2-2角錐與圓錐班級：

2-2 角錐與圓錐

班級：________座號：_________姓名：__________

※ 角錐

n 角錐：底面是 n 邊形的角錐，它有 n 個三角形的側面和一個底面。

金字塔：是由一個正方形底面，和四個三角形側面所圍成的五面體。

直四角錐：其中四角錐的側面全都是等腰三角形，我們稱為直四角錐，如圖 1。

斜三角錐與斜五角錐：角錐的側面不全都是等腰三角形，如圖 2 與圖 3。

正 n 角錐：底面是正 n 邊形，且側面均為全等等腰三角形的角。如果沒有特別說明，在本書 中的角錐都是指正角錐。

圖 1　直四角錐 圖 2　斜三角錐 圖 3　斜五角錐

正 n 角錐的展開圖是由一個正 n 邊形底面和 n 個等腰三角形側面所組成

側面 底面

隨堂練習--- 下列圖形中，哪一個不是錐體的展開圖？

---

(A) (B) (C) (D)

已知右圖四角錐的底面是邊長為 6 的正方形，側面是腰長為 5 的等腰三角形，試求此四角錐 的表面積。

--- 四角錐的表面積＝底面積＋側面積

　　　　　　　　＝6

＋48 　　　　　　　　＝84。

隨堂練習---

右圖為三角錐的展開圖，已知底面是邊長為 10 的正三角形，側面是腰長為 13 的等腰三角形，

試求此三角錐的表面積。

--- 等腰三角形的高＝＝12。

三角錐的表面積＝底面積＋側面積 　　　　　　　＝× 10

＋× 10 × 12 × 3 　　　　　　　＝25＋180

圓錐

圓錐有一個頂點、一個側面和一個圓形的底面。　　　　　　　　

直圓錐：若一個圓錐的頂點和底圓的圓心連線會垂直底圓，則稱此圓錐為直圓錐

斜圓錐：若圓心連線不垂直底圓，則稱為斜圓錐。如果沒有特別說明，在本書中的圓錐都 是指直圓錐。

側面 頂點

底面

直圓錐 斜圓錐

隨堂練習--- 如右圖，若將直角△ABC 以為轉軸旋轉一圈，則△ABC 掃過的區域會形成哪一種立體圖形？

---

圓錐的側面展開後可為扇形，此扇形的弧長等於底圓的圓周長，如下圖。

5 5

6

10

13 13

A

B C

\s\up 15(展開 ) \s\up 15(展開 )

