大學入學考試中心九十八學年度學科能力測驗試題數學科

大學入學考試中心九十八學年度學科能力測驗試題數學科

壹、單選題(佔 30 分)

說明：第1 至 6 題，每題選出最適當的一個選項，劃記在答案卡之「解答欄」，每題答對得 5 分，答錯不倒扣。

1.數列 a1＋2，⋅⋅⋅，ak＋2k，⋅⋅⋅，a10＋20 共有十項，且其和為 240，則 a1＋⋅⋅⋅＋ak＋⋅⋅⋅＋a10之值 為(1) 31 (2) 120 (3) 130 (4) 185 (5) 218

解1：(a1＋2)＋⋅⋅⋅＋(ak＋2k)＋⋅⋅⋅＋(a10＋20)＝(a1＋a2＋⋅⋅⋅＋ak＋⋅⋅⋅＋a10)＋(2＋4＋⋅⋅⋅＋2k＋⋅⋅⋅＋20)

⇒ 240＝(a1＋a2＋⋅⋅⋅＋ak＋⋅⋅⋅＋a10)＋2(1＋2＋⋅⋅⋅＋k＋⋅⋅⋅＋10)

⇒ 240＝(a1＋a2＋⋅⋅⋅＋ak＋⋅⋅⋅＋a10)＋110

∴a1＋a2＋⋅⋅⋅＋ak＋⋅⋅⋅＋a10＝240－110＝130 解2：(a1＋2)＋⋅⋅⋅(a_k＋2k)＋⋅⋅⋅＋(a10＋20)＝

∑

= 10 +

1

) 2 (

k

k k

a ＝

∑

= 10 1 k

ak ＋

∑

= 10 1

2

k

k

⇒ 240＝

∑

= 10 1 k

ak ＋2(1＋2＋⋅⋅⋅＋10)＝

∑

= 10 1 k

ak ＋110

∴a1＋⋅⋅⋅＋a_k＋⋅⋅⋅＋a10＝

∑

= 10 1 k

ak ＝130 答：(3)

2.令 a＝cos(π²)，試問下列哪一個選項是對的？

(1) a＝－1 (2)－1＜a≤ － 2

1 (3)－

2

1＜a≤ 0 (4) 0＜a≤ 2

1 (5) 2

1＜a≤ 1 解：∵π²＝(3.14⋅⋅⋅)² 9.86＝6.28＋3.48 3.14π

∴π²在第三象限內，⇒ 3π＜π²≤ 3

10π，如右圖

∴－1＝cos 3π＜cos π²≤cos 3

10π＝－

2 1 答：(2)

3.已知 f (x)，g(x)是兩個實係數多項式，且知 f (x)除以 g(x)的餘式為 x⁴－1。試問下列哪一個選 項不可能是 f (x)與 g(x)的公因式？

(1) 5 (2) x－1 (3) x²－1 (4) x³－1 (5) x⁴－1 解：設 f (x)＝g(x)Q(x)＋(x⁴－1)

根據輾轉除法原理：( f (x)，g(x) )＝( g(x)，(x⁴－1) ) 又 x⁴－1＝(x²－1)( x²＋1)＝(x－1)(x＋1)( x²＋1)

⇒ f (x)，g(x)的最大公因式可能為：1，x－1，x＋1，x²＋1，x²－1，(x＋1)( x²＋1)，

(x－1)( x²＋1)，(x²－1)( x²＋1)及其非零的倍數 得知 x³－1＝(x－1)( x²＋x＋1)不可能為其公因式

答：(4)

3π+0.14π

3π 2π

3π+60⁰

4.甲、乙、丙三所高中的一年級分別有 3、4、5 個班級。從這 12 個班級中隨機選取一班參加國 文抽考，再從未被抽中的11 個班級中隨機選取一班參加英文抽考。則參加抽考的兩個班級在 同一所學校的機率最接近以下哪個選項？

(1) 21% (2) 23% (3) 25% (4) 27% (5) 29%

解：根據題意，此兩個班級可能同屬於甲或乙或丙高中，則 若在甲高中，機率＝

12 3 ×

11 2

若在乙高中，機率＝

12 4 ×

11 3

若在丙高中，機率＝

12 5 ×

11 4

∴12 3 ×

11 2 ＋

12 4 ×

11 3 ＋

12 5 ×

11 4 ＝

132

38 ＝0.28787878…… 28.78% 29%

答：(5)

