男子

跳躍的高度。請想想看，選手們跨欄瞬間的高度為 x 公 分，若要跨越欄架，x 的範圍為何？

上學期已學過用一元一次方程式 來表示生活中兩個數量之間的相等關 係，並透過解一元一次方程式來解決 生活中的問題。本章則要學習如何利 用一元一次不等式表示兩個數量之間 的不等關係，並據以解決生活中的數 量問題。

5-1

解一元一次不等式

　　　• 認識一元一次不等式 　　　• 一元一次不等式的解

　　　• 一元一次不等式解的圖示法 　　　• 解一元一次不等式

5-2

一元一次不等式的應用

　　　• 不等式圖解的應用 　　　• 應用問題

一元一次不等式

第

5

認識一元一次不等式

1

1 解 一元 一次 不等 式

5

在上學期我們曾經學過三一律，即任意兩數 a、b 間的大小關係有 a＞b，

a＝b，a＜b 三種情形，其中只有一種會成立。例如：某次數學段考，翰翰的成 績為 x 分，琳琳的成績為 80 分，則翰翰的成績可能比琳琳的成績高，或等於 琳琳的成績，也可能低於琳琳的成績，但只有一種情形會成立。

若翰翰的成績高於琳琳的成績，則 x＞80；

若翰翰的成績等於琳琳的成績，則 x＝80；

若翰翰的成績低於琳琳的成績，則 x＜80。

同樣地，在某次數學段考中：

1如果翰翰的成績不低於琳琳的成績，

　則我們只知道 x＜80 不成立，而 x＞80 或 x＝80 都有可能成立；將「x＞80 或 x＝80」

合併記作「x≧80」 ，讀作「x 大於或等於80」。

2如果翰翰的成績不高於琳琳的成績，

則我們只知道 x＞80 不成立，而 x＜80 或 x＝80 都有可能成立；將「x＜80 或 x＝80」

　合併記作「x≦80」 ，讀作「x 小於或等於 80」。

3如果翰翰的成績與琳琳的成績不相同，則我們只

知道 x＝80 不成立，可記為「x≠80」，讀作「x 不等於 80」。

「≧」的結果只能是「大於」

或「 等 於 」 的 其 中 一 種；

「≦」的結果只能是「小於」

或「 等 於 」 的 其 中 一 種，

所 以 都 符 合「 三 一 律 」。

1

例

將下列敘述列成不等式：

1 2x 大於 18 2 3y 比 5 小 3 2x－3 不大於 6 4 4y＋1 不小於 7

上學期我們也學過遞移律，即 若 a＞b 且 b＞c，則 a＞c

同樣地，若 a＜b 且 b＜c，則 a＜c

例如翰翰的成績高於琳琳，且琳琳的成績高於皓皓，則翰翰的成績高於皓皓。

上述「＞、＜、≧、≦」與「≠」這些用來表示兩邊數量不相等的符號，

統稱為不等號。含有不等號的式子，例如： x＞80，x≦80 等，稱為不等式。

1 2x＞18。

　2 比 5 小就是小於 5，所以 3y＜5。

　3 不大於 6，表示大於 6 不成立，也就是小於 6 或等於 6 所以 2x－3≦6。

4 不小於 7，表示小於 7 不成立，也就是大於 7 或等於 7 所以 4y＋1≧7。

將下列敘述列成不等式：

1 4x 小於 3.2 2 y 比 20 大

3 5x＋2 不小於 0 4 y－1 不大於 3

在例題 1 與隨堂練習中，例如：2x＞18，3y＜5，2x－3≦6……，這些不等 式都只含有一種未知數，且其次方均為一次，稱為一元一次不等式。

4x＜3.2 y＞20

5x＋2≧0 y－1≦3

