2-2 線性規劃
重點一 二元一次不等式
例題 1
試作下列各不等式之圖形：
(1)－x≥ 3。（3 分） (2)y＜1。（3 分） (3)2x－3y≤ 6。（4 分）
解 (1)－x≥ 3 x ≤－3
令 L1：x＝－3，0＞－3，所以 x≤－3 的圖形為包含 L1，但不包含原點的半平面，如 下圖(一)
(2)令 L2：y＝1 0＜1，所以 y＜1 的圖形為包含原點的半平面，如下圖(二) x 0 3
(3)令 L3：2x－3y＝6，其截距為
y －2 0 先畫 L3：2x－3y＝6 的圖形
取原點（0﹐0）代入 L3，因為 2×0－3×0＝0＜6
所以 2x－3y≤ 6 的圖形為包含原點的半平面與 L3，如下圖(三)
圖(一) 圖(二) 圖(三)
例題 2
試畫出下列各二元一次不等式的圖形：
(1)x＋y≥ 2x＋4。（3 分） (2)x－y＞4。（3 分） (3)x－y＞3＋x。（4 分）
解 (1)x＋y≥ 2x＋4 y ≥ x＋4
x 0 －4 令 L1：y＝x＋4，其截距為
y 4 0
先畫出 L1：y＝x＋4 的圖形，取原點（0﹐0）代入 L1，因為 0＜0＋4 所以 y≥ x＋4 的圖形為包含 L1，但不包含原點的半平面，如下圖(一)
x 0 4 (2)令 L2：x－y＝4，其截距為
y －4 0
先畫出 L2：x－y＝4 的圖形，取原點（0﹐0）代入 L2，因為 0－0＝0＜4 所以 x－y＞4 的圖形為不包含原點的半平面，如下圖(二)
(3)x－y＞3＋x －y＞3 y＜－3
令 L3：y＝－3，0＞－3，所以 y＜－3 的圖形為不包含原點的半平面，如下圖(三)
圖(一) 圖(二) 圖(三)
已知兩定點 A（1﹐3），B（－1﹐5），若AB與直線 L：3x－2y＋k＝0 相交，則 k 值的範圍 為 。（10 分）
解 ∵mAB＝ 5 3 1 1
－
－ － ＝－1 AB不平行 L
故AB與直線 3x－2y＋k＝0 相交，表示 A，B 在直線 L 的異側 或是 A，B 兩點中恰有一點落在直線 L 上
A，B 在直線 L 的異側或在 L 上
（3×1－2×3＋k）〔3×（－1）－2×5＋k〕≤ 0
（k－3）（k－13）≤ 0
3≤ k ≤ 13
例題 4
(1) 在平面上，畫出滿足下列不等式的圖形： 3 0 2 6 0 x y
x y
≤
≤
＋ －
－ ＋ 。（4 分）
(2) 在平面上，
畫出滿足不等式
2 5 0 3 4 5 0
2 5 0 x y x y x y
≤
≥
≥
－ －
－ ＋
＋ －
的圖形。（4 分）
其面積為 。（2 分）
解 (1)分別畫出直線 L1：x＋y－3＝0，L2：x－2y＋6＝0 的圖形 x＋y－3≤ 0 在 L1及包含原點的半平面
x－2y＋6≤ 0 在 L2及不包含原點的半平面 將兩個圖形畫在同一平面上
取其圖形重疊的部分，即為所求
(2)畫出直線
L1：2x－y－5＝0，L2：3x－4y＋5＝0，
L3：x＋2y－5＝0
2x－y－5≤ 0，在 L1及包含原點的半平面 3x－4y＋5≥ 0，在 L2及包含原點的半平面 x＋2y－5≥ 0，在 L3及不包含原點的半平面 將三個圖形畫在同一平面上
取其圖形重疊的部分，即為所求
∵msuurAC×mBCsuur＝－1
∴ AC ⊥ BC ， AC ＝ 20 ， BC ＝ 5
△ABC 面積為1
2× 20 × 5 ＝5
例題 5
試寫出不等式，使其圖形滿足下圖（含邊界）的三角形區域。（10 分）
解 利用兩點式，求出
4 3 0 3 2 17
5 0 AB x y BC x y AC x y
suur suur suur
： － ＝
： ＋ ＝
： － ＝ 所求在△ABC 內部
設 D（1﹐0）將 D 代入AB
suur得 4×1－3×0＞0，得 4x－3y≥ 0，包含AB
suur及 D 點的半平面 將 D 代入 BCsuur
