27
1–2 三角形相似性質
1 2 三角形相似性質
在上一節中，我們檢查兩個多邊形是否為相似形時，「對應角都相等」與
「對應邊都成比例」這兩組條件是不可省略的。但是在上一冊討論三角形全等 性質時，如：ASA、AAS、SAS、SSS、RHS 等，都是在邊與角的六個條件中，
只要確定其中三個條件相等就可以了。當我們探討兩個三角形相似時，是否也 有同樣的簡易判別方法呢？
如圖1-16，△ABC 與△DEF 中，
∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，
且AB＜DE，AC＜DF，BC＜EF。
我們將其中一組相等的對應角∠A 與∠D 疊合，
如圖1-17，使得 AB 與對應邊 DE 重疊，AC 與對應 邊DF 重疊，則 B 點落在 DE 上，C 點落在 DF 上，
因為∠B＝∠E，所以 BC // EF（同位角相等）。
由「平行線截比例線段性質」可知：
AB：DE＝AC：DF ... 1
同理，仿前面的方式將∠B、∠E 疊合，
如圖1-18，可推得 AC // DF，
故AB：DE＝BC：EF ... 2
由1式、2式可知 AB：DE＝AC：DF＝BC：EF，
即對應邊成比例。
AAA 相似性質與 AA 相似性質
1
AC B
D
F E
圖1-16
C B
D（A）
F E
圖1-17
圖1-18 E（B）
D
F A
C
對應能力指標 9-s-03
■下列關於相似三角形的敘述，哪幾項是正確的？
A 任意兩個正三角形相似
B 任意兩個等腰三角形相似
C 任意兩個等腰直角三角形相似
A 、C
■6小時
活動1 能 了 解 A A A
（AA）相似性質，且 能 以 此 性 質 判 別 兩 個 三 角 形 是 否 相 似。
■相似三角形的性質 其證明較複雜，為 了減輕學生負擔，
我 們 利 用 操 作 說 明，或利用問題探 索的形式，使學生 有充分的時間去了 解 ， 此 處 的 教 學 重點不在證明的書 寫，而是性質的認 知與使用。
■MPB相似形P10∼15
■類題熟練本P9、10
■十分鐘輕鬆考進階篇 第1回
■無 敵 大 補 帖 進 階 篇
P1、2
2
第
1
章．相似形28
綜合前頁的討論可知：如圖 1-19，在△ABC 與△DEF 中，若∠A＝∠D，
∠B＝∠E，∠C＝∠F，可推得 AB：DE＝AC：DF＝BC：EF，所以△ABC∼
△DEF。
因此，
如圖，△ABC 與△A'B'C' 中，∠A＝∠A'，
∠B＝∠B' ，試說明△ABC∼△A'B'C'。
AA 相似性質
例
題1
△ABC 與△A'B'C' 中，
∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－∠A'－∠B'＝∠C' 故△ABC∼△A'B'C'（AAA 相似）。
A
C B
D
F E
圖1-19
A
C
B B' C'
A'
若兩個三角形的三組對應角相等，則這兩個三角形相似，
這個性質稱為AAA 相似性質。
若兩個三角形其中兩組對應角相等，則這兩個三角形相似，
這個性質稱為AA 相似性質。 由例題1 可知：
搭配習作 P9 基礎題 1
■ 如右圖，D 是 AB 中點，DE ⊥ BC，若 AB＝4，AC＝3，∠A＝90°，
試求△DEB 的面積。
（△DEB＝ 24 25 ）
■類題熟練本P11
■類題熟練本P11 2
29
1–2 三角形相似性質
如右圖，△ABC 中，PQ // BC，
△ABC 與△APQ 是否相似？為什麼？
由隨堂練習可知：若有一直線與三角形的兩邊相交，且平行於此三角 形的第三邊，則截出的小三角形與原三角形相似。
因此，
△ABC 中，P、Q 兩點分別在 AB、AC 上，
且PQ // BC，則 AP：AB＝AQ：AC＝PQ：BC。
如圖，△ABC 中，EF // BC，且 AE＝12，
EB＝4，BC＝15，試求 EF。
相似形的應用
例
題2
在△ABC 中，
∵EF // BC
∴AE：AB＝EF：BC 12：（12＋4）＝EF：15 EF＝ 12×15