宏仁與媽媽上市場買了 100 元的肉及每公斤 200 元的蝦子 x 公斤，且所 花的錢不超過 500 元。請依上述的情形列出不等式。

2

例

媽媽一共花了 100＋200x 元，

因為所花的錢不超過 500 元，

故可列出不等式 100＋200x≦500。

孟哲前兩次數學考試的成績分別是 76 分與 82 分，若孟哲第三次數學考 試成績為 x 分，試依序回答下列問題：

1孟哲三次考試的平均分數為幾分？

2若孟哲三次考試的平均分數不低於 82 分，請依此關係列出不等式。

符號 讀法 同義詞舉例

＞ 大於 超過，高於

＜ 小於 不足，不滿，不到，低於

≧ 大於或等於 不小於，不低於，足夠用

≦ 小於或等於 不大於，不超過，不高於

≠ 不等於 不相等，相異，非

生活中我們常須比較某些事物的大小關係，所以到處都充滿著不等式，

然而在日常用語中，並不一定會直接以「大於」、「小於」、「大於或等於」、

… …來描述，而是以它們的同義詞來表達，下表列出不等號的讀法及一些常見 的同義詞：

76＋82＋x

3 分

76＋82＋x 3 ≧82

一元一次不等式的解

2

在例題 2 中，若 x 分別以 1、2、3 三個數代入 100＋200x≦500 的式子 中，可發現：100＋200×1＝300＜500；

100＋200×2＝500＝500；

100＋200×3＝700＞500。

x＝1 可使不等式 100＋200x≦500 的關係成立，稱 1 是不等式 100＋200x≦500 的一個解；x＝2 也可使不等式 100＋200x≦500 的關係成立，稱 2 是不等式 100＋200x≦500 的一個解；而 x＝3 不能使 100＋200x≦500 的關係成立，所以 3 不是不等式 100＋200x≦500 的解。

下列哪些是不等式 3x－4≧5 的解？

1 2 2 3 3 3 12 45

3

例

 1將 x＝2 代入 3x－4 可得 3×2－4＝2，（小於 5）

所以 2 不是 3x－4≧5 的解。

 2將 x＝3 代入 3x－4 可得 3×3－4＝5，

所以 3 是 3x－4≧5 的解。

3將 x＝3 1

2 代入 3x－4 可得 3× 31

2 －4＝6 12，（大於 5）

所以 3 1

2 是 3x－4≧5 的解。

 4將 x＝5 代入 3x－4 可得 3×5－4＝11，（大於 5）

所以 5 是 3x－4≧5 的解。

下列哪些是不等式 2x＋3≦7 的解？

1－1 2 2 3 72 4 5.1 1、2

一元一次不等式解的圖示法

3

在例題 3 中，如果將 3、3.1、3 23 、3.37、5、… …等數分別代入不等式 3 x － 4 ≧ 5 中 ， 會 發 現 這 些 數 也 都 是 不 等 式 3 x － 4 ≧ 5 的 解 。 一 般 而 言 ，

例如：所有大於或等於 3 的數，都是不等式 3x－4≧5 的解，我們就說

「x≧3」是不等式 3x－4≧5 的解。其實為了方便表示一元一次不等式的解，

可在數線上將解圖示出來。

因為 x≧3 表示大於或等於 3 的數都可以是 x 的值，所以要畫出 x≧3 的圖 形，x＝3 是 x≧3 的一個解，我們可以先在數線上找出代表 3 的點，令其為 A 點。因為比 3 大的數也都是 x≧3 的解，其圖形都在 A 點的右邊，所以 x≧3 的圖形為 A 點及 A 點右邊所有點所形成的圖形。圖示如下：

