(1)單元3 複數與多項式方程式 三年___班 座號

單元3 複數與多項式方程式 三年___班 座號：____ 姓名：

重點 1：複數(complex number)

1.符號 i：規定符號 i＝  ，且 i 滿足下列性質： 1

(1)i²＝－1 (2)當實數 b＞0 時，  ＝b bi 2.符號 i 的性質：

(1)○¹ i＝  ， ○1 ² i²＝－1， ○³ i³＝i ， ○⁴ i⁴＝1

(2)推廣，○¹ i^4k1＝i ○² i^4k2＝－1， ○³ i^4k3＝i ， ○⁴ i^4k4＝1，其中 k 為非負整數 (3)當 n 為正整數時，iⁿ只有i，－1，－i 與 1 四個可能的值，而且它們是依序循環不息的

3.複數的定義：設 a，b 為實數，形如 a＋bi 的數稱為複數，其中 a 稱為 a＋bi 的實部，b 稱為 a＋bi 的虛部 一般以符號z＝a＋bi 表示複數，實部 a 以 R(z)，虛部 b 以 I(z)表示

4.複數的表示：

(1)複數 a＋( b )i＝a－bi

(2) a＋0i＝a， 0＋bi＝bi， 1i＝i

(3)當虛部 b＝0 時，a＋0i＝a，相當於一個實數，也就是說，實數可視為虛部為 0 的複數 (4)當虛部 b≠0 時，稱 a＋bi 為虛數，例如 1＋2i，3i 等都是虛數，也是複數

註：實數是複數的一部分，我們把實數系擴張成一個較大的數系，稱為複數系

◎符號i

例1.1：以 i 表示下列各方程式的解：

(1)x²＝－1 (2)x²＝－2 (3)x²＝－9

Ex1.1：以 i 表示下列各方程式的解：

(1)x²＝－3 (2)x²＋4＝0 (3)x²＝－12

◎複數的定義

例1.2：求下列各複數的實部與虛部

(1) z＝1－2i (2) z＝4 (3) z＝3i

Ex1.2：求下列各複數的實部與虛部

(1) z＝ 2 ＋3i (2) z＝ 5i (3) z＝0

例1.3：求下列各式的值：

(1)求i¹，i²，…，i⁷，i⁸的值 (2)求i¹＋i²＋…＋i⁷＋i⁸的值

Ex1.3：求下列各式的值：

(1) i⁵⁰

(2) i¹⁰＋i¹¹＋i¹²＋i¹³＋i¹⁴＋i¹⁵

重點 2：複數的四則運算

1.複數的相等：當兩個複數的實部相等、虛部也相等時，稱這兩個複數相等。

即當a，b，c，d 為實數時，a＋bi＝c＋di 的意思是 a＝c 且 b＝d 註：當a，b 為實數，若 a＋bi＝0，則 a＝b＝0

2.設 a，b，c，d 為實數，z ＝a＋bi，₁ z ＝c＋di，則： ₂ (1)加法：z ＋₁ z ＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i ₂ (2)減法：z －₁ z ＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i ₂ (3)乘法：z₁z ＝(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad－bc)i ₂ 3.複數的性質：

若z ，₁ z ，₂ z 為三個任意的複數，則下列各性質成立 ₃ (1)交換律：z ＋₁ z ＝₂ z ＋₂ z ， ₁ z₁z ＝₂ z₂z ₁

(2)結合律：z ＋(₁ z ＋₂ z )＝(₃ z ＋₁ z )＋₂ z ， ₃ z (₁ z₂ z )＝(₃ z₁ z )₂ z ₃ (3)分配律：z (₁ z ＋₂ z )＝₃ z₁ z ＋₂ z₁ z ₃