16 ＝ 454
也可以看成△AEF∼△ABC。
A
B C
P Q
A
E F
B C
A
E F
C B
A
A
B C
P Q
圖1-20
∵ PQ // BC
∴∠ B＝∠APQ，∠C＝∠AQP 故△ ABC∼△APQ（AA 相似）
搭配習作 P9 基礎題 2／P10 基礎題 3
■由AAA相似→AA 相 似 → 平 行 一 邊 的 直 線 所 截 出 的 小 三 角 形 與 原 三 角形相似。
1如右圖，ABCD 為平行四邊形，則下列敘述何者錯誤？
A△ADG∼△EBG B△ABG∼△FDG C△ADF∼△ECF D△ABG∼△ECF
D
2 如右圖，直角三角形 ABC 中，∠A＝90°，AD ⊥ BC，
若AB＝4，AC＝3，試求DC。
（ DC＝ 9 5 ）
■類題熟練本P11
■類題熟練本P11
2
第
1
章．相似形30
1如圖，EF // BC，EC 與 BF 交於 A 點，
且EF＝18，BC＝27，AE＝8，試求 AC。
2如圖，△ABC 中，∠C＝90°，DE⊥AB 於 E 點，回答下列問題：
1△ABC 與△DBE 是否相似？為什麼？
2若CD＝1，BE＝2，BD＝3，試求 AE。
E F
B C
A
E D C
A B
∵ EF // BC
∴∠ F＝∠B，∠E＝∠C 故△ AEF∼△ACB（AA 相似）
AE：AC＝EF：BC 8：AC＝18：27 AC＝12
1 在△ ABC 與△DBE 中
∵∠ B＝∠B，∠ACB＝∠DEB＝90°
∴△ ABC∼△DBE（AA 相似）
2 ∵△ ABC∼△DBE
∴ BD：AB＝BE：BC 3： （ AE＋2）＝2： （ 3＋1）
AE＝4
1 如右圖，△ABC 中，∠A＝90°，PQ ⊥ BC，AB＝8，AC＝6，
若 PQ ＝ PA，試求 PB。
（PB ＝5）
2 如右圖，△ABC 中，AB＝ AC＝2，若 D 在 AC 上，
且 BD ＝ BC＝ AD，試求 BC。
（BC＝－1＋ 5 ）
■類題熟練本P12
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第4回
30
31
1–2 三角形相似性質
由上面的問題探索可知：在△ABC 與△DEF 中，若∠A＝∠D，
AB：DE＝AC：DF，可推得∠ABC＝∠DEF，此時△ABC∼△DEF（AA 相似）。
因此，
SAS 相似性質
2
如下圖，△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D，AB：DE＝AC：DF，
且AB＜DE，將∠A 與∠D 疊合，回答下列問題：
1為什麼BC // EF？
2△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？
A
B C
D
E F E F
B C
D（A）
問 題 探 索
若兩個三角形有一組對應角相等，且夾此等角的兩組對應邊成比例，
則這兩個三角形相似，這個性質稱為SAS 相似性質。
∵ AB：DE＝AC：DF
∴ BC // EF
∵ BC // EF
∴∠ ABC＝∠DEF 又∠ A＝∠D
∴△ ABC∼△DEF（AA 相似）
對應能力指標 9-s-03 活動2 能 了 解 S A S 相 似 性 質 ， 且 能 以 此 性 質 判 別 兩 個 三 角形是否相似。
■SAS 相似性質在 運 用 上 應 先 找 到 對 應 角 ， 再 找 到 此 兩 角 的 夾 邊 對 應成比例。
■ 下列三個三角形中，哪兩個三角形相似？A、B
A B C
■類題熟練本P12
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第4回
31
第
1
章．相似形32
如圖，△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D＝100°，AB＝2.4，AC＝1.2，
