第二章借根方與天元術的分析

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第二章借根方與天元術的分析

2.1 借根方

借根方能對清朝算學家造成影響，要歸功於御製《數理精蘊》下編卷三十一至三十六詳細地介紹。史家韓琦總結《數理精蘊》的影響說：「[本書]因冠以御製的名義，故對清代數學產生了深遠的影響，乾嘉時期數學研究高潮的興起、十九世紀清代數學家成就的取得都與《數理精蘊》密切相關，它在中國數學史上佔有十分重要的地位。」

¹

因此，論及借根方就不能不從《數理精蘊》這本書，以及下令編製的康熙皇帝說起。

2.1.1 康熙皇帝與西學

康熙皇帝 (1654~1722) 是中國歷史上有名的好學皇帝，舉凡曆算、科學、

理學、文學、美術，都有相當的研究與鑑賞能力，

²

至於他的曆算、科學方面的知識，主要是來自耶穌會傳教士的教授。耶穌會傳教士自明末起就以其知識、技術上的優勢，逐漸在明朝朝廷（特別是欽天監）及民間士人中擴大其影響力，而在最後達到傳教的目的。

³

清朝建立以後，傳教士在宮廷中的地位，在經歷順治年間欽天監中的種種權力鬥爭，

⁴

以及康熙初年間的「曆獄」之後，

⁵

到了「康熙十一年，曾發生布衣楊南譏刺西法案，楊南被判杖責並徒三年，此後西法在欽天監中的地位即不曾遭受挑戰，而教士亦得以持續在監中出任要職。」

⁶

至此，

傳教士們不但博得康熙的信任，多位還先後成為康熙及皇子們的家庭教師，其影響力直到雍正禁教後才大幅衰退。

至於康熙學習西學的動機，則與康熙七、八年間南懷仁與楊光先 (1597~1669) 的曆法之爭有很大的關係。

⁷

康熙晚年對大臣們說：「爾等惟知朕算術之精，卻不知我學算之故。朕幼時，欽天監漢官與西洋人不睦，互相參劾，幾至大辟。楊光先、湯若望於午門外九卿前，當面賭測日影，奈九卿中無一知其法者。朕思己不知，焉能斷人之是非，因自憤而學焉。今凡入算之法，累輯成書，條分縷析，後

1

引自韓琦，〈數理精蘊提要〉，《中國科學技術典籍通彙》數學卷三，頁 1。

2

參閱梁啟超，《中國近代三百年學術史》，頁 22。

3

參閱王萍，《西方曆算學之輸入》，頁 6~44。

4

參閱黃一農，〈清初欽天監中各民族天文家的權力起伏〉，《新史學》第二卷第二期 (1991)，頁 75~108；〈清初天主教與回教天文家間的爭鬥〉，《九州學刊》第五卷第三期 (1993)，頁 47~69。

5

參閱黃一農，〈擇日之爭與「康熙曆獄」〉，《清華學報》新二十一卷第二期 (1991)，頁 247~279。

6

引自黃一農，〈清初欽天監中各民族天文家的權力起伏〉，頁 89。

7

楊光先，字長公，其生平參閱黃一農，〈楊光先家世與生平考〉，《國立編譯館館刊》，第十九卷

第二期，頁 15~28。

(2)

之學此者，視此甚易，誰知朕當日苦心研究之難也！」

⁸

在「御製三角形推算法論」中也有類似的說法：

康熙初年閒以曆法爭訟，互為訐告，至於死者不知其幾。康熙七年閏月頒曆之後，

欽天監再題欲加十二月又閏，因而眾論紛紛，人心不服，皆謂從古有曆以來，未聞一歲中再閏，因而諸王九卿等再三考察，舉朝無有知曆者。朕目其事，心中痛恨，凡萬幾餘暇，即專志於天文曆法二十餘年，所以略知其大概，不至於混亂也。

⁹

因此，南懷仁與楊光先的爭論，更引起了康熙學習西法的決心。此後，南懷仁、

白晉、張誠、徐日升、安多等人先後為康熙講授曆算等知識。《正教奉褒》康熙二十八條稱：

康熙二十八年十二月二十五日上召徐日升、張誠、白進、安多等至內廷，諭以自後每日輪班，至養心殿，以清語授量法等西學。上萬幾之暇，專心學問，好量法、

測算、天文、形性、格致諸學。自是即或臨幸暢春園，及巡行省方，必諭張誠等隨行，或每日或間日授講西學。並諭日進內廷將授講之學，翻譯成清文成帙，上派精通清文二員，襄助繕稿，並派善書二員謄寫，張誠等每住宿暢春園……張誠等講授數年，上每勞之。

¹⁰

至於本文所關注的借根方，亦是當時傳教士向康熙講授的知識之一。白晉 1688 至 1691 年的日記中提到安多向康熙講授代數，而安多在 1696 年還用滿文寫了一本代數學的書，

¹¹

所以康熙應該是在 1690 年代習得借根方，最遲亦不會晚於 1711 年，《東華錄•康熙四九》即記載該年二月康熙對直埭巡撫趙宏燮提到：

算法之理，皆出於《易經》，即西洋算法亦善，原係中國算法，彼稱為「阿爾朱巴爾」，「阿爾朱巴爾」者，傳自東方之謂也。

¹²

「其中『阿爾朱巴爾』顯然是 algebré (法文) 的音譯。」

¹³

由梅成在《赤水遺珍》

中的記載：

後供奉內廷，蒙聖祖仁皇帝授以借根方法，且諭曰：「西洋人名此書為《阿爾熱八

8

引自《康熙政要》卷十八，頁 25b~26a。其中湯若望應改為南懷仁才是。

9

轉引自同上，頁 27a。

10

轉引自李儼，《中國數學大綱(下)》，《李儼、錢寶琮科學史全集》第三卷，頁 450。其中所提到的白進，指的即是白晉。

11

參閱韓琦，〈數理精蘊提要〉，頁 2。

12

轉引自洪萬生，〈清初西方代數之輸入〉，《孔子與數學：一個人文的懷想》，頁 180。

13

引自同上。

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達》，譯言東來法也。」

¹⁴

可以認定「阿爾朱巴爾」與「阿爾熱八達」應皆是當時代數學的譯音，因此「阿爾朱巴爾」指的應該就是借根方了。從《赤水遺珍》這一段引文，我們亦可得知後來康熙將借根方授以梅成，而梅成正是《數理精蘊》的編製者之一，關於

