第二部分問卷

附錄一 有效解題流程,共五種

甲、「觀察方程組係數關係，直接判斷幾何意義」之解題流程圖

乙、「先觀察方程組係數關係，再搭配消去法判斷幾何意義」之解題 流程圖

正 確 的 幾 何 圖 像

可

能 的 幾 何

用克拉瑪公式 恰有一解無解

0

 是否

z y

x 

, , 是否至少 有一不為 0

三 元 一 次 方 觀察係數

是否成比例 Yes

偶七 2(3)

偶七 2(1) No

正 確 的 幾 何 圖 像

可

能 的 幾 何 圖 像

用克拉瑪公式 用高斯消去法用代入消去法用加減消去法 恰有一解無解無限多解

0

 是否

z y

x 

, , 是否至少 有一不為 0

三 元 一 次 方 程 組 觀察係數

是否成比例 Yes

偶五 奇偶一

偶三(2) 偶四(1)

奇偶一

偶五

丙、「先利用消去法求出解的狀況，再搭配方程組係數關係判斷幾何意義」

之解題流程圖

正 確 的 幾 何 圖 像

可

能 的 幾 何 圖 像

用克拉瑪公式 用高斯消去法用代入消去法用加減消去法 恰有一解無解無限多解

0

 是否

z y

x 

, , 是否至少 有一不為 0

三 元 一 次 方 程 組 觀察係數

比例關係

A3

A4

A5

偶六(1) 奇偶二(1) 奇偶二(2)

偶六(2)

丁、「先觀察方程組係數關係，再搭配克拉瑪公式判斷幾何意義」之解題 流程圖

No

正 確 的 幾 何 圖 像

可

能 的 幾 何 圖 像

用克拉瑪公式 用高斯消去法用代入消去法用加減消去法 恰有一解無解無限多解

0

 是否

z y

x 

, , 是否至少 有一不為 0

三 元 一 次 方 程 組 觀察係數

是否成比例

Yes

Yes 偶七 1(1) No

Yes

No

A6

偶七 1(3) 偶七 1(2)

戊、「先利用克拉瑪公式判斷,_x, ,_y _z是否為 0，再撘配方程組係數關 係判斷幾何意義」之解題流程圖

正 確 的 幾 何 圖 像

可

能 的 幾 何 圖 像

用克拉瑪公式 用高斯消去法

用代入消去法

用加減消去法 恰有一解無解無限多解

0

 是否

z y

x 

, , 是否至少 有一不為 0

三 元 一 次 方 程 組 觀察係數

比例關係

Yes

Yes No

No

奇四

奇五(1) 奇七 奇五(2)

奇五(3)

奇三

附錄二 第一部分問卷

◎測驗說明

親愛的同學，您好:

這份問卷的目的是想了解您對於剛學過的三元一次方程組幾何意義的看法。

問卷設計方向是仿照學測的命題精神，因此著重於看各位同學的想法。請您盡量以最

真實的感覺來作答，答案的正確與否固然重要，但是我們更想知道的是您內心真正的想法；

因此，將您的所知、所想盡量寫出來就是最好的答案。

非常謝謝您的幫忙，讓這個研究得以順利進行且更有價值。

雖然我不認識您,但是我謝謝您!

◎注意事項

1.請同學記得寫上「班級」、「座號」及「姓名」。

2.請同學看完題目之後,在覺得合理的選項前面打勾或在空格填答。

3.所有題目皆為複選題,但也可以只勾一個選項。

4.這份問卷共有兩部分。

第一部分有六題，請您盡量填寫，寫完之後先交給老師；

接著，請座號為奇數的同學，領取第二部分的(座號為奇數同學專用卷)繼續做答；

請座號為偶數的同學，領取第二部分的(座號為偶數同學專用卷)繼續做答。

班級： 座號： 姓名：

◎第一部分問卷：共有六題,作答時間 25 分鐘

一、請判斷下列方程組的幾何意義及解的情形：(請寫出計算過程或理由)

1.