DE＝4，DF＝2，則△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？
SAS 相似性質的應用
例
題3
∵AB：DE＝2.4：4＝3：5 AC：DF＝1.2：2＝3：5
∴AB：DE＝AC：DF＝3：5 在△ABC 與△DEF 中，
∵∠A＝∠D＝100°，AB：DE＝AC：DF，
∴△ABC∼△DEF（SAS 相似）。
在△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D＝37°，AB＝6，AC＝5，DE＝1.5，
DF＝1.25，則△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？
B A
C 2.4
100° 1.2 F
D
E 2 100° 4
搭配習作 P10 基礎題 4
∵ AB：DE＝6：1.5＝4：1 AC：DF＝5：1.25＝4：1
∴ AB：DE＝AC：DF＝4：1 在△ ABC 與△DEF 中
∵∠ A＝∠D，AB：DE＝AC：DF
∴△ ABC∼△DEF（SAS 相似）
1△ABC 中，∠A＝56°，AB＝4，AC＝5，則哪一個三角形與 △ABC 相似？
B
A△DEF 中，∠D＝56°，∠E＝58°，DE＝5B△LMN 中，∠M ＝56°，LM＝6，MN＝7.5 C△PQR 中，∠P＝56°，PR＝4，QR＝5 D△XYZ 中，∠X＝56°，∠Y＝62°，XY＝4
2如右圖，△ABC 中，若 AB＝12，AD＝6，AC＝9，AE＝8，DE＝7，
試求 BC。
（ BC＝10.5）
■類題熟練本P13
■類題熟練本P12、13 32
33
1–2 三角形相似性質
如右圖，△ABC 中，AE＝3，EB＝5，AF＝4，
FC＝2，回答下列問題：
1△ABC 與△AFE 是否相似？為什麼？
2若EF＝3.3，試求 BC。
SAS 相似性質的應用
例
題4
1∵△ABC 與△AFE 有相同的∠A，
且AE：AC＝3：（4＋2）＝3：6＝1：2 AF：AB＝4：（3＋5）＝4：8＝1：2
∴AE：AC＝AF：AB＝1：2 故△ABC∼△AFE（SAS 相似）
2∵△ABC∼△AFE，
∴ EFBC＝ AE AC＝ 12 BC＝2EF＝6.6
如右圖，EC 與 BF 交於 A 點，且 AB＝10，AC＝AE＝20，AF＝40，
EF＝25.6，試求 BC。
A
F E
B C
4 5
3
2
B
E
C F
A
搭配習作 P11 基礎題 5
∵ AB：AE＝10：20＝1：2 AC：AF＝20：40＝1：2
∴ AB：AE＝AC：AF＝1：2 在△ ABC 與△AEF 中
∵ AB：AE＝AC：AF，∠BAC＝∠EAF，
∴△ ABC∼△AEF（SAS 相似）
BC：EF＝AB：AE BC：25.6＝1：2 BC＝12.8
■ 如右圖，AB // CD，若 AB＝30，CD＝10，CE＝15，試求 BC。
（ BC＝60）
■△ABC 與△AFE 有 一 個 共 同 頂 點
（共同角），由對 應 角 找 對 應 邊 通 常較為容易。
■類題熟練本P13
■類題熟練本P12、13
33
第
1
章．相似形34
SSS 相似性質
3
如下圖，△ABC 與△DEF 中，AB＜DE，且 AB DE＝ BC
EF＝ AC DF， 回答下列問題：
1如右圖，△DEF 中，在 DE 上取 DP＝AB，
過P 點作 PQ // EF，交 DF 於 Q 點，
△DPQ 與△DEF 是否相似？為什麼？
2由△DPQ∼△DEF 可得DP DE＝ DQ
DF＝ PQ
EF，又 AB
DE ＝ BC EF＝ AC
DF， DP＝AB，試說明△ABC △DPQ。
3由△ABC △DPQ 得∠A＝∠D，又AB
DE ＝ AC
DF，則△ABC∼△DEF
是利用 相似性質。
A
B C
E F
D
F E
P Q
D
問 題 探 索
由上面的問題探索可知：在△ABC 與△DEF 中，若 AB
DE ＝ BC EF＝ AC