在圖 5-2 中，因為 x＝3 也是 x≧3 的一個解，所以 A 點用實心「 」表示。

若要畫出 x＞3 的圖形，因為 x＝3 不是 x＞3 的解，此時 A 點就用空心「 」 表示。圖示如下：

我們通常利用下面的參考圖來代替上圖：

0 1 3 A

0 1 3 A

圖 5-2

0 1 3 圖 5-3

A

不等式的解通常不只一個，「求不等式的解」時，是將不等式所有的解呈現 出來。

圖 5-1

若要畫出 x＜3 的圖形，因為所有比 3 小的數，其圖形在 A 點的左邊，

所以 x＜3 的圖形為 A 點左邊所有點所形成的圖形。圖示如下：

因為 x＜3 不包括 x＝3，所以 A 點用空心「 」表示。

0 1 2 3 圖 5-4

A

1在數線上圖示下列不等式：

　1 x＜2 2 x≧－3

2試寫出下列圖示所表示的不等式：

　1 2

0 0 1

－1 0 1 0 1

1

－5

2 －3

x＞－1 x≦－5

解一元一次不等式

4

　　前面我們已經學習解的圖示法，接下來要如何求出一個不等式所有的解 呢？憑著猜測，將不同的數代入不等式中一個一個檢驗，是困難的，因此我們 勢必需要一個有效率的方法。

　　在上學期的課程中，解一元一次方程式時，我們利用等量公理與移項法則 進行運算。在不等式的求解過程中，也有類似的運算法則嗎？讓我們看看以下 的說明：我們知道 5＞3，