《數理精蘊》的編製，筆者將在下一小節詳加說明。

2.1.2 《數理精蘊》的編纂

1712 年，康熙接受陳厚耀「定步算諸書以惠天下」的建議，命梅成等人彙編《律曆淵源》。

¹⁵

隔年，康熙更下令和碩誠親王允祉在暢春園內設立蒙養齋，

專門從事天文測量及編書的工作，諭曰：「律呂算法諸書，應行修輯，今將朕所製律呂算法之書發下，爾率領庶吉士何國宗等於行宮內立館修輯。」

¹⁶

七年後，

編成《律曆淵源》一百卷，其中《曆象考成》四十二卷，《數理精蘊》五十三卷，

《律呂正義》五卷。

根據韓琦的說法，康熙早在 1692 年就有編輯曆算書籍的打算，但因缺乏人才而作罷。

¹⁷

至於專門成立蒙養齋，韓琦認為有兩個重要的原因：一是康熙想模仿法國科學院的科學制度；二是欲從曆算、技藝等方面擺脫傳教士的指導，讓中國人能獨立掌握曆算知識。

¹⁸

由此看來，由中國人自立編纂曆算書的念頭，在康熙心中已蘊釀多時，

¹⁹

而其關鍵所在正是人才的培養。因此，康熙除了自己親自學習以倡其學外，對於人才的網羅與再訓練，也始終十分關心。

²⁰

而在引薦知算人士方面，李光地則扮演了十分重要的角色。在 1674 年，康熙問士於李光地，

李光地便推薦自己的學生王蘭生，並獲得皇帝的賞識；

²¹

1705 年，再經由李光地的引薦，康熙見到了梅文鼎，「從容垂問凡三日」，並在隔年命梅文鼎之孫梅成入內廷學習。

²²

同年，李光地又再薦蘇州府學教授陳厚耀，康熙在親自考核後，「授編修，與梅成同修書」。

²³

除了上述三位之外，康熙又提拔了何國宗與明安圖兩

14

引自梅成，《赤水遺珍》，頁 8b~9a。

15

參閱李儼、杜石然，《中國古代數學簡史》，頁 256~257；韓琦，《康熙時代傳入的西方數學及其對中國數學的影響》，頁 22~24。

16

引自《康熙政要》卷十八，頁 24a。

17

參閱韓琦，〈從《律曆淵源》的編纂看康熙時代的曆法改革〉，《世界華人科學史學術研討會論文集》(台北，2001)，頁 142。

18

參閱同上，頁 141~144。

19

至於康熙為何會有這樣的念頭，早年的曆法之爭、自己對於曆算、科學知識的愛好、和不必受制於傳教士，應該都是原因，但詳細的原因目前還不清楚。

20

例如，阮元就曾表示：「方聖祖時，以算法受知，致身通顯者不一人。」，參閱阮元，〈何國宗〉，

《疇人傳彙編》，頁 522。

21

參閱諸可寶，〈王蘭生〉，《疇人傳彙編》，頁 719。

22

參閱《康熙政要》，卷十八，頁 21a~21b。

23

參閱同上，頁 22b。

(4)

人，這五位後來都成為編輯曆算書籍的主要成員。不過，並非有人推薦康熙就錄用，例如在 1713 年，江南有梅氏以通算學聞，康熙就遣人試之，發覺所言全然未合。

²⁴

對於人才招至後的訓練，康熙亦常常參與，例如王蘭生「時授天語指示」；

25

梅成說自己「蒙聖祖仁皇帝授以借根方法」；陳厚耀常被「召至御座旁，教以幾何算術」，

²⁶

康熙曾當著梅成的面盛讚陳厚耀：

汝知陳厚耀否？他算法近日精進，向曾受教于汝祖，今汝祖若在，尚將就正于彼矣！

²⁷

這一段文字雖是康熙誇耀自己指導有方之詞，但也可以看出他在陳厚耀身上下了不少工夫。另一方面，《疇人傳續編》中也記載明安圖「受數學於聖祖仁皇帝，

故其所學精奧異人」。至於何國宗，雖無文字直接記載受教於康熙，但由於他「以算學受知聖祖仁皇帝，欽賜進士」，

²⁸

並在內廷學習算法，

²⁹

所以就算康熙未直接指導他，應不致於忽略他的學習情形才是。由上述可以看出，康熙為了編輯曆算書，的確是花了相當大的心血，這些投入的心血，都在蒙養齋中開花結果。

關於蒙養齋中的詳細運作情形，至今仍不是很清楚，但據韓琦表示，當時有百人以上應詔在蒙養齋中編書。

³⁰

正因為朝廷的大力支持，「《數理精蘊》把當時已傳入或新傳入的西方數學知識整理編排得很有條理，對中國古代數學（就當時有傳本的數學知識而言）進行了比較性的研究。這部書涉及到當時所有數學知識的各個方面，因此，可以看成是一部足以代表當時數學發展水平的數學百科全書。」

³¹

《數理精蘊》共有五十三卷，其中上編五卷，下編四十卷，表四種八卷。

以下就上、下編各卷內容作一簡介：

³²

上編五卷：

第一卷主要是「數理本源」和「周髀經解」，藉以說明中國古代數學的本源及悠久的歷史。

第二至四卷為《幾何原本》，主要是根據張誠所譯法文書修訂的。

24

參閱同上，頁 25a~25b。

25

引自諸可寶，〈王蘭生〉，《疇人傳彙編》，頁 719。

26

參閱《康熙政要》，卷十八，頁 22b。

27

引自阮元，〈陳厚耀〉，《疇人傳彙編》，頁 510。

28

引自阮元，〈何國宗〉，《疇人傳彙編》，頁 518。

29

參閱《光緒順天府志》第十二卷，頁 7629。

30

參閱韓琦，《康熙時代傳入的西方數學及其對中國數學的影響》，頁 22~24。。

31

引自李儼、杜石然，《中國古代數學簡史》，頁 257。

32

關於《數理精蘊》各卷內容的說明，史界已有多人撰文介紹，如錢寶琮《中國數學史》第十五章〈數理精蘊〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》第五卷，頁 299~313；李儼、杜石然著，《中國古代數學簡史》第七章第五節〈康熙帝和《數理精蘊》〉，頁 254~261；韓琦，〈《數理精蘊》提要〉。

此處主要摘自錢寶琮《中國數學史》第十五章〈數理精蘊〉。

(5)

第五卷討論自然數的性質，包括自然數的相乘積、公約數、公倍數、比例、等差級數、等比級數等性質。

下編四十卷：

第一卷度量衡制度、記數法、整數四則運算。

第二卷分數運算。

第三至七卷比例及其應用。

第八至九卷盈朒、借衰互徵、疊借互徵。

第十卷方程（聯立一次方程組）。第十一卷開平方及開帶縱平方。

第十二至

十三卷句股，解決有關直角三角形三邊的二次應用問題。

第十四卷三角形，介紹已知三邊長求三角形面積、三角形內切圓直徑及圓內接正方形邊長的公式。

第十五卷割圓。

第十六卷八線、六宗、三要、二簡法。

第十七卷三角形邊長、角度相求。

第十八卷測量，為第十七卷各定理的應用。

第十九卷直線形面積問題。

第二十卷圓、弓形和橢圓形面積問題。

第二十一

至二十二卷各正多邊形的面積與外切圓直徑、內接圓直徑的關係。

第二十三卷開立方。

第二十四卷開帶縱立方。

第二十五卷直線體體積。

第二十六卷曲線體體積。

第二十七至二十九卷

各正多面體體積，及各正多面體的邊長和外接球直徑、內切球直徑的關係。

第三十卷物質的比重、堆垛公式。

第三十一

至三十六卷借根方。

第三十七卷各類難題。

第三十八卷對數。

第三十九

至四十卷比例規解。

其中下編第三十一至三十六卷即本文所關注的借根方。第三十一卷說明何謂借根

方、定位法、符號及加減乘除四法；第三十二卷敘述如何開諸乘方；第三十三卷

則介紹如何求帶縱平方、立方、三乘方、四乘方之根；至於第三十四至第三十六

(6)

