之等比數列的前 6 項的和

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單元 2 級數 (series) 一年____班 座號：____ 姓名：

重點 1：級數(series)

1.定義：將數列a1，a₂，a₃，…，a_n的各項依序用「＋」加號連結起來，形如a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n，稱為級數，

其中a1稱為此級數的首項(第一項)，…，a_n稱為此級數的第 n 項(有限級數的末項) 2.表示法：

一般以S_n表示級數的前 n 項和(或稱前 n 項的部分和)，即Sn＝a1＋a₂＋a₃＋…＋a _n

註：有限級數表示為Sn＝a1＋a₂＋a₃＋…＋a (_n a1稱為首項(第一項)，a_n稱為第 n 項(末項)) 無限級數表示為 S ＝a1＋a₂＋a₃＋…＋a_n＋… (a1稱為首項(第一項)，a_n稱為第 n 項)

例 1.1：試寫出數列 n² 所形成的級數，並求此級數的前 5 項和

重點 2：等差級數(arithmetic series)

1.定義：若數列 an ：a1，a₂，a₃，…，a_n為等差數列等差數列等差數列，則等差數列 S_n＝a1＋a₂＋a₃＋…＋a_n稱為等差級數等差級數等差級數等差級數的前 n 項和 2.數學表示：

設等差數列 an 的首數為a1，公差為 d

⇒數列 an ：a₁，a₁＋d，a1＋2d，……，a1＋(n－1)d

⇒級數Sn＝a1＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝a1＋(a1＋d )＋(a1＋2d )＋…＋[a1＋(n－1)d ] 3.等差級數前 n 項和公式公式公式：公式 S_n＝ ( ¹ )

2 n a +an

＝ (2 ¹ ( 1) ) 2

n a + −n d

4.若 a，b，c 成等差數列，則 b 為其等差中項(算數中項)，且 b＝

2 c a+

，又 a＋b＋c＝3b 若 a，b，c，d，e 成等差數列，則 c 為其等差中項，且 c＝

2 d b+

＝ 2 e a+

，又 a＋b＋c＋d＋e＝5c

例 2.1：求等差級數 3＋7＋…＋47 的和

例 2.2：求首項 24，前 7 項和為 105 的等差數列的公差

例 2.3：已知 an 為等差數列且a13＝11，試求：

(1)a ＋₁ a₂₅之值 (2)前 25 項的和

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例 2.4：古代陣法中，「魚鱗陣」的將領位於陣形的正後方，士兵依右圖排列：第 1 列有 1 人、

第 2 列有 3 人、第 3 列有 5 人、…，以此類推。則：

(1)求前 10 列的士兵總人數 (2)求前 n 列的士兵總人數

重點 3：等比級數(geometric series)

1.定義：若數列 an ：a₁，a₂，a₃，…，a_n為等比數列，則S_n＝a1＋a₂＋a₃＋…＋a_n稱為等比級數等比級數等比級數等比級數的前 n 項和 2.數學表示：

設等比數列〈an〉的首數為a1≠^{0，公比為 r}≠⁰

⇒數列 an ：a1，a r，1 a1r ，……，² a¹rⁿ⁻¹

⇒級數Sn＝a1＋a₂＋a₃＋…＋a_n＝a1＋a r＋1 a1r ＋……＋² a¹rⁿ⁻¹

3.等比級數求和公式公式公式：公式 S_n＝







− ≠

−

= 時 當

時 當

1 1 ,

) 1 (

1 ,

1 1

r r r a

r na

n ( 註：

r r

a ⁿ

−

− 1

) 1

1( ＝

1 ) 1

1(

−

− r

r a ⁿ

)

4.若 a，b，c 成等比數列，則 b 稱為其等比中項等比中項等比中項等比中項(幾何中項幾何中項幾何中項)，且幾何中項 b ＝ac ² 例 3.1：試求

首項 3，公比

之等比數列的前 6 項的和

例 3.2：求等比級數 3＋6＋…＋384 的和

例 3.3：已知 a_n 等比數列，且a₂＝6，a₄＝54，求此等比數列前 5 項的和

將

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例 3.4：右圖中，已知∠A＝45°， AB ＝1，T₁，T₂，T ，…都是正方形，求前 6 個正方形的面積總和 ₃

重點 4：由部分和反求數列中的一般項(第 n 項a_n)

1.意義：已知數列 a_n 之前 n 項和的通式S ，可求得一般項第 n 項的通式_n a _n 2.設數列 a_n 之前 n 項和為S ，則： _n

(1)首項 a₁＝S₁ (2)當 n ≥ 2 時，第 n 項a ＝_n S －_n S_n−1 3.前 n 項和S 之性質： _n

(1)設S ，_n S_2n，S_3n分別表示一等差數列等差數列等差數列前 n 項、前 2n 項及前 3n 項的和，則 S等差數列 _n，S_2n－S_n，S_3n－S_2n成等差數列等差數列等差數列等差數列 (2)設S ，_n S_2n，S_3n分別表示一等比數列等比數列等比數列前 n 項、前 2n 項及前 3n 項的和，則 S等比數列 n，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列等比數列等比數列等比數列 例 4.1：已知數列 a_n 之前 n 項和S ＝_n 3 －1，試求： ⁿ

(1)首項 a1的值 (2) a3的值 (3)一般項a 的公式 _n

重點 5：常用級數的和公式 公式一：1＋2＋3＋…＋n＝

1 n

k

k

∑

2 n n+

= 公式二：1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ ²

1 n

k

k

∑

6 n n+ n+

= (平方和的級數公式)

公式三：1³＋2³＋3³＋…＋n³＝ ³

1 n

k

k

∑

2 n n+

 

= 

  (立方和的級數公式) 註：利用Σ的級數求和運算，另專節討論

推演公式：(1) 1×2＋2×3＋…＋n(n＋1)＝

3 ) 2 )(

1 (n+ n+ n

(2) 1×2×3＋2×3×4＋…＋n(n＋1)(n＋2)＝

4

) 3 )(

2 )(

1

(n+ n+ n+ n

例 5.1：利用數學歸納法證明：對於所有的正整數 n，級數和 1²＋2²＋3²＋…＋n²＝ ( 1)(2 1) 6 n n+ n+

= 恆成立

T1

T2

A B

45°

1

…

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例 5.2：利用級數求和公式，計算下列各級數：

(1) 1²＋2²＋3²＋…＋20² (2) 11²＋12²＋13²＋…＋20²

例 5.3：利用級數求和公式，計算下列各級數：

(1) 2²＋4²＋6²＋…＋20² (2) 1²＋3²＋5²＋…＋19²

例 5.4：右圖為使用高腳杯堆疊而成的香檳塔，最頂層有 1 個杯子，往下的每一層都排成正方形，

第 2 層每邊有 2 杯，第 3 層每邊有 3 杯，…，以此類推。試問：仿照上面的方式，

堆成 12 層高的香檳塔，需要準備多少個高腳杯？