第 2 章．空間中的直線與平面 1
平面方程式
【一般式】
例題 1
過點（2，－2，1）且平行於 3x＋y＋z－2＝0 的平面方程式為 ‧
■
解：平行於 3x＋y＋z－2＝0之平面 E 可設為 3x＋y＋z＝k 將（2，－2，1）代入得 k＝5 ∴E：3x＋y＋z＝5
【截距式】
例題 2
通過點（1，3，5）且在三坐標軸之截距比為 1：3：5 之平面方程式為 ‧
■
解：
設三軸截距各為 r，3r，5r，則平面方程式為 x r ＋ y
3r ＋ z 5r ＝1 過點（1，3，5）代入平面得 1
r ＋ 3 3r ＋
5
5r ＝1 r＝3 故所求為 x
3 ＋ y 9 ＋ z
15 ＝1
例題 3
過 A（2，4，－1），B（3，1，0），C（3，2，－4）三點的平面方程式為 ‧
■
解：AB＝（1，－3，1），AC＝（1，－2，－3）
利用外積法 n＝AB×AC＝（
－3
－2 1
－3 ：
1
－3 1 1 ：
1
1
－3
－2 ）＝（11，4，1）
令 E：11x＋4y＋z＝d，將 A（2，4，－1）代入得 11x＋4y＋z＝37
【外積式】
例題 4
過點（2，－2，1）且與兩平面 3x＋y＋z－2＝0，x－2y＋z＋4＝0 均垂直的平面方程 式為 ‧
■
解：取法向量 n＝（3，1，1）×（1，－2，1）＝（3，－2，－7），
又過（2，－2，1）
方程式為 3（x－2）－2（y＋2）－7（z－1）＝0，即 3x－2y－7z＝3
2 高中數學（三）習作
【平面族】
例題 5
包含兩平面 3x＋y－z＋1＝0 及 x＋y＋z＝0 之交線且與平面 2x－y＋3z－1＝0 垂直的平 面方程式為 ‧
■
解：設所求平面 E：（3x＋y－z＋1）＋k（x＋y＋z）＝0 其法向量 n＝（3＋k，1＋k，－1＋k）
因 E 與平面 2x－y＋3z－1＝0 垂直，故（3＋k，1＋k，－1＋k）．（2，－1，3）＝0 得 k＝－ 1
2 代回 E：（3x＋y－z＋1）－ 1
2 （x＋y＋z）＝0 整理得 5x＋y－3z＋2＝0
例題 6
點 A（2，0，3），B（0，2，1），平面 E：2x－y＋2z＝4，
1 A，B 在 E 之 側‧（填同、異）
2 若 AB←→
交 E 於 P，則 PA：─ ─
PB＝ ‧ 3 P 點坐標為 ‧
4 線段 AB 在平面 E 的投影長度為 ‧
■
解：1 將 A（2，0，3）代入 E：2x－y＋2z－4＝0 中 2 2‧ －0＋2 3‧ －4＞0 B（0，2，1）代入 E：2x－y＋2z－4＝0 中 2 0‧ －2＋2 1‧ －4＜0，
A，B 在 E 之異側 2 ─
PA：─
PB＝d（A，E）：d（B，E）
＝│2 2‧ －0＋2 3‧ －4│
22＋（－1）2＋22 ：│2 0‧ －2＋2 1‧ －4│
22＋（－1）2＋22 ＝6：4＝3：2
3 P ←→AB
P：
x＝2－2ty＝0＋2t z＝3－2t
，t R 代入 E：2x－y＋2z＝4
2（2－2t）－（2t）＋2（3－2t）＝4 ∴t＝ 3
5 ∴P（ 4 5 ， 6
5 ， 9 5 ） 4 cosθ＝ AB．n
│AB││n│ ＝－ 5 3 3
sinθ＝ 12－cos2θ ＝ 2 3 3 ∴─
AB．sinθ＝ 12 ‧ 2
3 3 ＝ 2 2 3 例題 7
第 2 章．空間中的直線與平面 3
試求兩平面 E：3x－2y－6z－13＝0，F：3x－2y－6z＋15＝0 的距離為 ‧
■
解：
d（E，F）＝ │－13－15│
32＋（－2）2＋（－6）2 ＝ 28 49 ＝4
例題 8
兩相異平面 E1：x－y＋z－3＝0，E2：x＋y＋ 6 z＝0 的夾角為 ‧
■
解：n1＝（1，－1，1），n2＝（1，1， 6 ） cosθ＝± 1－1＋ 6
12＋（－1）2＋12 12＋12＋（ 6 ）2 ＝± 6 24 ＝± 1
2 ， θ∴ ＝π 3 或
2π 3
例題 9
已知空間中四點 A（0，1，1），B（－3，－2，－2），C（－1，2，1），
D（1，3，4），若平面 ABD 與平面 ACD 的夾角為θ，則 sinθ＝ ‧
■
解：AB＝（－3，－3，－3），AC＝（－1，1，0），AD＝（1，2，3）
平面 ABD 之法向量 n1＝AB×AD＝（－3，6，－3），
平面 ACD 之法向量 n2＝AC×AD＝（3，3，－3）
cosθ＝± n1．n2
│n1││n2│＝± 2
3 sinθ＝ 1－cos2θ ＝ 7 3
