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1104 高毅甲 2-1 2-2 班級 姓名 座號 一、單選題 (5 題 每題 10 分 共 50 分)
（ ）1.一線性規劃問題的可行解區域為坐標平面上的正八邊形 ABCDEFGH 及其內部﹐如下圖﹒已知目標函數 ax by 3（其中 a﹐b 為 實數）的最大值只發生在 B 點﹒請問當目標函數改為 3 bx ay 時﹐最大值會發生在下列哪一點﹖ (1)A (2)B (3)C (4)D (5)E﹒
【104 學測】
解答 1
解析 令 L1：ax by 3 k﹐即 1 3
:
a k
L y x
b b ﹐
因為最大值只發生在 B 點﹐且AB的斜率為 1﹐
所以 L1斜率 a 1
b ﹐x 項係數 a 0﹐y 項係數 b 0﹒
再令 L2：3 bx ay h﹐即 2 3
:
b h
L y x
a a ﹐
因為 L2斜率0 b 1
a ﹐x 項係數 b 0﹐y 項係數 a 0﹒
所以最大值只發生在 A 點﹒
故選(1)﹒
（ ）2.下圖中的三角形區域﹐其三邊的直線方程式分別為 x 2y 1﹐3x y 8﹐2x y 3﹐則三角形區域（含邊界）可用下列哪一組 不等式表示﹖ (1)x 2y 1﹐3x y 8﹐2x y 3 (2)x 2y 1﹐3x y 8﹐2x y 3 (3)x 2y 1﹐3x y 8﹐2x y 3 (4)x 2y 1﹐3x y 8﹐2x y 3 (5)x 2y 1﹐3x y 8﹐2x y 3﹒
x y
O
【課本例習題】
解答 3
解析 設三直線 L1：x 2y 1﹐L2：3x y 8﹐L3：2x y 3 的斜率分別為 m1﹐m2﹐m3﹒因為 m3 m1 m2﹐所以各直線的位置如圖所 示﹕
x y
2x y= 3 O
3x +y =8 x +2y =1
觀察灰色部分﹐為 x 2y 1 的右半平面﹐3x y 8 的左半平面與 2x y 3 的右側平面相交所成﹐所以為聯立不等式 x 2y 1﹐
3x y 8﹐2x y 3﹒
故選(3)﹒
（ ）3.某汽車公司有 A﹑B 二廠生產同規格汽車﹐其每天產能分別為 15 輛及 20 輛﹐該公司二經銷站 M﹑N﹐每日需求分別為 10 輛及 25 輛﹐公司欲擬最佳運輸計劃﹐使每日總運費最低；其中每輛車運費為：由 A 廠至 M 站 150 元﹐A 廠至 N 站 200 元﹐B 廠至 M 站 200 元﹐B 廠至 N 站 100 元；則其最低總運費是 (1)3000 元 (2)3500 元 (3)4000 元 (4)4500 元﹒
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【課本類題】
解答 4
解析 設 A 廠送至 M 站每日 x 輛車﹐送至 N 站每日 15 x 輛車﹐B 廠送至 M 站每日 y 輛車﹐送至 N 站每日 20 y 輛車﹐依題意列式得
0 15
0 20
10
(15 ) (20 ) 25 x
y x y
x y
ì ㄒïï ïï ㄒïï íï + ?