4.設 z 為複數，規定z ＝z z，² z ＝z z z，…… 一般而言，設 n 為大於 1 的正整數，規定³ z ＝ⁿ z^n1z

◎複數的相等

例2.1：已知實數 a，b 滿足(a－2)＋4i＝1＋2bi，求 a，b 的值

Ex2.1：已知實數 a，b 滿足(a＋b＋4)＋(a－2)i＝0，求 a，b 的值

◎複數的加法、減法與乘法

例2.2：已知複數 z1＝3＋4i，z2＝5－3i，求下列各式的值

(1) z1＋z2 (2) z1－z2 (3) z1z2

Ex2.2：已知複數 z1＝2＋ 3 i，z2＝2－ 3 i，求下列各式的值 (1) z1＋z2 (2) z1－z2 (3) z1z2

重點 3：複數的除法運算

1.共軛複數：設複數 z＝a＋bi，a，b 為實數，則稱 a－bi 為 a＋bi 的共軛複數，記作z，即z＝a＋bi 2.共軛複數性質：設複數 z，w，則：

(1) )(z ＝z

(2) z ＝ z ，其中 z＝a＋bi， z ＝ abi ＝ a² b² (3)(z)ⁿ＝z ，其中 n 為整數 ⁿ

(4)○¹ z ＝w z＋w ， ○² z ＝w z－w ， ○³ z ＝w z w ， ○⁴ ( ) w

z ＝ w

z ，其中w  0 3.複數的除法：設 a，b，c，d 為實數，z ＝a＋bi，₁ z ＝c＋di  0，則： ₂

除法：

2 1

z z ＝

di c

bi a



 ＝

) )(

(

) )(

(

di c di c

di c bi a







 ＝⁽ ₂^{) (} ₂ ⁾ d

c

i ad bc bd ac







 ＝ _{2 2}

d c

bd ac



 ＋ i

d c

ad bc

2 2 



註：作除法運算時，分子，分母同時乘上分母的共軛複數

◎複數的除法

例3.1：將下列各複數表示成 a＋bi (其中 a，b 為實數)的形式 (1)3 4i

1

 (2) i i



 1 2

Ex3.1：將下列各複數表示成 a＋bi (其中 a，b 為實數)的形式 (1) i

i 3 1

3 1





 (2) i

i 2

重點 4：二次方程式的根

1.意義：形如a ＋bx＋c＝0 (a≠0)的方程式稱為二次方程式，當 a，b，c 皆為實數時，稱其為實係數二次方程式 x² 2.公式解：利用配方法可以將a ＋bx＋c＝0 得到(x＋x²

a b 2

) ＝2 ₂ 2

4 4 a

ac b 

，解得x＝

a ac b

b 2

2 4





○¹ b²－4ac 稱為判別式，記作 D

○² 在複數系中，判別式D 可以是正數、負數或是零，則 b² 4ac 有意義

即實係數二次方程式a ＋bx＋c＝0，利用公式解得 x＝x²

a ac b

b 2

2 4





(1)當 D＝b²－4ac＞0 時，二次方程式a ＋bx＋c＝0 有兩相異實根 x²

(2)當 D＝b²－4ac＝0 時，二次方程式a ＋bx＋c＝0 有兩相等實根(二重根) x²

(3)當 D＝b²－4ac＜0 時，二次方程式a ＋bx＋c＝0 有兩共軛虛根(兩根互為共軛複數) x²

◎求解二次方程式

例4.1：解方程式x²－2x＋5＝0

Ex4.1：解下列各方程式：(1) x²＋x＋1＝0 (2) 2x²＋2x＋1＝0

◎判別式性質

例4.2：已知方程式x²＋kx＋9＝0 有兩實根，求實數 k 的範圍

Ex4.2：已知方程式x²＋3x－k＝0 有兩共軛虛根，求實數 k 的範圍

重點 5：二次方程式的根與係數的關係

1.意義：實係數二次方程式a ＋bx＋c＝0，利用公式解得 x＝x²

a ac b

b 2

2 4





令判別式D＝b²－4ac，則 x＝

a ac b

b 2

2 4



 ＝

a D b

2



 ，即x＝或

a D b

2





2.根與係數的關係：

設



， 為實係數二次方程式a ＋bx＋c＝0 的兩根，令兩根分別為x²



＝ a

D b

2



 ， ＝

a D b

2



 ，則：

(1)兩根的和



＋ ＝ a

D b

2



 ＋

a D b

2



 ＝

a

b

(2)兩根的積



 ＝(

a D b

2



 )(

a D b

2



 )＝

a c

註：a ＋bx＋c＝a(x－x²



)(x－ )＝a [x²－(



＋ )x＋



 ]

例5.1：已知



， 為方程式2x²＋4x＋5＝0 的兩根，求下列各式的值：

(1) ＋²



² (2)



1 ＋



1 (3)  ＋³



³

Ex5.1：已知



， 為方程式x²－4x＋7＝0 的兩根，求下列各式的值：

(1) ＋²



² (2)





