(1)Ch 4.2 橢圓(ellipse) 二年____班 座號

Ch 4.2 橢圓(ellipse) 二年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：橢圓的基本概念

1.定義：平面上，有兩相異定點 F₁，F₂，及一定長 2a，且 2a＞F₁F₂ ，滿足PF ＋₁ PF ＝2a 的動點 P 所成之圖形₂ Γ 稱為「橢圓」，其中 F1，F2稱為Γ的「焦點(focus) 」

2.代數意義：

若設 F1(x1，y1)，F2(x2，y2)，PF ＋₁ PF ＝2a，即₂ (x−x₁)²+(y−y₁)² ＋ (x−x₂)²+(y−y₂)² ＝2a，則：

(1)若 2a＞F₁F₂＝2c，則動點 P 的軌跡為一橢圓 (2)若 2a＝F₁F₂＝2c，則動點 P 的軌跡為一線段F₁F₂

(3)若 2a＜F₁F₂＝2c，則動點 P 的軌跡為空集合(即無圖形或不存在)

例 1.1：右圖是以 F1，F2為圓心的兩組同心圓，各組四個同心圓的半徑分別為 1，2，3，4，且F₁F₂＝4，

如果有一橢圓Γ以 F₁，F₂為焦點，且此橢圓上的點到 F₁與 F₂的距離和為 5，請利用同心圓的交點找出橢圓Γ 上的點，並利用平滑的曲線連接起來。

解：

例 1.2：設方程式 (x−3)²+(y+2)² ＋ (x+1)² +(y−1)² ＝k，試由 k 之值，討論方程式之軌跡。

重點 2：橢圓的相關名詞

1.焦點(focus)：F1，F₂二點，長度習慣用 2c 表示，即F₁F₂＝2c

2.中心(center)：長軸與短軸的交點，或F₁F₂的中點，稱為中心，如右圖之 O 點 3.頂點(vertex)：A 與 B 點是長軸頂點；C 與 D 點是短軸頂點

註：橢圓有 4 個頂點

4.長軸(major axis)：通過兩頂點 A 與 B 點之連線，長軸長： AB ＝2a

5.短軸(minor axis)：過中心且垂直長軸之直線交橢圓的線段，短軸長：

CD

(2)橢圓對稱於其長軸、短軸與中心 6.焦半徑(focal radius)：PF 與₁ PF₂

7.弦(chord)：橢圓上任兩點之連接線段稱為「弦」

8.焦弦(focal chord)：過焦點之弦稱為「焦弦」

9.正焦弦(latus rectum)：與長軸垂直的焦弦，稱為「正焦弦」

註：一橢圓有無限多條的弦弦弦弦與焦弦焦弦焦弦焦弦，只有兩條正焦弦正焦弦正焦弦正焦弦 10.正焦弦長＝

a b² 2

註：(1)長軸長：短軸長＝短軸長：正焦弦長＝a：b

(2)兩焦點越近，橢圓形狀越圓；兩焦點越遠，橢圓形狀越扁

P

F₁ F₂

A C

D

B • O • • F₁ F2

b a c

A x C

y

F₁ F₂

P(x，y)

O B

正焦弦 D

正焦弦

A C

D

B • O • • F1

F2

中心

長軸 短軸

F1

F2

正焦弦•

• ^焦弦

弦

F1

F₂

◎定義法

例 2.1：設橢圓 Γ： ( x＋3 )²＋( y－1 )² ＋ ( x－1 )²＋( y＋2 )² ＝6，試求Γ的焦點與中心坐標。

◎關係式

例 2.2：設一個橢圓的長軸半長為 5，短軸半長為 4，試求此橢圓的兩焦點的距離與正焦弦長。

例 2.3：如右圖，A，B，C，D 四個點中有一點是橢圓的焦點，選出該焦點。

重點 3：橢圓的標準式 I (standard form I )(水平長軸)

1.定義：設 a＞c＞0，一橢圓之兩焦點 F1(c，0)，F2(－c，0)，且PF ＋₁ PF ＝2a ₂ 即 (x−c)²+(y−0)² ＋ (x+c)²+(y−0)² ＝2a，如右圖

長軸長為 2a，短軸長為 2b，且 a²＝b²＋c² 則 ₂

2

a

x ＋ ₂

2

b

y ＝1 稱為橢圓標準式 I (水平長軸之橢圓) 2.說明：

設平面上有一以 2a 長為長軸之橢圓Γ，其中心為原點 O 長軸所在直線為 x 軸 焦點坐標分別為 F1(c，0)，F2(－c，0)且 0＜c＜a，點 P(x，y)為橢圓上任一點 則因為PF ＋₁ PF ＝2a，即₂ (x−c)²+y² ＋ (x+c)²+y² ＝2a，