3 2 6 4

1 2

2 3

2

z y x

z y x

z y x

(計算過程或理由)：

基於以上的計算過程或理由，我認為

此方程組的幾何意義為 此方程組解的情形為

2. 























0 7

3

5 2 4

2 3

z y x

z y x

z y x

(計算過程或理由)：

基於以上的計算過程或理由，我認為

二、(1)你覺得空間中兩平面的相交狀況可能為何？請把你想到的所有可能情形都描述出 來：(可用文字或圖形輔助說明)

(2)承(1)，請描述上述兩平面各種相交狀況的交點個數。

三、若已知下列被污漬的三元一次方程組恰有一解，請問此方程組中三平面的相交狀況

可能為何？

























2 5 2

2 2

2 2

z y x

z y x

z y x

請把你想到的所有可能情形都描述出來：

(可用文字或圖形輔助說明)

四、若已知下列被污漬的三元一次方程組無解，請問此方程組中三平面的相交狀況可能 為何？

























2 5 2

2 2

2 2

z y x

z y x

z y x

請把你想到的所有可能情形都描述出來：

(可用文字或圖形輔助說明)

五、若已知下列被污漬的三元一次方程組有無限多解，請問此方程組中三平面的相交狀

況可能為何？

























2 5 2

2 2

2 2

z y x

z y x

z y x

請把你想到的所有可能情形都描述出來：

(可用文字或圖形輔助說明)

六、已知某三元一次方程組中任兩條方程式的x,y,z 項係數都不成比例，請問此方程組

中三平面的相交狀況可能為何?

請把你想到的所有可能情形都描述出來：

(可用文字或圖形輔助說明)

---

第一部分問卷作答結束

請將此問卷先交給老師，接著

請座號為奇數的同學，領取第二部分的(座號為奇數同學專用卷)繼續做答；

請座號為偶數的同學，領取第二部分的(座號為偶數同學專用卷)繼續做答。

謝謝！

附錄三 第二部分問卷之奇數座號學生專用卷

座號為奇數同學專用卷

第二部分問卷

(模擬學測問卷)

共九題，作答時間 20 分鐘

所 有 計 算 請 寫 在 問 卷 空 白 處

班級： 座號： 姓名：

一、已知三元一次方程組

























5 4 6 2

1 5 2

3 2 3

z y x

z y x

z y x

，你會如何判定此方程組中三平面的相交狀

況? 把你認為你有可能會做的都勾起來。

□ 1.我會先求出解或利用克拉瑪公式來判定三平面的相交狀況。

□ 2.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(1)這一類的

□ 3.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(2)這一類的

□ 4.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(3)這一類的

□ 5.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(4)這一類的

□ 6.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(5)這一類的

□ 7.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(6)這一類的

□ 8.其他，我會

【圖形】

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

二、(1).已知三元一次方程組無解，則此方程組中三平面的相交狀況有可能是下列 哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

(2).承(1)，如果又已知此方程組為

























2 5 2

2 2

2 2

z y x

z y x

z y x

，則此方程組中三平面的相交狀

況有可能是下列哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

【圖形】

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

三、有一個題目要你判斷三元一次方程組中三平面的相交狀況，如果你已經算出0，

請問下一步你會做哪些事？把你認為你有可能會做的都勾起來。

□ 1.求出_x,_y,_z

□ 2.判定這個方程組一定無解

□ 3.判定這個方程組一定有無限多解

□ 4.判定這個方程組一定恰有一解 圖(一)

□ 5.判定這個方程組可能有無限多解,也可能無解 □ 6.判定「三平面交於一點」

□ 7.判定「三平面交於一線」

□ 8.判定「三平面兩兩交於一線，且三交線平行」

□ 9.判定三平面的相交狀況是如右圖(一)這一類的 圖(二)

