1-3 空間向量的內積

Ch1 空間向量

1-3 空間向量的內積

製作老師：趙益男 / 基隆女中教師

發行公司：龍騰文化事業股份有限公司

課本頁次： 30

甲、空間向量的內積



x

y z





設

 





為空間中的兩個不平行非零的向量﹐且其夾角為



O

課本頁次： 30

甲、空間向量的內積



x

y z





2 2 2

2 cos

AB  OA OB  OAOB  OAB

在三角形 中

﹐

2 2 2

2 | | | | cos

OA OB b

AB   





2 2 2

2 | a | | b | cos OA OB AB







課本頁次： 30

甲、空間向量的內積



x

y z





2 2 2

2 |





2 2 2

1 2 3

2

2 2 2

1

2 2

1 1

3 3 3

2 (( ) ( 2 2) ( ) )

a a a b b b a b a b a b

           

1 1 2 2 3 3

2(a b a b a b )

  

課本頁次： 30

甲、空間向量的內積

2 2 2

2 |

 

2 2 2

1 2 3

2

2 2 2

1

2 2

1 1

3 3 3

2 (( ) ( 2 2) ( ) )

a a a b b b a b a b a b

           

1 1 2 2 3 3

2(a b a b a b )

  

1 1 2 2 3 3

2(a b a b a b )

  

2 |

2

 

 

1 1 2 2 3 3

a b  a b  a b  a b

 

∴

∵

課本頁次： 31

1 2 3 1 2 3

( , , ), ( , , ) a  a a a b  b b b

 

空間中﹐兩個向量, 的內積

1 1 2 2 3 3 . a b  a b  a b  a b

 

空間向量內積的坐標表示

a b 為

 

課本頁次： 31

| || | cos a  b  a



   _{ a}

_b

_{ a}

_b

_{ a}

_b

所以

1

1 2 3

2 2 2

1 2

2 3

2 2 2

1 2 3

3

cos

| |

.

| |

b b b

b

b

a a a

a

a a b

b

a a b

 ^{  }

  



 

  



因為

甲、空間向量的內積

都是非零向量﹐且其夾角為



當 與





課本頁次： 31

(1)





(2) 設







已知





2 2 2 2 2 2

c 3

1 ( 2) ( 1) 1 1 2

| | s

| o

| a

a

b b

  

 

   

 



 

 

∴

例 1

(1)









解：

6

3 1

6 2

   

課本頁次： 32

已知 A(1,2,1), B(3,5,2), C(6,–1,0) 為空間中三 點﹐

(2) ∠BAC (1) _AB





(1) ^AB











AC





 



A





   

5 3 3 10 9 1 0

2 1 1

            (2) _{cos 0}

| || | AC AB

AB BAC

AC

 



 

 ^∴

練 1

求

解： ^









  

課本頁次： 32

右圖是一個 AB  AE 1, ^{AD  2} 的長方體﹐ 且兩對角線 _AG與 _CE相交於 P 點 .

CPG



^{cos }

1

PC

 

PG

 

例 2

設 解：

﹐

﹐

cos

| || | P PG P

C PC G

  ^



  

| || | AG

A

EC C G E

 



  

1 12 2

1 21

| || 2 |

AG A

E G

C EC

 

   

(1, 2,1) (1, 2,1)

| ||

(1, 2, 1) (1, 2, 1) |

  



課本頁次： 32

右圖是一個 AB  AE 1, ^{AD  2} 的長方體﹐ 且兩對角線 _AG與 _CE相交於 P 點 .

CPG



^{cos }

1

PC

 

PG

 

例 2

設 解：

﹐

﹐

cos

| || | E AG A

C EC G

  ^



  

(1, 2,1)

| ||

(1, 2, 1) (1, 2, 1) |

  



∵

2 2 2 2 2 2

( ) 4

1 2 1

1 2 1

1 2

( ) 6 3

2 1

1 2 1

    

  

    



課本頁次： 32

x

y z

(1,1,0 )

(0,1,1) (0,0,1)





CE





_

_

cos

| || | C

CE C

H CH E

  ^



  

     

   

 

1 1 1

1

1 0 1

0 1

1 1 1

    

 



 

  

 





6 2

6 3

 