＋





(3)  ＋³



³

重點 6：n 次方程式的根

1.意義：當 f (x)為 n 次多項式時，稱 f (x)＝0 為 n 次多項式方程式，簡稱為 n 次方程式；當多項式的係數都為實數時，

稱其為實係數n 次方程式。

2.根或解：若有一個數 a 滿足 f (a)＝0，就稱 a 是 f (x)＝0 的根或解。

註：有時候為了強調這個根a 所在的數系，會將 a 稱為整數根、有理根、實根或複數根 3.代數基本定理：設 n 為正整數，任一複係數 n 次方程式至少有一個複數根

即任何複係數n 次方程式都恰有 n 個根(重根須重複計算其個數) 註：(1)設 n 為正整數時，任一實係數 n 次方程式恰有 n 個複數根

(2)重複地使用代數基本定理與多項式的除法，可以證得 f (x)＝0 恰有 n 個根。

可將 f (x)分解成 n 個一次式的乘積，即 f (x)＝a(x－a₁)(x－a₂)…(x－a_n)，其中 a 為 f (x)的首項係數，

複數a₁，a₂，…，a_n為f (x)＝0 的所有根

註：高斯(C.F.Gauss，1777~1855）德國數學家。古今三大數學家之一，被譽為數學王子。

◎n 次方程式的根

例6.1：已知 1 為實係數方程式x³－x²－2x＋a＝0 的一個根 (1)求 a 的值 (2)求所有的根

Ex6.1：已知－1 為實係數方程式x³＋x²＋3x＋a＝0 的一個根 (1)求 a 的值 (2)求所有的根

例6.2：解方程式(x－1)(x＋1) (² x²＋x－3)＝0

Ex6.2：解實係數六次方程式(x－5)(x²＋1)(x－1) ＝0 ³

重點 7：虛根成雙定理

1.定理：設 f (x)為實係數 n 次多項式(n 為大於 1 的整數)。若 z＝a＋bi (其中 a，b 為實數且 b≠ 0)是方程式 f (x)＝0 的 一個虛根，則它的共軛複數z＝a－bi 也是方程式 f (x)＝0 的一個虛根

註：有理係數方程式的無理根亦成對出現 2.性質：

(1)實係數多項式方程式的虛根個數必為偶數

(2)當 n 為奇數時，n 次多項式方程式只能有奇數個實根(一個、三個、五個、…)；

即實係數奇數次方程式至少有一實根

◎虛根成對定理

例7.1：已知 1－3i 為實係數方程式x⁴－3x³＋6x²＋ax＋b＝0 的一個根 (1)求 a 與 b 的值 (2)求所有的根

Ex7.1：已知 2＋i 為實係數方程式x⁴－5x³＋8x²－x－5＝0 的一個根，求所有的根

例7.2：已知 a－i 與 1＋bi (其中 a 與 b 為實數，且 b≠0)為實係數三次方程式x³＋x²＋cx＋d＝0 的兩個根 (1)求 a 與 b 的值 (2)求 c 與 d 的值 (3)求所有的根

Ex7.2：已知 a－i 與 2－bi (其中 a 與 b 為實數，且 b≠0)為實係數三次方程式x³－2x²＋9x＋k＝0 的兩個根，

求所有的根

例7.3：設 f (x)＝0 為實係數三次方程式，選出所有正確的選項

(1)方程式 f (x)＝0 一定有實根 (2)方程式 f (x)＝0 一定有虛根 (3)方程式 x f (x)＝3 一定有實根 (4)若 f (1＋i)＝0，則 f (2＋2i)≠0

Ex7.3：設 f (x)＝0 為實係數五次方程式，選出所有正確的選項

(1)方程式 f (x)＝0 一定有實根 (2)方程式 f (x)＝0 一定有虛根 (3)方程式 f (x)＝0 一定沒有實根 (4)若 f (x)＝4 一定有實根

重點 8：勘根定理

緣由：實係數 n 次方程式有 n 個根，且當 n 是奇數時，方程式至少有一個實根。

求n 次方程式實根的精確值是很困難的，此時，可以求其實根的範圍。而求實根範圍的方法，稱為勘根定理 1.介值定理：設函數 f (x)在區間[a，b]上連續，且 f (a)≠f (b)。若 k 是介於 f (a)與 f (b)之間 (不含 f (a)，f (b))的實數，