□ 10.判定三平面的相交狀況是如右圖(二)這一類的

□ 11.判定三平面的相交狀況是如右圖(三)這一類的

□ 12.其他，我會

圖(三)

四、有一個題目要你判斷一個三元一次方程組中三平面的相交狀況,如果你已經算出

 =0，_x 0，請問下一步你會做哪些事？把你認為你有可能會做的都勾起來。

□ 1.用加減消去法或代入消去法或高斯消去法解出 x,y,z

□ 2.觀察方程式之間的係數關係來判定三平面的相交狀況

□ 3.判定這個方程組一定無解

□ 4.判定這個方程組一定有無限多解

□ 5.判定這個方程組一定恰有一解

□ 6.判定這個方程組可能有無限多解,也可能無解

□ 7.其他，我會

五、(1).已知三元一次方程組_x _y _z=0，則此方程組中三平面的相交狀況可能 為下列哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

(2).承(1)，如果又已知方程組為

























5 3

6 4 2 2

3 2

z y x

z y x

z y x

，則此方程組中三平面的相交狀況

可能為下列哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

(3).承(1).，如果又已知方程組為

























3 7 3

2 3 2

1

z y x

z y x

z y x

，則此方程組中三平面的相交狀況

可能為下列哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

【圖形】

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

六、有一個題目要你判斷三元一次方程組中三平面的相交狀況,如果你已經算出 =0，請 問下一步你會做哪些事？把你認為你有可能會做的都勾起來。

□ 1.算算看_x,_y,_z有沒有一個不為 0

□ 2.用加減消去法或代入消去法或高斯消去法解出 x,y,z □ 3.觀察方程式之間的係數關係來判定三平面的相交狀況

□ 4.判定這個方程組一定無解

□ 5.判定這個方程組一定有無限多解

□ 6.判定這個方程組一定恰有一解

□ 7.判定這個方程組可能有無限多解,也可能無解

□ 8.其他，我會

七、有一個題目要你判斷三元一次方程組中三平面的相交狀況,如果你已經算出

z y

x  





 =0，請問下一步你會做哪些事？把你認為你有可能會做的都勾起來。

□ 1.用加減消去法或代入消去法或高斯消去法解出 x,y,z □ 2.觀察方程式之間的係數關係來判定三平面的相交狀況

□ 3.判定這個方程組一定無解

□ 4.判定這個方程組一定有無限多解 □ 5.判定這個方程組一定恰有一解

□ 6.判定這個方程組可能有無限多解,也可能無解

□ 7.其他，我會

八、連連看：請把每個圖形連到它配合的敘述：

【圖形】 【敘述】

◍

◍

◍

◍

◍

◍

◍(1)三平面重合

◍(2)兩平面重合與另一平面平行

◍(3)兩平面重合與另一平面交於一線

◍(4)三平面平行

◍(5)兩平面平行與另一平面各交一線

◍(6)三平面交一點

◍(7)三平面交一線

◍(8)三平面兩兩交一線，三交線平行

九、如果已知方程組為















 0 0 0

z x

z y

x

，則此方程組中三平面的相交狀況可能為下列哪些

圖形？(寫出圖形代號即可)

答： 你是用什麼方法判斷的？

【圖形】

(1) (2)

z z

y y

x x

(3) (4)

z z

y y

附錄四 第二部分問卷之偶數座號學生專用卷

座號為偶數同學專用卷

第二部分問卷

(模擬學測問卷)

共九題，作答時間 20 分鐘

所 有 計 算 請 寫 在 問 卷 空 白 處

一、已知三元一次方程組

























5 4 6 2

1 5 2

3 2 3

z y x

z y x

z y x

，你會如何判定此方程組中三平面的相交

狀況? 把你認為你有可能會做的都勾起來。

□ 1.我會先求出解或利用克拉瑪公式來判定三平面的相交狀況。

□ 2.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(1)這一類的

□ 3.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(2)這一類的

□ 4.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(3)這一類的

□ 5.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(4)這一類的

□ 6.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(5)這一類的

□ 7.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(6)這一類的

□ 8.其他，我會

【圖形】

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

二、(1).已知三元一次方程組無解，則此方程組中三平面的相交狀況有可能是下列 哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