右圖是一個邊長為 1 的正立方體﹒

∠ECH = ﹐ 求

練 2

解： ﹐

cos 



cos

| || | P PQ P

K PK QPK

Q

 



 



課本頁次： 33

求 QPK 的值

例 3

(0,1,1) PQ



2 2 2 2 2 2

0 1 1

0 1

( ) ( )

( ) ( 0 1

)

1 1 1

1

1 1

 

 

    

 

   

∴ QPK = 90°

,

FB FG

x

y z

P(2,0,1)

Q(2,1,2) K(1,1,0)

右圖是一個邊長為 2 的正立方體﹐

P﹐Q 分別為 的中點﹐

K 為正方形 ABCD 的中心﹐

解： ^,PK



F G

B

課本頁次： 33

右圖是一個邊長為 2 的正立方體﹐ M 為

x

y z

(1,1,0) (2,2,2 )

(2,0,0)





AM



| || | A AM A

B AB MAB

M

 



 



         

     

   

1 0 1 2 2 2

0 2

1 2

1 2

    

 

 



  

       

6 3

6 2 2 2

 



∴

練 3

底面正方形的中心﹐求∠ MAB 的值 解： ^{, AB}







課本頁次： 33

1 2 3 1 2 3

( , , ), ( , , ) a  a a a b  b b b

 

設

若 ﹐ 則

a  b

 

1 1 2 2 3 3 0

a b  a b  a b  ﹔反之亦成立﹒

空間中兩向量垂直的判定

註

：

0 a b

a  b 

 

 

課本頁次： 34

(3, 2 1, ),

b  

 _

設向量



(1) 若

 

 (2,1, 6 )(5, 2, s)  0



2     5 1 2 (  6 )   s 0

12 6 s  0

2 s 



∴

例 4

(1)

∵ 



解：

課本頁次： 34

(2) 若₍



 

例 4

解：

(3, 2, 1) 3

(2,1, 6) (2 ,1 2 , 6 )

t t

a 





(3, 2, 1

(2 3 ,1 2 , 6 t  t   t)  )  0



(2 3 ) 3 (1 2 ) 2 ( 6 t    t       t) ( 1) 0,

 14 14 t  0

∴

(2)

(

  

(3, 2 1, ),

b  

 _

設向量



∵



課本頁次： 34

練 4

解：

﹐

∵

90

BAC  





 





 



設 A 點的坐標為 (a,0,0)



 



AB





∴ A 點的坐標為 (2,0,0) 或 (5,0,0) 若



90 0

BAC AB AC AB AC

   

 

 

2 7 10 0 ( 2)( 5) 0 2 5

a  a    a  a     或 a



課本頁次： 34

乙、柯西不等式



^

空間中兩個向量 與 可以在同一平面上討論﹐

a b  a b

   

所以平面上的結論在空間中依然適用

且等號成立於

 







課本頁次： 35

用坐標表示 ﹐ ^{1 1 1 2 2 2}

( , , ), ( , , ) a  x y z b  x y z

 

代入柯西不等式﹐得

2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2 .

x x  y y  z z  x  y  z  x  y  z

兩邊平方﹐得

2 2 2 2 2 2

2

1 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2 2

(x x  y y  z z )  (x  y  z )(x  y  z ) .

這個不等式也稱為柯西不等式﹒

乙、柯西不等式

課本頁次： 35

對於任意實數 x x y y z z^{1, , ,2 1 2, ,1 2}﹐ 不等式

2 2 2 2 2 2 2

1 1 1 2 2 2 1 2 1 2 1 2

(x  y  z )(x  y  z ) ( x x  y y  z z )

恆成立﹐且等號成立於兩向量 ( , , )x y z_{1 1 1} 與 ( , , )x y z_{2 2 2}

當 x y z_{2 2 2}  0 時﹐ ^{1 1 1}

2 2 2

x y z

x  y  z

表示兩向量 ( , , )x y z_{1 1 1 與} ( , , )x y z_{2 2 2} 平行﹒

乙、柯西不等式

平行或至少其一為



課本頁次： 35

的最小值﹐並求此時 x, y 與 z 的值﹒

設實數 x,y,z 滿足 x + 4y + 2z = 9﹐求 x²  4y²  z²

2 (2 2 2)