DF， 可推得∠A＝∠D，此時△ABC∼△DEF（SAS 相似）。
因此，
若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個三角形相似，
這個性質稱為SSS 相似性質。
∵ PQ // EF
∴∠ DPQ＝∠E，∠DQP＝∠F 故△ DPQ∼△DEF（AA 相似）
∵ DP＝AB，∴PQ＝BC，DQ＝AC 故△ ABC △DPQ（SSS）
SAS
對應能力指標 9-s-03
搭配習作 P11 基礎題6 活動3 能 了 解 SSS
相 似 性 質 ， 且 能 以 此 性 質 判 別 兩 個 三 角形是否相似。
■要證明△ABC
w
△DPQ 困難度較 高，教學時可將 兩等式並列：
＝ ＝
＝ ＝AB BC AC DF EF
DE
DP PQ DQ DF EF
DE
■ 下列四個三角形中，何者與其他三個三角形不相似？B
A B C D
■類題熟練本P14 3
35
1–2 三角形相似性質
如右圖，AB＝10，AC＝8，BC＝12，BD＝15，CD＝18，
回答下列問題：
1為什麼△ABC∼△BDC？
2∠D 與△ABC 的哪個角相等？
SSS 相似性質的應用
例
題5
試勾選出與△ABC 相似的三角形。
1
□
2□
3□
1在△ABC 與△BDC 中，
∵AC：BC＝8：12＝2：3 AB：BD＝10：15＝2：3 BC：CD＝12：18＝2：3
∴AC：BC＝AB：BD＝BC：CD 故△ABC ∼△BDC（SSS 相似）
2∵△ABC ∼△BDC
∴∠D＝∠ABC
A
C B
D
A
B C
1.5 1.8
1.5 1.6 2.4
2.8
2
2 1.7
2.1
7 3 5
3
可以看成：
D B
A
B C
C 10 8
15 18 12 12
L L
■ 下列兩個三角形是否相似？
（是）
A B
C D
E P
Q
A
B
R
C D Q 1
3 2
A
B C
D H E A B
C D
1 3 4 2
A B
D E C
A
B C
D E
A
B O
C
D
A C
B D
E
C
D
A
E B
A
B F C
G D E
A D C F
E B
A B
C
D E
A
B
D
C O
A B
E
C D
G
F 6 8
9
12
A P
B C
Q D
DA F B
E G
C A
D C
B
E
H G F
L1
L4
L3
L2
2
1
1
1.5 4
2
3 2
A P
B Q C
A D F B
E G
C A B C
D E F
A
B C E
D G F
A
B D C
A
B C
D
E
A
B C
D
A
B
E C
D
A O
B B' C
D A'
D' C'
A
B C
E D
F
B D C
A G E
A E
B D
C
B A C
D E
C
A D E B
A
B
E C D
A
B C
D E F
A B
D C
M N
C B
A
D
D F
6.4
5
10
2.5 3.2 5
E
A C
D B
MON
5 4 3 2
1 6 L
P
S M
N
Q
A
B F C
E D P
C B
A
B D C
A
E A
B
C D
E P
Q
A
B
R
C D Q 1
3 2
A
B C
D H E A B
C D
1 3 4 2
A B
D E C
A
B C
D E
A
B O
C
D
A C
B D
E
C
D
A
E B
A
B F C
G D E
A D C F
E B
A B
C
D E
A
B
D
C O
A B
E
C D
G F 6 8
9
12
A P
B C
Q D
DA F B
E G
C A
D C
B
E
H G F
L1
L4
L3
L2
2
1
1
1.5 4
2
3 2
A P
B Q C
A D F B
E G
C A B C
D E F
A
B C E
D G F
A
B D C
A
B C
D
E
A
B C
D
A
B
E C D
A O
B B' C
D A'
D' C'
A
B C
E D
F
B D C