5.假設甲、乙、丙三鎮兩兩之間的距離皆為 20 公里。兩條筆直的公路交於丁鎮，其中之一通過 甲、乙兩鎮而另一通過丙鎮。今在一比例精準的地圖上量得兩公路的夾角為45⁰，則丙、丁兩 鎮間的距離約為

(1) 24.5 公里 (2) 25 公里 (3) 25.5 公里 (4) 26 公里 (5) 26.5 公里 解1：(1)如右圖，取甲、乙兩鎮的中點戊，連接線段丙戊

∵∆甲乙丙為正三角形，∴丙戊垂直甲乙 (2)在直角∆甲丙戊中，得知丙戊＝10 3 (3)在等腰直角∆丁丙戊中，

丙丁＝ 2 丙戊＝10 6 24.5

解2：(1)如右圖，∵∆甲乙丙為正三角形，∴∠乙＝60⁰ (2)在∆乙丙丁中，根據正弦定理： ₀

45 sin

乙丙 ＝ ₀ 60 sin

丙丁

⇒ 2 1 20 ＝

2 3

丙丁，∴丙丁＝10 6 24.5

解3：(1)如右圖，過甲作甲戊垂直丙丁於戊 在∆甲丁戊中，設丁戊＝甲戊＝x

在∆甲丙戊中，設丙戊＝y (2)在∆甲丙戊中，

丁戊＝x＝20sin15⁰＝20×

4 2 6−

＝5 6－5 2 丙戊＝y＝20cos15⁰＝20×

4 2 6+

＝5 6＋5 2

⇒丙丁＝x＋y＝(5 6－5 2)＋(5 6＋5 2)＝10 6 24.5 答：(1)

甲

乙

丁 丙

20 10

20 60⁰

45⁰ 15⁰ 30⁰

戊

甲

乙

丁 丙

20

20 60⁰ 45⁰

60⁰

60⁰ 20

甲

乙

丁 丙

20

60⁰ 20 45⁰

60⁰ 20

戊

45⁰

15⁰

x x

y

6.試問坐標平面上共有幾條直線，會使得點 O(0，0)到此直線之距離為 1，且點 A(3，0)到此直 線之距離為2？

(1) 1 條 (2) 2 條 (3) 3 條 (4) 4 條 (5)無窮多條 解1：設此直線為 L：ax＋by＋c＝0

∴d(O，L)＝

2 2

0 0

b a

c +

+

+ ＝1，∴c＝± a² +b² ，即 c²＝a²＋b²

d(A，L)＝

2 2

0 3

b a

c a

+ +

+ ＝2，∴|3a＋c|＝2 a² +b² ＝2c，得知 3a＝c 或 a＝－c

(i)當 3a＝c 時，代入 c²＝a²＋b²，得 b＝±2 2a

∴(a，b，c)＝(a，±2 2a，3a)，有 2 組解，即有 2 條直線 (ii)當 a＝－c 時，代入 c²＝a²＋b²，得 b＝0

∴(a，b，c)＝(a，0，－a)，有 1 組解，即有 1 條直線

∴共有3 條直線

解2：∵點 O(0，0)到此直線之距離為 1

即此直線為以O 為圓心之單位圓的切線

∴如右圖，知共有L1，L2，L3等3 條直線滿足 答：(3)

貳、多選題(佔 25 分)

說明：第7 至 11 題，每題的五個選項各自獨立，其中至少有一個選項是正確的，選出正確選 項劃記在答案卡之「解答欄」。每題皆不倒扣，五個選項全部答對者得5 分，只錯一個 選項者可得2.5 分，錯兩個或兩個以上選項者不給分。

