(1)單元 4 複數的幾何意涵 三年___班 座號

單元 4 複數的幾何意涵 三年___班 座號：____ 姓名：

重點 1：複數平面

1.意義：將坐標平面上的點(x，y)對應到複數 x＋y i，反之，可將複數 x＋y i (其中 x，y 為實數)對應到坐標平面上的 點(x，y)。即坐標平面上的每一點都可以代表一個複數，且每一個複數都可以在坐標平面上標出位置。

我們把表示複數的坐標平面，稱為複數平面(又稱高斯平面高斯平面高斯平面高斯平面或阿爾岡阿爾岡阿爾岡平面) 阿爾岡 例：如右圖，將坐標平面上的點(4，3)代表複數 4＋3i，

其中，點(4，0)代表實數 4，點(0，3)代表虛數 3i 2.複數平面名詞：

(1)實軸：x 軸上的點(x，0)對應所有的實數 x＋0i，

而 x 軸又稱為實軸

(2)虛軸：y 軸上的點(0，y)對應所有實部為 0 的虛數 0＋yi，

而 y 軸又稱為虛軸。

(3)當坐標平面上的 P 點對應複數 z＝x＋yi 時，稱 z＝x＋yi 為 P 點的複數坐標，記為 P(z)或 P(x＋yi) 註：複數 a＋bi 與其共軛複數 a－bi 在複數平面上的位置會對稱於實軸實軸實軸實軸

◎複數坐標

例 1.1：在複數平面上標出下列複數所代表的點：A(3＋2i ) B(3－2i ) C(－3i ) D(－4)

重點 2：複數的絕對值

1.在數線上， x 表示點 P(x)與原點的距離

2.在複數平面上，將複數 z＝x＋yi 的絕對值規定為點(x，y)與原點(0，0)的距離，

並表示成 z ＝ x+ yi ^{＝ x2} + ^y2 ，如右圖所示 3.複數平面上z₁與z₂兩點的距離：

設兩複數z₁＝a＋bi，z₂＝c＋di，a，b，c，d 為實數，

則z₁－z₂＝(a－c)＋(b－d )i，如右圖

即z₁與z₂兩點的距離＝z₁－z₂＝ (a−c)²+(b−d)² 實軸 虛軸

x y

O

◎複數的絕對值

例 2.1：在複數平面上，設複數z₁＝3－2i，z₂＝－3i，則：

(1)求z₁，z₂與z₁－z₂的值 (2)求z₁與z₂兩點的距離

例 2.2：在複數平面上，所有滿足方程式z－i＝z＋1的複數 z 形成什麼圖形？

重點 3：複數的極式

1.意義：在複數平面上，異於原點 O 的點 P(x＋y i)，令OP＝r，且射線 OP 為有向角θ的終邊，則由三角比的定義 可得

=

=

θ

θ

sin cos r y

r

x ，r＝ x² + y² ，如右圖所示

⇒即複數 z＝x＋y i＝r(^{cos ＋}θ ^isinθ )，稱為複數 z 的極式極式極式極式 2.極式的性質：

(1) r＝ z ＝ x² +y²

(2)θ稱為複數 z 的輻角，記作θ^＝arg(z)

當 0° ≤θ^{＜360° (0 ≤}θ^＜2

π

^)時，稱θ為複數 z 的主輻角，記作θ^＝Arg(z)

◎複數的極式

例 3.1：將複數 z＝1＋3i 表示為極式 r(^{cos ＋}θ ^isinθ )的形式，並求其輻角與主輻角

例 3.2：將下列各複數表為極式 (輻角取主輻角)

(1)z₁＝－1＋ 3 i (2)z₂＝－1－i (3)z ＝i ₃

例 3.3：將下列各複數表為極式 (輻角取主輻角)

(1) z＝4(sin 80°＋i cos 80°) (2) z＝3(cos 50°－isin 50°)