(2).承(1)，如果又已知此方程組為

























2 5 2

2 2

2 2

z y x

z y x

z y x

，則此方程組中三平面的相交狀

況有可能是下列哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

【圖形】

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

三、請從下列【選項】中選出可能表示下圖的所有方程組：(寫出選項代號即可) (1) (2)

答： 答：

【選項】

1.























5 4 2 2

1 2

3 2

z y x

z y x

z y x

2.

























1 2 3

2 2 3

5 4 2 6

z y x

z y x

z y x

3.























2 5 2

2 2

2 2

z y x

z y x

z y x

4.

























2 2 2 2

1 2 3 2

z y x

z y x

z y x

四、請從下列【選項】中選出可能表示下圖的所有方程組：(寫出選項代號即可) (1) (2)

答： 答：

【選項】

1.























3 7 3

2 3 2

1

z y x

z y x

z y x

2.



























3 2 3 3 6

1 2

z y x

z y x

z y x

3.



























5 3 2

1 3 2

2 6 4 2

z y x

z y x

z y x

4.

























2 4 2 6

2 3 2

1 2 3

z y x

z y x

z y x

五、已知三元一次方程組

























2 2 6 4

0 3

1 3

2

z y x

z y x

z y x

，你會如何判定此方程組中三平面的相交狀

況? 把你認為你有可能會做的都勾起來。

□ 1.我需要求出解或利用克拉瑪公式來判定三平面的相交狀況。

□ 2.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(1)這一類的

□ 3.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(2)這一類的

□ 4.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(3)這一類的

□ 5.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(4)這一類的

□ 6.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(5)這一類的

□ 7.直接判定三平面的相交狀況是如下圖(6)這一類的

□ 8.其他，我會

【圖形】

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

六、(1).已知三元一次方程組有無限多解，則此方程組中三平面的相交狀況有可能是下 列哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

(2).承(1).，如果又已知此方程組為

























3 7 3

2 3 2

1

z y x

z y x

z y x

，則此方程組中三平面的相交狀

況有可能是下列哪些圖形？(寫出圖形代號即可)

答：

【圖形】

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

七、（A 部分）

有一個題目要你判斷一個三元一次方程組中三平面的相交狀況,如果方程組中任兩

條方程式的x,y,z 項係數都不成比例，請問下一步你會做哪些事？把你認為你有可 能會做的都勾起來。

□ 我會利用克拉瑪公式算下去

□ 我會利用加減消去法、代入消去法或高斯消去法求出解

七、（B 部分）

承上頁 A 部分，如果方程組中任兩條方程式的x,y,z 項係數都不成比例，

1.當做法是用克拉瑪公式的話，求出,_x, ,_y _z之後 (1).如果0，三平面相交狀況就可能是如下面

□圖 1 □ 圖 2 □圖 3 □圖 4 □圖 5 □圖 6 □ 不能判定圖形 (2).如果0，而且_x, ,_y _z中有一個不為 0，三平面相交狀況就可能是如下面 □圖 1 □ 圖 2 □圖 3 □圖 4 □圖 5 □圖 6 □ 不能判定圖形

(3).如果_x _y _z=0，三平面相交狀況就可能是如下面

□圖 1 □ 圖 2 □圖 3 □圖 4 □圖 5 □圖 6 □ 不能判定圖形

2.當做法是用加減消去法、代入消去法或高斯消去法求出解的話，

(1).如果得知此方程組無解，三平面相交狀況就可能是如下面

□圖 1 □ 圖 2 □圖 3 □圖 4 □圖 5 □圖 6 □ 不能判定圖形 (2).如果得知此方程組有無限多解，三平面相交狀況就可能是如下面

□圖 1 □ 圖 2 □圖 3 □圖 4 □圖 5 □圖 6 □ 不能判定圖形 (3).如果得知此方程組恰有一解，三平面相交狀況就可能是如下面

□圖 1 □ 圖 2 □圖 3 □圖 4 □圖 5 □圖 6 □ 不能判定圖形

【圖形】

(1) (2) (3)