7.試問下列哪些選項中的數是有理數？

(1) 3.1416 (2) 3 (3)log₁₀ 5＋log₁₀ 2 (4) ₀

0

15 cos

15

sin ＋ ₀

0

15 sin

15

cos (5)方程式 x³－2x²＋x－1＝0 的唯一實根

解：根據題意，即哪些數可以表示為 p

q 之型式

(1) 3.1416＝

10000 31416

是有理數 (2) 3為無理數，不可以表示成

p

q 之型式

(3)log₁₀ 5＋log₁₀ 2＝log₁₀ 10＝ 2

1是有理數

A(3,0) O

2 2

2 L1 L2

L3

(4) ₀

0

15 cos

15

sin ＋ ₀

0

15 sin

15

cos ＝ _{0 0}

0 2 0 2

15 cos 15 sin 2

) 15 cos 15 (sin

2 +

＝ ₀

30 sin

2 ＝4 是有理數

或 ₀

0

15 cos

15

sin ＋ ₀

0

15 sin

15

cos ＝tan 15⁰＋cot 15⁰＝(2－ 3)＋(2＋ 3)＝4

(5)根據實係數多項式方程式有理根檢驗法(牛頓法)得之，方程式可能之有理根為±1 當 x＝1 時，不滿足方程式 x³－2x²＋x－1＝0

當 x＝－1 時，不滿足方程式 x³－2x²＋x－1＝0

∴方程式 x³－2x²＋x－1＝0 的唯一實根，不是有理數 答：(1)(3)(4)

8.坐標平面上四條直線 L1，L2，L3，L4與 x 軸、y 軸及直線 y＝x 的相關位置如圖所示，其中 L1與L3垂直，而L3與L4平行。設L1，L2，L3，L4的方程式分別為 y＝m₁x，y＝m₂x，y＝m₃x 以及 y＝m₄x＋c。試問下列哪些選項式正確的？

(1)m ＞₃ m₂＞m₁ (2)m₁⋅m₄＝－1 (3)m₁＜－1 (4)m₂⋅m ＜－1 (5) c＞0 ₃

解：(1)斜率大小為m₃＞m₁＞m₂

(2)∵直線 L1與L4垂直，∴m₁⋅m₄＝－1 (3)∵m₁⋅m₃＝－1，且m₃＜1

∴m₁＝－

3

1 m ＜－

1

1＝－1

(4)由(1)知m₂＜m₁，∵m₂ m₃＜m₁m₃＝－1 (5)當 x＝0 時，L4：y＝c＜0

答：(2)(3)(4)

9.某廠商委託民調機構在甲、乙兩地調查聽過某項產品的居民佔當地居民的百分比(以下簡稱為

「知名度」)。結果如下：在 95%信心水準之下，該產品在甲、乙兩地的知名度之信賴區間分 別為[0.50，0.58]、[0.08，0.16]。試問下列哪些選項是正確的？

(1)甲地本次的參訪者中，54%的人聽過該產品 (2)此次民調在乙地的參訪人數少於甲地的參訪人數

(3)此次民調結果可解讀為：甲地全體居民中有一半以上的人聽過該產品的機率大於 95%

(4)若在乙地以同樣方式進行多次民調，所得知名度有 95% 的機會落在區間[0.08，0.16]

(5)經密集廣告宣傳後，在乙地再進行民調，並增加參訪人數達原人數的四倍，則在 95%信心 水準之下該產品的知名度之信賴區間寬度會減半(即 0.04)

y＝－x

(0,c)

解：(1)甲地：0.54±0.04；乙地：0.12±0.04 (2)∵

n甲

) 54 . 0 1 ( 54 .

0 × −

＝

n乙

) 12 . 0 1 ( 12 .

0 × −

⇒ n_甲：n_乙＝(0.54×0.46)：(0.12×0.88) 2.35：1 (3)樣本機率大於 95%，但是母群體不一定

(4)∵95%信心水準是設定值，而甲、乙兩地為不同的樣本，結果(知名度之信賴區間)不一 定相同

(5)改變前的知名度之信賴區間：

n p p₁×(1− ₁)

改變後的知名度之信賴區間：

n p p

4 ) 1

( ₂

2× −

＝2 1

n p p₂×(1− ₂)

∵p1與 p2不一定相同，∴信賴區間寬度不一定減半 答：(1)(2)

