第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

1．作函数图象的一般方法：描点法、变换法 2．描点法作函数图象的一般步骤

(1)确定定义域；(2)列表；(3)描点；(4)连线成图．

3．变换法作函数图象的常用变换方法 (1)平移变换：

y＝f(x) ――――――――→ h>0，左移h个单位

h<0，右移－h个单位 y＝f(x＋h)；

第二章 函数与基本初等函数

(2)对称变换：

y＝f(x)――――――→关于x轴对称

y＝－f(x)；

y＝f(x)――――――→关于y轴对称

y＝f(－x)；

y＝f(x)――――――→关于原点对称

y＝－f(－x) y＝f(x) ――――――→关于直线y＝x对称

y＝f^－1(x)；

y＝f(x) ――――――→关于直线x＝a对称

y＝f(2a－x)；

y＝f(x) ――――――→关于点a，0对称

y＝－f(2a－x)．

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(3)伸缩变换：

y＝f(x) y＝f(ax)；

y＝f(x)――――――――――――――――→b>1，纵坐标伸长到原来的b倍

0<b<1，纵坐标缩短到原来的b倍 y＝bf(x)．

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(4)翻折变换

①由y＝f(x)的图象作出 的 图 象 (y ＝ f(|x|) 的 图 象关于y轴对称，保留y轴右边图象，作出关于y轴对称图象．)

②由y＝f(x)的图象，作出 的图象(保留x轴上方 图象，将x轴下方图象翻折上去．)

y＝f(|x|)

y＝|f(x)|

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1．(2010·安徽，6)设abc＞0，二次函数f(x)＝ax²＋bx＋c的 图象可能是( )

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[答案] D

[解析] A 项，由图象开口向下知 a＜0，由对称轴位置 知－ b

2a＜0，∴b＜0.又∵abc＞0，

∴c＞0.但由图知 f(0)＝c＜0；

D 项，由图知 a＞0，－ b

2a＞0，∴b＜0.

又∵abc＞0，∴c＜0，由图知 f(0)＝c＜0.

∴D 正确．

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[答案] B

2．(2008·安徽)在同一平面直角坐标系中，函数 y＝g(x) 的图象与 y＝e^x 的图象关于直线 y＝x 对称．而函数 y＝f(x)的 图象与 y＝g(x)的图象关于 y 轴对称，若 f(m)＝－1，则 m 的 值是( )

A．－e B．－1 e C．e D.1

e

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[答案] ②③

3．已知定义在区间[0,1]上的函数 y＝f(x)的图象如图所 示，对于满足 0＜x₁＜x₂＜1 的任意 x₁、x₂，给出下列结论：

①f(x₂)－f(x₁)＞x₂－x₁；

②x₂f(x₁)＞x₁f(x₂)；

③fx₁＋fx₂

2 ＜f(x₁＋x₂

2 )．

其中正确结论的序号是________．(把所有正确结论的序 号都填上)

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第二章 函数与基本初等函数

分别画出下列函数的图象：

(1)y＝|lgx|；(2)y＝2^x＋2；(3)y＝x²－2|x|－1.

[解] (1)y＝



lgx x≥1

－lgx 0<x<1 .

(2)将 y＝2^x 的图象向左平移 2 个单位．

(3)y＝



x²－2x－1 x≥0

x²＋2x－1 x<0.

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[点评与警示] 本题先将函数化简，转化为作基本函数的 图象的问题. 作分段函数的图象时要注意各段间的“触点”．同 时也可利用图象变换得出．

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作出下列函数的图象：

(1)y＝2^x＋1－1；

(2)y＝x＋2 x＋3； (3)y＝sin|x|；

(4)y＝|log₂(x＋1)|.

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[解] (1)y＝2^x＋1－1 的图象可由 y＝2^x 的图象向左平移 1 个 单位，得 y＝2^x＋1 的图象，再向下平移一个单位得到 y＝2^x＋1

－1 的图象，如图 1 (2)y＝x＋2

x＋3＝1－ 1

x＋3，可见原函数可由 y＝

－1

x向左平移 3 个单位再向上平移 1 个单位而得，

如图 2

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(3)当x≥0时y＝sin|x|与y＝sinx的图象完全相同，又y＝sin|x|

为偶函数其图象关于y轴对称，其图象如图3.

(4)首先做出y＝log₂x的图象c₁，然后将c₁向左平移1个单位，

得到y＝log₂(x＋1)的图象c₂，再把c₂在x轴下方图象作关于x轴对 称图象，即为所求图象c₃：y＝|log₂(x＋1)|.如图4(实线部分)．

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_{若不等式 x}2－log_ax<0 对 x∈(0，1

2)恒成立，则实数 a 的 取值范围是( )

A．0<a<1 B. 1

16≤a<1 C．a>1 D．0<a≤ 1

16

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[解析] 原不等式为 x²<log_ax，设 f(x)＝x²，g(x)＝log_ax，

∵0<x<1

2<1，而 log_ax>x²>0，∴0<a<1，作出 f(x)在 x∈(0，1 2) 内的图象，如下图所示．

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[答案] B

[点评与警示] 运用函数图象或抓住函数图象特征是解答 与函数有关问题的常用方法，这类问题是高考客观题(选择、填 空题)的常见题型，应高度注意掌握好解题方法．

∵f(1

2)＝1

4，∴A(1 2，1

4)，当 g(x)图象经过点 A 时，1

4＝log_a1 2

⇒a＝ 1

16，∵当 x∈(0，1

2)时 log_ax>x²，∴g(x)图象按如图虚线 位置变化，∴ 1

16≤a<1，故答案为 B.

