1 2 三角形相似性質
在上一節中，我們檢查兩個多邊形是否為相似形時，「對應角都相等」與
「對應邊都成比例」這兩組條件是不可省略的。但是在上一冊討論三角形全等 性質時，如：ASA、AAS、SAS、SSS、RHS 等，都是在邊與角的六個條件中，
只要確定其中三個條件相等就可以了。當我們探討兩個三角形相似時，是否也 有同樣的簡易判別方法呢？
如圖 1-16，△ABC 與△DEF 中，
∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F，
且 AB＜DE，AC＜DF，BC＜EF。
我們將其中一組相等的對應角∠A 與∠D 疊合，
如圖 1-17，使得 AB 與對應邊 DE 重疊，AC 與對應 邊 DF 重疊，則 B 點落在 DE 上，C 點落在 DF 上，
因為∠B＝∠E，所以 BC // EF（同位角相等）。
由「 平行線截比例線段性質」可知：
AB：DE＝AC：DF ... 1
同理，仿前面的方式將∠B、∠E 疊合，
如圖 1-18，可推得 AC // DF，
故 AB：DE＝BC：EF ... 2
由1式、2式可知 AB：DE＝AC：DF＝BC：EF，
即對應邊成比例。
AAA 相似性質與 AA 相似性質
1
AC B
D
F E
圖 1-16
C B
D（A）
F E
圖 1-17
圖 1-18 E（B）
D
F A
C 對應能力指標 9-s-03
綜合前頁的討論可知：如圖 1-19，在△ABC 與△DEF 中，若∠A＝∠D，
∠B＝∠E，∠C＝∠F，可推得 AB：DE＝AC：DF＝BC：EF，所以△ABC∼
△DEF。
因此，
如圖，△ABC 與△A'B'C' 中，∠A＝∠A'，
∠B＝∠B' ，試說明△ABC∼△A'B'C'。
AA 相似性質
例
題1
̳ߧ
△ABC 與△A'B'C' 中，
∵∠A＝∠A'，∠B＝∠B'，
∴∠C＝180°－∠A－∠B＝180°－∠A'－∠B'＝∠C' 故△ABC∼△A'B'C'（AAA 相似）。
A
C B
D
F E
圖 1-19
A
C
B B' C'
A'
若兩個三角形的三組對應角相等，則這兩個三角形相似，
這個性質稱為 AAA 相似性質。
若兩個三角形其中兩組對應角相等，則這兩個三角形相似，
這個性質稱為 AA 相似性質。
由例題 1 可知：
搭配習作 P9 基礎題 1
如右圖，△ABC 中，PQ // BC，
△ABC 與△APQ 是否相似？為什麼？
由隨堂練習可知：若有一直線與三角形的兩邊相交，且平行於此三角 形的第三邊，則截出的小三角形與原三角形相似。
因此，
△ABC 中，P、Q 兩點分別在 AB、AC 上，
且 PQ // BC，則 AP：AB＝AQ：AC＝PQ：BC。
如圖，△ABC 中，EF // BC，且 AE＝12，
EB＝4，BC＝15，試求 EF。
相似形的應用
例
題2
在△ABC 中，
∵EF // BC
∴AE：AB＝EF：BC 12：（12＋4）＝EF：15 EF＝12×15
16 ＝45 4
也可以看成△AEF∼△ABC。
A
B C
P Q
A
E F
B C
A
E F
C B
A
A
B C
P Q
圖 1-20
∵PQ // BC
∴∠B＝∠APQ，∠C＝∠AQP 故△ABC∼△APQ（AA 相似）
搭配習作 P9 基礎題 2／P10 基礎題 3
1如圖，EF // BC，EC 與 BF 交於 A 點，
且 EF＝18，BC＝27，AE＝8，試求 AC。
2如圖，△ABC 中，∠C＝90°，DE⊥AB 於 E 點，回答下列問題：
1△ABC 與△DBE 是否相似？為什麼？
2若 CD＝1，BE＝2，BD＝3，試求 AE。
E F
B C
A
E D C
A B
∵EF // BC
∴∠F＝∠B，∠E＝∠C 故△AEF∼△ACB（AA 相似）
AE：AC＝EF：BC 8：AC＝18：27 AC＝12
1在△ABC 與△DBE 中
∵∠B＝∠B，∠ACB＝∠DEB＝90°
∴△ABC∼△DBE（AA 相似）
2∵△ABC∼△DBE ∴BD：AB＝BE：BC 3：（AE＋2）＝2：（3＋1）
AE＝4