10.設 a，b，c 為實數，下列有關線性方程組







= + +

−

= + +

= + +

c z y x

z b y x

z a y x

7 10 2

1 4

3

1 2

的敘述哪些是正確的？

(1)若此線性方程組有解，則必定恰有一組解 (2)若此線性方程組有解，則 11a－3b≠7 (3)若此線性方程組有解，則 c＝14

(4)若此線性方程組無解，則 11a－3b＝7 (5)若此線性方程組無解，則 c≠14

解1：(1)∵方程組的方程式均為空間中的平面，

∴令E1：x＋2y＋az＝1，E2：3x＋4y＋bz＝－1，E3：2x＋10y＋7z＝c

⇒若方程組有解，可能有一組解、無限多組解、無解

(2)∵∆＝

7 10 2

4 3

2 1

b a

＝22a－6b－14，則

(i)若方程組有一組解時，∆＝22a－6b－14≠0，∴11a－3b≠7

(ii)若方程組有無限多組解、無解時，∆＝22a－6b－14＝0，∴11a－3b＝7 (3) (i)若方程組有一組解，∆＝22a－6b－14≠0，∴11a－3b≠7

(ii)若方程組有無限多組解，則∆_z＝ 10 c 2

1 4 3

1 2 1

− ＝28－2c＝0，∴c＝14

(4)由(2)知方程組有無解時，∆＝

7 10 2

4 3

2 1

b a

＝22a－6b－14＝0，∴11a－3b＝7

(5)若方程組有無限多組解時，∆z＝ 10 c 2

1 4 3

1 2 1

− ＝28－2c＝0，∴c＝14

解2：利用增廣矩陣列運算

















− c b a 7 10 2

1 4

3

1 2

1

















−

−

−

−

−

2 2

7 6 0

4 3

2 0

1 2

1

c a a b

a

















− +

−

−

−

−

14 3

11 7 0 0

4 3

2 0

1 2

1

c b a

a b

a

(1)若方程組有解，可能有一組解、無限多組解、無解 (2)若方程組有解，則

(i)有一組解時，則 7－11a＋3b≠0，∴11a－3b≠7

(ii)無限多組解時，則 7－11a＋3b＝0，且 c－14＝0，∴11a－3b＝7 且 c＝14 (3)若方程組無解，則 7－11a＋3b＝0，且 c－14≠0，∴11a－3b＝7 且 c≠14 答：(4)(5)

11.如圖所示，正立方體 ABCD－EFGH 的稜長等於 2(即 AB ＝2)，K 為正方形 ABCD 的中心，

M、N 分別為線段 BF、EF 的中點。試問下列哪些選項是正確的？

(1)KM＝

2

1 AB － 2

1 AD ＋ 2 1 AE

(2)(內積)KM⋅ AB ＝1 (3) KM ＝3

(4)∆KMN 為一直角三角形 (5) ∆KMN 的面積為

2 10 解：建立一坐標系，如右圖

取A(0，0，0)，B(2，0，0)，D(0，2，0)，E(0，0，2)

∴M(2，0，1)，N(1，0，2)，K(1，1，0) (1)2

1 AB － 2

1 AD ＋ 2 1 AE

＝2

1(2，0，0)－

2

1(0，2，0)＋

2

1(0，0，2)

＝(1，－1，1)＝KM

(2)KM⋅ AB ＝(1，－1，1)⋅ (2，0，0)＝2

A

C

D

B

K

E M N

F G

H

A

C

D

B

K

E M N

F G

x H

y

z -3

-2 3

(3)KM＝KM＝(1，－1，1)＝ 3

(4)MK⋅ MN＝(1，－1，1)⋅ (－1，0，1)＝0，∴∠KMN＝90⁰，

⇒ ∆KMN 為一直角三角形 (5) ∆KMN 的面積＝

2

1KM MN＝

2

1× 3× 2＝ 2

6 答：(1)(4)

第二部份：選填題(佔 45 分)

說明：1.第 A 至 I 題，將答案劃記在答案卡之「解答欄」所標示的列號(12－33)。

2.每題完全答對給 5 分，答錯不倒扣，未完全答對不給分。

A.從 1 到 100 的正整數中刪去所有的質數、2 的倍數及 3 的倍數之後，剩下最大的數為____。

解：∵100 為 2 的倍數；99 為 3 的倍數；98 為 2 的倍數；97 為質數；96 為 2、3 的倍數，

∴95 不是質數、2 的倍數及 3 的倍數，∴95 為所求 答：95

B.坐標平面上有四點 O(0，0)，A(－3，－5)，B(6，0)，C(x，y)。今有一質點在 O 點沿AO 方向 前進AO距離後停在 P，再沿 BP 方向前進 2 BP 距離後停在 Q。假設此質點繼續沿CQ方向前 進3 CQ 距離後回到原點 O，則(x，y)＝( ___，___ )。