卷則是問題集，分別是線類、面類、體類的問題，

³³

皆用借根方解題。由於本文對借根方的討論著重在其列式及式子的化簡，因此，筆者將略過第三十二至第三十六卷，而著重分析第三十一卷的內容。

2.1.3 《數理精蘊》下編第三十一卷的內容分析

第三十一卷卷名為〈借根方比例〉，卷首即言何謂借根方：

借根方者，假借根數、方數以求實數之法也。凡法必借根、借方，加減乘除，令與未知之數比例齊等，而本數以出。大意與借衰、疊借略同，然借衰、疊借之法，

止可以御本部，而此法則線、面、體諸部皆可御之。

³⁴

所謂的「借衰、疊借」之法，指的是「借衰互徵」與「疊借互徵」二法，這二法正是《數理精蘊》下編第九卷的內容，今分別略作說明。根據《數理精蘊》的說法：

借衰互徵者，有總數而無分數，或有分數而無總數，或無總數、分數之實率，而但有其虛率，則不得不別借一衰數以為比例，然後可以得其真數，故曰借衰。然而所借之衰，又各不同，有借於本數之中者，有借於本數之外者，借彼徵此，借虛徵實，故曰互徵。

³⁵

至於其法有三，書中皆有說明：

蓋先借各項衰數，和而為總衰數，以總衰數與總真數相比，即若各項衰數與各項真數之比也。或先借總衰數，加減出各衰數之較，以各衰數之較與真數之較相比，

即若總衰數與總真數之比也。或以各衰數之較與真數之較相比，即若各項衰數與各項真數之比也。

³⁶

至於「疊借互徵」，則是「借衰互徵」的延伸：

疊借互徵者，因原問內設數隱伏，一次借衰，尚不能得其真數，故不得不借兩數以比較之。先借一數與原數相較，復借一數與原數相較，然後據兩較以立算而真數可得，故曰疊借。

³⁷

33

線類、面類的問題分別相當於今日的一元一次、一元二次的問題，體類的問題則是一元三次以上的問題。

34

引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 2a。

35

引自《數理精蘊》下編卷九，頁 2a。

36

引自同上，頁 2a~2b。

37

引自同上，頁 26a。

(7)

其「據兩較以立算」所依之法就是「盈朒法」，或稱為「盈不足術」，書中亦有說明，在此略去不述。由上看來，「借衰互徵」之大要就如同書中所言，「皆就比例之法而推廣之耳」，

³⁸

而「疊借互徵」則是在「借衰互徵」，輔以「盈朒法」以解決「借衰互徵」所無法解決的問題。以下舉個實例，更能清楚地了解「借衰互徵」：

設如有甲、乙、丙三人，共銀四十四兩。乙比甲銀多一倍零四兩，丙比甲、乙二人共數又多六兩。求各人銀數幾何。

法借一為甲衰，借二多四兩為乙衰，借三多十兩為丙衰，並三衰得六為一率。並乙、丙二人多數為十四兩，於總銀內減之，餘三十兩為二率。甲衰一為三率。得四率為五兩，即甲銀。倍之加多四兩，得十四兩為乙銀。併甲、乙銀，又加多六兩，得二十五兩，即丙銀也。

³⁹

在借根方中，解法是先「借一根為某某」，再「加減乘除，令與未知之數比例齊等，而本數以出」，兩相對照之下，無怪乎《數理精蘊》的編者會認為借根方「大意與借衰、疊借略同」。

《數理精蘊》的編者在解釋完何謂借根方之後，說明為何會有借根、借方之差別及使用的時機：

其中有借根、借方之不同，蓋因根者方之邊數，即所謂線；以根自乘得平方，以根自乘再乘得立方；以根累自乘即得累次多乘方。故以線類為問者，則借根數以比之；以面類為問者，則借平方、長方以比之；以體類為問者，則借立方或累次多乘方以比之。

⁴⁰

其中的「根」、「平方」、「立方」可分別視為現今方程式中的一次項、二次項與三次方項，至於常數項則是以「真數」表示。值得注意的一點是，既然「根」、「平方」、「立方」對應著幾何中的「線」、「面」、「體」，那麼該如何解釋「三乘方」

以上的「累次多乘方」的幾何對應？從現在的角度來看，這是一個嚴肅的議題，

不過，顯然《數理精蘊》的編者並不這麼認為，所以，他們也就未在此議題上多加著墨。

總之，借根方是要「設立虛數，依所問之比例乘除加減，務令根、方之數，

與真數相當適等，而所求之數以出，此亦借數之巧也。」

⁴¹

但要如何「依所問之

38

引自同上，頁 2b。

39

引自同上，頁 4a~4b。現輔以今日符號表示此題解法：設甲為一衰，利用六衰：三十兩 = 一衰：甲銀數，解之得甲銀數為五兩。

40

引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 2a~2b。

41

引自同上，頁 2b。

(8)

比例乘除加減」、如何「令根、方之數，與真數相當適等」，則尚需「定位法」及加減乘除四則運算的輔助，書中皆一一加以解釋並舉多例輔助說明。

2.1.3.1 定位法

《數理精蘊》的編者開門見山地指出「定位」在借根方中的重要性與必要性：

眾數之經緯，盡歸乘除，而乘除之條理，又取準於定位，況借數一法，又用根、

方諸名，一經乘除，俱變為幾根、幾方之號，而本數之比例，由此而生。其定位與常法稍異。

⁴²

質言之，「定位法」就是要決定所借之名（即根、平方、立方、三乘方……等）

在乘除之後變為何名，例如以平方乘立方後，其名為何諸如此類的問題，在《數理精蘊》中使用「定位表」以簡化此問題：

⁴³

前真數根平方立方三乘方四乘方五乘方六乘方七乘方八乘方九乘方

定位表

後 O 一二三四五六七八九一 O

前列即為借數之名，除真數與根外，其餘皆為中國古有之名；後列即為位數，相當於今日的次方。有了此表之後，

乘法定位，以兩數所對之位數相加，其加數所對之方，即乘出之方也。除法定位，

以兩數所對之位數相減，其減餘數所對之方，即除出之方也。

⁴⁴

例如平方所對之位數為二，立方所對之位數為三，二與三相加為五，五為四乘方所對之位數，故以平方乘立方得四乘方。除法仿之亦然。

「定位表」雖然方便使用，但卻隱藏一個問題，以今天的術語來說：「定位表」中並沒有負數次方，因此定位表只能用以處理高次方除以低次方的情形，至於以真數除以根、以根除以立方等情形，定位表就派不上用場了。《數理精蘊》

的編者在借根方的內容中（下編卷三十一至三十六）並未對此一問題作出解釋，

然而卻在下編卷三十六的第 35 問與第 36 問出現了未知數在分母的情形，

⁴⁵

以第 35 問為例，並參閱圖一：

42

引自同上。

43

在《數理精蘊》中的「定位表」為直行，此為配合文章橫書之故，將之改為橫列。

44

引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 3b。

45

在整個《數理精蘊》的借根方內容中，也僅有這兩題出現未知數在分母的情形。

(9)

圖二

設如有大、小兩正方體，大方體積比小方體積多一千七百四十四寸，以小方邊與大方邊相乘，得一百四十寸，問二正方體之邊數、體積各幾何？

法借一根為小方體每邊之數，以一根除一百四十寸，得一根之一百四十寸為大方體每邊之數。以一根自乘、再乘，得一立方，為小方體積數；以一根之一百四十寸自乘、再乘，得一立方之二百七十四萬四千寸，為大方體積。……

⁴⁶

引文中的「一根之一百四十」即相當於今日的

X

140 ，而「一根之一百四十寸自乘、

再乘，得一立方之二百七十四萬四千寸」，則相當於今日的

X

140 ×

X

140 ×

X

140 ＝

3

2744000

X ，無論是命名、定位或是運算，都是《數理精蘊》借根方定位法或乘法中所沒有交代的，因此，《數理精蘊》的編者理應在此作出解釋才是。不過，《數理精蘊》的編者並未對此作出任何的說明，至於他們是未意識這個問題到，或是無法作出合理的解釋，筆者就不清楚了。