將不等號的兩邊同加 4，顯然 5＋4＞3＋4 仍成立；

將不等號的兩邊同減 27，顯然 5－ 27 ＞3－ 27 亦成立。

　　上學期我們學過：在數線上，若以向右為正向，則愈右邊的點所代表的數 愈大。如圖 5-5 的數線中，點 A（a）的位置在點 B（b）的右邊，即 a＞b。

將 A、B 兩點同時向右移動 c 個單位長，則移動後 A 點的位置仍然在 B 點 的右邊，即 a＋c＞b＋c，如圖 5-6。

同樣地，若將 A、B 兩點同時向左移動 c 個單位長，則移動後 A 點的位置 仍然在 B 點的右邊，即 a－c＞b－c，如圖 5-7。

B A

b a

圖 5-5

圖 5-7

c c

b b＋c a

B A

a＋c 圖 5-6

c c

b－c b a－c a

B A

由前面的說明可以得到：

若 a＞b，c≧0，則1a＋c＞b＋c，

 2 a－c＞b－c。

因為負數的相反數是正數，而

「加上一個負數」相當於減去這個負數的相反數，即「減去一個正數」；

「減去一個負數」相當於加上這個負數的相反數，即「加上一個正數」； 所以當 c＜0 時，上面的結論顯然仍成立。

綜合上述，

而對於 a＜b，a≧b，a≦b 的情形，上述的性質仍然成立。

若 a＞b，c 為任意數，則1 a＋c＞b＋c，

2 a－c＞b－c。

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 x－2＜－3 2 2x ≧ x＋3

4

例

1x－2＜－3 22x ≧ x＋3 x－2＋2＜－3＋2 2x－x ≧ x＋3－x 故 x＜－1 故 x ≧ 3

不等號兩邊 同加上 2

不等號兩邊 同減去 x

因此所有小於－1 的數都是 它的解，圖示如下：

因此所有大於或等於 3 的數都是 它的解，圖示如下：

－1 0 0 3

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 x－5≦4 2 3x－1＞2x

事實上，在解不等式的過程中，有些步驟是可以省略的，我們來看下面的 說明：

4x－3＞3x＋1 4x－3＋3＞3x＋1＋3 4x＞3x＋1＋3 4x＞3x＋4 4x－3x＞3x＋4－3x 4x－3x＞4

故 x＞4

可將上述解題過程省略成 4x－3＞3x＋1

4x＞3x＋1＋3 4x＞3x＋4 4x－3x＞4 故 x＞4

由上面的說明可以知道：

看起來好像把不等號左邊的

「－3」移到不等號的右邊變 成「＋3」。

看起來好像把不等號右邊的

「＋3x」移到不等號的左邊 變成「－3x」。

不等號的兩邊 同減去 3x 不等號的兩邊 同加上 3

在不等式的運算中，將式子中的數（或項）從不等號的一邊移到另一邊時，

須改變其性質符號，亦即加 → 減（減 → 加）。

x≦9 x＞1

0 9 0 1

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 7x－3 ＞ 6x＋1 2 5x＋2 ≦ 6x－1

5

例

7x－3＞6x＋1

7x－3＋3＞6x＋1＋3 7x＞6x＋4

7x－6x＞6x＋4－6x x＞4

7x－3＞6x＋1

7x＞6x＋1＋3 7x＞6x＋4

7x－6x＞4 x＞4 1

5x＋2≦6x－1

5x＋2＋1≦6x－1＋1 5x＋3≦6x

5x＋3－5x≦6x－5x 3≦x

5x＋2≦6x－1

5x＋2＋1≦6x 5x＋3≦6x

3≦6x－5x 3≦x 2

不等號的兩邊 同減去 6x 不等號的兩邊 同加上 3

不等號的兩邊 同加上 1

不等號的兩邊 同減去 5x

等量公理的解題過程 移項法則的解題過程

等量公理的解題過程 移項法則的解題過程

0 4

其解圖示如下：

0 3

其解圖示如下：

解不等式 2x＋8＞ 12 x＋3，移項整理後可得 3

2 x＞－5，這樣的結果用來表

達原方程式所有的解仍嫌不夠清晰。在上學期的課程中，一元一次方程式 3

2 x＝－5，利用等量公理在等號兩邊同乘以2

3 ^{，求得 x＝－}

10

3 ^{；在不等式中，是否} 也可以應用類似的方法呢？讓我們先來看看下表：

事實上，若 a＞b

則 a－b＞b－b 即 a－b＞0

此時若 c＞0，則（a－b）×c 為兩正數的乘積，其值必大於 0，

即（a－b）×c ＞0 ac－bc＞0 ac－bc＋bc＞bc 可得 ac＞bc

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 3x－2＜2x＋8　　　　　　　2 4x＋5≦5x－1

