單元二 二次函數的圖形及平移關係

13

單元二 二次函數的圖形及平移關係

課文A： 𝒚 = 𝒂𝒙^𝟐的圖形

前一個單元我們認識了形如𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑏𝑥 + 𝑐，其中 𝑎 ≠ 0，就是二次 函數，也知道了二次函數圖形的樣子，它有頂點、有對稱軸，不同的二次 函數圖形，開口方向跟大小可能會有所不同。

這些函數圖形的特徵：開口方向、開口大小、頂點、對稱軸，與二次 函數的係數之間有什麼關係呢？我們先觀察簡單的二次函數圖形。

14

以下有六個函數圖形，分別是𝑦 = 2𝑥²、𝑦 = 𝑥²、𝑦 =¹

3𝑥²、𝑦 = −¹

3𝑥²、 𝑦 = −𝑥²、𝑦 = −2𝑥² 的圖形，仔細觀察每個圖形上的點，猜猜看函數圖形 與關係式該如何配對！

(甲) (乙)

(丙) (丁)

(戊) (己)

15

請觀察上一頁的六個函數圖形，以函數關係式回答以下問題。

(1) 開口向上的函數圖形甲、丙、戊，可能的函數有哪些？

。 (2) 開口向下的函數圖形乙、丁、己，可能的函數有哪些？

。

再請將上一頁的函數與其對應的函數圖形做配對：

𝑦 = 2𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = 𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = ¹

3𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −¹

3𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −2𝑥² 的函數圖形是 圖形

根據上面的觀察問題，想想看當二次函數為「𝑦 = 𝑎𝑥²」的形式時，

它們的函數圖形會有什麼特性呢？試著先想想看以下兩個問題！

(1) 二次函數的開口方向與函數的係數有什麼關係呢？

(2) 二次函數的開口大小與函數的係數有什麼關係呢？

16

以下分別回答前一頁的兩個問題。

二次函數的開口方向與函數的係數有什麼關係呢？

從上一個單元的觀察我們可以猜測「二次函數中，如果二次係數為正 時，圖形開口會向上；而如果二次係數為負時，圖形開口會向下」。所以 (1) 開口向上的函數圖形甲、丙、戊，可能是𝑦 = 2𝑥²、𝑦 = 𝑥²、𝑦 = ¹

3𝑥²。 (2) 開口向下的函數圖形乙、丁、己，可能是 𝑦 = −2𝑥²、𝑦 = −𝑥²、𝑦 = −¹

3𝑥²。

以下我們將進一步找出更多的證據，以便確認它們之間的配對。

我們在畫函數圖形的時候，是藉由代入 𝑥 值找出 𝑦 值，並描出對應的 點，例如將 𝑥 = 1 代入各函數，可以找出相對應的 𝑦 值！

以𝑥 = 1 代入 𝑦 = 2𝑥² 為例說明如下:

𝑦 = 2 × 1² = 2 × 1 = 2 ，表示 𝑦 = 2𝑥² 的函數圖形會通過(1,2)。而 這六個函數圖形當中只有(戊)的圖形有通過(1,2)，所以 𝑦 = 2𝑥² 的函數圖 形就是(戊)！

(戊)

𝑦 = 2𝑥 ²

其他其況請自行檢驗。

17

二次函數的開口大小與函數的係數有什麼關係呢？

第一組 (甲)𝑦 = ¹

3𝑥²、(乙)𝑦 = −¹

3𝑥² 這兩個函數圖形的開口最大；

第二組 (丙)𝑦 = 𝑥²、(丁)𝑦 = −𝑥² 這兩個函數圖形的開口第二大；

第三組 (戊)𝑦 = 2𝑥²、(己)𝑦 = −2𝑥² 這兩個函數圖形的開口最小。

從上面的觀察可以發現，在二次函數中，𝑥² 係數的絕對值越大時，函 數圖形的開口大小會越小。例如 𝑦 = 2𝑥² 的 𝑥² 係數是 2、𝑦 = −𝑥² 的 𝑥² 係 數是 −1，因為|2| > |−1|，所以 𝑦 = 2𝑥² 的開口大小比 𝑦 = −𝑥² 的開口大 小還小。