重點 4：複數極式的乘法與除法

設複數z₁＝r₁(cos

θ

₁^＋isin

θ

1^)，z2＝r₂(cos

θ

₂^＋isin

θ

2^{)皆為極式，則：}

(1)乘法z₁ z₂＝r₁ r₂[cos(

θ

₁+

θ

₂)^＋isin(

θ

₁+

θ

₂)] (2)除法

2 1

z z ＝

2 1

r

r [cos(

θ

₁ −

θ

₂)^＋isin(

θ

₁−

θ

₂)] 說明：利用和角公式，可得

(1)乘法z₁ z₂＝r₁(cos

θ

₁^＋isin

θ

1⁾r2(cos

θ

₂^＋isin

θ

2⁾

＝r₁r₂[(cos

θ

₁ cos

θ

2^－sin

θ

1sin

θ

2^)＋i(sin

θ

1cos

θ

2^＋cos

θ

1sin

θ

2^)]＝r1r₂[cos(

θ

₁+

θ

₂)^＋isin(

θ

₁ +

θ

₂)] (2)除法

2 1

z z ＝

) sin (cos

) sin (cos

2 2

2

1 1

1

θ θ

θ θ

i r

i r

+

+ ＝

) sin )(cos

sin (cos

) sin )(cos

sin (cos

2 2

2 2

2

2 2

1 1

1

θ θ

θ θ

θ θ

θ θ

i i

r

i i

r

− +

− +

＝

2 1

r r ×

2 2 2 2

2 2

1 1

sin cos

)]

sin(

) )[cos(

sin (cos

θ θ

θ θ

θ θ

+

− +

−

+i i

＝

2 1

r

r [cos(

θ

₁−

θ

₂)^＋isin(

θ

₁−

θ

₂)]

◎極式的乘法與除法 例 4.1：求

) 5 sin 5

(cos ) 35 sin 35

(cos 6

) 50 sin 50

(cos 3 ) 80 sin 80

(cos 4

0 0

0 0

0 0

0 0

i i

i i

+

× +

+

×

+ 的值

例 4.2：已知z₁＝6(cos 10°＋i sin 10°)，z2＝2(sin 70°＋i cos 70°)，求z1 z₂的值

重點 5：複數乘法的意涵

設複數 z 為複數平面上的一點，r 為正實數，且θ為有向角。則複數 z 與 r (cosθ^{＋i sin}θ)相乘的幾何意義如下：

1.複數 z×r 的意涵：

在複數平面上 z×r 所對應的點，其輻角輻角輻角輻角與 z 相等，其與原點 O 的距離為z的 r 倍，

此時稱 z×r 為「以原點 O 為中心、將 z 伸縮 r 倍」，如下圖 1

2.複數 z×(cosθ^{＋i sin}θ^{)的意涵：}

由極式的乘法公式可知，z×(cosθ^{＋i sin}θ)的結果就是以原點 O 為中心，將 z 依逆時針方向旋轉θ^{角，如上圖 2} 3.複數 z×r(cosθ^{＋i sin}θ^{)的意涵：}

由極式的乘法公式可知，z×r (cosθ^{＋i sin}θ)的結果就是以原點 O 為中心，

先將 z 伸縮 r 倍(r＞1)得 z×r，再依逆時針方向旋轉θ^{角，如上圖 3}

◎複數乘法的意涵

例 5.0：如右圖，複數z₁為單位圓上的一點，且z₂＝2(cos 40°＋i sin 40°)。且 z 表示 z 的共軛複數，試問下列各複數對應的點分別是 A，B，C，D，E 的哪一點？

(1)z₁ z₂ (2) z₁ z₂

圖 1 圖 2 圖 3

例 5.1：在坐標平面上， 設矩形 OABC 滿足 O(0，0)，A(2，－3)，OA：OC＝1 : 3，

且 B 與 C 均在第一象限。

(1)求 C 點的坐標 (2)求 B 點的坐標

重點 6：複數加、減法的應用

1.對應意義：設坐標平面上 P(x₁，y₁)，Q(x₂，y₂)對應的複數分別為z₁＝x₁＋y₁i，z₂＝x₂＋y₂i，

即複數z₁＝x₁＋y₁i，z₂＝x₂＋y₂i 對應到向量

v

OP ＝(x₁，y₁)，

v

OQ ＝(x₂，y₂)

2.複數的加減法與向量的加減法對應關係：

(1)加法：z₁＋z₂＝(x₁＋x₂)＋(y₁＋y₂) i 相對應到

v

OP ＋

v

OQ (2)減法：z₁－z₂＝(x₁－x₂)＋(y₁－y₂) i 相對應到

v

OP －

v

OQ

◎複數加、減法的應用

例 6.1：已知複數平面上的相異四點 A(z₁)，B(z₂)，C(z )，D(₃ z₄)，且 ABCD 依逆時針方向可連成一個正方形，

求下列各式的值：

(1)

3 4

1 2

z z

z z

−

− (2)

1 2

1 3

z z

z z

−

−

例 6.2：三腿跑步圖是英屬地曼島的代表標誌，它是由一隻穩健跑步的腿，透過旋轉 120°形成一個無限循環、永不摔倒的 姿勢，如右圖所示。將此三腿跑步圖的旋轉點 O 貼合在複數平面的原點，