3＞2 3×5＞2×5 3×（－5）＜2×（－5）

－4＞－5 （－4）×5＞（－5）×5 （－4）×（－5）＜（－5）×（－5）

3＞－2 3×5＞（－2）×5 3×（－5）＜（－2）×（－5）

5＞0 5×5＞ 0×5 5×（－5）＜ 0×（－5）

0＞－3 0×5＞（－3）×5 0×（－5）＜ （－3）×（－5）

不等式 不等號兩邊同乘以正數 不等號兩邊同乘以負數

x＜10 x≧6

0 10 0 6

同樣地，若 c＜0，則（a－b）×c 為一正數與一負數的乘積，其值必小於 0，

即（a－b）×c ＜0 ac－bc＜0 ac－bc＋bc＜bc 可得 ac＜bc

綜合上面的說明可以發現：

1將不等號的兩邊同乘以一個正數，原來大的一邊還是大，小的一邊還是小；

2將不等號的兩邊同乘以一個負數，原來大的一邊會變小，小的一邊會變大。

也就是說：

而對於 a＜b，a≧b，a≦b 的情形，上述的性質仍然成立。

在數的運算過程中，我們知道：將某數除以一個不為 0 的數，相當於乘以 該數的倒數，即 a÷c＝a× 1

c （c≠0）。

一個數與其倒數，它們的性質符號是相同的，所以︰

1將不等號的兩邊同除以一個正數，相當於兩邊同乘以該數的倒數（也是一個 正數），原來大的一邊還是大，小的一邊還是小；

2將不等號的兩邊同除以一個負數，相當於兩邊同乘以該數的倒數（也是一個 負數），則原來大的一邊會變小，小的一邊會變大。

也就是說：

而對於 a＜b 或 a≧b 或 a≦b 的情形，上述的性質仍然成立。

1若 a＞b，c＞0，則 ac＞bc。

2若 a＞b，c＜0，則 ac＜bc。

1若 a＞b，c＞0，則 a÷c＞b÷c，即　＞　。 2若 a＞b，c＜0，則 a÷c＜b÷c，即　＜　。

ac b c a

c b

c

1 14 x≦1 14 x×4≦1×4 故 x≦4

2 13 x＞－2

13 x×3＞（－2）×3 故 x＞－6

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 14 x≦1 2 13 x＞－2

6

例

利用上述的性質，我們可以來解不等式 2x＋8＞3。

2x＋8＞3 2x＞3－8 2x＞－5 2x× 1

2＞（－5）× 1 2 x＞－ 52

不等號的兩邊同乘以 4

不等號的兩邊同乘以 3

不等號的兩邊同乘以正數，

則不等號不變。

不等號的兩邊同乘以 1 2

0 4

其解圖示如下：

其解圖示如下：

也可以這樣看：

2x＞－5 2x÷2＞（－5）÷2 x＞－ 52

不等號的兩邊同除以 2

－6 0 1

1－x＜1

（－x）×（－1）＞ 1×（－1）

故　　　　 x＞－1



2－ 23 x≧ 2 （－ 2

3 x） ×（－ 3

2）≦ 2×（－ 3 2） 故　　　　 x ≦－3

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 15 x ≧ 0.4 2 1

4 x＜－4

3－ 32 x ＞ 6 4－ 2

3 x≦－2 解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1－x＜1 2－ 23 x≧ 2

7

例

不等號的兩邊同乘以－1

不等號的兩邊同乘以－ 3 2

－3 0

－1 0 其解圖示如下：

其解圖示如下：

不等號的兩邊同乘以一負數，

則「＜」變成「＞」。

x≧2 x＜－16

x＜－4 x≧3

0 2

－4 0 0 3

－16 0

13x＋6≦12 3x≦12－6 3x÷3≦6÷3 故 x≦2

25＞8＋2x 5－8＞ 2x －3＞ 2x －3

2＞ x 即 x＜－ 32

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 3x＋6≦12 2 5＞8＋2x

8

例

移項

不等號的兩邊同除以 3

不等號兩邊同除以 2 移項

0 2 其解圖示如下：

其解圖示如下：

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 －4x＋3＜－8 2 5x－2≧－5

－3

2 ^{－1 0}

－2

x＞11

4 x≧－3

5

0 2 113

4 ^－1－ 3 ⁰

5

15（x＋3）＜4（3x－1）＋5 5x＋15＜12x－4＋5 5x＋15＜12x＋1 5x－12x＜1－15 －7x＜－14 故 x ＞2

23（2x－1）－4（x－2）≧8 6x－3－4x＋8 ≧8 2x＋5 ≧8 2x ≧3 故 x≧3

2

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 5 （x＋3）＜4（3x－1）＋5 2 3（2x－1）－4（x－2）≧8