除了開口方向和大小有所不同以外，會發現這六個函數圖形有相同的 地方，就是「它們的頂點都是 (0,0)、對稱軸都是 y 軸(它是一條鉛垂線，

它的方程式是 𝑥 = 0)」！讓我們做一個小結論：

當二次函數為「𝑦 = 𝑎𝑥²」這樣子的形式時，它們的函數圖形會有下面的 特性：

(1)頂點都是 (0,0)、對稱軸 𝑥 = 0。

(2) 如果 𝑎 > 0，也就是 𝑥² 的係數為正的時候，函數圖形的開口會向上。

(3) 如果 𝑎 < 0，也就是 𝑥² 的係數為負的時候，函數圖形的開口會向下。

(4) 如果 |𝑎| 一樣，也就是 𝑥² 係數的絕對值一樣時，函數圖形的開口大小 會一樣。

(5)如果 |𝑎| 越大，也就是 𝑥² 係數的絕對值越大時，函數圖形的開口大小 會越小。

如果還是不太懂可以掃描旁邊的 QR code，

移動滑桿觀察看看開口大小關係喔！

18

․隨堂練習：

1.請在直角坐標上分別描繪 𝑦 =¹

2𝑥²、𝑦 = −¹

2𝑥² 兩個函數圖形。

2.請寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐標與對稱軸，並比較其開 口大小：(甲) 𝑦 = 3𝑥² (乙) 𝑦 = −²

3𝑥² (丙) 𝑦 = ⁸

9𝑥² (丁) 𝑦 = −3𝑥²

3.若二次函數 𝑦 = 2𝑥² 的圖形通過點 (−1, 𝑎)，而 𝑦 = 𝑏𝑥² 的圖形通過點 (2,12)，則 𝑎、𝑏 的值各為何?

19

重點提問

1.當二次函數為「𝑦 = 𝑎𝑥²」這樣子的形式時，其函數圖形與 𝑎 值有什麼 關係？而這些函數的圖形又有什麼共通性？請敘述並舉例說明。

2.(1)圖中有四個函數圖形，分別是 𝑦 = ¹

4𝑥²、𝑦 = 2𝑥²、𝑦 = −¹

4𝑥²、𝑦 = −3𝑥² 的函數圖形，請將函數與其函數圖形進行 配對！

(2)坐標平面上，

直線 𝑦 = 1 與 𝑦 = ¹

4𝑥² 的圖形交於 A、B兩點，

直線 𝑦 = 1 與 𝑦 = 2𝑥² 的圖形交於 C、D 兩點，

直線 𝑦 = −1 與 𝑦 = −¹

4𝑥² 的圖形交於 E、F 兩點，

直線 𝑦 = −1 與 𝑦 = −3𝑥² 的圖形交於 G、H 兩點。

請比較 𝐴𝐵̅̅̅̅、𝐶𝐷̅̅̅̅、𝐸𝐹̅̅̅̅、𝐺𝐻̅̅̅̅ 長度的大小。

20

課文B： 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)^𝟐的圖形

前面課文 A 討論了「𝑦 = 𝑎𝑥²」這種形式的二次函數圖形，如果我們 將「𝑦 = 𝑎𝑥²」這種形式的二次函數圖形左右平移會怎樣呢？

下面是 𝑦 = 2𝑥² 的函數圖形，試著將這個函數圖形向右平移 3 單位，

並畫在下面！

畫完之後，請觀察一下平移之後的函數圖形開口方向、頂點及對稱軸，

與原本的關係是什麼呢？而平移之後的函數又會是什麼呢？這就是課文 B 想討論的函數圖形！

21

下面直角坐標中有四個函數圖 形，分別是𝑦 = 2𝑥²、𝑦 = 2(𝑥 − 3)²、 𝑦 = −𝑥²、𝑦 = −(𝑥 + 2)² 的圖形，

仔細觀察每個圖形上的點，猜猜看 函數圖形與關係式該如何配對！

請將函數與其對應的函數圖形做配對：

𝑦 = 2𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = 2(𝑥 − 3)² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 的函數圖形是 圖形

再請觀察這四個函數圖形，以函數關係式回答以下問題：

(1) 哪些函數圖形開口方向及大小一樣？

「 與 」的兩個函數圖形開口方向及大小一樣、

「 與 」的兩個函數圖形開口方向及大小一樣。

(2) 兩個開口方向及大小一樣的函數圖形之間還有什麼關係呢？

。

(甲) (乙)

(丙)

(丁)

22

由課文 A 就可以知道𝑦 = 2𝑥² 的函數圖形是(甲)圖形、𝑦 = −𝑥²的函 數圖形是(丁)圖形。而 𝑦 = 2(𝑥 − 3)² 及 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 分別是哪個函數的 圖形呢？