得 3×1＋2×0＜17，得 3x＋2y≤ 17，包含 BCsuur
及 D 點的半平面 將 D 代入 ACsuur
得 1×1－5×0＞0，得 x－5y≤ 0，包含 ACsuur
但不包含 D 點的半平面 如下圖所示
△ABC 區域（含邊界）不等式為
4 3 0 3 2 17
5 0 x y x y x y
≥
≤
≤
－
＋
－
例題 6
不等式
0 4 0 5 6 x y x y
≤
＜ ＜
＜ ＜
＋
所表示的圖形區域中有 個格子點。（10 分）
解 要滿足不等式
0 4 0 5 6 x y x y
≤
＜ ＜
＜ ＜
＋
，且 x，y∈
x 1 2 3
y 1～4 1～4 1～3 共有 4＋4＋3＝11 個格子點
例題 7
試在聯立不等式
3 2 30 2 3 30 4 20
0 0 x y
x y x y
x y
≤
≤
≤
≥ ≥
＋
＋
＋
，
的條件下，試求 3x＋5y 之最大值為 。（10 分）
解 不等式之圖形如下所示
（x﹐y） （0﹐0） （5﹐0） （3﹐8） （0﹐10）
由 3x＋5y 0 15 49 50 故 3x＋5y 之最大值為 50
例題 8
若（x﹐y）為聯立不等式
3 9
2 4 5 31 x y x y x y
≥
≤
≤
＋
－ －
＋
所表示圖形上的任一點，且 P＝kx＋y 在（1﹐6）有最
小值，則 k 的範圍為 。（10 分）
解 聯立不等式
3 9
2 4 5 31 x y x y x y
≥
≤
≤
＋
－ －
＋
之圖形如下圖三角形區域
其頂點為（1﹐6），（2﹐3），（6﹐5）
（x﹐y） （1﹐6） （2﹐3） （6﹐5）
kx＋y k＋6 2k＋3 6k＋5
∵P＝kx＋y 在（1﹐6）有最小值
∴ 6 2 3 6 6 5
k k
k k
≤
≤
＋ ＋
＋ ＋
3 1 5 k k
≥
≥
，故 k≥ 3
例題 9（線性規劃應用問題）
建築公司在房市熱絡時推出甲、乙兩型熱門預售屋。企劃部門的規劃如下：甲型屋每棟地價 成本為 200 萬元，建築費用為 400 萬元，乙型屋每棟地價成本為 300 萬元，建築費用為 100 萬元，公司在資金部分限制地價總成本上限為 3000 萬元，所有建築費用的上限為 2000 萬元；
無論甲型或乙型售出，每棟獲利皆為 100 萬元，假設推出的預售屋皆可售出，請問推出甲、
乙兩型預售屋各幾棟，公司才可得到最大利潤。（10 分）
解 設甲 x 棟，乙 y 棟，則 200 300 3000 400 100 2000
x y
x y
x y
≤
≤
＋
＋
， 為非負整數
2 3 30 4 20
x y x y x y
≤
≤
＋
＋
， 為非負整數 而目標函數為 P＝100x＋100y
（x﹐y） （5﹐0） （3﹐8） （0﹐10）
100x＋100y 500 1100 1000
所以當甲推出 3 棟，乙推出 8 棟時，有最大利潤 1100 萬元
例題 10
某公司召聘新員工，共有 160 人應徵參加筆試。筆試場地借用甲大學的教室，該校可租借的 大教室有 5 間，每間可容納 40 人，每間租金 500 元；小教室有 6 間，每間可容納 20 人，每 間租金 150 元。考慮監考人員的限制，筆試教室不能超過 6 間。試問租借大教室 間，
小教室 間，來進行筆試，最省租借場地費用。（10 分）
解 設大教室 x 間，小教室 y 間 40 20 160
6 0 5 0 6
x y
x y x y
≥
≤
≤ ≤
≤ ≤
＋
＋ ，且 x，y 為整數 求 500x＋150y 的最小值
可行解區域如下圖所示
頂點 （2﹐4） （4﹐0） （5﹐0） （5﹐1）
500x＋150y 1600 2000 2500 2650 顯然，當 x＝2，y＝4 時有最小值
故租借大教室 2 間，小教室 4 間最省租借場地費用
