矩形平板於流固耦合問題的振動特性與暫態波傳之理論分析、數值計算與實驗量測

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doi:10.6342/NTU201800613

國立臺灣大學工學院機械工程學系博士論文

Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Taiwan University Doctoral Dissertation

矩形平板於流固耦合問題的振動特性與暫態波傳之理論分析、數值計算與實驗量測

Theoretical Analysis, Numerical Calculation and Experimental Measurement on Vibration Characteristic

and Transient Wave Propagation of Rectangular Plate Coupled with Fluid

廖展誼 Chan-Yi Liao

指導教授：馬劍清博士 Advisor: Chien-Ching Ma, Ph.D.

中華民國 107 年 2 月

February, 2018

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I

摘要

本文探討等向性矩形平板在空氣中與流體中的動態特性，結合理論解析、實驗量測和有限元素模擬，分析平板耦合流體之自由振動特性，以及平板在空氣中和流場中受動態外力加載而產生的暫態波傳行為。

理論解析首先確認疊加法分析各種邊界條件的矩形平板振動特性相較於 Rayleigh-Ritz method 具有較良好的準確性，尤其是存在自由邊界的矩形板振動問題，因此選擇以疊加法所求出的平板共振頻率和模態形狀做為流固耦合振動分析的推導基礎。

流固耦合振動分析以空氣中平板之模態形狀作為基底函數，將流場中平板面外變形視為空氣中模態形狀的線性疊加，此概念可以運用於分析平板單側局部接觸流體和平板完全浸泡在有限域流場中的振動特性。藉由求解聲波方程式獲得流體速度勢函數用於描述流體壓力和速度，以力平衡機制結合流體壓力和平板面外位移，建構出流固耦合系統的頻響函數後可求出流固耦合系統的共振頻率、模態形狀和流體壓力。實驗量測使用電子班點干涉術 AF-ESPI 和壓電薄膜感測器 PVDF，

量測水下平板的共振頻率以及拍攝水下平板的全場模態形狀。理論計算皆符合實驗量測和有限元素模擬結果，而結果顯示平板耦合流體後共振頻率和模態形狀都會出現變化，而且流體的水深、邊界和流體壓縮性都會對於平板振動特性產生影響。

暫態波傳分析運用模態展開法的概念，以模態形狀和時間函數建構平板的暫態位移，此解析解可用於分析平板承受任何形式動態外力所產生的暫態行為，例如位移、速度、加速度和應變等。實驗設計一組 PVDF 壓電薄膜感測器量測真實鋼珠撞擊的波源歷時，輸入至理論解析和有限元素模擬中，並且和實驗量測結果比較，

探討動態外力與觀察點位置對於平板暫態行為之影響。本文亦提出從實驗訊號中獲取真實阻尼比的方法，進一步修正理論解析解，提升理論分析平板暫態行為的適用範圍。此理論解也可運用其物理意義從實驗暫態訊號中反求平板上外力作用的撞擊點位置。

本文最後探討平板耦合流體之暫態波傳行為，理論解析以流固耦合振動分析所得的流場中平板模態形狀以及流體壓力以模態展開法的概念代入平板統域方程

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II

式中，藉由指數矩陣求解聯立微分程式，獲得流場中平板受動態外力作用的暫態位移和暫態速度。流場中平板暫態位移和速度的理論計算皆符合有限元素模擬結果，

此理論解析方法可以從物理意義層面探討流場水深的變化對於平板暫態波傳行為的影響。

關鍵字: 流固耦合、等向性平板、疊加法、模態展開法、振動、暫態波傳、電子班點干涉術

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III

Abstract

This study investigates the dynamic characteristics of a thin rectangular plate in air and coupled with fluid by theoretical analysis, experimental measurements, and finite element calculation. The dynamic characteristics involve the vibration properties and the transient behaviors of plate.

In this study, the resonant frequencies and mode shapes of the rectangular plate is determined by the superposition method. The results are compared with the results obtained by the Rayleigh-Ritz method. It is shown that the superposition method can fully satisfy the governing equation and the free edge boundary conditions, and give even more accurate result than Rayleigh-Ritz method. The mode shapes of plate in air obtained by superposition method can then be used as the fundamental function to construct the mode shapes of the plate coupled with fluid. The behavior of the compressible fluid induced by the deformation of the plate is obtained from a three-dimensional acoustic equation. The frequency response equation is derived from the hydrostatic equilibrium between the fluid and plate. Solving the frequency response equation makes it possible to obtain the vibrational properties of the fluid-plate system, such as resonant frequencies, wet mode shapes, and pressure of the fluid. Two experimental methods were employed to measure the vibration characteristics of the thin plate immersed in water. Polyvinylidene difluoride (PVDF) measures resonant frequencies of the fluid-plate system. Amplitude-fluctuation electronic speckle pattern interferometry (AF-ESPI) was used to measure clear mode shapes of the plate in the fluid. Comparison of the results from theoretical analysis, finite element method, and experimental measurements confirmed the accuracy of our theoretical analysis.