跟之前的方式一樣，選擇一個特定的 𝑥 值代入函數中，得到 𝑦 值，可 以讓我們獲得更多得以正確配對的資訊。

將 𝑥 = 3 代入 𝑦 = 2(𝑥 − 3)² ， 𝑦 = 2 × (3 − 3)² = 2 × 0² = 0 ，表示 𝑦 = 2(𝑥 − 3)² 的函數圖形會通過(3,0)。而當中只有(乙)有通過 (3,0)，所 以 𝑦 = 2(𝑥 − 3)² 的函數圖形就是(乙)！

𝑥 = −2 代入 𝑦 = −(𝑥 + 2)²，𝑦 = −1 × (−2 + 2)² = −1 × 0 = 0，

表示 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 的函數圖形會通過(−2,0)。而當中只有(丙)有通過 (−2,0)，所以 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 的函數圖形就是(丙)！

= (甲)

= ( − ) (乙)

= −( + ) (丙)

(丁) = −

23

觀察可以發現𝑦 = 2𝑥² 與 𝑦 = 2(𝑥 − 3)² 的兩個函數圖形開口方向及 大小一樣、𝑦 = −𝑥² 與 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 的兩個函數圖形開口方向及大小一 樣。

而這兩個開口方向及大小一樣的函數圖形之間還有什麼關係呢？

如果將 𝑦 = 2𝑥² 的函數圖形畫在描圖紙或是透明片上，再向右平移 3 單位，就會發現和 𝑦 = 2(𝑥 − 3)² 重疊。也可以說 𝑦 = 2𝑥² 的函數圖形向右 平移 3 單位就是 𝑦 = 2(𝑥 − 3)² 的函數圖形，其頂點 (3,0)、對稱軸為 𝑥 = 3。

同樣的，將 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形畫在描圖紙或是透明片上，再向左平 移 2 單位，也會發現和 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 重疊。也可以說 𝑦 = −𝑥² 的函數圖 形向左平移 2 單位就是 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 的函數圖形，其頂點 (−2,0)、對稱 軸為 𝑥 = −2。

從上面的討論可以發現當二次函數為「𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²」的形式時，它 們的函數圖形都是由 𝑦 = 𝑎𝑥² 水平平移(向右或向左)而來的，其頂點為 (ℎ, 0)、對稱軸為 𝑥 = ℎ。

如果還是不太懂可以掃描旁邊的 QR code，

移動滑桿觀察看看二次函數的平移關係喔！

24

․隨堂練習：

1.請在直角坐標上分別描繪 𝑦 = 2(𝑥 − 2)²、𝑦 = −2(𝑥 + 3)² 兩個函數圖形。

2.請完成以下表格。

開口方向 頂點 對稱軸 圖形的平移 𝑦 = 2(𝑥 − 2)²

由 𝑦 = 2𝑥²的圖形 向 平移 。 𝑦 = −2(𝑥 + 3)²

由 𝑦 = −2𝑥²的圖形 向 平移 。

3.請寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐標與對稱軸，並比較其開 口大小：

(甲) 𝑦 = 3(𝑥 + 1)² (乙) 𝑦 = −²

3(𝑥 − 3)²

(丙) 𝑦 = ⁸

9(𝑥 − 5)² (丁) 𝑦 = −3(𝑥 + 2)²

25

4.二次函數 𝑦 = 2𝑥² 的圖形向左移 5 單位可得 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²，求 𝑎、ℎ。

重點提問

1.將二次函數 𝑦 = 𝑎𝑥² 的圖形左右平移後，函數圖形開口方向、開口大小、

頂點及對稱軸，與原本函數圖形的關係是什麼呢？

2.當二次函數為「𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²」這樣子的形式時，其函數圖形與 𝑎 值有 什麼關係？與 ℎ 值又有什麼關係？

請敘述並舉例說明。

26

課文C： 𝒚 = 𝒂𝒙^𝟐 + 𝒌 的圖形

前面課文 A 討論了「𝑦 = 𝑎𝑥²」這種形式的二次函數圖形，課文 B 討 論了這種形式的二次函數左右平移，接下來如果我們將「𝑦 = 𝑎𝑥²」這種 形式的二次函數圖形上下平移會怎樣呢？

下面是 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形，將這個函數圖形向下平移 2 單位，並畫 在下面！