A G E
A E
B D
C
B A C
D E
C
A D E B
A
B
E C D
A
B C
D E F
A B
D C
M N
B C A
D
D F
6.4
5
10
2.5 3.2 5
E
A C
D B
MON
5 4 3 2
1 6 L
P
S M
N
Q
A
B F C
E D P
C B
A
B D C
A
E
■類題熟練本P14 3
第
1
章．相似形36
如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，
試說明DE // BC，且 DE＝ 12 BC。
三角形兩邊中點連線性質
例
題6
1在△ABC 中，
∵D、E 分別為 AB、AC 的中點
∴AD：BD＝AE：CE＝1：1 故DE // BC
∴AD：AB＝DE：BC
2∵△ADE∼△ABC（AA 相似），AD＝ 12 AB，
且AD：AB＝DE：BC
∴DE＝ 12 BC
如右圖，△ABC 中，
D、E、F 分別為 AB、BC、AC 的中點，
若AB＝10 公分，BC＝8 公分，AC＝7 公分，
1試求DE＋EF。
2四邊形DBEF 是否為平行四邊形？
A
F D
B E C
三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊，且為第三邊長的一半，
稱為三角形兩邊中點連線性質。
由例題6 可知：
A
D
B C
E
1 DE＋EF＝ 12 AC＋ 1
2 AB＝ 7
2 ＋5＝ 17
2（公分）
2∵ DF // BE，BD // EF，∴四邊形 DBEF 為平行四邊形
活動4 能 了 解 三 角形 兩 邊 中 點 連 線 性 質。
■例題6及隨堂練習 的內容，以往習慣 放在平行、全等的 章節，在證法上以 這裡的方法比較簡 單易懂。
■如右圖，△ABC 中，D、E、F 分別為 AB、BC、AC 的中點，
若△DEB 的面積為 12 平方公分，
試求梯形 DECA 的面積。
（36 平方公分）
A
D F
B E C
■類題熟練本P15
■類題熟練本P14、15 36
37
1–2 三角形相似性質
如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，
F、G 分別為 AD、AE 的中點，
若FG＝3 公分，試求 DE＋BC。
三角形兩邊中點連線性質的應用
例
題7
在△ADE 中，F、G 分別為 AD、AE 的中點，
∴FG＝ 12 DE 3＝ 12 DE DE＝6
同理，DE＝ 12 BC 6＝ 12 BC BC＝12
DE＋BC＝6＋12＝18（公分）
如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，
F、G 分別為 BD、CE 的中點，若 BC＝20，
試求FG。
A F D
B C
E G
A
F D
B C
E
∵ D、E 分別為 AB、AC 的中點
G∴ DE // BC，且 DE＝ 12 BC＝10
∵ F、G 分別為 BD、CE 的中點，且 DE // BC
∴ FG 為梯形 DECB 的中線 故 FG＝ 12 ×（DE＋BC）＝ 1
2 ×（10＋20）＝15
■如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，
F、G 分別為 BD、CE 的中點，
若 DE＋FG＝150，試求 BC。
（BC＝120）
■此 處 命 題 時 宜 留 意 ， 避 免 出 現 計 算 面 積 的 題 型 。
「相似三角形面積 比 等 於 對 應 邊 的 平 方 比 」是 下 一 節的教學內容。
A
D F B
E G
C
■類題熟練本P15
■類題熟練本P14、15
3
■ 如右圖，直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，AD⊥BC 於 D，
若 BD＝3，DC＝4，試求 AD。
（AD＝2 3 ）
第
1