由上面的問題探索可知：在△ABC 與△DEF 中，若∠A＝∠D，
AB：DE＝AC：DF，可推得∠ABC＝∠DEF，此時△ABC∼△DEF（AA 相似）。
因此，
SAS 相似性質
2
如下圖，△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D，AB：DE＝AC：DF，
且 AB＜DE，將∠A 與∠D 疊合，回答下列問題：
1為什麼 BC // EF？
2△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？
A
B C
D
E F E F
B C
D（A）
問 題 探 索
若兩個三角形有一組對應角相等，且夾此等角的兩組對應邊成比例，
則這兩個三角形相似，這個性質稱為 SAS 相似性質。
∵AB：DE＝AC：DF
∴BC // EF
∵BC // EF
∴∠ABC＝∠DEF 又∠A＝∠D
∴△ABC∼△DEF（AA 相似）
對應能力指標 9-s-03
如圖，△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D＝100°，AB＝2.4，AC＝1.2，
DE＝4，DF＝2，則△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？
SAS 相似性質的應用
例
題3
∵AB：DE＝2.4：4＝3：5 AC：DF＝1.2：2＝3：5
∴AB：DE＝AC：DF＝3：5 在△ABC 與△DEF 中，
∵∠A＝∠D＝100°，AB：DE＝AC：DF，
∴△ABC∼△DEF（SAS 相似）。
在△ABC 與△DEF 中，∠A＝∠D＝37°，AB＝6，AC＝5，DE＝1.5，
DF＝1.25，則△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？
B A
C 2.4
100° 1.2 F
D
E 4
2 100°
搭配習作 P10 基礎題 4
∵AB：DE＝6：1.5＝4：1 AC：DF＝5：1.25＝4：1
∴AB：DE＝AC：DF＝4：1 在△ABC 與△DEF 中
∵∠A＝∠D，AB：DE＝AC：DF
∴△ABC∼△DEF（SAS 相似）
如右圖，△ABC 中，AE＝3，EB＝5，AF＝4，
FC＝2，回答下列問題：
1△ABC 與△AFE 是否相似？為什麼？
2若 EF＝3.3，試求 BC。
SAS 相似性質的應用
例
題4
1 ∵△ABC 與△AFE 有相同的∠A，
且 AE：AC＝3：（4＋2）＝3：6＝1：2 AF：AB＝4：（3＋5）＝4：8＝1：2 ∴ AE：AC＝AF：AB＝1：2
故△ABC∼△AFE（SAS 相似）
2 ∵△ABC∼△AFE，
∴ EF
BC ＝AE AC ＝1
2 BC＝2EF＝6.6
如右圖，EC 與 BF 交於 A 點，且 AB＝10，AC＝AE＝20，AF＝40，
EF＝25.6，試求 BC。
A
F E
B C
4 5
3
2
B
E
C F
A
搭配習作 P11 基礎題 5
∵AB：AE＝10：20＝1：2 AC：AF＝20：40＝1：2
∴AB：AE＝AC：AF＝1：2 在△ABC 與△AEF 中
∵AB：AE＝AC：AF，∠BAC＝∠EAF，
∴△ABC∼△AEF（SAS 相似）
BC：EF＝AB：AE BC：25.6＝1：2 BC＝12.8
SSS 相似性質
3
如下圖，△ABC 與△DEF 中，AB＜DE，且 AB
DE＝BC
EF＝ AC DF， 回答下列問題：
1如右圖，△DEF 中，在 DE 上取 DP＝AB，
過 P 點作 PQ // EF，交 DF 於 Q 點，
△DPQ 與△DEF 是否相似？為什麼？
2由△DPQ∼△DEF 可得DP
DE＝DQ
DF＝PQ
EF，又 AB
DE ＝ BC
EF＝ AC DF， DP＝AB，試說明△ABC △DPQ。
3由△ABC △DPQ 得∠A＝∠D，又 AB
DE ＝AC
DF，則△ABC∼△DEF
是利用 相似性質。
A
B C
E F
D
F E
P Q
D
問 題 探 索