畫完之後，請觀察一下平移之後的函數圖形開口方向、頂點及對稱軸，

與原本的關係是什麼呢？而平移之後的函數又會是什麼呢？這就是課文 C 想討論的函數圖形！

27

下面直角坐標中有三個函數圖形，分別是𝑦 = −𝑥²、𝑦 = −𝑥²+ 5、

𝑦 = −𝑥²− 2 的圖形，仔細觀察每個圖形上的點，猜猜看函數圖形與關係 式如何配對！

請將函數與其對應的函數圖形做配對：

𝑦 = −𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −𝑥²+ 5 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −𝑥²− 2 的函數圖形是 圖形 請再觀察這三個函數圖形之間有什麼關係呢？

(甲)

(乙)

(丙)

28

由課文 A 就可以知道 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形是(乙)圖形，而 𝑦 = −𝑥²+ 5 及 𝑦 = −𝑥²− 2 分別是哪個函數的圖形呢？

將 𝑥 = 0 代入 𝑦 = −𝑥²+ 5 ，得 𝑦 = 5 ，表示 𝑦 = −𝑥²+ 5 的函數圖形 會通過 (0,5)。而函數圖形當中只有(甲)有通過 (0,5)，所以 𝑦 = −𝑥²+ 5 的 函數圖形就是(甲)！

將 𝑥 = 0 代入 𝑦 = −𝑥²− 2 ，得 𝑦 = −2 ，表示 𝑦 = −𝑥²− 2 的函數圖 形會通過 (0, −2)。而函數圖形當中只有(丙)有通過(0, −2)，所以

𝑦 = −𝑥²− 2 的函數圖形就是(丙)！

(甲)

= − +

(乙)

= −

(丙) = − −

29

觀察可以發現這三個函數圖形開口方向一樣是向下、對稱軸都是 𝑥 = 0。而這三個函數圖形的開口大小呢？是一樣大還是不一樣大呢？

先找 𝑦 = −𝑥² 和 𝑦 = −𝑥²

+ 5 做比較，看起來好像是 𝑦 = −𝑥

+ 5 的開口還要小，仔細觀察一下這兩個的函數值及函數圖形

令 𝑦 = −𝑥²、𝑦 = −𝑥²

+ 5 ，兩個函數的函數值如下：

𝑥 −2 −1 0 1 2

𝑦 = −𝑥

−4 −1 0 −1 −4

𝑦 = −𝑥

+ 5 1 4 5 4 1

這兩排的函數值有什麼關係呢？

仔細觀察一下，在同一個 𝒙 中，−𝑥²

+ 5 都會比−𝑥

。

這兩個函數圖形有什麼關係呢？

30

𝑦 = −𝑥²+ 5 上的點都是 𝑦 = −𝑥²

上的點向上平移 5 個單位。

換句話說，如果將 𝑦 = −𝑥² 的圖形向上平移 5 個單位就會與

𝑦 = −𝑥²+ 5 的圖形重合。也可以說 𝑦 = −𝑥²+ 5 函數圖形和 𝑦 = −𝑥² 函 數圖形的開口大小一樣。

如果將 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形畫在描圖紙或是透明片上，再往上平移看 看，就會發現和 𝑦 = −𝑥²+ 5 重疊！

利用相同的想法，想想看 𝑦 = −𝑥²

− 2 和 𝑦 = −𝑥

之間有什麼關係呢？

從上面的討論可以發現當二次函數為「𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑘」的形式時，它們 的函數圖形都是由 𝑦 = 𝑎𝑥² 鉛直平移(向上或向下)而來的，其頂點為 (0, 𝑘)、

對稱軸為 𝑥 = 0。

如果還是不太懂可以掃描旁邊的 QR code，

移動滑桿觀察看看二次函數的平移關係喔！

31

․隨堂練習：

1.請在直角坐標上分別描繪 𝑦 = 2𝑥²+ 3、𝑦 = −2𝑥²+ 1 的函數圖形。

2.請完成以下表格。

開口方向 頂點 對稱軸 圖形的平移 𝑦 = 2𝑥²+ 3

由 𝑦 = 2𝑥²的圖形 向 平移 。 𝑦 = −2𝑥²+ 1

由 𝑦 = −2𝑥²的圖形 向 平移 。

3.請寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐標與對稱軸，並比較其開 口大小：

(甲) 𝑦 = 3𝑥²− 2 (乙) 𝑦 = −²

3𝑥²− 1

(丙) 𝑦 = ⁸

9𝑥²+ 1 (丁) 𝑦 = −3𝑥²−¹

2

32

4. 二次函數 𝑦 = 2𝑥² 的圖形向下移 3 單位可得 𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑘，求 𝑎、𝑘。