2.1.3.2 定多、少與相同號式

這一小節介紹多號(┴)、少號( ── )與相同號(＝)三種符號，以便於列式及筆算，例如「二根多一真數」、「二根少一真數」、「二根與一真數相等」分別記為

「二根 ┴ 一」、「二根 ── 一」、「二根＝一」，其中少號與相同號為避免與一、二混淆，會寫得比較長，特別是相同

號，有時會因上、下兩式須對齊的緣故而寫得非常長（參閱圖二）。此外，這三個符號在《數理精蘊》中僅出現在筆算的計算之中，在內容的敘述中並不使用。由於多號、少號與嘉慶年間算學家們對借根方與天元術異同、優劣之辨有密切的關係，筆

46

引自《數理精蘊》下編卷三十六，頁 44a~44b。

圖一

(10)

圖三二立方多三平方少四根與一立方多二平方少三根相加

圖四五立方多四平方多三根少八真數內減四立方多二平方多二根少九真數者在此先對兩者作仔細的分析。

在《數理精蘊》的借根方內容中，多號與少號只出現在筆算算式之中，內文的文字敘述則以「多」、「少」二字分別表示，例如「二根┴三真數」文字敘述為

「二根多三真數」。由上看來，借根方的多號與少號似與今日的符號「＋」、「－」

功用相同，不過仔細考察之下，仍有不同的地方。

⁴⁷

先說相同的地方，共有二點。

一是在代數式中多號與少號是作為表示各項關係的符號 ( relation symbols )，而不是去作運算的信號 ( do-something signals )，

⁴⁸

例如「二根┴三真數」與「二┴

三」兩者中的「┴」意義上並不全然相同，前者是表示二根與三真數間的關係，

後者則可視為將二與三加起來的信號，因此，「二根┴三真數」代表一個物件 (object)，「二┴三」則可視為一個未完成的運算 (operation)。二是兩個算式作四則運算時，多號與少號的作用在於判定兩個同類項合併時所需採用的運算，或者是判定兩項相乘後為多或為少，至於如何判別方式，《數理精蘊》在「定多、少與相同號式」後的「加法」、「減法」、「乘法」、「除法」四節中都有詳細的說明。

至於多號、少號與今日「＋」、「－」不同的地方，亦有二處。一是多號與少號並不等同於加號與減號，因為多號與少號並不會用以表示兩個式子的加、減，

或是兩個同類項的加、減，舉例來說，《數理精蘊》的借根方內容中並未出現類似「（二平方┴三真數） ── （一平方┴二真數）」、「二平方┴三平方」、「二平方┴三真數 ── 二真數」的情形。若要作兩個式子的加、減，《數理精蘊》的借根方內容中，都是將兩個式子列出並同類項上下對齊，然後依題意所需作加法或減法（參閱圖三與圖四），因此，單看列出來的式子而不看題意或運算結果，讀

47

今日的「＋」、「－」符號在使用上有兩種不同的功用，一是當性質符號使用，分別稱為正號與負號；二是當運算符號使用，分別稱為加號與減號。

48

Carolyn Kieran 用“relation symbols”與“do-something signals”來區分等號在算術意義與代數意義上的不同，參閱 Carolyn Kieran, “Cognitive Process Involved in Learning School Algebra”,

Mathematics and Cognition，頁 100~101。

(11)

者是無法判斷出作者是要作兩個式子的加法或減法。還有一點可以支持筆者的說法，就是《數理精蘊》以文字敘述兩個式子或同類項相加、相減時，都是用與加、

減有關的術語，例如「加」、「相加」、「減」、「內減」、「反減」等，完全沒有使用

「多」、「少」，由此，我們更可以確定多號與少號是用以表示關係的符號。第二個不同之處，在於多號與少號並不等同於正號與負號。《數理精蘊》的借根方內容中並沒有引進負數的概念，基本上每一項皆為正數，只是有多、少之分。而多號、少號與正號、負號不同的地方，在於前者為用以表示關係的符號 (relation symbols)，後者為數的性質符號，兩者並不相同。例如「一平方┴二根 ── 三真數」與「一平方正，二根正，三真數負」（或「正一平方，正二根，負三真數」）兩者在意義上並不相同，前者是具有代數結構的式子，後者則可視為有正、有負的數列。雖然《數理精蘊》借根方內容中會提到「法實首位為多」，

⁴⁹

或單獨提到如「多四根」、「少三根」，但那都是為了計算上需要用多、少來判定兩個同類項合併時所需採用的運算，或者是判定兩項相乘後為多或為少。除此之外，在《數理精蘊》的借根方內容中，我們看不到首位有標示多、少的情況。

由於這三個符號為西方所傳入，中國並沒有發展出類似的符號，因此，它們被中國算學家所理解時，就有著不同的際遇。在 1723~1820 年間，當著書者是以借根方立論時，則多會提及這三個符號，例如梅成的《赤水遺珍》、張作楠的

《量倉通法》與羅士琳的《比例匯通》。然而亦有例外，如何夢瑤的《算迪》與安清翹的《學算存略》。

⁵⁰

若著書者是以天元術立論時，這三個符號則完全被忽略。

不過，即使著書者曾提及這三個符號，其處理方式亦與《數理精蘊》一樣，也就是僅用在筆算的計算之中。總之，雖然《數理精蘊》中已有類似今日的代數符號，

但這並沒有使得清朝的代數學朝向符號化持續發展。清朝代數學的符號化，一直要到清末李善蘭與偉烈亞力翻譯《代數學》一書後，才有更進一步的發展。

⁵¹

2.1.3.3 加法與減法

這兩節中除了介紹式子的加、減法法則外，在「加法」

一節中還有七題例題，「減法」則有八題。《數理精蘊》中雖未明白寫出在做式子的加、減演算時，應當同借名者先互相對齊，無對應者則補零，然後再做同借名者間的加、

減，

⁵²

不過書中的加、減演算皆依此一原則（參閱圖五）。書中的加、減法法則如下：

49

參閱《數理精蘊》下編卷三十一，頁 24b。

50

參閱本文第四章。

51

關於李善蘭與偉烈亞力翻譯《代數學》，請參閱洪萬生，〈《代數學》：中國近代第一本西方代數學譯本〉，《孔子與數學》，頁 205~239。

52

以今日的術語來說，就是同類項對齊後做係數的加、減。

圖五

(12)

凡多與多加，得數仍為多。少與少加，得數仍為少。多與少加、少與多加，則反相減為所得數，而多數大則得數亦為多，少數大則得數亦為少。

⁵³

凡多與多減，原數大於減數，則減餘仍為多。少與少減，原數大於減數，則減餘仍為少；若多與多減，減數大於原數，則反減，而減餘即變為少。……若少與少減，減數大於原數，則反減，而減餘即變為多。……至於多與少減，少與多減，

