三次多項式函數的圖形 單維彰‧

三次多項式函數的圖形

單維彰‧2012 年 10 月

在實務上較少出現三次以上的多項式函數，而且它們的圖形特徵都可以由低次函 數推論，所以我們只建議同學們熟悉零次、一次、二次和三次多項式函數的圖形 特徵。其中三次以下的函數圖形都已經完整學習過，現在要處理三次函數。

我們知道三次函數 f x( )a x₃ ³a x₂ ²a x₁  ，其中a₀ a₃  ，必定可以經過0 配三方的程序改寫成以下形式：

(★) f x( )a x( h)³q x( h)k

也就是二次項消失的泰勒形式，其中a 、a₃ q f h( )、k  f h( )、 ² 3 3

h a

 a

 。 因此 f 的圖形就是奇函數yax³qx之圖形向右平 h、向上平移k的結果。而 yax3qx對稱於原點，平移之後，原點變成了點 ( , )h k ，函數 ( )f x 的圖形對稱 於 ( , )h k ，可見三次多項式函數的圖形必有一個，且僅有一個，對稱點。

事實上，如果利用高階導函數，則不須要配方，用微分就可以求解 h：因為 ( )

f x 以xh為參考點的泰勒多項式二次項係數為 ₂ 1 2 ( )

c  fh ，而

3 2

( ) 6 2 f x  a x a 所以當 ²

3 3

h a

 a

 時， f( )h  ，也就是0 c₂  。因此， ( )0 f x 以xh為參考點的 泰勒多項式就缺了二次項，就如以上 (★) 的形式。

我們現在只需要討論yax³qx的圖形特徵即可。如果 a 和 q 同號，則 3 2

y  ax  恆正或者恆負（與 a 和 q 的正負性相同）q ，其圖形單調的：永遠遞增，

或者永遠遞減；例如yx³ 永遠遞增（以下左圖）而x y   永遠遞減（以x³ x 下右圖）。

[如果 a 和 q 皆正，例如yx³ ] [如果 a 和 q 皆負，例如x y   ] x³ x

如果 a 和 q 異號，則y 3ax²  有兩個實根，而q 0 yax³qx有一對極 值：一個極大值和一個極小值（別忘了圖形對稱於原點，有一個極大值就必定有 一個極小值）。如果q 則函數在原點附近遞增，所以極大值一定發生在右半平0 面，圖形類似y   （以下左圖）。而若x³ x q 則函數在原點附近遞減，所以0 極大值一定發生在左半平面，圖形類似yx³ （以下右圖）。 x

[a 和 q 異號且q ，例如0 y   ] [a 和 q 異號且x³ x q ，例如0 yx³ ] x

若要進一步知道極值的位置，則須求解y 3ax²  。雖然精確繪圖的工q 0 作交給電腦即可，我們要學習大略明白函數圖形的特徵。舉例而言，考慮

3 2

( ) 1

f x x x   ，求解x f(x)6x20或者代配三方公式，得到 1 h  ，3 而 1 38

( ) 3 27

k  f   ， 所 以 f 的 函 數 圖 形 對 稱 於 點 1 38 ( , ) ,

3 27 h k   

  。 而 ( 1) 0

q f  3  可見 a 和 q 異號，有一對極值。因為函數在對稱點附近遞減，所 以極小值發生在右邊，極大值出現左邊，其圖形如以下。

再例如 f x( )x³x²  ，求解x 1 f(x)6x20同樣得到 1 a  ，而3 1 20

( ) 3 27

k f   ，所以 f 的圖形對稱於點 1 20 3 ,27

 

 

 。而 1

( ) 0

q f 3  可見 a 和 q 異號同號且為正，這時 f 沒有極值而且遞增，其圖形如下。

綜合以上所知，利用係數判斷三次函數 f x( )a x₃ ³a x₂ ²a x₁  圖形特徵a₀ 的程序如下。

第一步：令 ² 3 3

h a

  a ，k f h( )，得知對稱點的位置 ( , )h k 。

第二步：計算q f h( )，檢查a 和 q 是否同號：₃ 「是」無極值，「否」有極值。

第三步：根據 q 的正負性決定圖形特徵：若無極值，函數永遠遞增或遞減；若有 極值，極大值在對稱點左側或右側。