2.7 函数的连续性2.7 函数的连续性

微积分

第二章 极限与连续

• 数列极限

• 函数极限

• 变量极限

• 无穷大与无穷小

• 极限的运算法则

• 两个重要的极限

• 函数的连续性

微积分

2.7 函数的连续 2.7 函数的连续 性

性

微积分

函数连续性的定义

函数的连续性描述函数的渐变性态 , 在通常意义下，对函数连续性有三种 描述：

 当自变量有微小变化时，因变量的 变化也是微小的；

 自变量的微小变化不会引起因变量的 跳变；

 连续函数的图形可以一笔画成 , 不断开 .

微积分

一、函数的连续性

1.

. ,

), (

, )

( )

(

0 0

0 0

的增量 称为自变量在点

内有定义 在

设函数

x x

x x

x U

x x

U x

f









 _



. )

( ),

( )

(x f x₀ 称为函数 f x 相应于 x的增量 f

y   



x y

0 x

y

0 0

x x₀  x

) ( x f y 

x

x0 x₀  x

x

y y

) ( x f y 

微积分

2.

定义 1 设函数 f ( x)_在

U

( x

)

果当自变量的增量 x 趋向于零时, 对应的函 数的增量y_{也趋向于零, 即} lim 0

0  



 y

x 或

0 )]

( )

( [

lim _{0 0}

0    



 f x x f x

x , 那末就称函数 )

( x

f _在点 x ₀连续, x 0称为 f ( x)_{的连续点.}

0 x,

x

x   

设 y  f (x)  f ( x₀), ,

0 x x₀

x  

 就是 y  0 就是 f ( x)  f (x₀ ).

微积分

定义2 设函数f(x)_在

U

( x

)

函数f(x)_当

x

x

点x0处的函数值

f ( x

)

0

x f

x

x f

x 



那末就称函数f(x)_{在点x0连续.}

:

"

"   定义

. )

( )

(

, ,

0 ,

0

0

0

























x f

x f

x x

恒有

时 使当

微积分

:

,

x x  x

^{x x x}

: ( )

( ),

y f x  f x

定义： 1

lim

0

x

y







 定义： 2

0 0

lim ( ) ( )

x x

f x f x





定义 3:

设：

0 0

0, 0, x x f x( ) f x( )

   

    当|  |时, |  | <

( ) 0

f x x

都称为在处连续。

微积分

[ ]

f x 在处连续意味着极限运算与函数运算可以交换顺序。x₀

0 0 0

lim ( ) (lim ) ( ).

x x x x

ie f x f x f x

   

注意

微积分

例 1

.

0 ,

0 ,

0

, 0 1 ,

) sin (

处连续

在

试证函数 









  x x

x x x x

f

证 1 0,

sin

lim0 

 x x

 x

, 0 )

0 ( 

又 f lim ( ) (0),

0 f x f

x 



由定义 2 知

. 0

)

( 在 处连续

函数 f x x 

微积分

3.

; )

(

), (

) 0 (

, ]

, ( )

(

0

0 0

0

处左连续 在点

则称

且 内有定义

在 若函数

x x

f

x f x

f x

a x

f  

. )

(

), (

) 0 (

, )

, [

) (

0

0 0

0

处右连续 在点

则称

且 内有定义

在 若函数

x x

f

x f x

f b

x x

f  

定理

.

) ( )

( _{0 0}

处既左连续又右连续

在 是函数

处连续 在

函数 f x x  f x x

微积分

例 2

.

, 0 0 ,

2

, 0 ,

) 2 ( 连续性

处的 在

讨论函数 











  x x

x

x x x

f

解

lim ( ) lim ( 2 )

0

0_









f x x

x

x 

2

f ( 0 ),

) 2 (

lim )

(

lim









f x x

x

x  

2

f ( 0 ),

右连续但不左连续 ,

. 0

)

( 在点 处不连续

故函数 f x x 

微积分

4.

在区间上每一点都连续的函数 , 叫做在该区间上 的连续函数 , 或者说函数在该区间上连续 .

. ]

, [ )

(

, ,

, )

, (

上连续 在闭区间

函数

则称 处左连续

在右端点 处右连续

并且在左端点 内连续

如果函数在开区间

b a x

f

b x

a x

b a





连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线 .