(4) (5) (6)

八、連連看：請把每個圖形連到它配合的敘述：

【圖形】 【敘述】

◍

◍

◍

◍

◍

◍

◍ (1)恰有一解

◍ (2)無解

◍ (3)無限多解

◍ (4)其他

九、

1.右圖(一)表示空間中兩平面的法向量，則：

(1)此兩平面的相交狀況可能為何？請把你想到的所有 可能情形都描述出來：(可用文字或圖形輔助說明)

圖(一)

(2) 此二平面各種相交狀況中交點個數為何？

2.右圖(二)表示空間中三平面的法向量，則：

(1)此三平面的相交狀況可能為何？請把你想到的所有 可能情形都描述出來：(可用文字或圖形輔助說明)

圖(二)

(2)此三平面各種相交狀況中交點個數為何？

附錄五 前置研究問卷

請盡量發表你的看法，每個問題的答案都是因人而異的，沒有對與錯 的問題！

本問卷採匿名方式，所拍攝之錄影帶，只做研究之用；在未經你的許 可之前，絕對不會做其他用途，請安心回答，謝謝！

---

◎問題 1：

你可以告訴我「2x y3 6的解」是什麼樣子嗎？

◎問題 2：

你可以告訴我「2x y3 6的圖形」是什麼樣子嗎？

◎問題 3：

你可以告訴我「2x y3 6的解」與「2x y3 6的圖形」的關係嗎？

◎問題 4：

你覺得右圖中的 表示什麼呢？ 

◎問題 5：

◎問題 6：

在右圖中，你看到了什麼？ ₁：2X-3Y+6=0 A

◎問題 7： ₂：6X+Y-12=0 你會用哪些方法描述上圖中的 A 點呢？

◎問題 8：

在右圖中，你看到了什麼？

₂

₁

◎問題 9：

你覺得「2x3y4z12的解」會是什麼樣子嗎？

◎問題 10：

你覺得找「2x y3 6的解」和找「2x3y4z12的解」有什麼差別？

◎問題 11：

你覺得「2x3y4z12的圖形」會是什麼樣子呢？

◎問題 12：

你覺得畫「2x y3 6的圖形」和畫「2x3y4z12的圖形」有什麼差別？

◎問題 13：

你覺得右圖表示什麼？

◎問題 14：

你覺得右圖表示什麼？

◎問題 15：

你覺得右圖表示什麼？

◎問題 16：

你都怎麼畫「平面上的點」？

◎問題 17：

你都怎麼畫「平面上的直線」？

◎問題 18：

你都怎麼畫「空間中的點」？

◎問題 19：

你都怎麼畫「空間中的直線」？

◎問題 20：

你都怎麼畫「空間中的平面」？

◎問題 13-1：

你覺得右圖表示什麼？

附錄六 題號對照表

新題號 原題號

一 奇偶一

二 偶五

三(2) 偶三(2)

四(1) 偶四(1)

五 A6

六 1(1) 偶七 B1(1)

六 1(2) 偶七 B1(2)

六 1(3) 偶七 B1(3)

六 2(1) 偶七 B2(1)

六 2(2) 偶七 B2(2)

六 2(3) 偶七 B2(3)

七 A3

八 A4

九(1) 奇偶二(1)

九(2) 奇偶二(2)

十 A5

十一(1) 偶六(1)

十一(2) 偶六(2)

十二 奇三

十三 奇四

十四 奇七

十五(1) 奇五(1)

十五(2) 奇五(2)

十五(3) 奇五(3)