⇒ (x−c)²+y² ＝2a－ (x+c)² +y² ，平方化簡得⇒ a²＋c x＝a (x+c)² +y² 平方，令 b＝

a

− c

a

x ＋ ₂

2

b y ＝1

3.橢圓平移：

當橢圓的中心(0，0)平移到(h，k)，其方程式由

Γ

x ＋ ₂

2

b

y ＝1 改變為

Γ

h x−

＋ ₂ )2

( b

k y−

＝1 而平移後其圖形的形狀與正焦弦長不改變，但是改變了中心、焦點、頂點等坐標

4.橢圓伸縮：

將橢圓

Γ

x ＋ ₂

2

b

y ＝1 的圖形以原點為中心伸縮 t 倍(t＞0)，可得到橢圓

Γ

x ＋ ₂

2

) ( bt

y ＝1 的圖形

◎橢圓方程式

例 3.1：已知橢圓的兩焦點 F₁(2，0)，F₂(－2，0)，長軸長為 6，試求此橢圓方程式。

• • • • •

A B C D O

y

A x C

F₁ F₂

a

O b

c B

D

x y

A C

F₁ F₂ O

B

D P

例 3.2：試求橢圓 ( x－3 )²＋y² ＋ ( x＋3 )²＋y² ＝10 之兩焦點坐標及中心坐標，並將它化簡成 ₂

2

a

x ＋ ₂

2

b

x ＝1 之形式

◎圖形的各名稱

例 3.3：已知橢圓Γ：9x²＋16y²＝144，試求其：

(1)中心坐標 (2)焦點坐標 (3)頂點坐標 (4)長軸方程式及長軸長

(5)短軸方程式及短軸長 (6)正焦弦長

◎平移方程式 例 3.4：已知將橢圓

16 x2

＋ 9 y2

＝1 的圖形沿 x 軸方向平移 3 單位，再沿 y 軸方向平移 4 單位，可以得到橢圓 Γ 的圖形，

試求橢圓 Γ 的方程式。

例 3.5：已知橢圓 Γ：

9 x ＋2

4

y ＝1，將圖形 Γ 以原點為中心伸縮 3 倍，得到一個新橢圓 Γ ′的圖形，試求橢圓 Γ ′的方程式 2

例 3.6：已知一橢圓的兩焦點為(3，2)，(－1，2)，長軸長為 2 6，試求此橢圓的方程式

◎平移各名稱

例 3.7：已知橢圓Γ： 25

) 2 (x− ²

＋ 16 ) 1 (y+ ²

＝1，試求其：

(1)中心坐標 (2)焦點坐標 (3)頂點坐標 (4)長軸方程式及長軸長

(5)短軸方程式及短軸長 (6)正焦弦長

例 3.8：試將橢圓 4x²＋9y²－16x－18y－11＝0 化為標準式，並求其頂點與焦點坐標

重點 4：橢圓的標準式 II (standard form II )(鉛直長軸)

1.定義：設 a＞c＞0，一橢圓之兩焦點 F1(0，c)，F2(0，－c)，PF ＋₁ PF ＝2a ₂

即 (x−0)² +(y−c)² ＋ (x−0)²+(y+c)² ＝2a，如右圖 且長軸長為 2a，短軸長為 2b，且 a²＝b²＋c²

則 ₂

2

b

x ＋ ₂

2

a

y ＝1 稱為橢圓標準式 II (鉛直長軸之橢圓)

2.橢圓平移：

當橢圓的中心(0，0)平移到(h，k)，其方程式由

Γ

x ＋ ₂

2

a

y ＝1 改變為

Γ

h x−

＋ ₂ )2

( a

k y−

＝1 而平移後其圖形的形狀與正交弦長不改變，但是改變了中心、焦點、頂點等坐標

3.橢圓伸縮：

將橢圓

Γ

x ＋ ₂

2

a

y ＝1 的圖形以原點為中心伸縮 t 倍(t＞0)，可得到橢圓

Γ

x ＋ ₂

2

) ( at

y ＝1 的圖形

◎橢圓方程式

例 4.1：求焦點為 F1(0，3)與 F2(0，－3)，短軸長為 8 的橢圓方程式。

例 4.2：試求橢圓 x²＋( y－3 )² ＋ x²＋( y＋3 )² ＝10 之兩焦點坐標及中心坐標，並將它化簡成 ₂

2

b

x ＋ ₂

2

a

y ＝1 之形式

◎橢圓各名稱

例 4.3：已知一橢圓Γ：9x²＋4y²＝36，試求其：

(1)中心坐標 (2)焦點坐標 (3)頂點坐標 (4)長軸方程式及長軸長

(5)短軸方程式及短軸長 (6)正焦弦長

A

C x

F₁

F₂

P b O

c

D

B

◎平移方程式 例 4.4：已知將橢圓

7 x2

＋16 y2

＝1 的圖形沿 x 軸方向平移 3 單位，再沿 y 軸方向平移 4 單位，可以得到橢圓 Γ 的圖形，

試求橢圓 Γ 的方程式。

例 4.5：已知橢圓 Γ：

4 x ＋2

9

y ＝1，將圖形 Γ 以原點為中心伸縮 3 倍，得到一個新橢圓 Γ ′的圖形，試求橢圓 Γ ′的方程式 2

例 4.6：已知橢圓兩頂點為(2，3)，(2，－7)，一焦點為(2，－6)，試求其方程式

◎平移各名稱

例 4.7：已知橢圓Γ： 1

) 2 (x+ ²

＋ 4 ) 1 (y+ ²

＝1，試求其：

(1)中心坐標 (2)焦點坐標 (3)頂點坐標 (4)長軸方程式及長軸長

(5)短軸方程式及短軸長 (6)正焦弦長

例 4.8：試將橢圓 4x²＋3y²－8x－12y＋4＝0 化為標準式，並求其頂點與焦點坐標。