則反相加為減餘數，而原數多則減餘仍為多，原數少則減餘仍為少。

⁵⁴

其實，中國早在《數理精蘊》成書之前就有加、減法的法則，其中歷史最悠久，

也是最具代表性的，就屬《九章算術》〈方程〉中的「正負術」：

正負術曰：同名相除，異名相益，正無入負之，負無入正之。其異名相除，同名相益，正無入正之，負無入負之。

⁵⁵

兩相對照之下，可以發現《數理精蘊》中少了「無入」的情形，不過，在遇到這種情形時，《數理精蘊》中仍可正確地處理。

⁵⁶

還有一點不同之處，在於《數理精蘊》曾解釋了這兩條法則的所以然之故，

⁵⁷

這是在《九章算術》中所未見的。此外，雖然借根方在文字敘述上不用多號與少號，但用多、少二字即表示了兩者間的關聯性，也就是說多、少其實並不等同於正、負。

⁵⁸

然而，清朝算學家如李銳將多、少視為正、負，一方面是未能充分理解借根方多號、少號、多、少所致，

另一方面也可能是對傳統中算的正負敘述過於熟悉，而未能察覺之間的差別。

⁵⁹

2.1.3.4 乘法與除法

「各按位分上下橫列，自末位起，逐位遍乘，與常法同。其書乘出之數，以類相從」是《數理精蘊》中做式子相乘的方法（見圖六），

⁶⁰

而在「逐位遍乘」之時，定乘出之數的多、少，則是整個運算正確與否的關鍵所在。書中將如何定多、

少分為三種情形：

53

引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 5a。

54

引自同上，頁 13a~13b。

55

引自郭書春譯注，《九章算術》，頁 408~409。

56

參閱《數理精蘊》下編，頁 11b~12b、20a~23b。

57

加法的解釋列在法則之後，減法的解釋夾雜在法則之中，筆者並未引出，請參閱《數理精蘊》，頁 5a、13a~13b。

58

參閱前文筆者對「多」、「少」的分析。

59

駱騰鳳雖在極力反對正、負即多、少的說法，但其理由是建立在他對多、少的認知上，並非察覺了多、少與多號、少號之間的關連，參閱本文 4.2.4 節「駱騰鳳對天元術與借根方中正、負、

多、少的認知」。

60

參閱《數理精蘊》下編卷三十一，頁 24a。

(13)

(1) 法、實俱止一位者，其乘出之數為多，不必言矣。

⁶¹

(2) 法、實不止一位俱係多者，其乘出之數亦俱為多。

⁶²

(3) 法、實兩數俱係少者，其為首一位己係整數為多，故乘出之數，則有多、

少之分。

⁶³

第三種情形中如何分多、少，則是多與多乘為多、多與少乘或少與多乘為少、少與少乘為多。至於為何少與少乘會反變為多，書中以兩位乘以兩位來做說明：

⁶⁴

蓋法、實首位為多，次位以後為少，則乘出之數，首位內少次位之數，必多末位之數，須於乘出首位數中，減去次位之數，加入末位之數，始與實數相合。

⁶⁵

所謂「與實數相合」，用今日的術語來說，就是將「根」用實際數字代入，等式成立。明顯地，書中這段文字是從結果來說明，即只說須加入末位之數才會「與實數相合」，並未說明為什麼會多末位之數。因此，《數理精蘊》的編者在注解中提出了解釋：

蓋因次位所少數內，有兩分末位之數，首位數內減去次位之全數，即如多減去一末位之數。倘能於次位數中先減去末位數，然後再於首位數中減之，始與實數相合。今次位數中既不能先減去末位數，故轉於首位數中減去次位數，反加入一末位數也。

⁶⁶

從前兩句可知道，此解釋是建立在幾何圖示上的，但是不知何故，編者並未將此圖示畫出。不過，此幾何圖示可在第五題例題「設如有一根少一真數，以一根少二真數乘之，問得幾何？」中清楚地看到（見圖六）。

⁶⁷

「乘法」一節中共有七題例題，前五題在演算完後，皆繪出該題的幾何圖示來說明，最後並用實際數字代入演算的過程中，證實確與「實數相合」。至於末兩題，乘出的首位分別為四乘方與三乘方，所以，也就沒有幾何圖示了。

至於「除法」一節，說明如何做式子的相除當然是主要內容。比較值得注意的，「除法」一節中對於除不盡的情況隻字未提，而《數理精蘊》的借根方內容

61

引自同上。

62

引自同上。

63

引自同上。

64

用今日的術語來說，就是兩個二項式相乘。

65

引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 24b~25a。

66

引自同上，頁 25a。

67

參閱同上，頁 30b~32b。

(14)

中，也幾乎全都是可以除盡的情形，對於除不盡的情形，只出現兩種類型。第一種就是筆者在前文「定位法」中所提到的，以真數除以一根；第二種就是當除數為真數時，以分數形式記之，例如「以二率一根自乘，得一平方，以一率十萬除之，得十萬分平方之一」。

⁶⁸

2.1.3.5 兩邊加減法

兩邊加減並不是《數理精蘊》〈借根方比例〉中的任何一節，而是借根方在依題意列出相等式後，用來化簡式子的方法，以今日的術語來說，即合併等號兩邊同類項的方法，包括等號兩邊各加或各減同一個數（或項）。例如《數理精蘊》

下編卷三十四中的「雞兔同籠」一問中：

法借一根為兔數，……得七十二多二根與一百相等。七十二與一百各減七十二，

則餘二根與二十八相等，……。

⁶⁹

「七十二與一百各減七十二」指的就是在等號兩邊各減去七十二。此種方法李銳在校《測圓海鏡》時稱之為「兩邊加減」，筆者在此沿用此名。特別值得注意的是，雖然借根方的「兩邊加減」作法與今日解方程式的移項化簡、等量加法、等量減法相同，但借根方在作兩邊加減的過程中，必定保持等號的任一邊皆不為零，這是與今日解法的不同之處。此外，借根方在兩邊加減之後，若遇相等號兩邊皆無真數，則使用「降位法」降低方程式的次方。例如《數理精蘊》下編卷三

68

參閱《數理精蘊》下編卷三十六，頁 31a~31b。

69

引自《數理精蘊》下編卷三十四，頁 28b~29a。

圖六

(15)

十五第四問「設如有長方形，其長闊和五百零四丈，面積為闊自乘之七倍，問長闊各幾何？」的解題過程中：

……得八平方與五百零四根相等，八平方與五百零四根各降一位，則為八根與五百零四丈相等。

⁷⁰

「降位法」一詞很早就出現在《數理精蘊》借根方的內容中，在下編卷三十一卷首解釋何謂借根方時，就已提到「至於借數之巧，又有一定之位與降位之法。定位、降位法俱詳後。」

⁷¹

但《數理精蘊》的編者從未對「降位法」作出說明，直到解題必須用到時，才依據各題之情形，直接指出各降幾位。至於為何可如此降位、

「降位法」之算理何在，《數理精蘊》皆隻字未提。

2.2 天元術

明朝是中國數學發展的一個低潮，「不僅沒有再出現可與《數書九章》、《四元玉鑑》等媲美的數學巨著，而且，宋元數學的傑出創造如增乘開方法與天元術、

四元術亦無人通曉。」

⁷²

如明代顧應祥在《測圓海鏡分類釋術》自序中說：

晚年得荊川唐太史所錄《測圓海鏡》一書，乃元翰林李冶公所著。……其每條下細草，雖徑立天元一，反復合之，而無下手之術，使後學之士茫然無門路之可入。

輒不自揆，每章去其細草，立一算術，又以其所立通勾邊股之屬，各以類分之，

語義稍繁者，略如芟損，名曰《測圓海鏡分類釋術》。非敢僭改前賢著述，惟以便下學云爾。

⁷³

由上述可知天元術到了明朝已不為大多數算學家所理解，所以顧應祥才會有「每章去其細草，立一算術」，「以便下學」之舉。李銳在 1797 年校注《測圓海鏡》，

不僅讓天元術復顯於世，更引起了算學家們對宋元數學研究的高潮。對於天元術與《測圓海鏡》對清朝算學家的影響，筆者會在後文論述，在此先介紹天元術及

《測圓海鏡》的作者─李冶。

2.2.1 李冶與天元術

天元術是 13 世紀（相當於金、元時期）以前，中國北方發展出來的數學方法，用以處理涉及一元多次方程的問題。由於在李冶之前的天元術著作皆未保存

70

引自《數理精蘊》下編卷三十五，頁 5a。

71

引自《數理精蘊》下編卷三十一，頁 2b。

72

引自郭書春，〈中國科學技術典籍通彙敘〉，《中國科學技術典籍通彙》數學卷一，頁 18。

73

轉引自馬翔，〈測圓海鏡分類釋術提要〉，《中國科學技術典籍通彙》數學卷二，頁 993。

(16)