解：如右圖，

(1)∵AO ＝(3，5)，∴(0，0)＋(3，5)＝(3，5)，⇒ P(3，5) (2)∵ BP ＝(－3，5)，

∴(3，5)＋2(－3，5)＝(－3，15)，⇒ Q(－3，15) (3)∵QO＝3CQ，∴(3，－15)＝3(－3－x，15－y)

⇒ (－3－x，15－y)＝(1，－5)，得知(x，y)＝(－4，20) 答：(－4，20)

C.抽獎遊戲中，參加者自相中抽出一球，確定顏色後放回。只有抽得藍色或紅色球者可得消費 券，其金額分別為(抽得藍色球者)2000 元、(抽得紅色球者)1000 元。箱中已置有 2 顆藍色球 及5 顆紅色球。在抽出任一球之機率相等的條件下，主辦單位希望參加者所得消費券的期望 值為300 元，則主辦單位應於箱內再置入____顆其他顏色的球。

y

A

O B P Q

C

x

解：設再置入 x 顆其他顏色的球，根據題意列表如下：

事件 抽得藍色 抽得紅色 抽得其他顏色 數值 2000 元 1000 元 0 元

機率 7

2 +

x 7

5 +

x x+7

x

期望值＝2000×

7 2 +

x ＋1000×

7 5 +

x ＋0×

+7 x

x ＝300，解得 x＝23 答：23

D.坐標平面上有兩條平行直線。它們的 x 截距相差 20，y 截距相差 15。則這兩條平行直線的距 離為_____。

解：設L1與L2如右圖不失為題意的一般性，且A(20，0)，B(0，15)，則 在∆AOB 中，AB＝ 20² +15² ＝25

∆AOB 面積＝

2

1×OA×OB＝ 2

1×AB×OH

⇒ 2

1×20×15＝

2

1×25×OH，得OH＝12

⇒ L1與L2的距離為OH＝12 答：12

E.假設Γ1為坐標平面上一開口向上的拋物線，其對稱軸為 x＝－

4

3且焦距(交點到頂點的距離)

為8

1。若Γ1與另一拋物線Γ2：y＝x²恰交於一點，則Γ1的頂點之 y 座標為_______。

(化成最簡分數)

解：(1)根據題意，設Γ1：(x＋

4 3)²＝4(

8

1)(y－k)＝

2

1( y－k)，即Γ1的頂點座標為(－

4 3，k)

∴交點





= Γ

−

= + Γ

2 2

2 1

:

) 2(

) 1 4 ( 3 :

x y

k y

x ，由 y＝x²代入(x＋

4 3)²＝

2

1( y－k)

⇒ (x＋

4 3)²＝

2

1( x²－k)，∴整理得 x²＋3x＋

8

9＋k＝0 (2)∵Γ1與Γ2恰交於一點，∴x²＋3x＋

8

9＋k＝0 有二重根

⇒ 判別式＝3²－4(

8

9＋k)＝0，得 k＝

8

9，亦即Γ1的頂點之 y 座標為 8 9

答：8 9

20 15

O B

A H

L1

L2

x y

F.某公司為了響應節能減碳政策，決定在五年後將公司該年二氧化碳排放量降為目前排放量的 75% 。公司希望每年依固定的比率(當年和前一年排放量的比)逐年減少二氧化碳的排放量。

若要達到這項目標，則該公司每年至少要比前一年減少_____%的二氧化碳的排放量。(計算 到小數點後第一位，以下四捨五入。)