微积分

例 3 证明函数 y  sin x在区间(,)内连续. 证 任取 x (,),

x x

x

y  sin(   )  sin

 )

cos( 2 sin 2

2 x

x  x  

 

, 1 2 )

cos(  x 

 x .

sin 2

2 x

y  

则  , 0

,当 时

对任意的   有sin   , 2 ,

sin

2 x x

y    

故  ^当^{x  0}时^{,y  0.} . )

, (

sin 对任意 都是连续的 函数

即 y  x x   

微积分

二、函数的间断点

: )

( 在点 ₀处连续必须满足的三个条件 函数 f x x

; )

( )

1

( f x 在点x₀处有定义

; )

( lim

) 2 (

0

存在 x

x f

x

).

( )

( lim

) 3

( ₀

0

x f x

x f

x 



).

( )

(

), (

) (

,

0 0

或间断点 的不连续点

为 并称点

或间断 处不连续

在点 函数

则称 要有一个不满足

如果上述三个条件中只

x f

x x

x f

微积分

1.

. )

(

), 0 (

) 0 (

,

, )

(

0 0

0

0

的跳跃间断点

为函数 则称点

但 存在

右极限都 处左

在点 如果

x f

x x

f x

f

x x

f







例 5 ^{0 .}

, 0 ,

1

, 0 ) ,

( 在 处的连续性

讨论函数 











  x

x x

x x x

f

解 ^{f (0  0)  0, f (0  0)  1,}

), 0 0

( )

0 0

(   f 

 f

. 0为函数的跳跃间断点



 x _{o x}

y

微积分

2.

. )

(

) ( ),

( )

( lim

, )

(

0

0 0

0

0

的可去间断点 为函数

义则称点

处无定 在点

或 但

处的极限存在 在点

如果

x f

x

x x

f x

f A

x f

x x

f

x

x  



例 6

. 1

, 1 ,

1

1

, 1 0

, 1

, 2

) (

处的连续性 在

讨论函数











 





 x

x x

x x x

x f

o x

y

1

1 2

x y  1

x y 2

微积分

解 ^{ f (1)  1,}

, 2 )

0 1

(  

f f (1  0)  2,

2 )

(

lim1 

  f x

x  f (1),

. 0为函数的可去间断点



 x

注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函数 的定义 , 则可使其变为连续点 .

微积分

如例 6 中 ,

, 2 )

1 (  令 f

. 1

, 1 ,

1

, 1 0

, ) 2

(

处连续 在

则













  x

x x

x x x

f

o x

y

1

1 2

跳跃间断点与可去间断点统称为第一类间断点 . 特点 函数在点 x₀处的左、右极限都存在 .

微积分

3.

. )

(

, ) (

0 0

的第二类间断点

为函数 则称点

在 右极限至少有一个不存

处的左、

在点 如果

x f

x x x

f

例 7 0 .

, 0 ,

, 0 1 ,

)

( 在 处的连续性 讨论函数 









  x x

x x x x

f

解 ^{f (0  0)  0, f (0  0)  ,} . 1为函数的第二类间断点



 x

断点. 这种情况称为无穷间

o x

y

微积分

例 8 1 0 .

sin )

( 在 处的连续性 讨论函数  x 

x x f

解 在 x 0处没有定义, 1 .

sin

lim0 不存在

且 ^x x

. 0为第二类间断点



 x

断点. 这种情况称为的振荡间

y x1

 sin

注意 不要以为函数的间断点只是个别的几个点 .

微积分

★ 狄利克雷函数



 

 0, ,

, ,

) 1

( 当 是无理数时

是有理数时 当

x x x

D y

在定义域 R 内每一点处都间断 , 且都是第二类 间断点 .

★ 

 

, ,

, ) ,

( 当 是无理数时

是有理数时 当

x x

x x x

f

仅在 x=0 处连续 , 其余各点处处间断 .

微积分

★ 

 

, ,

1

, ,

) 1

( 当 是无理数时 是有理数时 当

x x x

f

在定义域 R 内每一点处都间断 , 但其绝对值 处处连续 .