由上面的問題探索可知：在△ABC 與△DEF 中，若 AB
DE ＝BC
EF ＝AC DF， 可推得∠A＝∠D，此時△ABC∼△DEF（SAS 相似）。
因此，
若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個三角形相似，
這個性質稱為 SSS 相似性質。
∵PQ // EF
∴∠DPQ＝∠E，∠DQP＝∠F 故△DPQ∼△DEF（AA 相似）
∵DP＝AB，∴PQ＝BC，DQ＝AC 故△ABC △DPQ（SSS）
SAS
對應能力指標 9-s-03
搭配習作 P11 基礎題6
如右圖，AB＝10，AC＝8，BC＝12，BD＝15，CD＝18，
回答下列問題：
1為什麼△ABC∼△BDC？
2∠D 與△ABC 的哪個角相等？
SSS 相似性質的應用
例
題5
試勾選出與△ABC 相似的三角形。
1
□
2□
3□
1 在△ABC 與△BDC 中，
∵AC：BC＝8：12＝2：3 AB：BD＝10：15＝2：3
BC：CD＝12：18＝2：3
∴AC：BC＝AB：BD＝BC：CD 故△ABC ∼△BDC（SSS 相似）
2 ∵△ABC ∼△BDC
∴∠D＝∠ABC
A
C B
D
A
B C
1.5 1.8
1.5 1.6
2.4
2.8
2
2
1.7
2.1
7 3 5
3
可以看成：
D B
A
B C
C 10 8
15 18 12 12
L L
如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，
試說明 DE // BC，且 DE＝ 1
2 BC。
三角形兩邊中點連線性質
例
題6
̳ߧ
1 在△ABC 中，
∵D、E 分別為 AB、AC 的中點
∴AD：BD＝AE：CE＝1：1 故 DE // BC
∴AD：AB＝DE：BC
2∵△ADE∼△ABC（AA 相似），AD＝1 2 AB，
且 AD：AB＝DE：BC ∴DE＝1
2 BC
如右圖，△ABC 中，
D、E、F 分別為 AB、BC、AC 的中點，
若 AB＝10 公分，BC＝8 公分，AC＝7 公分，
1 試求 DE＋EF。
2 四邊形 DBEF 是否為平行四邊形？
A
F D
B E C
三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊，且為第三邊長的一半，
稱為三角形兩邊中點連線性質。
由例題 6 可知：
A
D
B C
E
1DE＋EF＝1
2 AC＋1
2 AB＝7
2＋5＝17
2（公分）
2∵DF // BE，BD // EF，∴四邊形 DBEF 為平行四邊形
如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，
F、G 分別為 AD、AE 的中點，
若 FG＝3 公分，試求 DE＋BC。
三角形兩邊中點連線性質的應用
例
題7
在△ADE 中，F、G 分別為 AD、AE 的中點，
∴ FG＝1 2DE 3＝1
2DE DE＝6 同理，DE＝1
2BC 6＝1
2BC BC＝12
DE＋BC＝6＋12＝18（公分）
如右圖，△ABC 中，D、E 分別為 AB、AC 的中點，
F、G 分別為 BD、CE 的中點，若 BC＝20，
試求 FG。
A F D
B C
E G
A
F D
B C
E
∵D、E 分別為 AB、AC 的中點 G
∴DE // BC，且 DE＝1
2 BC＝10
∵F、G 分別為 BD、CE 的中點，且 DE // BC
∴FG 為梯形 DECB 的中線 故 FG＝1
2×（DE＋BC）＝1
2×（10＋20）＝15
如右圖，直角三角形 ABC 中，
∠BAC＝90°，AD⊥BC 於 D，
1 試說明△ABC∼△DBA。
2 試說明 AB 2＝BD×BC。
3 若 AB＝4，BD＝2，試求 BC。
相似三角形的計算
例
題8
1在△ABC 與△DBA 中
∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B
∴△ABC∼△DBA（AA 相似）