重點提問

1.將二次函數 𝑦 = 𝑎𝑥² 的圖形上下平移後，函數圖形開口方向、開口大小、

頂點及對稱軸，與原本函數圖形的關係是什麼呢？

2. 當二次函數為「𝑦 = 𝑎𝑥²+ 𝑘」這樣子的形式時，其函數圖形與 𝑎 值有 什麼關係？與 𝑘 值又有什麼關係？請敘述並舉例說明。

33

課文D： 𝒚 = 𝒂(𝒙 − 𝒉)^𝟐 + 𝒌 的圖形

前面的課文討論了「𝑦 = 𝑎𝑥²」這種形式的二次函數圖形，也討論了 將這種形式的二次函數左右平移或上下平移。而如果將「𝑦 = 𝑎𝑥²」形式 的二次函數，先左右平移再上下平移，會有什麼特別的情況呢？

下面是 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形，將這個函數圖形向左平移 2 單位、再向 上平移 5 單位，並畫在下面！

畫完之後，請觀察一下平移之後的函數圖形開口方向、頂點及對稱軸，

與原本的關係是什麼呢？而平移之後的函數又會是什麼呢？這就是課文 D 想討論的函數圖形！

34

下面直角坐標中有三個函數圖形，分別是𝑦 = −𝑥²、𝑦 = −(𝑥 + 2)²、 𝑦 = −(𝑥 + 2)²+ 5 的圖形，仔細觀察每個圖形上的點，猜猜看函數圖形 與關係式該如何配對！

請將函數與其對應的函數圖形做配對：

𝑦 = −𝑥² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 的函數圖形是 圖形 𝑦 = −(𝑥 + 2)²+ 5 的函數圖形是 圖形 請再觀察這三個函數圖形，之間有什麼關係呢？

(甲)

(乙)

(丙)

35

從課文 A 可以知道 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形是(丙)圖形，課文 B 中也可 以知道 𝑦 = −(𝑥 + 2)² 的函數圖形是(乙)圖形。𝑦 = −(𝑥 + 2)²+ 5 的函 數圖形就是(甲)圖形囉？

可以找幾個值驗證，將 𝑥 = −2 代入 𝑦 = −(𝑥 + 2)²+ 5 ，

𝑦 = −1 × (−2 + 2)²+ 5 = −1 × 0 + 5 = 5 ，表示 𝑦 = −(𝑥 + 2)²+ 5 的函 數圖形會通過(0,5)。(甲)的圖形的確有通過(0,5)！

將 𝑦 = −𝑥²

的函數圖形往左平移 ，就可以和 𝑦 = −(𝑥 + 2)

重

的函數圖形往上平移 ，就可以和

𝑦 = −(𝑥 + 2)²

+ 5 重疊。

換句話說，如果將 𝑦 = −𝑥²

的函數圖形往左平移 、再往

+ 5 重疊了！

而如果先將 𝑦 = −𝑥²

的函數圖形往上平移、再往左平移，也可以得到

+ 5 重疊呢？

(甲)

= −( + ) +

= −( + ) (乙)

(丙) = −

36

從前面的討論可以知道當二次函數符合「𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘」形式時，

有以下的特性：

(1)這個函數圖形就是由 𝑦 = 𝑎𝑥² 平移得到的，函數圖形的開口方向、

大小與𝑦 = 𝑎𝑥² 相同。

(2)這個函數圖形的對稱軸 𝑥 = ℎ 會通過頂點 (ℎ, 𝑘)。

因此，當我們看到二次函數符合「𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘」形式時，我們 可以不用將點慢慢描繪出來，就能夠判斷這個函數圖形的開口方向、頂點 及對稱軸了！

例題一：將二次函數 𝑦 = 3𝑥² 的函數圖形，向右平移 4 單位，再向上平 移 6 單位，可得到 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 的新圖形，求：

(1)新圖形的二次函數。 (2)新圖形的頂點。

解：在函數平移的同時，開口方向跟開口大小都不會改變。

而 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 這個函數是由 𝑦 = 3𝑥² 平移而來的，所以 𝑎 = 3。