判断下列间断点类型 :

1 o

x x₂ x₃

y

x

 x f y 

微积分

例 9

. , 0

0 ,

, 0 ,

) cos (

,

处连续 在

函数

取何值时 当

 







  x

x x

a

x x x

f a

解 _ ^{f (0)  a,}

x x

f x

x ( ) limcos

lim0^  0^  1, ) (

lim )

(

lim0 f x 0 a x

x

x _  _ 



  a,

), 0 ( )

0 0

( )

0 0

( f f

f    

要使  a  1,

, 1时

故当且仅当 a 函数 f (x)在 x  0处连续.

微积分

例 10 讨论 x的连续性 x

x x

f _n

n

n 



 



 2

2

1 lim 1 )

(

若有间断点判别其类型，并作出图形 解 lim  0 (| | 1)



 qⁿ q

由于n

则 若

故 | x | 1

n n

n x

x x x

f ₂

2

1 lim1 )

( 

 

   x 则

若 | x | 1

n n

n x

x x x

f ₂

2

1 lim1 )

( 

 

 

1 1)

(

1 1)

( lim

2 2



 

  n n

n

x

x x   x

则

若 | x | 1 f (x)  0

微积分



















1

|

|

1

|

| 0

1

|

| )

(

x x

x x x

x f

外连续 除去 1

)

(x x  

f 当x  1时

1 )

0 1

( , 1 )

0 1

(   f   

f

1 )

0 1

( , 1 )

0 1

(   f     f

跃间断点）

都是第一类间断点（跳

1

 x

微积分

三、连续函数的运算法则

连续 也在 ₀

) 2

( f

g x

则 连续

都在点

若

f , g x

,

也在 函数

对任意常数

0

, ,

) 1 (

x

g f





 

连续 也在

则

若

(

) 0 ,

)

3

( x

g x f

g

.

)]

( [

), (

, )

( ,

) ( )

4 (

0 0

0

0 0

连续

在 则复合函数

且

连续 在

连续 在

若

t t

g f

t g x

x x

f t

t g x





定理

微积分

证明直接用极限的运算法则就可以了 如：

由f (x)与g(x)在x的连续性有

0 0 0 0

lim ( ) ( ), lim ( ) ( )

x x

f x f x

g x g x







0 0 0

lim[ ( ). ( )] ( ). ( )

x x

f x g x f x g x





( ) ( ) f x g x

 在x点连续。

微积分

1

0 1 1

( )

f x  a x  a x

  a x a



 



多(- , + )多多多.

1

0 1 1

1

0 1 1

( )

n n

n n

m m

m m

a x a x a x a f x b x b x b x b

 

 

   

    

 多多多多

多多多多0多多多多多多多多多多多多多多

定理： 基本初等函数在其定义域内都是连续的。

定理： 初等函数在其定义区间都是连续的。

微积分

的连续性。

研究函数

例 ⁿ_{n n}ⁿ

n

x x

x x x

f







 



lim

)

( ]

[

[

]

) ( x f



















 

 ^ 





1 ,

, 1 ,

0

, 1 0

, 1 1

lim 1 )

(

2 2

2 2

x x

x x x

x x

f

n n

. ,

) (

,

) ,

1 ( ), 1 , 0 ( ), 0 ,

1 (

), 1 ,

(

所以连续 是初等函数

上

在

x f











非初等函数连续性问题举例

微积分

1 )

( lim

, 1 )

(

lim









f x f x

x x

1 )

( lim

, 1 )

(

lim





f x f x

x x

1 )

(

lim



f x

x

可去型间断点



0



x

间断点

1

,

0





x x

第一类间断点



1

x

微积分

四、在闭区间上连续函数的性质

闭区间上的连续函数有着十分优良的性 质，这些性质在函数的理论分析、研究中有 着重大的价值，起着十分重要的作用。下面 我们就不加证明地给出这些结论，好在这些 结论在几何意义是比较明显的。

1. 有界性定理：

.

] ,

[ )

( ],

, [ 有界

上 在

则

设函数 f  C a b f x a b

微积分

定理 ( 最大值和最小值定理 ) 在闭区间上连续 的函数一定有最大值和最小值 .