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方程lgx＝sinx的实根个数是________个．

[解析] 设f₁(x)＝lgx，f₂(x)＝sinx，∴lg10＝1，而3π<10<4π，

∴f₁(x)与f₂(x)的图象有3个交点．

[答案] 3

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f(x)是定义在区间[－c，c]上的奇函数，其图象如右图 所示，令g(x)＝af(x)＋b，则下列关于函数g(x)的叙述正确的是

( ) A．若a<0，则函数g(x)的图象关于原点对称

B．若a＝1,0<b<2，则方程g(x)＝0有大于2的实根

C．若a＝－2，b＝0，则函数g(x)的图象关于y轴对称 D．若a≠0，b＝2，则方程g(x)＝0有三个实根

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[解析] 解法一：用淘汰法，当 a<0 时，g(x)＝af(x)＋b 是非奇非偶函数，不关于原点对称，淘汰 A.当 a＝－2，b＝

0 时，g(x)＝－2f(x)是奇函数，不关于 y 轴对称，淘汰 C.当 a≠0，b＝2 时，因为 g(x)＝af(x)＋b＝af(x)＋2，当 g(x)＝0 有 af(x)＋2＝0，∴f(x)＝－2

a，从图中可以看到，当－2<－2 a<2 时，f(x)＝－2

a才有三个实根，所以 g(x)＝0 也不一定有三个 实根，淘汰 D.故选 B.

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解法二：当a＝1,0<b<2时，g(x)＝f(x)＋b，由图可知，g(2)

＝f(2)＋b＝0＋b>0，g(c)＝f(c)＋b<－2＋b<0，所以当x∈(2，c)，

必有g(x)＝0，故B正确．

[答案] B

[点评与警示] 本题属于读图题型，解答读图题型的思维 要点是：仔细观察图象所提供的一切信息，并和有关知识结合 起来，全面判断与分析．上述解法一为淘汰法；解法二为直接 法，两法均属于解选择题的通法．

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(2010·山东，11)函数y＝2^x－x²的图象大致是( )

[解] 由图象可知，y＝2^x与y＝x²的交点有3个，说明函数y

＝2^x－x²的零点有3个，故排除B、C选项，当x＜x₀(x₀是y＝2^x－ x²的最小的零点)时，有x²＞2^x成立，即y＜0，故排除D.从而选A.

[答案] A

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(人教A必修1改编)现有如图所示的一个圆台型 杯子，向杯中匀速注水，杯中水面的高度h随时间t变 化的图象是( )

[解析] 由于所给杯子圆台下底面小、上底面大，当时

1 1

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回答下述关于图象的问题：

向形状如右图，高为H的水瓶注水，注满为 止，若将注水量V看作水深h的函数，则函数V＝

f(h)的图象是下图中的( )

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[解析] 水量V显然是h的增函数，将容器的高等分成n段，

每一段记为Δh，从开始注水起(即从下到上)计算，每段Δh对应 的水量分别记为ΔV₁，ΔV₂，…，ΔV_n，由于容器上小下大，

∴ΔV₁＞ΔV₂＞…＞ΔV_n，即当h愈大时，相等高度增加的水量愈 少，∴其图象呈“上凸”形状，故选A.

[答案] A

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1．运用描点法作图象应避免描点前的盲目性，也应避免 盲目地连点成线．要把表列在关键处，要把线连在恰当处．这 就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一 个大概的研究．而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式 等理论和手段，是一个难点．用图象变换法作函数图象要确定 以哪一种函数的图象为基础进行变换，以及确定怎样的变换，

这也是个难点．

第二章 函数与基本初等函数

(2)点(x，y)关于y轴的对称点为(－x，y)；

函数y＝f(x)关于y轴的对称曲线方程为y＝f(－x)；

2．函数的对称性

(1)满足条件 f(x－a)＝f(b－x)的函数的图象关于直线 x＝

a＋b

2 对称；特别地，若 f(a＋x)＝f(a－x)，则 f(x)图象关于直 线 x＝a 对称．

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(3)点(x，y)关于x轴的对称点为(x，－y)；

函数y＝f(x)关于x轴的对称曲线方程为y＝－f(x)；

(4)点(x，y)关于原点的对称点为(－x，－y)；

函数y＝f(x)关于原点的对称曲线方程为y＝－f(－x)；

(5)点(x，y)关于直线y＝x的对称点为(y，x)；曲线f(x，y)＝

0关于直线y＝x的对称曲线的方程为f(y，x)＝0；点(x，y)关于直 线y＝－x的对称点为(－y，－x)；曲线f(x，y)＝0关于直线y＝－

x的对称曲线的方程为f(－y，－x)＝0.

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(6)形如 y＝ax＋b

cx＋d(c≠0，ad≠bc)的图象是双曲线，其两 渐近线分别是直线 x＝－d

c(由分母对应的式子为零确定)和直 线 y＝a

c(由分子、分母中 x 的系数确定)，对称中心是点(－d c， a

c)．

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