This study employed theoretical analysis and experimental measurements in an exploration of the transient behavior of a cantilever plate subjected to impact loading.

Theoretical derivation has established that displacement is a product of the time and space

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functions (mode shapes). The superposition method was used to obtain the mode shapes and resonant frequencies of free vibrations, while the orthogonality of the mode function was used to solve the time function. The variation of the applied external force with regard to time, i.e. force history, was measured experimentally by attaching PVDF sensors. More importantly, it was taken into consideration in our theoretical analysis to determine the transient responses, including displacement and strain. Our results obtained in the theoretical analysis are highly consistent with experimental measurements. This is a clear demonstration of the effectiveness of pairing theoretical analysis with experimentally measured force histories in the representation of transient behavior of a cantilever plate.

Based on the vibrational characteristics of a fluid-plate system, a theoretical method is developed to investigate its transient behavior. The simultaneous equations are constructed by the normal-mode expansion. The transient displacement and velocity of the plate coupled with water can be obtained by solving the simultaneous equations.

Keywords : normal mode expansion, fluid-structure interaction, vibration, wave propagation, ESPI

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V

表目錄

表 2-1 PVDF 薄膜之材料常數 ... 21 表 3-1 PVDF、AF-ESPI、FEM、疊加法和梁函數法所得之全固定板共振頻率比較

... 65 表 3-2 有限元素法、疊加法和梁函數法計算全固定板(CCCC)之共振頻率比較.... 66 表 3-3 有限元素法、疊加法和梁函數法計算全自由板(FFFF)之共振頻率比較 ... 67 表 3-4 有限元素法、疊加法和梁函數法計算懸臂板(CFFF)之共振頻率比較 ... 68 表 3-5 不同長寬比全固定板第一共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較

... 69 表 3-6 不同長寬比全固定板第二共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較

... 69 表 3-7 不同長寬比全固定板第三共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較

... 70 表 3-8 不同長寬比全自由板第一共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較

... 70 表 3-9 不同長寬比全自由板第二共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較

... 71 表 3-10 不同長寬比全自由板第三共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較

... 71 表 3-11 不同長寬比懸臂板第一共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較 72 表 3-12 不同長寬比懸臂板第二共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較 72 表 3-13 不同長寬比懸臂板第三共振頻率之有限元素法、疊加法和梁函數法比較 73 表 4-1 空氣中全固定板前十個共振頻率之有限元素模擬、理論計算和實驗結果 153 表 4-2 全固定板單側耦合 10mm 水深的前十個共振頻率之有限元素模擬、理論計