(x  y)  z

2 4 2 2) 9 92

(x  y  z   ^{x2  4y2  z2  9} 當 1 2 2

2 t

x  y  z 即 x t y t z ,  ,  2t 時等號才成立 代入 x + 4y + 2z = 9﹐

得 ^{9t  9}



t  1

∴

例 5

解： ₍ 12  22  22 _{) ( x  4y  2z)}²

 

課本頁次： 35

2 2 2

(x  y  z )

2 2 2) 3 32

(x  y  z   ^{x2  y2  z2  3} 當 1 1 1

y t

x   z

 即 x t y ,  t z t,  時等號才成立 代入 x − y + z = 3﹐ 得

^{3t  3}



t  1

∴

練 5

解： ₍ 12  ( 1) 2 12 _{) ( x y z  )}²

 

的最小值﹐並求此時 x, y 與 z 的值﹒

設實數 x,y,z 滿足 x − y + z = 3﹐求 x²  y²  z²

課本頁次： 36

的最大值與最小值﹐並分別求有最大值與 設實數 x,y,z 滿足^{x2  4y2 9z2  3,} 求 ^{x  2y  3z}

最小值時 x, y 與 z 的 值﹒

例 6

解： _(x² _{ (2 )y} ² _{ (3 )z} ²₎ 2 2

3 ( )

3  x  y  3z ^{3  x 2y  3z  3} 當 1 1 1

2y 3 x   z  t

 , ,

2 3

t t

x t y   z 

即 時等號才成立

代入 x² + 4y² + 9z² = 3﹐ 得

^{3t2  3}



t   1

∴

1 1

1, ,

2 3

x  y   z  時﹐ x  2y  3z 有最大值 3 ( 1²  ( 1) ² 1² ) ( x  2y  3z)²

 

當 t =1 時

課本頁次： 36

的最大值與最小值﹐並分別求有最大值與 設實數 x,y,z 滿足^{x2  4y2 9z2  3,} 求 ^{x  2y  3z}

最小值時 x, y 與 z 的 值﹒

例 6

解： _(x² _{ (2 )y} ² _{ (3 )z} ²₎ 2 2

3 ( )

3  x  y  3z ^{3  x 2y  3z  3} 當 1 1 1

2y 3 x   z  t

 , ,

2 3

t t

x t y   z 

即 時等號才成立

代入 x² + 4y² + 9z² = 3﹐ 得

^{3t2  3}



t   1

( 1²  ( 1) ² 1² ) ( x  2y  3z)²

 

1 1

1, ,

2 3

x   y  z   時﹐ x  2y  3z 有最小值 − 3

∴

課本頁次： 36

的最大值與最小值﹐並分別求有最大值與 設實數 x,y,z 滿足^{x2  4y2  4z2  9,} 求 ^{x  4y  4z}

最小值時 x, y 與 z 的 值﹒

練 6

解： _(x² _{ (2 )y} ² _{ (2 )z} ²₎ 4 2

9 ( )

9  x  y  4z ^{9  x 4y  4z  9} 當 1 2 2

2 2

x  y  z  t

 即 x t y t z ,  ,  t 時等號才成立 代入 x² + 4y² + 4z² = 9﹐ 得

^{9t2  9}



t   1

∴

1, 1, 1

x  y  z   時﹐ x  4y  4z 有最大值 9 ( 1²  2²  ( 2) ²) ( x  4y  4z)²

 

當 t =1 時

課本頁次： 36

的最大值與最小值﹐並分別求有最大值與 設實數 x,y,z 滿足^{x2  4y2  4z2  9,} 求 ^{x  4y  4z}

最小值時 x, y 與 z 的 值﹒

練 6

解： _(x² _{ (2 )y} ² _{ (2 )z} ²₎ 4 2

9 ( )

9  x  y  4z ^{9  x 4y  4z  9} 當 1 2 2

2 2

x  y  z  t

 即 x t y t z ,  ,  t 時等號才成立 代入 x² + 4y² + 4z² = 9﹐ 得

^{9t2  9}



t   1

∴

1, 1, 1

x   y   z  時﹐ x  4y  4z 有最小值− 9 ( 1²  2²  ( 2) ²) ( x  4y  4z)²

 