並已知其中一個腳尖所對應的複數為 2＋8 3 i，求：

(1)任一腳尖到 O 點的距離 (2)另外兩個腳尖所對應的複數 (3)三個腳尖所圍成的正三角形之邊長

重點 7：棣美弗定理

1.定理：若非零複數 z 的極式為 r (cosθ^{＋i sin}θ^)，

則對於任意正整數 n，得z ＝ⁿ r (cos nⁿ θ^{＋i sin n}θ^{)，稱為棣美弗定理棣美弗定理棣美弗定理棣美弗定理}

註：棣美弗 (A. de Moivre，1667~1754)法國數學家。他發現的棣美弗定理連結了三角學與複數。此外，對機率論也 有相當的貢獻。

說明：(1)當 n＝1 時，z＝r (cosθ^{＋i sin}θ^{)，原式成立} (2)設 n＝k 時原式成立，即z ＝^k r (cos k^k θ^{＋i sin k}θ⁾

(3)當 n＝k＋1 時，z^k+1＝z z＝^k r (cos k^k θ^{＋i sin k}θ)⋅ r (cosθ^{＋i sin}θ⁾

＝r^k+1[ (cos kθ^cosθ^{－sin k}θ^sinθ^{)＋i(sin k}θ^cosθ^{＋cos k}θ^sinθ^)]

＝r^k+1[cos (kθ^＋θ^{)＋isin (k}θ^＋θ^{)]＝rk+1[cos(k＋1)}θ^{＋isin(k＋1)}θ^] 即當 n＝k＋1 時，原式也成立，故由數學歸納法知棣美弗定理恆成立

2.棣美弗定理可以推廣到所有整數次方整數次方整數次方整數次方：

(1)由整數指數的定義，規定z ＝1，⁰ z⁻ⁿ＝ _n z

1

(2)z⁻ⁿ＝

) sin (cos

) 0 sin 0 (cos 1

θ θ

^{i n} n

r

i

n +

+ ＝ _n

r

1 [cos(0－nθ)＋isin (0－nθ^)]

＝ _n r

1 [cos(－nθ^{)＋isin (－n}θ^{)]＝r−n[cos(－n}θ^{)＋isin (－n}θ^)]

即棣美弗定理對於負整數次方負整數次方負整數次方負整數次方也都成立，且z ＝1，⇒棣美弗定理可以推廣到所有整數次方⁰ 整數次方整數次方 整數次方

◎棣美弗定理

例 7.1：求(1－ 3i ) 的值 ⁵

◎複數的負整數次方 例 7.2：求(－1＋i)⁻⁴的值

重點 8：複數的 n 次方根

1.意義：設 n 為正整數，且 a 是非零複數。由代數基本定理知道 n 次方程式z －a＝0 共有 n 個根， ⁿ 則將這 n 個根稱為 a 的 n 次方根

2. a＝1 的 n 次方根

(1)當 n＝1 時，z－1＝0，解得 z＝1。故 1 的一次方根為 1 (2)當 n＝2 時，z －1＝0，即(z－1)(z＋1)＝0，解得 z＝1，－1 ²

故 1 的兩個二次方根為 1 與－1

(3)當 n＝3 時，z －1＝0，即(z－1)(³ z ＋z＋1)＝0，解得 z＝1，² 2

3 1+ i

− ，

2 3 1− i

− 故 1 的三個三次方根為 1，

2 3 1+ i

− ，

2 3 1− i

− ，三個複數根在複數平面上的位置如右圖

(4)當 n＝4 時，z －1＝0，即(z－1)(z＋1)(⁴ z ＋1) = 0，解得 z＝1，－1，i ，－i ² 故 1 的四個四次方根為 1，－1，i 與－i，四個複數根在複數平面上的位置如右圖 3.z ＝1 的 n 次方根之幾何意義： ⁿ

在複數系裡，1 的 n 個 n 次方根為z ＝cos_k n kπ

2 ＋isin n kπ

2 ，k＝0，1，2，…，(n－1)

在複數平面上，它們恰為內接於單位圓的正 n 邊形之 n 個頂點，且其中一個頂點對應的複數是 1

◎複數 z 的zⁿ＝1 的 n 次方根

例 8.1：求 1 的五次方根，並將它們描繪在複數平面上

n＝3 n＝4 n＝5

例 8.2：求－8＋8 3i的四次方根，並將它們描繪在複數平面上