則在a 與 b 之間 (不含 a，b)至少有一實數 c，使得 f (c)＝k

2.勘根定理：設 f (x)為實係數多項式，且 a 與 b 是兩個相異實數。若 f (a) f (b)＜0 (即 f (a)與 f (b)異號)，

則方程式f (x)＝0 在區間(a，b)內至少有一個實根

說明：函數f (x)為實係數多項式(為連續函數)。若 f (a) f (b)＜0，即 f (a)與 f (b)異號，因此 0 介於 f (a)與 f (b)之間，

則利用介值定理，可得在區間(a，b)內至少有一實數 c，使得 f (c)＝0，如下左二圖

註：(1)當 f (x)為實係數多項式且 f (a) f (b)＜0 時，勘根定理保證方程式 f (x)＝0 在區間(a，b)內「至少」有一個實根，

但並非「恰有」一實根，如上右二圖所示。

即可能為一或三或……等奇數個實數根

(2)當 f (x)為實係數多項式且 f (a) f (b)＞0，即 f (a)與 f (b)同號時，

方程式f (x)＝0 在區間(a，b)內可能有實根(如圖(a)所示)，

也可能沒有實根(如圖(b)所示)

◎勘根定理

例8.1：試問方程式x³－8x＋1＝0 在哪些連續整數之間有實根？

Ex8.1：試問方程式x³＋x²－2x－1＝0 在哪些連續整數之間有實根？

(a) (b)

例8.2：已知實係數多項式 f (x)＝x³＋ax²＋bx＋c 滿足 f (0)＜0，f ( 2 )＞0，f ( 5 )＜0，f ( 10 )＞0，又方程式 f (x)＝0 的三根均為整數，求a，b，c 的值

Ex8.2：已知實係數多項式 f (x)＝x³＋ax²＋bx－6 滿足 f (－1)＝0 與 f ( 2 ) f ( 5 )＜0，且方程式 f (x)＝0 的三根均為整數，

求a，b 的值

例8.3：已知方程式x³－6x²－9x＋k＝0 有三個相異實根，求實數 k 的範圍

Ex8.3：求三次方程式x³－6x²－9x－4＝0 的實根個數

重點 9：牛頓法

緣由：利用勘根定理可以求得實根 r 的範圍，而求得實根 r 的近似值之一個方法，就是牛頓法

◎牛頓法：如右圖為多項式函數f (x)的部分圖形，其中圖形與 x 軸交點的 x 坐標 r 就是方程式 f (x)＝0 的一個實根 1.找一個接近實根 r 的初始值a₁開始(可以來自勘根定理)

2.設 L 是以點(a₁，f (a₁))為切點的切線。因為 L 的斜率為 f (a₁)，

利用點斜式，得方程式為L：y－f (a₁)＝f (a₁)(x－a₁)

3.當 f (a₁)  0(切線 L 不是水平切線)時，切線與 x 軸交於點(a₁－ ) (

) (

1 1

a f

a f

 ，0) 令a₂＝a₁－

) (

) (

1 1

a f

a f

 成為實根r 的第二個近似值

4.從a₂開始，經同樣的程序，當f (a₂)≠0 時，可以得到實根 r 的第三個近似值a₃＝a₂－

) (

) (

2 2

a f

a f

 5.持續這樣的程序，當 f (a_k)≠0 時，可以得到實根 r 的第 k＋1 個近似值a_k1＝a_k－

) (

) (

k k

a f

a f



6.這一序列的近似值a₁，a₂，a₃，…會愈來愈接近實根r，這種求實根近似值的方法是由牛頓提出來的，稱為牛頓法 註：(1)當 f (x)為多項式函數，且 r 為 f (x)＝0 的一個實根時，只要適當選取足夠接近 r 的初始值a₁，牛頓法的遞迴式

所生成的數列會愈來愈接近實根r

(2)下列為三個比較常見的形狀，及其使用牛頓法一次的情形

◎牛頓法求實根的近似值

例9.1：試以牛頓法求方程式x³＋4x－8＝0 實根的近似值到小數點以下第四位 (使小數點以下四位與精確值相同)

Ex9.1：試以牛頓法求方程式x³－2＝0 實根的近似值到小數點以下第三位 (使小數點以下三位與精確值相同)