Ch 1-3 函數及其圖形 一年____班 座號：____ 姓名：
重點 1：函數的概念
1.定義：設 f 是某種對應關係，存在 x，y 兩個變數。若對於每一個 x 所取的值，都恰只找到唯一的一個 y 值與之對應，
則稱 y 是 x 的函數。用 f 代表函數，則函數可簡記為 y＝f (x) 註：函數符號 f (x)由瑞士數學家尤拉(1707~1783)在 1734 年首先採用 註：函數的對應關係可以是「一對一」或「多對一」，
絕不可以是「一對多」或「一對無」
2.變數：在函數的定義中，x 稱為此函數的自變數自變數自變數，y 稱為應變數自變數 應變數應變數應變數 (1)定義域：自變數 x 所有可能值的全體，稱為這個函數的定義域 (2)對應域：應變數 y 所有可能值的全體，稱為這個函數的對應域 3.函數值：
(1)在函數 f (x)中，給定 x＝a，代入函數 f (x)後，得到 f (a)，稱為函數在 x＝a 的函數值函數值函數值函數值 (2)值域：所有函數值的全體稱為這個函數值域
4.函數的表達方式常見有以下兩種：
(1)解析法：以代數關係式來表示兩個變數的關係
(2)圖示法：將 x 值與函數值 f (x)表成點坐標(x，f (x))描繪於坐標平面上，連結這些點所形成的圖形便是 y＝f (x)的 函數圖形
例 1.1：如圖，A 中每個元素都可以經由規則 f 對應到 B 中的某個元素，
其規則為 f (1)＝2，f (2)＝2，f (3)＝4，則：
(1)定義域為_________
(2)對應域為__________
(3)值域為_______
Ex1.1：(1)如右圖，坐標平面上的一個圓是函數圖形嗎？為甚麼？
(2)常見函數的圖形有曲線、直線或分散的點等等，
則判斷一個圖形是否為函數圖形的依據是什麼？
重點 2：線性函數
意義：設 a，b∈R，形如 y＝f (x)＝ax＋b 的函數稱為線性函數線性函數線性函數線性函數，其中包含：一次函數、常數函數 1.一次函數：若 a≠ 0，f (x)＝ax＋b 稱為一次函數，其圖形為一斜直線斜直線斜直線斜直線
當 a＞0 時，圖形是左下右上傾斜，稱此直線的斜率大於 0 當 a＜0 時，圖形是左上右下傾斜，稱此直線的斜率小於 0 註：y＝ax＋b 與 y 軸交於點(0，b)
a 的正負決定了直線的傾斜方向；b 決定了直線與 y 軸的交點位置
2.常數函數：若 a＝0，f (x)＝b 稱為常數函數，其圖形為一通過(0，b)的水平直線水平直線水平直線 水平直線 (1)當 b≠ 0 時，f (x)＝b 也稱為零次函數，其圖形為平行 x 軸的水平直線水平直線水平直線水平直線
(2)當 b＝0 時，f (x)＝0 稱為零函數，其圖形為 x 軸
函數 f
定義域 值域
對應域
A B
x y
例 2.1：試作下列函數圖形：(1) f (x)＝2 (2) f (x)＝2x－4
Ex2.1：試作下列函數圖形：
(1) f (x)＝－2 (2) f (x)＝－x＋1
解：
例 2.2：已知一次函數 f (x)之圖形通過(－1，2)及(3，－6)，試求 f (x)並畫出其圖形
Ex2.2：f (x)為一次函數，已知 f (1)＝－6，f (2)＝1，試求 f (3)之值
例 2.3：環保署制定節能減碳行動方案中，指出每天製造 1 公斤垃圾約增加二氧化碳排放量 2.1 公斤。假設垃圾增加量與 二氧化碳增加量為線性關係，已知一棵樹每天約可吸收 0.03 公斤的二氧化碳，若民眾每天增加垃圾量 x 公斤產生 之二氧化碳排放量需要 y 棵樹來減碳，則：
(1)試列出 x 與 y 之關係式 (2)每製造 1 公斤垃圾約需種植多少棵樹來減碳？
Ex2.3：溫度標準有兩種，分別是攝氏溫度及華氏溫度，已知兩者符合關係式 y＝ax＋b (攝氏：x，華氏：y)，且當 x＝0 時 y＝32，當 x＝100 時，y＝212，試列出溫度換算的關係式