算和實驗結果 ... 154 表 4-3 全固定板單側耦合 20mm 水深的前十個共振頻率之有限元素模擬、理論計

算和實驗結果 ... 155

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X

表 4-4 全固定板單側耦合 30mm 水深的前十個共振頻率之有限元素模擬、理論計

算和實驗結果 ... 156

表 4-5 全固定板單側耦合 40mm 水深的前十個共振頻率之有限元素模擬、理論計算和實驗結果 ... 157

表 4-6 全固定板單側耦合不可壓縮開放流場之前十水下模態貢獻係數C_i ... 158

表 4-7 全固定板單側耦合不可壓縮封閉流場之前十水下模態貢獻係數C_i ... 159

表 4-8 全固定板單側耦合開放流場之可壓縮流與不可壓縮流比較的共振頻率比較 ... 160

表 4-9 全固定板單側耦合封閉流場之可壓縮流與不可壓縮流比較的共振頻率比較 ... 161

表 4-10 全固定板單側耦合可壓縮開放流場之前十水下模態貢獻係數C_i ... 162

表 4-11 全固定板單側耦合可壓縮封閉流場之前十水下模態貢獻係數C_i ... 163

表 5-1 全自由平板於空氣中的前九個共振頻率 ... 223

表 5-2 全自由板浸泡在水中的前九個共振頻率 ... 224

表 5-3 懸臂梁於空氣中之前八個共振頻率 ... 225

表 5-4 懸臂梁進泡於水中之前八個共振頻率 ... 226

表 5-5 懸臂板置於封閉腔體流場中的前十共振頻率結果比較 ... 227

表 5-6 懸臂板浸泡於流場中之前十個水下模態之貢獻係數

C

_i ... 228

表 6-1 振動分析與暫態訊號經傅立葉轉換截取之共振頻率比較 ... 295

表 6-2 曲線擬合 STFT 圖所截取之前十模態阻尼比 ... 296

表 6-3 撞擊點



80 mm,15 mm



和



80 mm, 45 mm



在觀察點



^{60 mm,5 mm}



^上的暫態位移之前六個共振模態的貢獻強度和相位 ... 296

表 7-1 全固定板在空氣中、水深H 10 mm、 20 mm 、 30 mm 和 40 mm 之前十五共振頻率 ... 399

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XI

圖目錄

圖 1-1 理論推導之整體架構 ... 11

圖 2-1 AF-ESPI 面外量測系統之光路與系統架設圖 ... 22

圖 2-2 對應光強度的零階 Bessel 函數量值大小與面外位移之關係 ... 22

圖 2-3 PVDF 薄膜感測器黏貼於待測物表面上 ... 23

圖 2-4 PVDF 感測器連結電荷放大器之電路圖 ... 23

圖 2-5 光纖位移計感測原理示意圖 ... 24

圖 2-6 光纖位移計校正曲線 ... 24

圖 3-1 矩形薄板示意圖 ... 74

圖 3-2 薄板自由體元素受力圖 ... 74

圖 3-3(a)薄板側邊扭矩示意圖 (b)薄板側邊扭矩等效剪力示意圖 ... 75

圖 3-4 全固定矩形薄板之邊界條件 ... 75

圖 3-5 全固定邊界平板等效的四個結構區塊 ... 76

圖 3-6 特徵矩陣表示圖 ... 76

圖 3-7 全自由矩形薄板邊界條件示意圖 ... 77

圖 3-8 單邊固定懸臂矩形薄板邊界條件示意圖 ... 77

圖 3-9 使用梁模態形狀建構矩形薄板面外變形之示意圖 ... 78

圖 3-10 全固定矩形板系統 ... 78

圖 3-11 PVDF 感測器系統架設示意圖 ... 79

圖 3-12 (a) 使用 PVDF 感測器截取之暫態訊號 (b) PVDF 感測器截取之頻域訊號 ... 79

圖 3-13 壓電纖維複合材料 PFC 黏貼於薄板之示意圖 ... 80

圖 3-14 FEM、疊加法、梁函數法與 AF-ESPI 所得之全固定板模態形狀 ... 81

圖 3-15 全固定板位移模態形狀之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 83

圖 3-16 全自由板位移模態形狀之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 87

圖 3-17 懸臂板面外位移模態形狀之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 91

圖 3-18 全固定板振動應變場₁₁之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 95

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XII

圖 3-19 全固定板振動應變場₂₂之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 99

圖 3-20 全自由板振動應變場₁₁之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 103

圖 3-21 全自由板振動應變場₂₂之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 107

圖 3-22 懸臂板振動應變場₁₁之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 111

圖 3-23 懸臂板振動應變場₂₂之 FEM、疊加法與梁函數法結果 ... 115

圖 4-1 矩形平板單側接觸流體之系統示意圖 ... 164

圖 4-2 水箱固定矩形平板系統 ... 164

圖 4-3 壓電薄膜 PVDF 量測水下平板共振頻率之實驗架設示意圖 ... 165

圖 4-4 全固定板於空氣中和單側接觸水(10mm、20mm、30mm、40mm)之時域訊號 ... 166

圖 4-5 全固定板於空氣中和單側接觸水(10mm、20mm、30mm、40mm)之頻域訊號 ... 167

圖 4-6 電子斑點干涉術(AF-ESPI)量測水下平板之實驗架設 ... 168

圖 4-7 空氣中全固定板的前十個模態形狀之 COMSOL 模擬、疊加法、梁函數法和 AF-ESPI 量測結果 ... 169

圖 4-8 全固定板單側耦合 10mm 水深的前十個模態形狀之 COMSOL 模擬、疊加法、梁函數法和 AF-ESPI 量測結果 ... 171

圖 4-12 全固定板單側耦合 40mm 水深之前十模態的流場壓力之 COMSOL 模擬和理論疊加法結果 ... 179

圖 4-13 全固定板在空氣中、不可壓縮開放流場和不可壓縮流封閉流場之共振頻率、模態形狀和模態形狀扭曲參數 ... 181 圖 4-14 懸臂板在空氣中、不可壓縮開放流場和不可壓縮流封閉流場之共振頻率、