2∵△ABC∼△DBA
∴AB：BD＝BC：AB 即 AB 2＝BD×BC 3 42＝2×BC
∴BC＝8
如右圖，直角三角形 ABC 中，
∠BAC＝90°，AD⊥BC 於 D，
1 試說明△ABC∼△DAC。
2 試說明 AC 2＝DC×BC。
3 若 AC＝6，BC＝8，試求 DC。
A
B D C
A
B D C
4
2
1在△ABC 與△DAC 中
∵∠BAC＝∠ADC，∠C＝∠C ∴△ABC∼△DAC（AA 相似）
2∵△ABC∼△DAC，∴AC：DC＝BC：AC 即 AC 2＝DC×BC
3 62＝DC×8 ∴DC＝4.5
!三角形的相似性質：
1 AAA 相似性質： 若兩個三角形的三組對應角相等，則這兩個三角形 相似。
2 AA 相似性質： 若兩個三角形其中兩組對應角相等，則這兩個三角形 相似。
3 SAS 相似性質： 若兩個三角形有一組對應角相等，且夾此等角的兩組 對應邊成比例，則這兩個三角形相似。
4 SSS 相似性質： 若兩個三角形的三組對應邊成比例，則這兩個三角形 相似。
@△ABC 中，若 PQ // BC，
則 AP：AB＝AQ：AC＝PQ：BC。
#三角形兩邊中點連線：
三角形的兩邊中點連線必平行於第三邊，且為第三邊長的一半，稱為 三角形兩邊中點連線性質。
如圖 1-22，D、E 分別為 AB、AC 中點，
則 DE // BC，且 DE＝1
2 BC。
$直角三角形 ABC 中，∠BAC＝90°，
若 AD⊥BC 於 D，
則△ABC∼△DBA，△ABC∼△DAC，
△DBA∼△DAC。
圖 1-21
圖 1-22
圖 1-23 A
P Q
B C
A
D E
B
A
C
B C
D
1勾選出與△ABC 相似的三角形：
2如右圖，△ABC 與△DEF 中，已知 BC // EF，且 BC：EF＝AC：DF，
回答下列問題：
1△ABC 與△DEF 是否相似？為什麼？
2若 AB＝14，AD＝9，DE＝21，CF＝19，試求 CD。
1-2
1
□
4
□
2
□
5
□
3
□
6
□
A B
C 20
20
20
20 30
30 16
16
12
15 18 16
24
a°
a°
a°
a°
b°
b°
c° b°
c°
A B
E
C
D F
L L
L L
∵BC // EF
∴∠BCA＝∠EFD 又 BC：EF＝AC：DF
故△ABC∼△DEF（SAS 相似）
AB：DE＝AC：DF
14：21＝（9＋CD）：（CD＋19）
CD＝11
3如右圖，L1、L2、L3 皆為直線，若 L1 // L2 // L3， 且直線 M、N 交於 A 點，GE＝2，EA＝3，
AC＝4，HA＝4，回答下列問題：
1試求 FH、AF 與 AB。
2 GE：EA：AC 與 HF：FA：AB 是否相等？
3若 EF＝ 54
25 ，試求 BC、GH。
G
E F
A
B
M N
L3 L2 L1
C H
AE：AG＝AF：AH 3：5＝AF：4 AF＝12
5 FH＝4－12
5 ＝8 5 AB：AF＝AC：AE AB：12
5 ＝4：3 AB＝16
5
∵HF：FA：AB＝8 5：12
5 ：16
5 ＝2：3：4＝GE：EA：AC
∴GE：EA：AC＝HF：FA：AB
EF：BC＝EA：AC 54
25：BC＝3：4 BC＝72
25
AE：AG＝EF：GH 3：5＝54
25：GH GH＝18
5
4如右圖，△ABC 中，F、G 分別為 AB、AC 的中點，
D、E 分別為 AF、AG 的中點，若 BC＝16，
試求 DE。
5如右圖，△ABC 中，∠BAC＝90°，
且 AD⊥BC 於 D，若 AC＝x－2，
DC＝x－4，BD＝5，試求 AC 。
1 3 相似三角形的應用
A D F
B C
G E
D C B
A
FG＝1
2 BC＝8 DE＝1
2 FG＝4
在△ABC 與△DAC 中
∵∠BAC＝∠ADC＝90°，∠C＝∠C
∴△ABC∼△DAC（AA 相似）
故 AC：DC＝BC：AC AC 2＝DC×BC
（x－2）2＝（x－4）（x＋1）
x2－4x＋4＝x2－3x－4 x＝8
∴AC＝x－2＝6