例 2.4：設函數 f (x)＝ 2 3 0
3 0
x x
x
+ ≥
=
<
，
， ，試求 f (2)＋f (－2)之值
Ex2.3：設函數 f (x)＝ 1 , 0
1 0
x x
≥
=
− <
， ，試求 f (0)＋f (8)＋f (－9)之值
重點 3：二次函數的圖形與平移
1.二次函數：若 a，b，c 為實數，a ≠ 0，則 y＝f (x)＝ax2＋bx＋c 稱為二次函數，其圖形為拋物線拋物線拋物線 拋物線 (1)當 a＞0 時，拋物線拋物線拋物線拋物線開口朝上； 當 a＜0 時，拋物線拋物線拋物線拋物線開口朝下
(2)若 a 愈大，圖形開口愈小
2.單項式二次函數 f (x)＝ax2的圖形，頂點為(0，0)，且以 y 軸為對稱軸 3.圖形的平移：設 h，k＞0
(1)y=ax2 +k的圖形可由y=ax2的圖形向上平移 k 個單位得到 (2)y=ax2 −k的圖形可由y=ax2的圖形向下平移 k 個單位得到 (3)y=a x( +h)2的圖形可由y=ax2的圖形向左平移 h 個單位得到 (4)y=a x h( − )2的圖形可由y=ax2的圖形向右平移 h 個單位得到
註：(1)y=ax2的圖形向右平移 h 單位，再向上平移 k 單位，可得 f x( )=a x( −h)2+k的圖形
(2)任何二次函數 f (x)＝ax2＋bx＋c 的圖形，藉由配方法可由單項函數 f x( )=ax2的圖形平移而得 4.二次函數的配方法：
二次函數 f (x)＝ax2＋bx＋c，(a≠0)利用配方法可得 f (x)＝ax2＋bx＋c＝ )2 ( 2
a x b
a + ＋
a b ac
4 4 − 2
故可求出拋物線的頂點坐標為(
a b
− 2 ， a
b ac
4 4 − 2
)，且對稱軸為 x＝
a b
− 2 註：若 a＞0，則 f (
a b 2
− )為最小值； 若 a＜0，則 f ( a b 2
− )為最大值
例 3.1：試以 f (x)＝x 為基礎，分別畫出下列圖形： 2
(1) f (x)＝(x−1)2 (2) f (x)＝x ＋1 2
Ex3.1：試以 f (x)＝x 為基礎，分別畫出下列圖形： 2
(1) f (x)＝(x+2)2 (2) f (x)＝x －2 2 解：
◎平移
例 3.2：將二次函數 y＝x ＋4x－1 圖形向右平移 1 單位再向上平移 2 單位，求平移後的新函數 2
Ex3.2：將二次函數 y＝x ＋2x＋k 圖形向左平移 2 單位再向下平移 3 單位後，所得的新函數為 y＝2 x ＋6x＋10，試求 k 值 2
例 3.3：世界知名的西班牙建築大師高第擅長運用拋物線的弧面結構來展現藝術特色，假設高第早期某件作品的曲線符合 二次函數 y＝−2x2＋4x＋9，請幫忙找出其最高點
Ex3.3：小明常利用課餘時間在籃球場上練習投籃，假設籃球在飛行途中與籃框的水平距離為 x 公尺，且距離地面的高度 為 y 公尺。已知小明某次出手投籃時其 x、y 滿足 y＝−x2＋2x＋3 之關係式，
試求此籃球在飛行路徑中之最高點距離地面多少公尺？
例 3.4：為了提升市民居住的生活品質，市府團隊規劃了一處預定地，打算修建一個休閒文化廣場，同時在周圍開闢一塊 長為 x 公尺，寬為 80－x 公尺的矩形園地，其內種植花卉、栽培苗木，並鋪設鵝卵石。
(1)已知此矩形園地平均每平方公尺的造價為 3000 元，假設該工程的總造價為 y 元，試列出 y 與 x 的函數關係式。
(2)若該工程市府編列了 500 萬元預算，試問此預算是否足夠支付此項工程的建設經費？請加以說明
Ex3.4：已知某汽車租賃公司每日收益 y 元與平均每輛汽車的日租金 x 元之間的關係式為 y＝
400 x2
− ＋15x－2500，x>0， 則平均每輛車的日租金為多少元時，租賃公司的日收益最多？且最大收益為何？