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XIII

模態形狀和模態形狀扭曲參數 ... 184

圖 4-15 全固定板單側耦合不同水深之開放流場的前五個共振頻率 ... 187

圖 4-16 全固定板單側耦合不同水深之封閉流場的前五個共振頻率 ... 187

圖 4-17 全固定板單側耦合開放流場之可壓縮流與不可壓縮流比較 ... 188

圖 4-18 全固定板單側耦合封閉流場之可壓縮流與不可壓縮流比較 ... 192

圖 4-19 全固定板單側耦合開放流場在不同聲速之共振頻率與模態形狀 ... 196

圖 5-1 平板浸泡於流場之系統示意圖 ... 229

圖 5-2 流體切割與連續條件示意圖 ... 230

圖 5-3 流體平板交界面之離散節點示意圖 ... 231

圖 5-4 收斂分析所考慮之懸臂板浸泡於流場中系統 ... 231

圖 5-5 懸臂板浸泡於流場中之前三共振頻率收斂分析 ... 232

圖 5-6 全自由板浸泡於水中之量測系統示意圖(a)四角懸吊之全自由平板於水箱中 (b)量測架設示意圖 ... 233

圖 5-7 懸臂梁浸泡於水中之系統示意圖 ... 234

圖 5-8 流場中懸臂梁之幾何尺寸 ... 234

圖 5-9 壓電薄膜 PVDF 量測懸臂梁在空氣中和水中之暫態應變訊號 ... 235

圖 5-10 壓電薄膜 PVDF 量測懸臂梁在空氣中和水中之頻域訊號 ... 236

圖 5-11 實驗流場類比理論流場之示意圖 ... 237

圖 5-12 懸臂板浸泡於封閉腔體之幾何示意圖 ... 238

圖 5-13 懸臂板浸泡於流場中的共振頻率、模態形狀與流場壓力 ... 239

圖 5-14 流場中壓力P x



315mm



之幾何位置示意圖 ... 241

圖 5-15 流場中壓力P x



2 100mm



之幾何位置示意圖 ... 241

圖 5-16 懸臂板浸泡於流場中之參數討論示意圖 ... 242

圖 5-17 上流場水深H₁與第一共振頻率變化之關係 ... 242

圖 5-18 上流場水深H₁與第二共振頻率變化之關係 ... 243

圖 5-19 上流場水深H₁與第三共振頻率變化之關係 ... 244

圖 5-20 下流場水深H₂與第一共振頻率變化之關係 ... 244

圖 5-21 下流場水深H₂與第二共振頻率變化之關係 ... 245

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XIV

圖 5-22 下流場水深H₂與第三共振頻率變化之關係 ... 245

圖 5-23 流場長度 c 與第一共振頻率變化之關係 ... 246

圖 5-24 流場長度 c 與第二共振頻率變化之關係 ... 246

圖 5-25 流場長度c與第三共振頻率變化之關係 ... 247

圖 5-26 流場寬度 d 與第一共振頻率變化之關係 ... 248

圖 5-27 流場寬度 d 與第二共振頻率變化之關係 ... 248

圖 5-28 流場寬度 d 與第三共振頻率變化之關係 ... 249

圖 5-29 懸臂板在流場中高度與第一共振頻率之關係 ... 249

圖 5-30 懸臂板在流場中高度與第二共振頻率之關係 ... 250

圖 5-31 懸臂板在流場中高度與第三共振頻率之關係 ... 250

圖 6-1 懸臂板受動態外力作用之示意圖 ... 297

圖 6-2 鋼珠落擊懸臂板之實驗架設示意圖 ... 297

圖 6-3 懸臂板上 PVDF 薄膜與 FS 感測器位置 ... 298

圖 6-4 鋼珠落擊於 PVDF-1U，PVDF-1U 和 PVDF-1B 訊號比較 ... 299

圖 6-5 鋼珠落擊於 PVDF-1U 之波源歷時訊號 ... 299

圖 6-6 理論計算項數為 5、20、30、50 和 100 之暫態位移結果比較 ... 300

圖 6-7 理論計算項數 5、20、30、50 和 100 之暫態應變結果比較 ... 301

圖 6-8 鋼珠落擊於 PVDF-1U，懸臂板 FS1 位置的暫態位移 ... 302

