1-4差角公式正弦﹑餘弦的和角公式與差角公式

(1)

 

sin   sin cos cos sin 

 

sin   sin cos cos sin 

 

cos   cos cos sin sin 

 

cos   cos cos sin sin 

例題1--- 求cos15的值

---

隨堂練習--- 求cos 75 cos15  sin 75 sin15 的值

---

例題2--- 求sin 75和sin15的值

---

(2)

隨堂練習---

利用餘弦的和角公式驗證： 6 2

cos75

4

   ﹒

---

例題3--- (1)求cos 48 cos12  sin 48 sin12 的值﹒

(2)求sin 67 cos83  sin 23 cos 7 的值﹒

---

隨堂練習--- (1)求sin 200 cos80  cos 200 sin 80 的值﹒

(2)求cos 50 cos 20  cos 40 cos 70 的值

---

(3)

例題4--- .已知 0

2

 

  ﹐

  2   ﹐且 3

cos  ﹐5 12 sin 13﹐求

(1)^sin^{ }^ ^{的值﹒　(2)}^cos^{ }^ ^的值

---

隨堂練習--- 已知 為第三象限角且 3

sin   ﹐  為第四象限角且5 2 cos  ﹐3

求(1)^sin^{ }^ ^{的值﹒　　(2)}^cos^{ }^ ^的值

---

正切的和角公式與差角公式

 

tan   tan tan 1 tan tan

 

 



(4)

 

tan   tan tan 1 tan tan

 

 



tan ﹐^tan ﹐^tan^{ }^ 皆有意義

隨堂練習--- 利用正切的和角公式與差角公式﹐求tan 75和tan15的值

---

例題5--- 設 ﹐  ﹐ 為△ABC 的三個內角﹒已知 1

tan  ﹐3 tan  2﹐求 (1)^tan 的值﹒　　　　(2) 的度數

---

隨堂練習--- 已知 ﹐  為銳角﹐且 1

tan  ﹐2 1 tan  ﹐求3

(1)^tan^{ }^ 的值﹒　　(2) ^ 的度數

(5)

例題6--- 如下圖﹐有一足球場寬63 公尺﹐球門寬 7 公尺﹐某足球員沿邊界帶球突破﹐在距底線 35 公尺_P處起腳射門﹒設此時_P對球門所張的角為 ﹐求tan 的值﹒

---

隨堂練習--- 練習

右圖中的小方格都是邊長為 1 的正方形﹐求tan 的值﹒

---

二倍角公式

sin 2 2sin cos  ﹐

2 2

cos 2 cos  sin   1 2sin² 2 cos² 1﹐

2

2 tan tan 2

1 tan

 

 

 ﹐（tan² 1）

例題7--- 已知90   180且 3

sin  ﹐求5 sin 2 和cos 2 的值﹒

---

(6)

隨堂練習--- 已知270   360且 3

cos  ﹐求4 sin 2 ﹐cos 2 及tan 2 的值﹒

---

例題8---

已知 1

sin cos

    ﹐求5 sin 2 的值

---

隨堂練習---

已知 1

sin cos

    ﹐求3 sin 2 的值

---

(7)

例題9--- 證明三倍角公式：

(1)sin 3 3sin4sin³ ﹒ (2)cos 3 4 cos³ 3cos

---

隨堂練習--- 利用三倍角公式﹐求sin15 cos15

sin 5 cos5

 

   的值﹒

---

例題10--- 求sin18的值

---

(8)

隨堂練習--- 設  36 ﹐選出正確的選項：

(1)3 180 2 (2)sin 3 sin 2　 (3)3 4sin ² 2 cos (4)4cos² 2cos  1 0　 (5) 1 5

cos  4 ﹒

---

半角公式

　　　　　　 1 cos sin 2 2

     ﹐

　　　　　　 1 cos cos2 2

     ﹐

　　　　　　 1 cos tan2 1 cos

 



  

 （cos  1）﹒

其中等號右邊取正或取負﹐分別由 sin 2

 ﹐ cos 2

 及 tan 2

 為正或負來決定

例題11--- 求 sin

8

 ﹐ cos 8

 與 tan 8

 的值

---

(9)

隨堂練習--- 求 5

sin 8

 與 5 cos 8

 的值

---

例題12--- 已知180   270且 4

sin   ﹐求sin5 2

 ﹐ cos 2

 與 tan 2

 的值

---

隨堂練習--- 已知45   90且 4

sin 2

  ﹐求5 sin ﹐cos 與tan 的值

---

(10)

例題13--- 如右圖所示﹐在山壁上鑿出一隧道形狀的倉庫﹐上沿為圓弧_AD﹐其所在圓的圓心為_BC的中點O﹐半徑為10 公尺﹐_AB與_CD均垂直於_BC﹐且_{AB CD}_ _₅公尺﹒今有一矩形箱子欲放入隧道形倉庫裡﹐試問：這矩形箱子的正面面積最大值為多少平方公尺？

---

隨堂練習--- 如右圖﹐在△ABC 中﹐ABC 90 ﹐_AB_₄﹐_BC_3﹒若以AC為軸將△ABC 翻轉得共平面的△AB C ﹐則_B點到_AB的距離為何？

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1-4　習題

一、基礎題 1. 求下列各值：

(1)sin105﹒ (2)tan105﹒

(3)sin 27 cos 33  cos 27 sin 33 ﹒

(11)

(1)cos ﹒ (2) cos 3

 

  

 

 ﹒

3. 如右圖﹐直角三角形AEF內接於矩形ABCD中﹐若_AF _₁﹐ 20

EAF  ﹐BAE40﹐FGA90﹐則下列選項哪些正確？

(1)BEcos 20 sin 40  (2)CE sin 20 cos 40 

(3)FGsin 20 cos 40  cos 20 sin 40  (4) 3

FG 2 ﹒

4. 已知在△ABC 中﹐ 3

cosA ﹐5 tanB7﹐求(1)tan C的值﹒ (2)C的度數﹒

5. 已知 3 2

    且 4

cos   ﹐求下列各式的值：5

(1)sin 2 ﹒　 (2)cos 2 ﹒　 (3)sin 2

 ﹒　 (4)cos 2

 ﹒　 (5) tan 2

 ﹒

6. 如圖﹐在△ ABC中﹐  B 90 且CAB的角平分線交_BC於_D點﹒已知_AC_₃_AB﹐求 sin CAD ﹒

7. 在坐標平面上﹐點^P^{cos 40 ,}^ ^k^{在三次函數}y4x³3x的圖形上﹐求實數k的值﹒

8. 如下圖﹐A1﹐A₂﹐A3﹐…﹐A8等八個點﹐依次將圓周八等分﹒設圓半徑為r﹐且圓心O 到A A_{1 2}的距離為^a﹐求a

r 的值﹒

(12)

9. 下列選項中何者的值最小？

(1)2sin20cos20 (2)cos 35²  sin 35²  (3)_{2cos 40}² _{ }₁ (4)2sin 70²  1 (5) 2 tan 25₂

1 tan 25



 ﹒

二、進階題

10. 已知tan 1﹐^tan^{ }^  ^²﹐求tan 的值﹒

11. 如下圖﹐在△ ABC中﹐_AB__AC﹐D 在_AB上且_CD__AB﹐_BC_₅﹐_BD_₃﹐求 cos ACD 的值﹒

12. 如下圖﹐ 為一有向角﹐_AB_₃﹐_BC_₄﹐_AB__BC﹐求sin 2 的值﹒

13. 如下圖﹐四邊形ABGH BCFG CDEF, , 都是正方形﹒設ABH  ﹐ACH ﹐

(13)