章．相似形38
如右圖，直角三角形ABC 中，
∠BAC＝90°，AD⊥BC 於 D，
1試說明△ABC∼△DBA。
2試說明AB2＝BD×BC。
3若AB＝4，BD＝2，試求 BC。
相似三角形的計算
例
題8
1在△ABC 與△DBA 中
∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B
∴△ABC∼△DBA（AA 相似）
2∵△ABC∼△DBA
∴AB：BD＝BC：AB 即AB2＝BD×BC 342＝2×BC
∴BC＝8
如右圖，直角三角形ABC 中，
∠BAC＝90°，AD⊥BC 於 D，
1試說明△ABC∼△DAC。
2試說明AC 2＝DC×BC。
3若AC＝6，BC＝8，試求 DC。
A
B D C
A
B D C
4
2
1 在△ ABC 與△DAC 中
∵∠ BAC＝∠ADC，∠C＝∠C
∴△ ABC∼△DAC（AA 相似）
2 ∵△ ABC∼△DAC，∴AC：DC＝BC：AC 即 AC
2＝ DC×BC
3 6
2＝ DC×8
∴ DC＝4.5
A
B C
D
■無 敵 大 補 帖 基 礎 篇 P5∼8
■類題熟練本P16
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第5回
3
39
1–2 三角形相似性質
!三角形的相似性質：
1AAA 相似性質：若兩個三角形的三組對應角相等，則這兩個三角形 相似。
2AA 相似性質：若兩個三角形其中兩組對應角相等，則這兩個三角形 相似。
3SAS 相似性質：若兩個三角形有一組對應角相等，且夾此等角的兩組 對應邊成比例，則這兩個三角形相似。
4SSS 相似性質：若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個三角形 相似。
@△ABC 中，若 PQ // BC，
則AP：AB＝AQ：AC＝PQ：BC。
#三角形兩邊中點連線：
三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊，且為第三邊長的一半，稱為 三角形兩邊中點連線性質。
如圖1-22，D、E 分別為 AB、AC 中點，
則DE // BC，且 DE＝ 12 BC。
$直角三角形ABC 中，∠BAC＝90°，
若AD⊥BC 於 D，
則△ABC∼△DBA，△ABC∼△DAC，
△DBA∼△DAC。
圖1-21
圖1-22
圖1-23 A
P Q
B C
A
D E
B
A
C
B D C
■ 如右圖，△ABC 為直角三角形，∠A＝90°，DE ⊥ BC，
若 AB ＝6，AC ＝8，DE ＝3，試求△DBE 的面積。
（△DBE＝9）
A B
C D
E P
Q
A
B
R
C D Q 1
3 2
A
B C
D H E A B
C D
1 3 4 2
A B
D E C
A
B C
D E
A
B O
C
D
A C
B D
E
C
D
A
E B
A
B F C
G D E
A D C F
E B
A B
C
D E
A
B
D
C O
A B
E
C D
G F 6 8
9
12
A P
B C
Q D
DA F B
E G
C A
D C
B
E
H G F
L1
L4
L3
L2
2 1
1
1.5 4
2
3 2
A P
B Q C
A D F B
E G
C A B C
D E F
A
B C E
D G F
A
B D C
A
B C
D
E
A
B C
D
A
B
E C
D
A O
B B' C
D A'
D' C'
A
B C
E D
F
B D C
A G E
A E
B D
C
B A C
D E
C
A D E B
A
B
E C D
A
B C
D E F
A B
D C
M N
B C A
D
D F
6.4
5
10
2.5 3.2 5
E
A C
D B
MON
5 4 3 2
1 6 L
P
M S N
Q
A
B F C
E D P
C B
A
B D C
A
E
