹐所以為切線﹒

(2)圓心



^{0 , 0}



至直線距離等於半徑 2﹐所以為切線﹒

(3)將直線化成y  代入圓方程式﹐得x 2 ^x²^



^x^²



²^{ ﹐}⁴

即x²2x  0 x0或 2 ﹒

有兩實根﹐表直線與圓交於兩點﹐非切線﹒

(4)將直線化成 3 10 4 4

y  x 代入圓方程式﹐得

2

2 3 10

4 4 4

x   x   ﹐ 即¹⁶^x²^



³^x^¹⁰



² ^⁶⁴ ^ ²⁵^x²^⁶⁰^x^³⁶^{ ﹒}⁰

其判別式D60²  4 25 36 ﹐故為切線﹒故選(1)(2)(4)﹒ 0 8. 直線y mx5和圓



^x^³

 

²^ ^y^¹



² ^{ ﹐}⁹

(1)若 L 與圓C相切﹐求m的值﹒

(2)若 L 與圓C相交於兩點﹐求m的範圍﹒

將直線ymx 代入圓方程式﹐得5



^x^³

 

²^ ^mx^{ }^{5 1}



² ^⁹



^x ³

 

² ^mx ⁴



² ⁹

     ^



¹^^m²



^x²^

^

⁸^m^⁶

^

^x^¹⁶^{ ﹐}⁰

判別式^D^



⁸^m^⁶



²^{ }^{4 16}



^m²^{ }¹



^{4 24}

^

^m^⁷

^

^﹐

(1) 若 L 與圓C相切﹐則D0﹐解得 7 m24﹒ (2)若 L 與圓C相交於兩點﹐則D0﹐解得 7

m24﹒

(17)

9. 求通過^P



^^{2 , 3}



^{且與圓 C﹕}



^x^¹

 

²^ ^y^²



²  相切的直線方程式﹒ ² 將



^^{2 , 3}



^{代入得}



^{ }^{2 1}

 

²^{ }^{3 2}



² ^{  所以}²



^^{2 , 3}



^為

圓上一點﹒

設通過^P



^^{2 , 3}



^{的切線為 L﹐圓}^C^的圓心為^M



^^{1 , 2}



^﹒

因為^P



^^{2 , 3}



是切點﹐MP 會垂直 L﹐其與 L 的斜率乘 積為1﹐

又 MP 的斜率為

   

^{  }²^{3 2}^ ¹ ^{ }¹﹐所以切線 L 的斜率為 1﹐

利用點斜式﹐得切線 L 為^y^{ }^{3 1}



^x^{ }

 

²



^﹐整理得^x^{   ﹒}^y ⁵ ⁰

10. 坐標平面上﹐圓 C﹕x²  y²  4x  2y  20  0﹐圓外一點^P



^{2 ,}^⁶



^{﹐過 P}

對圓 C 做切線﹐切點為 A﹐B﹐求過 P﹐A﹐B 三點的圓方程式﹒

圓^C^:



^x^²

 

²^ ^y^¹



² ^{ ﹐圓心}⁵² ^M



^{ }^{2 , 1}



^﹒

由圖可知四邊形 PAMB 之對角互補

（PAM  PBM  90 ）﹐

所以﹐過 P ﹐ A ﹐ B 三點之圓亦過 M 點﹐

且所求圓是以 PM 為直徑之圓﹐

圓心為 PM 中點 ²

 

² ⁶

 

¹ 7

, 0,

2 2 2

        

   

 

  ﹐

半徑 ¹ ¹



²

 

²



²



⁶

 

¹



² ⁴¹

2 2 2

r PM         ﹒

故方程式為

2

2 7 41

2 4

x y   ﹐整理得x²y²7y  ﹒ 2 0