下來，所以，天元術詳細的發展情形至今仍不清楚。今日所能見到最早的天元術著作，即《測圓海鏡》與《益古演段》二書，皆為李冶所撰，完成年代分別是 1248 年與 1259 年，兩者皆由其子刻於李冶身後的 1282 年。

李冶 (1192~1279)，字仁卿，號敬齋，真定欒城（今河北欒城）人。1230 年登金朝詞賦科進士，並在金朝短暫為官。1232 年，李冶為躲避蒙古軍，北渡黃河逃難。「李冶北渡黃河，可以說是他一生重要的轉折點。他以前雖然也有學術活動，但與功名分不開，且研究領域主要是文學和儒家經典。北渡以後，他放棄功名、仕途之想，全力進行科學研究。四十多年的學術生涯由此開始，至老不衰。」

74

入元後，在忽必烈幾次的盛邀之下，李冶終於接受翰林學士一職 (1265 年)，並知制誥，同修國史。不過，李冶在翰林院中工作並不如意，他自己表示：

翰林視草，唯天子命之，史館秉筆，以宰相監之，特書佐之流，有司之事，非作者所敢自專而非非是是也。今者猶以翰林、史館為高遷，是工諛譽而善緣飾者為高遷也，吾恐識者羞之。

⁷⁵

因此，隔年便以病老為由，辭去翰林一職，從此未再為官。在李冶的一生中，絕意仕途，讓他有充份的時間擴張其學術研究對象，從文學、儒學以至其他學問，

76

也因此，他才有可能在數學上做出不朽的貢獻，寫出《測圓海鏡》與《益古演段》這兩本天元術的經典著作。筆者在下一段中，將簡單地考察李冶一生中的數學學習及研究。

⁷⁷

根據孔國平的研究，李冶少年在元氏（今河北元氏）縣學中求學時，便已學過一般的數學知識，並對數學感興趣；青年時拜楊雲翼為師，

⁷⁸

受到了不少數學教育。

⁷⁹

不過，如前文所述，這一時期李冶並未將重心放在數學上。北渡黃河逃難兩年後，李冶在山西忻縣的桐川定居。「李冶在桐川所參與的數學知識活動，

包括了算書的搜集、學者之間的討論以及師徒的傳授」，

⁸⁰

特別是算書的搜集，洞淵的算書對李冶研究天元術起著重大的影響，

⁸¹

李冶在《測圓海鏡》序中說：

74

引自孔國平，《李冶、朱世杰與金元數學》，頁 44。

75

轉引自同上，頁 55。

76

李冶《敬齋古今黈》中包含文學、歷史、天文、數學、哲學和醫學的內容。參閱同上，頁 58。

77

李冶在數學的研究上，深受道家思想的影響，礙於篇幅，筆者在此略去不談，請參閱洪萬生，

〈十三世紀的中國數學中心〉，《孔子與數學─一個人文的懷想》；洪萬生，〈全真教與金元數學─

以李冶 (1192-1279) 為例〉，《金庸小說國際學術研討會論文集》；孔國平，《李冶、朱世杰與金元數學》，頁 61~65。

78

楊雲翼，字之美。《疇人傳》中記載：「司天有以太一新術上進者，尚書省檄雲翼參訂，摘其不合者二十餘條，術家稱焉。所著〈五星聚井辨〉一篇、〈縣象賦〉一篇、《勾股機要》、《象數雜說》等，藏於家。」

79

參閱孔國平，《李冶、朱世杰與金元數學》，頁 38~42。

80

引自洪萬生，〈全真教與金元數學─以李冶 (1192-1279) 為例〉，頁 75。

81

孔國平認為洞淵「無疑是天元術的先驅者」，且「已能用天元術解決比較複雜的問題了」，見

(17)

余自幼喜算數，恆病夫考圓之術，例出於牽強，殊乖於自然，如古率、徽率、密率之不同，截弧、截矢、截背之互見，內外諸角、析剖支條，莫不各自名家，與世作法。及反覆研究，卒無以當吾心焉。老大以來，得洞淵九容之說，日夕玩繹，

而嚮之病我者，使爆然落去而無遺餘。

⁸²

由此可見，洞淵之書對李冶有很大的啟發。總之，「李冶在山西流浪之時，受到當地出現的數學之影響。金元之際，習算之人主要集中在山西南部汾河流域地區。其中平水是金朝時代出版最盛行的地方，平陽是元代道藏刊行的地方。天元術產生之處，可以說在汾河流域。」

⁸³

李迪亦認為太原至臨汾一帶是天元術研究中心，

⁸⁴

也就是在這樣的學術環境之下，李冶於 1248 年完成《測圓海鏡》一書。

李冶在完成《測圓海鏡》之後，對數學研究的志趣已十分地堅定，並且能坦然面對他人的看法：

昔半山老人集唐百家詩選，自謂廢日力於此，良可惜！明道先生以上蔡謝君記誦為玩物喪志。夫文、史尚矣，猶之為不足貴，況九九賤技能乎？嗜好酸鹹，平生每痛自戒敕，竟莫能已。類有物憑之者，吾亦不知其然而然也。故嘗私為之解曰：

由技兼於事者言之，夷之禮，夔之樂，亦不免為一技；由技進乎道者言之，石之斤，扁之輪，非聖人之所與乎？覽吾之編，察吾苦心，其憫我者當百數，其笑我者當千數，乃若吾之索得則自得焉耳，寧復為人憫笑計哉！

⁸⁵

不僅如此，李冶在 1251 年回到元氏定居並於封龍山講學時，還出於普及數學的目的，以北宋蔣周的《益古集》為底本，寫成《益古演段》一書。李冶於序中明白地指出他寫此書的源起與用意：

近世有某者，以方圓移補成編，號《益古集》，真可與劉、李相頡頏。余猶恨其閟匿而不盡發，遂再為移補條段，細繙圖式，使粗知十百者，便得入室啗其文，顧不快哉！

⁸⁶

李秀卿的研究指出，「在《益古演段》中，李冶對於每個題問都先詳載天元術推導方程式的步驟，其後再以條段法來列式。六十四問中，除了第四十問之外，其

其著《李冶、朱世杰與金元數學》，頁 17、83~88。

82

引自李冶，〈測圓海鏡序〉，《測圓海鏡》。

83

藪內清，〈宋元時代科學技術的展開〉（許進發譯），轉引自洪萬生，〈全真教與金元數學─以李冶 (1192-1279) 為例〉，頁 74~75。

84

參閱《中國數學史大系》第六卷，頁 44。

85

引自李冶，〈測圓海鏡序〉，《測圓海鏡》。

86

引自李冶，〈益古演段序〉，《益古演段》。

(18)