■重點回顧 4 中，
由 三 角 形 的 相 似 可 再 進 一 步 推 導 出 直 角 三 角 形 斜 邊 上 高 的 相 關 性 質 ， 以 及 畢 氏 定 理 的 另 一 種 證 明 方 法 ， 教 師 可 視 情況適時補充。
■無 敵 大 補 帖 基 礎 篇
P5∼8
■類題熟練本P16
■十分鐘輕鬆考基礎篇 第5回
3
第
1
章．相似形40
1勾選出與△ABC 相似的三角形：
2如右圖，△ABC 與△DEF 中，已知 BC // EF，且 BC：EF＝AC：DF，
回答下列問題：
1△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？
2若AB＝14，AD＝9，DE＝21，CF＝19，試求 CD。
1-2
1
□
4
□
2
□
5
□
3
□
6
□
A B
C
20 20
20
20 30
30 16 16
12 15
18 24 16
a°
a°
a°
a°
b° b°
c° b°
c°
A B
E
C
D F
L L
L L
∵ BC // EF
∴∠ BCA＝∠EFD 又 BC：EF＝AC：DF
故△ ABC∼△DEF（SAS 相似）
AB：DE＝AC：DF
14：21＝（9＋CD） ： （ CD＋19）
CD＝11
■如右圖，AC // BD // MN，若 AC ＝5，MN＝1，BD＝7，
且△AOC 的面積為 10，試求四邊形 MNBD 的面積。
（四邊形 MNBD 的面積＝ 96 5 ）
AB
C D
E P
Q
A
B
R
C D Q 1
3 2
A
B C
D H E A B
C D
1 3 4 2
A B
D E C
A
B C
D E
A
B O
C
D
A C
B D
E
C
D
A
E B
A
B F C
G D E
A D C F
E B
A B
C
D E
A
B
D
C O
A B
E
C D
G F 6
8
9
12
A P
B C
Q D
DA F B
E G
C A
D C
B
E
H G F
L1
L4
L3
L2
2
1
1
1.5 4
2
3 2
A P
B Q C
A D F B
E G
C A B C
D E F
A
B C E
D G F
A
B D C
A
B C
D
E
A
B C
D
A
B
E C
D
A O
B B' C
D A'
D' C'
A
B C
E D
F
B D C
A G E
A E
B D
C
B A C
D E
C
A D E B
A
B
E C D
A
B C
D E F
A B
D C
M N
C B
A
D
D F
6.4
5
10
2.5 3.2 5
E
A C
D B
MON
5 4 3 2
1 6 L
P
S M
N
Q
A
B F C
E D P
C B
A
B D C
A
E
■類題熟練本P17、18
■類題熟練本P17、18
■考前衝刺P4、5
■考前100分P4、5
■歷屆基測試題1-2
0
41
1–2 三角形相似性質
3如右圖，L1、L2、L3皆為直線，若L1// L2// L3， 且直線M、N 交於 A 點，GE＝2，EA＝3，
AC＝4，HA＝4，回答下列問題：
1試求FH、AF 與 AB。
2GE：EA：AC 與 HF：FA：AB 是否相等？
3若EF＝ 54
25 ，試求 BC、GH。
G
E F
A
B
M N
L3 L2 L1
C H
AE：AG＝AF：AH 3：5＝AF：4 AF＝ 12 5
FH＝4－ 12 5 ＝ 8 5 AB：AF＝AC：AE AB： 12 5 ＝4：3 AB＝ 16 5
∵ HF：FA：AB＝ 85 ： 12 5 ： 16
5 ＝2：3：4＝GE：EA：AC
∴ GE：EA：AC＝HF：FA：AB
EF：BC＝EA：AC 54 25 ：BC＝3：4 BC＝ 72 25
AE：AG＝EF：GH 3：5＝ 54
25 ：GH GH＝ 18 5
■類題熟練本P17、18
■類題熟練本P17、18
■考前衝刺P4、5
■考前100分P4、5
■歷屆基測試題1-2