ïïï - + - ? ïïî
L L
L L
﹐且 x﹐y 均為整數﹐
由可得 x y 10﹐如圖﹐
x y
O x+y= 10
y= 20
x= 15 (0,10)
(10,0)
各種運費之一覽表如下：
M N
A 150 元 200 元 B 200 元 100 元
寫成方程式可得 f (x , y) 150x 200(15 x) 200y 100(20 y) 50(x 2y) 5000﹐
故 f (0 , 10) 50 (20) 5000 6000﹐f (10 , 0) 50 10 5000 4500﹐
即最低總運費為 4500 元﹐故選(4)﹒
（ ）4.下圖中 A﹐B﹐C﹐D﹐E 為坐標平面上的五個點﹐將這五個點的坐標(x,y)分別代入 2x y﹐哪一個點代入所得的值最小﹖ (1)A (2)B (3)C (4)D (5)E﹒
A B
E D C
x y
O
【課本例習題】
解答 1
解析 利用平行線法﹒先畫出通過原點的直線 2x y 0﹐
而後將直線 2x y 0 向右上方平行移動﹐如圖所示﹕
因為所有與 2x y 0 平行的直線 2x y k﹐當直線越往右移動﹐則 k 的值越大﹐所以由圖可知﹕A 點代入所得的值最小﹐故選(1)﹒
A B
E D C
x y
O 2x+y =0
（ ）5.如圖﹐L1﹕y ax b﹐L2﹕y cx d﹐L3﹕y ex f﹐下列各數哪一個最小﹖ (1)a (2)b (3)c (4)d (5)e﹒
x y
O L1
L2
L3
(1,0) (0,2)
( 2,0) (0, 1) (0, 4)
【90 中山女中期中考】
－ 3 － 解答 2
解析 0 ( 4) 1 0 4 a
﹐ 2 0
0 1 2 c
﹐ 0 ( 1) 1
2 0 2 e
﹐
由(0 , 4)﹐(0 , 2)﹐(0 , 1)各點得 b 4﹐d 2﹐f 1﹐
故選(2)﹒
二、填充題 (5 題 每題 10 分 共 50 分)
1.設 x 為實數﹐求 (x4)225+ (x4)21之最小值為____________﹒
【臺中一中期中考】
解答 10
解析 即在 x 軸上找一點 P﹐使AP+BP為最小值﹐可得最小值=A B = 10﹒
P B(-4,1)
A'(4,-5) A(4,5)
x y
O
2.k﹐mR﹐k2 + m2 0﹐直線(4k + 3m)x + (k m)y 13k 10m = 0 恆過定點____________﹒（請寫出點坐標）
【高雄中學期中考】
解答 (23 7 , 1
7
)
解析 k﹐mR﹐k2 + m2 0﹐原式 (4x + y 13)k + (3x y 10)m = 0 恆成立﹐
則 4 13 0
3 10 0
x y x y
﹐得
23 7
1 7 x
y
﹐即恆過定點(23 7 , 1
7
)﹒
3.設四點 A (1 , 1)﹐B (3 , 2)﹐C (0 , 1)﹐D (a , 7)﹐若直線AB 與直線 CD 垂直﹐則 a 之值為____________﹒
【龍騰自命題】
解答 4
解析 2 1 1 3 1 2 mAB
﹐ 7 ( 1) 8
CD 0
m a a
﹐
AB CD 1
m m 1 8
2 a 1 a 4﹒
4.坐標平面上三點 A(3,3)﹐B( 1, 5)﹐C(6,0)﹐求
(1)直線 AC 與 y 軸之交點為____________﹒
(2)直線 y mx 5 和△ABC 有交點﹐則實數 m 範圍為____________﹒
【98 台中女中期中考】
解答 (1)(0,6);(2)m 10 或 2 m 3
解析 (1) 3 0 ( 6) AC y 3 x
： y x 6﹐故AC與 y 軸交點(0,6)﹒
(2)y mx 5 過定點 P(0,5)﹐
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x y
O
B( 1, 5) A(3,3)
C(6,0) P(0,5)
如圖﹐ 2
PA 3 m
﹐ 10
1 10
mPB ﹐∴m 10 或 2 m 3﹒
5.若點(k,1 k)在三直線 x y 3﹐2x y 3﹐4x 5y 33 0 所圍成的三角形內部（不含三邊）﹐則實數 k 的範圍為____________﹒【100 臺中一 中期中考】
解答 1 k 4
解析 三角形頂點分別為(2,5)﹑(2,1)﹑(8,13)﹐
[ (1 ) 3](8 13 3) 0 1 [2 (1 ) 3]( 4 5 3) 0 4 [4 5(1 ) 33](8 5 33) 0 28
k k k
k k k
k k k
﹐∴1 k 4﹒