9

例

5x＋15＜12x＋1 也可移項為 15－1＜12x－5x 可得 14＜7x 故 2＜x 即 x＞2

0 2

其解圖示如下：

其解圖示如下：

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

14（x－5）－2（3x＋1）＞0 23 （2x＋7）－10≦ 2（5x－1）＋5 0 1 3 2

2

x＜－11 x≧2

－11 0 0 2

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 12（x＋3）－（x－2）≦3 2 2（x－1）＋3

5 ＞ 3（x＋2）－4

2

10

例

1 1

2（x＋3）－（x－2）≦ 3 〔 1

2（x＋3）－（x－2）〕×2 ≦ 3×2 （x＋3）－2（x－2）≦ 6 x＋3－2x＋4 ≦ 6 －x ≦ 6－7 －x ≦ －1 故 x ≧ 1



22（x－1）＋3

5 ＞3（x＋2）－4 2 2（x－1）＋3

5 ×10 ＞ 3（x＋2）－4

2 ×10 4（x－1）＋6＞15（x＋2）－20 4x－4＋6＞15x＋30－20 2－10＞15x－4x －8＞11x

0 1

其解圖示如下：

一個今天值兩個明天。

當你不再改變的時候，你就完了。

——富蘭克林（Benjamin Franklin，1706-1790）

數學小語錄

解下列各不等式，並在數線上圖示其解：

1 14（x－1）＜ 13（x＋2）

2 2（x＋3）－4

3 ≧ 3（x－4）＋3

2 故 － 811＞x

即 x＜－ 811

－1 0

其解圖示如下：

－ 8 11

x＞－11

x≦31 5

－11 0

0 6 7

31 5

符號 讀法 同義詞舉例

＞ 大於 超過，高於

＜ 小於 不足，不滿，不到，低於

≧ 大於或等於 不小於，不低於，足夠用

≦ 小於或等於 不大於，不超過，不高於

≠ 不等於 不相等，相異，非

!不等號與不等式：在數學的符號中，「＞、＜、≧、≦」與「≠」稱 為不等號，包含以上符號的數學式子稱為不等式。

@ 不等號的讀法與同義詞：

#一元一次不等式：只含有一種未知數，且次方為一次的不等式，稱為 一元一次不等式。

$一元一次不等式的解：對於一個一元一次不等式，如果將一個數代入 不等式中的未知數，而不等式仍然成立，則這個數稱為此不等式的一 個解。

%利用等量公理的觀念解不等式：

　 1 若 a＞b，c 為任意數，則 1a＋c＞b＋c。

2a－c＞b－c。

2若 a＞b，

¹c＞0，則 ac＞bc；a÷c＞b÷c。

2c＜0，則 ac＜bc；a÷c＜b÷c。

而對於 a＜b，a≧b，a≦b 的情形，上述的性質仍然成立。

^一元一次不等式解的形式與圖示：

在不等式解的圖形中，將包含的端點，以實心的「 」表示；將不包 含的端點，以空心的 「 」表示。

^1 x＞k

表示所有比 k 大的數都是不等式的解，圖示如下：

2 x＜k

表示所有比 k 小的數都是不等式的解，圖示如下：

3 x≧k

表示包含 k 和比 k 大的數都是不等式的解，圖示如下：

4 x≦k

表示包含 k 和比 k 小的數都是不等式的解，圖示如下：

k

k k

k

1請依題意列出不等式：

1張三買了 4 本書，每本 x 元，4 本書的總價不低於 500 元。

則可列出不等式 。

2李四帶 300 元去買文具，共花了 x 元，而剩下的錢不超過 50 元。

則可列出不等式 。

3王五的撲滿內原有 x 元，再存入 100 元後，仍然不滿 350 元。

則可列出不等式 。

4趙六身高 160 公分，若長高 x 公分後，就超過 180 公分。

則可列出不等式 。

2下列哪些是不等式 3x－4＞5x＋6 的解？

　1－6.5 2－5 13 3－4 40

3在數線上圖示下列不等式：

　1 x＞－3 2 x≦6

　3 x＜－5 4 x≧4 4x≧500

300－x≦50

x＋100＜350

160＋x＞180

1、2

－3 0

－5 0 0 4

0 6

4解下列各一元一次不等式，並在數線上圖示其解：

　1 2x－3＜5 2 3（x＋1）＞x－7



　3 2（2x＋3）≧5x＋8　　　　　　 4－（x－3）＜－5（x－2）



　5 5（x－4）＜2（4x＋ 12）　　　　　6 x

2＋ x－ 2 3 ≦2x

3 －2x＋ 3 6

x＜4 x＞－5

x≦－2 x＜7

4

x＞－7 x≦1

3

0 4 －5 0

－2 0 0 1 7 2

4

－7 0 0 1

1 3