圖 6-9 鋼珠落擊於 PVDF-1U，PVDF-2U 位置上的暫態應變訊號比較 ... 303

圖 6-10 鋼珠落擊於 PVDF-2U 之波源歷時訊號 ... 304

圖 6-11 鋼珠落擊於 PVDF-2U，FS2 位置的暫態位移比較 ... 305

圖 6-12 鋼珠落擊於 PVDF-2U，PVDF-3 位置的暫態應變訊號比較 ... 306

圖 6-13 鋼珠落擊於 PVDF-2U，FS2 位置的暫態速度比較 ... 307

圖 6-14 鋼珠落擊於 PVDF-2U，FS2 位置的暫態加速度比較 ... 308

圖 6-15 鋼珠落擊於 PVDF-2U，理論計算、ABAQUS 和 COMSOL 模擬之全場暫態位移圖 ... 309

圖 6-16 懸臂板暫態位移理論解中前六模態之貢獻 ... 310 圖 6-17 鋼珠落擊於 PVDF-1U，FS1 位置的暫態位移之頻率響應圖(0~1,000Hz) 311

11

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XV

圖 6-18 鋼珠落擊於 PVDF-1U，FS1 位置的暫態位移之頻率響應圖(1,000Hz~5,000Hz)

... 312

圖 6-19 鋼珠落擊於 PVDF-2U，FS2 位置的暫態位移之頻率響應圖(0~1,000Hz) 313 圖 6-20 鋼珠落擊於 PVDF-2U，FS2 位置的暫態位移之頻率響應圖(1,000Hz~5,000Hz) ... 314

圖 6-21 脈衝^

 

^t 施加於 PVDF-1U 位置 FS1 觀察點之各模態貢獻百分比 ... 315

圖 6-22 撞擊點 PVDF-1U 與觀察點 FS1 在懸臂板模態形狀中之相對位置 ... 316

圖 6-23 脈衝^

 

^t 施加於 PVDF-2U 位置 FS2 觀察點之各模態貢獻百分比... 317

圖 6-24 撞擊點 PVDF-2U 與觀察點 FS2 在懸臂板模態形狀中之相對位置 ... 318

圖 6-25 四種波源型式作用在 PVDF-2U 位置，FS2 位置上的懸臂板暫態位移 ... 319

圖 6-26 鋼珠落擊於全固定板上 PVDF-2U 位置，感測位置 FS2 的暫態位移比較 ... 320

圖 6-27 懸臂板和全固定板之暫態位移比較 ... 321

圖 6-28 鋼珠落擊於 PVDF-1U，FS1 位置的長時間暫態位移比較 ... 322

圖 6-29 鋼珠落擊於 PVDF-2U，FS2 位置的長時間暫態位移比較 ... 323

圖 6-30 鋼珠落擊於 PVDF-2U，PVDF-3 位置的長時間暫態應變訊號比較 ... 324

圖 6-31 鋼珠落擊於 PVDF-2U，PVDF-3 位置的暫態應變訊號 STFT 示意圖... 325

圖 6-32 鋼珠落擊於 PVDF-2U，PVDF-3 位置的暫態應變訊號 STFT 圖... 325

圖 6-33 鋼珠落擊 PVDF-2U，PVDF-3 位置的暫態應變之第一模態 STFT 圖(104.36Hz) ... 326

圖 6-34 鋼珠落擊 PVDF-2U，PVDF-3 位置的暫態應變之第二模態 STFT 圖(347.51Hz) ... 326

圖 6-35 鋼珠落擊 PVDF-2U，PVDF-3 位置的暫態應變之第三模態 STFT 圖(647.63Hz) ... 327

圖 6-36 鋼珠落擊 PVDF-2U，PVDF-3 位置的暫態應變之第四模態 STFT 圖(1176.3Hz) ... 327

圖 6-37 鋼珠落擊 PVDF-2U，PVDF-3 位置的暫態應變之第五模態 STFT 圖(1611.4Hz) ... 328

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XVI

圖 6-38 前十模態阻尼比與共振頻率之關係 ... 328 圖 6-39 阻尼比與頻率關係之曲線擬合 ... 329 圖 6-40 鋼珠落擊 PVDF-1U 之觀察點 FS1 暫態位移，實驗量測、無阻尼理論與阻