而二次函數 𝑦 = 3(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 是 𝑦 = 3𝑥² 向右 ℎ 單位、向上 𝑘 單位平移 而來的，所以 ℎ = 4、𝑘 = 6。

得知新圖形的二次函數為 𝑦 = 3(𝑥 − 4)²+ 6，

新圖形的頂點就會是 (4,6)。

例題二：有一個二次函數 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 的頂點是 (2,2) 而且通過 (0,0)，求 𝑎、ℎ、𝑘 的值。

37

解：二次函數 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 的頂點是 (h, k)，也是 (2,2)，

所以表示 ℎ = 2、𝑘 = 2。

因此這個函數可以假設成 𝑦 = 𝑎(𝑥 − 2)²+ 2，又這個函數會通過(0,0)，

所以 𝑥 = 0 代入函數會得到 𝑦 = 0。

因此 0 = 𝑎(0 − 2)²+ 2 0 = 𝑎 × 4 + 2 0 = 4𝑎 + 2 −4𝑎 = 2 𝑎 = ²

−4= −¹

2，得知 𝑎 = −¹

2、ℎ = 2、𝑘 = 2。

例題三：將 𝑦 = −𝑥² 的函數圖形平移後，可得到 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 的新 圖形，其對稱軸為直線 𝑥 = 3，且通過坐標平面上的 (4,1)。求平移後的 二次函數。

解：在函數平移的同時，開口方向跟開口大小都不會改變。

而 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 這個函數是由 𝑦 = −𝑥² 平移而來的，所以 𝑎 = −1。

二次函數 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 的對稱軸是 𝑥 = ℎ，

也是 𝑥 = 3，所以表示 ℎ = 3。

因此這個函數可以假設成 𝑦 = −(𝑥 − 3)²+ 𝑘，又這個函數會通過 (4,1)，

所以 𝑥 = 4 代入函數會得到 𝑦 = 1。

因此 1 = −(4 − 3)²+ 𝑘 1 = −1 + 𝑘

𝑘 = 2，得知平移後的二次函數為 𝑦 = −(𝑥 − 3)²+ 2 。 如果還是不太懂可以掃描旁邊的 QR code，

移動滑桿觀察看看二次函數的平移關係喔！

38

․隨堂練習：

1.請在直角坐標上描繪 𝑦 = 2(𝑥 − 2)²+ 3、𝑦 = −2(𝑥 + 3)²+ 1 的函數圖 形。

2.請完成以下表格。

開口方向 頂點 對稱軸 圖形的平移

𝑦 = 2(𝑥 − 2)²+ 3

由 𝑦 = 2𝑥² 的圖形 往 平移 、 往 平移 。 𝑦 = −2(𝑥 + 3)²+ 1

由 𝑦 = −2𝑥² 的圖形 往 平移 、 往 平移 。

39

3.請寫出下列二次函數圖形的開口方向、頂點坐標與對稱軸，並比較其開 口大小：

(甲) 𝑦 = 3(𝑥 + 1)²− 2 (乙) 𝑦 = −²

3(𝑥 − 3)²− 1

(丙) 𝑦 = ⁸

9(𝑥 − 5)²+ 1 (丁) 𝑦 = −3(𝑥 + 2)²−¹

2

4.二次函數 𝑦 = −2𝑥² 的圖形向右移 2 單位、向下移 1 單位，求平移後的開 口方向、頂點及對稱軸。

5.二次函數 𝑦 = 2𝑥² 的圖形向左移 5 單位、下移 3 單位可得 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘，求 𝑎、ℎ、𝑘。

6.有一個二次函數 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 的頂點是 (−3,2) 而且通過 (1,4)，求 𝑎、ℎ、𝑘 的值。

40

7.將 𝑦 = 2𝑥² 的函數圖形平移後，可得到 𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘 的新圖形，其 對稱軸為直線 𝑥 = 1，且通過坐標平面上的 (3,6)。求平移後的二次函數。

重點提問

1.將二次函數 𝑦 = 𝑎𝑥² 的圖形先左右平移後再上下平移，函數圖形開口方 向、開口大小、頂點及對稱軸，與原本函數圖形的關係是什麼呢？

2.當二次函數為「𝑦 = 𝑎(𝑥 − ℎ)²+ 𝑘」這樣子的形式時，函數圖形與 𝑎、

ℎ、𝑘 值有什麼關係？請敘述並舉例說明。