解：設當年和前一年排放量的比為 x，則根據題意得知 x⁵＝75%＝

4 3

取log x⁵＝log 4

3，⇒ 5log x＝log 3－log 4 0.4771－0.6020＝－0.1249

∴log x －0.02498，⇒

x

log1＝0.02498＝log 1.059，得知 x＝

059 . 1

1 0.9442

⇒ 遞減率＝1－x＝0.0558 5.6%

答：5.6%

G.坐標空間中 xy 平面上有一正方形，其頂點為 O(0，0，0)，A( 8，0，0)，B(8，8，0)，

C(0，8，0)。另一點 P 在 xy 平面的上方，且與 O，A，B，C 四點的距離皆等於 6。

若 x＋by＋cz＝d 為通過 A，B，P 三點的平面，則(b，c，d)＝( ___，___，___ )。

解：(1)如右圖，設正方形 OABC 的中心為 Q(4，4，0)

根據題意，P 點必在 Q 的正上方，∴設 P(4，4，k)，k＞0 (2)∵OP＝ 4²+4² +k² ＝6，得知 k＝2，∴P(4，4，2) (3)∵ AP ＝(－4，4，2)＝－2(2，－2，－1)

AB＝(0，8，0)＝9=8(0，1，0)

⇒此平面之法向量：(2，－2，－1)×(0，1，0)＝(1，0，2)

⇒設通過 A，B，P 三點的平面為 x＋0y＋2z＝t A( 8，0，0)代入，得 t＝8，即平面為 x＋0y＋2z＝8

∴(b，c，d)＝(0，2，8) 答：(0，2，8)

H.有一橢圓與一雙曲線有共同的焦點 F1、F2，且雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等。設P 為 此橢圓與雙曲線的一個交點，且PF₁×PF ＝64，則₂ F₁F₂ ＝_____。

解1：設PF₁＝2a， PF₂＝2b，F₁F₂＝2c，則 4ab＝64

∴橢圓的長軸長＝2a＋2b＝2(a＋b)，短軸長＝2a－2b＝2(a－b) 又雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長相等，

∴c²＝(a＋b)²－(a－b)²＝4ab＝64，得 c＝8，∴F₁F₂ ＝2c＝16

解2：(1)設F₁F₂＝2c，雙曲線的貫軸長和橢圓的短軸長為 2b，且橢圓的長軸長為 2a

∴橢圓方程式： ₂

2

a

x ＋ ₂

2

b

y ＝1，且 c²＝a²－b² (2)如右圖，根據題意，PF₁×PF₂＝64

橢圓定義：PF₁＋PF₂＝2a

x

y z

A B

O C P

Q 8

8 6 6

P

F1

F2

橢圓 雙曲線

長、貫軸

雙曲線定義：PF₁－PF₂ ＝2b

⇒由(PF₁＋PF₂)²－( PF₁－PF₂ )²＝4PF₁×PF₂

⇒∴4a²－4b²＝4×64

⇒ c²＝64，∴c＝8，得知F₁F₂＝2c＝16 答：16

I.在∆ABC 中， AB ＝10，AC＝9，cos∠BAC＝

8

3。設點P，Q 分別在邊 AB、AC 上使得∆APQ

之面積為∆ABC 面積之一半，則 PQ 之最小可能值為______。(化成最簡分數) 解：(1)如右圖，設AP＝x，AQ＝y

∵∆APQ 面積＝

2

1∆ABC 面積

∴2

1×x×y×sinA＝

2

1×10×9×sinA×

2

1，得知 xy＝45

(2)根據餘弦定理PQ²＝x²＋y²－2xycosA＝x²＋y²－2×45×

8

3＝x²＋y²－ 4 135

又由算幾不等式得 x²＋y² ≥ 2 x²y² ＝2xy＝90

⇒ PQ²＝x²＋y²－ 4

135≥ 90－

4 135＝

4

225，∴PQ≥ 2 15

答： 2 15

A C

B P

Q x

y

大學入學考試中心98 學年度學力測驗試題分布一覽表

冊別 單元名稱 單選題 多選題 選填題 佔分 Ch1 數與坐標系 8 A，D 15

Ch2 數列與級數 1 5

第一冊

Ch3 多項式 3 7 10

Ch1 指數與對數 F 5

Ch2 三角函數 I 5 I 10 第二冊

Ch3 三角函數 II 2 5

Ch1 平面向量 B 5

Ch2 空間 10，11 G 15

第三冊

Ch3 圓與球 6 5

Ch1 圓錐曲線 E，H 10

Ch2 排列組合 0

第四冊

Ch3 機率與統計 4 9 C 15