).

( )

(

), (

) (

], ,

[

], ,

[ ,

], ,

[ )

(

2 1

2 1

x f

f

x f

f

b a x

b a

b a C x

f























使得 则 若

x y

o

) ( x f y 

a ₂ ₁ b

2. 最大最小值定理（最值定

理）：

微积分

x y

o

2



) ( x f y 

x y

o

) ( x f y 

2 1

1

注意 :1. 若区间是开区间 , 定理不一定成立 ; 2. 若区间内有间断点 , 定理不一定成立 .

微积分

3. 零点定理：

. 0 )

( ),

, (

, 0 )

( )

( ],

, [















a b f

b f

a f

b a

C f

使得 则存在

且 设函数



o _b

y

a x

微积分

4. 介值定理：

















) (

), ,

( ,

) ( )

(

), (

) ( ],

, [

f

b a b

f a

f

b f

a f

b a C f

使得 存在一点

实数

之间的任何一个 与

对于介于

则 设函数

推论：

f

C [ a , b ]

) (

min ),

(

max

f x m

f x M

使得 则对任意  

( m , M ),

( a , b ),





)  (

f

微积分



o _b

y

a x





M

m

f(x)

g(x)

微积分

[







( ) )

( x f x

g

0 )

( )

( ],

, [ )

( x

C a b g a

g b

g

使满足 知存在

运用零点定理

,

( a , b ),

0 )

(  

g  f (  )  

介值定理的证明

微积分

例 1

.

) 1 , 0 ( 0

1 4

3

至少有一根

内 在区间

证明方程

x

证 ^{令 f (x)  x3  4x2  1,} 则 xf ( )在[0,1]上连续,

, 0 1

) 0

(  

又 f f (1)  2  0, 由零点定理 , 使

), ,

( ba



 f ⁽ ^{)  0,} _即 ³  4 ²  1  0, 推论 在闭区间上连续的函数必取得介于最大 值 与最小值 之间的任何值 .M m

. )

1 , 0 ( 0 1

4 ²

3 _{在 内至少有一根} 

方程   

 x x

微积分

例 2

. )

( ),

, ( .

) (

, )

( ,

] , [ )

(













f

b a b

b f

a a

f b

a x

f

使得 证明

且 上连续

在区间 设函数

证 令 ^{F(x)  f (x)  x,} 则F(x)在[a,b]上连续, a

a f a

F( )  ( ) 

而  0, b

b f b

F( )  ( )   0, 由零点定理 , 使

), ,

( ba



  F⁽ ^{) } f ⁽ ^{) }  ^{ 0,} .

)

(   即 f

微积分

五、利用函数性连续求函数极限

闭区间上的连续函数有着十分优良的性 质，这些性质在函数的理论分析、研究中有 着重大的价值，起着十分重要的作用。下面 我们就不加证明地给出这些结论，好在这些 结论在几何意义是比较明显的。

微积分

[ ( )]

y  f  x x₀ x₀

设在的某邻域有定义, (可除外)，

0 ( ) , ( )

x

x u

x

a f u u a

0 [ ( )] ( ).

x  x f  x  f a 则当时,

0 0

lim [ ( )] [lim ( )] ( ).

x x x x

ie f  x f  x f a

   

[ ]

f x 在处连续意味着极限运算与函数运算可以交换顺序。x₀

0 0 0

lim ( ) (lim ) ( ).

x x x x

ie f x f x f x

   

注意

定理

微积分

2

0

lim cos

arcsin(1 )

x x

e x

x

 

例： 求

2

cos

( a ) r

csin(1 ) e

f x x

 x

解： =

2

0

lim cos (0) arcsin(1 )

x x

e x

x f

 



02

2

cos 0 1 2 arcsin(1 0)

e





  



微积分

0

ln(1 ) limx

x x



例： 求 

( ) (1 )1^x 0 u 



 多多多多

不能直接代入

( ) (1 )1^x 0

u

 x

x x

e

( )

y

f u u e

1

0 0

ln(1 )

lim lim ln(1 )^x

x x

x x

x

 

   

1

ln lim(10 )^x

x x

  

ln e 1

 