餘各問由條段法建立的方程式與天元術所列出的相同。」

⁸⁷

因此，她認為「李冶希望借助條段法賦與天元術直觀的幾何解釋，除了幫助人們理解天元術抽象的代數運算外，也藉此說明天元術代數方法的有效性。此外，透過兩術的比較，突顯出天元術的優越性，加深學算者採用的意願。」

⁸⁸

所以，《益古演段》可說是李冶為普及天元術而作的，這與《測圓海鏡》為數學研究而作是大不相同的，由此更可以清楚地看出他對數學的熱愛程度，已由「乃若吾之索得則自得焉耳，寧復為人憫笑計哉」，提升至「使粗知十百者，便得入室啗其文，顧不快哉」的境界了。

綜觀李冶一生對數學的學習與研究，早年雖志不在此，但至遲在完成《測圓海鏡》後，他對數學研究的志趣便變得堅定不移了。之後更是努力於數學、天元術的普及，因此，我們也就不難理解他會在病危時對其子說：「吾生平著述死後可盡燔去，獨《測圓海鏡》一書，雖九九小數，吾常精思致力焉，後世必有知者，

庶可布廣垂永乎！」

⁸⁹

2.2.2 《測圓海鏡》中的天元術

《測圓海鏡》中的問題，大抵上是圍繞著勾股容圓發展的，李冶透過解決這些問題，將天元術發揮得淋漓盡致，阮元更直截了當地說：「《測圓海鏡》為何而作也？所以發揮立天元一之術也！」

⁹⁰

不過，在這本書中並未詳載如何使用天元術的入門知識，例如何謂立天元一、算籌的定位、加減乘除四則運算、相消等等，

因此，到了天元術已失傳的明朝，唐順之與顧應祥在讀了《測圓海鏡》之後，仍不懂當中的天元究竟是何物，唐順之更譏曰：

藝士著書，往往以秘其機為奇，所謂立天元一云爾，如積求之云爾，漫不省其為何語。

⁹¹

不僅唐、顧二人如此，就連被清朝算學家讚為彰明天元術有功的梅成，在初見到《測圓海鏡》時，雖「頗不謂然」顧應祥所說的：「細考《測圓海鏡》，如求城徑，即以二百四十為天元；半徑，即以一百二十為天元。既知其數，何用算為？

似不必立可也」，

⁹²

但由於自己也看不懂天元術，只好說「無以解也」。

⁹³

《測圓海鏡》中的天元術，所以能夠為後來的算學家所理解，要歸功於李銳於該書第二卷第十四問中的案，與李銳同期的算學家焦循對此有很高的評價：

87

引自李秀卿，《二次方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教世界為例》，頁 29。

88

引自同上。

89

引自王德淵，〈測圓海鏡後序〉，《測圓海鏡》。

90

引自阮元，〈重刻測圓海鏡細草序〉，《測圓海鏡》。

91

引自梅成，《赤水遺珍》，頁 8b。

92

引自同上。

93

見梅成，「天元一即借根方解」，《赤水遺珍》，頁 8b。

(19)

吾友元和李尚之銳，精思妙悟，究核李氏全書，復辨別天元之相消異乎借根方之加減，重為挍注，奧秘益彰，信足以紹仁卿之傳，而補文穆所不逮也。

⁹⁴

以下就以李銳之案，分析《測圓海鏡》中的天元術，為方便討論，筆者將之分段、

摘述，並加標題以示區分。

2.2.2.1 數目的籌算表示法

這一段在介紹用算籌符號來表示數字，其中最主要的特色，就是包含了近似今日的小數表示方式以及負數的表示法。

凡算式自左而右。步而左為十、百、千、萬，步而右為分、釐、毫、絲。凡十、

百、千、萬之類，算式下注一字，餘悉可知；其不注者，並以右方尾位為步；其左方首位為 0 者，則以左方首位為步。

⁹⁵

用今日的術語表示，「步」之所在就是整數位，自「步」而左分別是十位、百位……，

自「步」而右分別是十分位、百分位……。至於負數則以斜畫表示。由下表中便可以清楚地看出小數與負數的表示方式：

籌算的表示法

今日的表示法 123 12.3 0.123 －12 －120

2.2.2.2 逐層布算之法

借根方用「虛數」與「真數」來代表未知數與已知數（或常數項），在此李銳亦借用了這兩個術語來解釋天元術的「天元」與「太極」：

以虛數為天元，旁記元字；真數為太極，旁記太字。元下必太，太上必元，故有元字不記太字，有太字不記元字。

⁹⁶

不過，天元術並不用平方、立方等術語來，表示二次方項、三次方項等，而是藉由位置的不同來區分：

94

引自焦循，《天元一釋》上卷，頁 1b。

95

引自《測圓海鏡》卷二，頁 11b。

96

引自同上。

步

(20)

元上一層，則元自乘數；又上一層，則元再乘數；凡上一層，則增一乘。太下一層，則元除太數；又下一層，則元再除太數；凡下一層，則增一除。

⁹⁷

利用所在位置的不同以及「上一層，增一乘；下一層，增一除」的原則，天元術對於太以下各位的表示，顯得相當的自在，不像借根方般須受到「定位表」的侷限，在這方面，天元術展現了較借根方更為自由的表示方式。而且，由於籌算中正、負的表示是與數字的表示結合在一起的，所以，天元術在列式時也就不需要額外的加號、減號（或是多號、少號）。由下列的對照中，就可以看出天元術如何列式的：

籌算的表示法

今日的表示法 X

²

+32X+7 X

²

+7 X+32+

X

7 X

²

+(-32) X +7

2.2.2.3 加、減、乘、除法

前文提及，在中國的數學傳統中，對於正、負數的加減，一直是受《九章算術》的「正負術」說法的影響。李銳就在這個傳統之下，給出十分詳盡的正、負數加減法則：

凡加法，以元加元，以太加太，各齊其等，同名相加，異名相減。相加者，正者正之，負者負之。相減者，本數大，則本數正者正之，負者負之；加數大，則本數正者負之，負者正之。無對者，正者正之，負者負之。凡減法，亦齊其等，同名相減，異名相加。相減者，本數大，則正者正之，負者負之。相加者，本數正者正之，負者負之。無對者，本數正者正之，負者負之，減數正者負之，負者正之。

⁹⁸

李銳特別指出須「齊其等」後才能加減，這是由於在天元術中，位置不同所代表的意義就不同。位置對運算的影響，在乘法中看得最明白：

凡乘法，亦齊其等，列左、右兩行，以左行下方一層起，自上而下乘右行；為乘第二次，如是累乘。有若干層，則乘若干次。後一次所得較前一次所得遞增一層。同名相乘，所得為正；異名相乘，所得為負。乘訖，同名相加，異名相減。

97

引自同上，頁 11b~12a。

98

引自同上，頁 12a。

元

元元

(21)