■如右圖，平行四邊形 ABCD 中，BF：FC＝4：1，
CE：ED＝3：2，且知 AF、BE 交於 P 點，試求 AP：PF。
（ AP： PF ＝25：12）
A B
C D
E P
Q
A
B
R
C D Q 1
3 2
A
B C
D H E A B
C D
1 3 4 2
A B
D E C
A
B C
D E
A
B O
C
D
A C
B D
E
C
D
A
E B
A
B F C
G D E
A D C F
E B
A B
C
D E
A
B
D
C O
A B
E
C D
G F 6 8
9
12
A P
B C
Q D
DA F B
E G
C A
D C
B
E
H G F
L1
L4
L3
L2
2
1
1
1.5 4
2
3 2
A P
B Q C
A D F B
E G
C A B C
D E F
A
B C E
D G F
A
B D C
A
B C
D
E
A
B C
D
A
B
E C
D
A O
B B' C
D A'
D' C'
A
B C
E D
F
B D C
A G E
A E
B D
C
B A C
D E
C
A D E B
A
B
E C D
A
B C
D E F
A B
D C
M N
C B
A
D
D F
6.4
5
10
2.5 3.2 5
E
A C
D B
MON
5 4 3 2
1 6 L
P
M S N
Q
A
B F C
E D P
C B
A
B D C
A
E
1
第
1
章．相似形42
4如右圖，△ABC 中，F、G 分別為 AB、AC 的中點，
D、E 分別為 AF、AG 的中點，若 BC＝16，
試求DE。
5如右圖，△ABC 中，∠BAC＝90°，
且AD⊥BC 於 D，若 AC＝x－2，
DC＝x－4，BD＝5，試求 AC 。
A D F
B C
G E
D C B
A
FG＝ 12 BC＝8 DE＝ 12 FG＝4
在△ ABC 與△DAC 中
∵∠ BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C
∴△ ABC∼△DAC（AA 相似）
故 AC：DC＝BC：AC AC
2＝ DC×BC
（ x－2）
2＝ （ x－4） （ x＋1）
x
2－ 4x＋4＝x
2－ 3x－4 x＝8
∴ AC＝x－2＝6
■ 如右圖，△ABC 中，∠A＝90°，AD ⊥ BC，D 為垂足，
則下列敘述何者錯誤？
A△ABD∼△CBA B AB 2＝ BD．CD C△ABD∼△CAD D AD 2＝ BD．CD
B
A B
C D
E P
Q
A
B
R
C D Q 1
3 2
A
B C
D H E A B
C D
1 3 4 2
A B
D E C
A
B C
D E
A
B O
C
D
A
C
B D
E
C
D
A
E B
A
B F C
G D E
A D C F
E B
A B
C
D E
A
B
D
C O
A B
E
C D
G F 6 8
9
12
A P
B C
Q D
DA F B
E G
C A
D C
B
E
H G F
L1
L4
L3
L2
2
1
1
1.5 4
2
3 2
A P
B Q C
A D F B
E G
C A B C
D E F
A
B C E
D G F
A
B D C
A
B C
D
E
A
B C
D
A
B
E C
D
A O
B B' C
D A'
D' C'
A
B C
E D
F
B D C
A G E
A E
B D
C
B A C
D E
C
A D E B
A
B
E C D
A
B C
D E F
A B
D C
M N
C B
A
D
D F
6.4
5
10
2.5 3.2 5
E
A C
D B
MON
5 4 3 2
1 6 L
P
M S N
Q
A
B F C
E D P
C B
A
B D C
A
E
■類題熟練本P19
■MPB相似形P16∼20
■類題熟練本P17、18
■十分鐘輕鬆考進階篇 第2回
■無 敵 大 補 帖 進 階 篇
P3、4
2