側面

底面

圓周長 底圓

例題 2--- 一圓錐的展開圖，若扇形半徑＝12，AB＝6π，試求：(1)底圓半徑。 (2)　∠AOB 的度數。

--- (1)　設底圓半徑為 r，則 2πr＝6π，r＝3，故底圓半徑為 3。

(2)　設∠AOB＝x°，則AB＝2π×12×＝6π，x＝90，

故∠AOB＝90°。

隨堂練習--- 圓錐的展開圖，若底圓半徑為 2，扇形半徑＝6，求：(1)　AB的長度。(2)∠AOB 的度數。

--- 4π, 120°

隨堂練習--- 圓錐的展開圖，若底圓半徑為 1，扇形半徑＝6，且∠AOB＝60°，求此圓錐的表面積。

--- 圓錐表面積＝1×1×π＋( 6×6×π)×

　　　　　＝π＋6π＝7π

計算圓錐的表面積

由側面展開後的扇形弧長與圓心角，由此求出側面的扇形面積，再加上底圓面積，即可。

例題 3---

A

B

O

A

O B

A

B

O

---

∵ 底圓的半徑＝＝6

　 且扇形弧長＝底圓的圓周長＝2π× 6＝12π

∴ 扇形的圓心角＝× 360°

　　　　　　　 ＝ × 360°＝216°

故圓錐的側面積＝10

π× ＝60π，

　圓錐的表面積＝底面積＋側面積 　　　　　　　＝6

π＋60π

　　　　　　　＝36π＋60π＝96π

隨堂練習---

右圖為圓錐的展開圖，已知圓錐的底圓半徑為 15，

扇形的半徑為 20，試求此圓錐的表面積。

---

∵圓錐展開後的扇形弧長＝2π× 15＝30π

∴扇形的圓心角＝ × 360°＝270°

故圓錐的側面積＝20

π× ＝300π，

圓錐的表面積＝15

π＋300π＝525π。

Q P

O 8 10

20

自我評量

１ 如右圖，若將鐵絲接合在等腰三角形紙板的一條對稱軸上，且以鐵絲為轉軸快速旋轉，

則紙板掃過的區域會形成下列哪一種形體？　　　　　　　( 10 分 ) (A) 角柱　　(B) 角錐　　(C) 圓柱　　(D) 圓錐

答：　 (D) 　 。

２ 一個八角錐有　 9 　 個頂點、　 16 　 個邊、　 9 　 個面。

( 每格 10 分 )

３ 右圖是一個正三角錐，其稜邊長皆為 3 公分。( 每小題 15 分 ) (1) 請勾選正三角錐的展開圖。

□  □  □

(2) 試求正三角錐的表面積。

( × 3

) × 4＝9 ( 平方公分 )。

４ 如右圖，圓錐的底圓半徑為 8，圓錐的頂點到

底圓圓周上的距離為 20，試求：( 每小題 15 分 ) (1) 展開圖中扇形的圓心角。

扇形的圓心角

＝×360°

＝×360°＝144°

(2)　圓錐的表面積。

圓錐的表面積

＝底面積＋側面積

＝8

π＋20

π×

＝64π＋160π＝224π

角錐的頂點、邊與面的個數

基礎練習一

1. 填填看：下列角錐各有多少個頂點？多少個邊？多少個面？

20

8

計算角錐的表面積

基礎練習二

1. 右圖為一個底面為正方形的四角錐，其側面為等腰三角形，

且腰長為 20 公分。若底面正方形的邊長為 24 公分，則此 四角錐的表面積為　　_　　平方公分。

2. 如右圖，若此六角錐的底是邊長為 12 公分的正六邊形，且

四個側面是腰長 10 公分的等腰三角形，則此六角錐的表面

積為平方公分。

3. 右圖是一個正三角錐，其四個面都是邊長為 10 公分的正三角形，

則此三角錐的表面積為平方公分。

4. 右圖為三角錐的展開圖，已知底面是邊長為 6 的正三角形，

側面是腰長為 10 的等腰三角形，求此三角錐的表面積。

答

：。

七角錐 8 14 8 2

八角錐 9 16 9 2

九角錐 10 18 10 2

n 角錐 n＋1 2n n＋1 2

24

20 20

利用展開圖計算圓錐的底圓半徑及圓心角

基礎練習三

1. 右圖為一圓錐的展開圖，若扇形 半徑＝10，AB＝6π，試求：

(1)　底圓的半徑＝　　　　。 (2)　∠AOB＝　　　　度。

2. 右圖為一圓錐的展開圖，若扇形 半徑＝15，

＝3π，試求：

(1)　底圓的半徑＝　　　　。 (2)　∠AOB＝　　　　度。

3. 右圖為一圓錐的展開圖，若底圓半徑為 3，

扇形半徑＝9，試求：

(1)　

的長度＝　　　　。

(2)　∠AOB＝　　　　度。

計算圓錐的表面積

基礎練習四

1. 如右圖，圓錐的表面積為　　　　。

2. 右圖是一個底圓半徑為 10 cm 的圓錐。若頂點 到圓周的距離是 15 cm，則此圓錐的表面積 為　　　　　cm

。

3. 右圖為圓錐的展開圖，已知圓錐的底圓半徑為 4，

扇形的半徑為 12，則此圓錐的表面積為　　　　　。

6 9

10

15