以太乘太，所得者為太；元乘太，所得者為元。

⁹⁹

若與借根方的乘法法則相較，明顯地可以看出李銳在此只指出該如何做乘法，至於其算理則未加著墨。

至於除法，則是與借根方大不相同。天元術中對於負次方項的表達，並沒有像借根方般受到限制，所以，除法也就不限定要高次方項除以低次方項，但

凡除法多不受除，惟以天元一為法者，以除元得太，以除太得太下一層。同名相除，所得為正；異名相除，所得為負。

¹⁰⁰

所謂「不受除」，簡單地說，就是除不盡的情形。遇到「不受除」，天元術就以「寄分」方式來處理。關於「寄分」，《四庫全書》本《測圓海鏡》中的「館案」說得很清楚：

¹⁰¹

寄分者，姑寄其應除之數也，俟求得兩相等之數，而此數內尚少一除，不除此，

而轉乘彼，則兩數仍相等，猶之受除者也。此所謂以乘代除也。

¹⁰²

例如在《測圓海鏡》卷三第四問的「草曰」中：

……得一千四百七十四萬五千六百為一段圓徑羃寄中勾分母，寄左。然後以天元徑自

之，又以中勾乘之，得為同數，與左相消。

¹⁰³

以今日的符號來表示，「一千四百七十四萬五千六百……寄中勾分母」指的是 16

14745600 +

x ，其中 x＋16 就是中勾，所以，原本應是

16 14745600

+

x 與 x

²

為同數相等，

但今「不除此，而轉乘彼」，即得 14745600 與 x

³

＋16x

²

為同數相等。

「寄分」在《測圓海鏡》之中十分常見，而且，還可以在所寄分母之中再寄分母，如卷五第十三問中就出現這樣的例子，焦循便極為推崇此題：「轉轉寄帶，

不憚委曲繁瑣者，為同數相消地也。心思之妙，不啻蟻之穿九曲珠。夫所以啟後

99

引自同上。

100

引自同上，頁 12a~12b。

101

《四庫全書》中《測圓海鏡》與《益古演段》的「館案」是何人所作，李儼曾表示可能是戴震所作，參閱李儼，〈測圓海鏡研究歷程考〉，《李儼、錢寶琮科學史全集》卷八，頁 38。鄭鳳凰則提供一些佐證以支持李儼之說，參閱鄭鳳凰，《李銳對宋元算學的研究─從算書校注到算學創作》，頁 61。

102

引自《測圓海鏡》卷三，頁 4a。

103

引自同上，頁 3b。

│

─ㄒ 0 元

(22)

學之聰明者，可謂至矣！」

¹⁰⁴

「寄分」之法實是天元術至為獨特之處，焦循便稱之「為天元一造微之境，比例其同，全賴此以濟其窮。」

¹⁰⁵

而相較之下，借根方並無類似的濟窮之法，所以，難怪清末算學家左潛會有「借根方之不能立式，究不如天元一之巧變莫測也」之語了。

¹⁰⁶

2.2.2.4 相消

利用天元術來解題的關鍵之處，在於依據題意中不同的條件列出相同的兩數，李銳稱為「寄左數」與「又數」，得此二數且兩數「相消」之後，再開諸乘方或開帶縱諸乘方即可求得「天元一」之數。

¹⁰⁷

所謂「相消」，「即相減，方程所謂直除是也。可以又數減寄左數，亦可以寄左數減又數，故曰相消。」

¹⁰⁸

而且，

「既相消後，即不論天元、太極等位，但以下層為實，以上為從、廉、隅，故相消所得算式旁，更不記元、太等字，別卷閒有記者，實亦可省也。」

¹⁰⁹

由於李銳並不認同「館案」利用借根方的「兩邊加減」來注解天元術的「相消」，所以，

在解釋完何謂「相消」後，長篇大論兩者不同之處，更在校注《益古演段》中嚴厲批評用「兩邊加減」來解釋「相消」是「甚無當」的作法。

¹¹⁰

李銳此舉，引發了一場算學家間的爭論，筆者於後文會詳細說明。

2.2.3 《益古演段》中的天元術

《益古演段》一書，李冶完成於 1259 年，但直至李冶身後的 1282 年才刊刻。

全書共六十四問，「除第二十二和第四十四問之外，其餘全是關於矩形與圓形的組合問題，求邊長、圓徑或周長。」

¹¹¹

前文中已提過，普及天元術是李冶作此書的目的之一，戴震亦云：「蓋《測圓海鏡》以立天元一法為根，此書即設為問答，

為初學明是法之意也，所列諸法文皆淺顯。」

¹¹²

雖然《益古演段》較《測圓海鏡》

更適於初學，不過此書之流傳與影響卻不及《測圓海鏡》，這從 1287 年李冶之子只單獨再版《測圓海鏡》即可窺知一、二。入明以後，《益古演段》更是鮮少被提及，《算法統宗》「算經源流」一節，收錄自北宋元豐七年以來的算書名五十一種，當中亦只見《測圓海鏡》，未見《益古演段》。

¹¹³

104

引自焦循，《天元一釋》下卷，頁 16a。

105

引自同上，頁 20b。

106

引自左潛，〈割圓八線綴術序〉，《割圓八線綴術》。

107

上述過程類似於今日解題時須先列方程式，再將等號一邊諸項移到另一邊，最後再求出未知數。

108

引自《測圓海鏡》卷二，頁 12b。

109

引自同上，頁 13a~13b。

110

參閱《益古演段》卷上，頁 25a。

111

引自李秀卿，《二次方程式的幾何思維之歷史研究：以中國與回教世界為例》，頁 11。

112

引自〈益古演段提要〉，《中國科學技術典籍通彙》第一卷，頁 873。

113

參閱程大位，〈筭經源流〉，《算法統宗》卷十七，頁 26a~27b。

(23)

至於《益古演段》中的天元術，大抵與《測圓海鏡》相同，最大的差異在於天元與太極的位置，《測圓海鏡》中元在太上，《益古演段》則元在太下。焦循認為元在太上是「便於立天元之法」，元在太下是「便於用開方之法」；

¹¹⁴

吳嘉善亦云：「古法有以元居上，太居下者，今因得式開方，省易其位，故命太上元下。」

115

除此之外，《益古演段》第四十問中有「連枝同體術」與「之分天元一術」，這是《測圓海鏡》中所無的。在第四十問中，當「相消」完後得式為「不可開」（即無法開出一有限位之數）時，就用「連枝同體術」將之轉為一可開之式，開出之後再轉而求出原來之數。用今日符號來表示，相消後得

－22.5Ｘ

^２

－648X＋23002＝0

此式為不可開，「連枝同體術」的作法相當於令 Y＝22.5X，得

－Y

^２

－648Y＋517545＝0

開之得 Y＝465，所以 X＝465 ÷ 22.5＝20 3

2 。而「之分天元一術」就是在「立天元一」時，就避免會有不可開的情形產生。在第四十問中原本是「立天元一為內池徑」，利用「之分天元一術」來解，李冶「立天元一為三個內池徑」，如此相消後所得之式便為可開，開出之數為三個內池徑，除以三即為所求。雖然《益古演段》之中多了這兩個方法，不過此二法皆未受清朝算學家重視。

¹¹⁶

2.3 借根方與天元術之異同

借根方與天元術雖然都是用來解決一元多次方程式的問題，但它們卻有許多不同之處，其中最顯而易見的，就是使用術語與符號的不同。不過，筆者認為術語與符號的差異僅是表面的，真正的差異在於式子的表現形式及運算方面，關於這兩點，筆者將在下文中作分析。在下文中，筆者將以「代數式」稱呼借根方中的式子，而以「天元式」稱呼天元術中的式子，筆者如此稱呼的目的，也會在下文中一併作說明。

首先，是借根方代數式與天元術天元式在表現形式上的差異。借根方代數式

114

參閱焦循，《天元一釋》上卷，頁 28b~30a。

115

引自吳嘉善，《天元一術釋例》，頁 1a。

116

第二章 借根方與天元術的分析