當 t = − 1 時

x² y²

z²

課本頁次： 37

如右圖﹐由周長 12 之三角形的三邊分別向外作正 形的面積和有最小值？又其值是多少？

方形﹒問：當三角形為何種三角形時﹐三個正方

設三角形三邊長為 x,y,z

2 2 2

x  y  z 三個正方形面積和為

12 x y z  



x y

z

例 7

解：

2 2 2

(x  y  z )

2 2 2 2

2 4

3 8

x  y  z  1 

( 1²  1² 1² ) ( x y z  )²



當 1x 1y 1z t

   即 x t y t z t ,  ,  時等號成立 代入 x + y + z = 12﹐

得 ^{3t 12}



t  4

x² y²

z²

課本頁次： 37

如右圖﹐由周長 12 之三角形的三邊分別向外作正 形的面積和有最小值？又其值是多少？

方形﹒問：當三角形為何種三角形時﹐三個正方

x y

z

例 7

解：

當 1x 1y 1z t

   即 x t y t z t ,  ,  時等號成立 代入 x + y + z = 12﹐

得 ^{3t 12}



t  4

即

4 x   y z

故當三角形為正三角形時﹐

三個正方形的面積和有最小值 48

課本頁次： 37

設三圓的半徑為 x,y,z,

設圓 C 的直徑 ﹐現將直徑 分成

與 三段﹐並分別以此三段為 直徑作圓﹐

12

AB  AB

,

AP PQ QB

練 7

解：

如圖所示﹐求此三圓面積和的最小值﹒

2 2 2

(x  y  z ) 三圓面積和為

12 6 x y z   2 



2 2 2

(x  y  z )

2 2 2 62

3 12 x  y  z  

( 1²  1² 1² ) ( x y z  )²



當 1x 1y 1z t

   即 x t y t z t ,  ,  時等號成立 代入 x + y + z = 6﹐ 得

^{3t  6}



t  2

課本頁次： 37

設圓 C 的直徑 ﹐現將直徑 分成

與 三段﹐並分別以此三段為 直徑作圓﹐

12

AB  AB

,

AP PQ QB

練 7

解：

如圖所示﹐求此三圓面積和的最小值﹒ 當 1x   1y 1z t 即 x t y t z t ,  ,  時等號成立

代入 x + y + z = 6﹐ 得

^{3t  6}



t  2

即

2 x y z  

故當三圓半徑相等﹐都等於 2 時﹐

三圓面積和的最小值為 12π

課本頁次： 38

丙、正射影



 

設 ﹐



a 在

 







(1)





a  c  b

  

(2)

2

( )

| | a b b

b

c  



 

 

(3)







 

( 夾角為銳角 )

課本頁次： 38

丙、正射影



 

設 ﹐



 



a  c  b

   



仿照平面向量

(1)

有以下性質﹕

//

c b

 

(2)

2

( )

| | a b b

b

c  



 

 

(3)



0 c 

  

a  c

 

( 夾角為直角 )

課本頁次： 38

丙、正射影



 

設 ﹐



 



a  c  b

   



仿照平面向量

(1)

有以下性質﹕

//

c b

 

(2)

2

( )

| | a b b

b

c  



 

 

(3)







a  c

 

( 夾角為鈍角 )

課本頁次： 38

,

已知









上的正射影及正射影的長﹒

例 8

解： 設 在







(1)



2

( )

| | a b

b b



   

( )

9 b

 









課本頁次： 38

,

已知









上的正射影及正射影的長﹒

練 8

解： 設 在







(1)



2

( )

| | a b

b b



   

( )

6 b

  



 

(2) 正射影的長為 _|



課本頁次： 39

設 L₃ 是 E 上通過 P 點﹐且與 L₁, L₂ 相異的任意直 線

空間中﹐若直線 L 與平面 E 上兩條相異直線 L₁ 與 L均垂直於 P₂ 點﹐則 L 與 E 垂直﹒

證：

丙、正射影

欲證 L 與 L₃ 垂 直

E

課本頁次： 39

空間中﹐若直線 L 與平面 E 上兩條相異直線 L₁ 與 L均垂直於 P₂ 點﹐則 L 與 E 垂直﹒

證： 在 L₁, L₂, L₃ 與 L 上﹐以 P 為起點﹐分別取一個

L₂ L₁

L₃ P a

b

c n

L

丙、正射影

非零向量

 





  

0 0 a

b

n n

  



  



   