尼理論計算結果(僅考慮十個阻尼比)比較 ... 330 圖 6-41 鋼珠落擊 PVDF-2U 之觀察點 FS2 暫態位移，實驗量測、無阻尼理論與阻

尼理論計算結果(僅考慮十個阻尼比)比較 ... 331 圖 6-42 鋼珠落擊 PVDF-2U 之觀察點 PVDF-3 暫態應變，實驗量測、無阻尼理論與

阻尼理論計算結果(僅考慮十個阻尼比)比較 ... 332 圖 6-43 鋼珠落擊 PVDF-1U 之觀察點 FS1 暫態位移，實驗量測與阻尼理論計算結

果比較(觀察時間 0.2s ) ... 333 圖 6-44 鋼珠落擊 PVDF-1U 之觀察點 FS1 暫態位移，實驗量測與阻尼理論計算結

果比較(觀察時間 0.1s ) ... 334 圖 6-45 鋼珠落擊 PVDF-2U 之觀察點 FS2 暫態位移，實驗量測與阻尼理論計算結

果比較(觀察時間 0.2 s ) ... 335 圖 6-46 鋼珠落擊 PVDF-2U 之觀察點 FS2 暫態位移，實驗量測與阻尼理論計算結

果比較(觀察時間 0.1 s ) ... 336 圖 6-47 鋼珠落擊 PVDF-2U 之觀察點 PVDF-3 暫態應變，實驗量測與阻尼理論計算

結果比較(觀察時間 0.2 s ) ... 337 圖 6-48 鋼珠落擊 PVDF-2U 之觀察點 PVDF-3 暫態應變，實驗量測與阻尼理論計算

結果比較(觀察時間 0.1 s ) ... 338 圖 6-49 鋼珠落擊於 PVDF-1U，FS1 位置考慮阻尼效應之暫態位移頻率響應圖

(0~1,000 Hz) ... 339 圖 6-50 鋼珠落擊於 PVDF-1U，FS1 位置考慮阻尼效應之暫態位移頻率響應圖

(1,000Hz~5,000Hz) ... 340 圖 6-51 週期外力 sin 函數 10 Hz 作用於懸臂板



10 mm,50 mm



位置之觀察點



60 mm, 40 mm



暫態位移，理論與 COMSO 結果比較 ... 341 圖 6-52 週期外力 sin 函數 30 Hz 作用於懸臂板



10 mm,50 mm



位置之觀察點



60 mm, 40 mm



暫態位移，理論與 COMSO 結果比較 ... 341

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XVII

圖 6-53 第一模態共振頻前後之週期外力 sin 函數作用於懸臂板



10 mm,50 mm



位

置之觀察點



60 mm, 40 mm



暫態位移結果比較 ... 342

圖 6-54 第二模態共振頻前後之週期外力 sin 函數作用於懸臂板



10 mm,50 mm



位置之觀察點



60 mm, 40 mm



暫態位移結果比較 ... 343

圖 6-55 激振頻率靠近與遠離共振頻率對於暫態位移訊號之影響 ... 344

圖 6-56 週期外力 10 Hz 單點激振之暫態解與靜態解比較 ... 345

圖 6-62 理論和實驗 AF-ESPI 掃頻所得的懸臂板位移頻率響應 ... 348

圖 6-63 理論和實驗 AF-ESPI 所得之懸臂板前八模態共振頻率和模態形狀 ... 353

圖 6-64 三種激振點之懸臂板位移頻率響應比較 ... 355

圖 6-65 激振點在



10 mm, 50 mm



而觀測點



60 mm, 10 mm



和



60 mm, 40 mm



的頻率響應比較 ... 361

圖 6-66 激振點



10 mm, 50 mm



的位移頻率與觀察點之關係 ... 362

圖 6-67 懸臂板上



50 mm,15 mm



受力而觀察點



25 mm, 20 mm



的暫態位移和前六模態貢獻程度 ... 364

圖 6-68 懸臂板在撞擊點



50 mm,15 mm



受力而且觀察點



25 mm, 20 mm



之暫態位移的頻率響應與相位圖 ... 365

圖 6-69 懸臂板撞擊點



50 mm,15 mm





25 mm, 20 mm



暫態位移之撞擊點反算結果 ... 366



80 mm,15 mm



受力且觀察點



^{60 mm,5 mm}



^{的暫態位移} ... 366



80 mm,15 mm





^{60 mm,5 mm}



^{暫態位移之} 撞擊點反算結果 ... 367 圖 6-72 懸臂板撞擊點



80 mm,15 mm





^{60 mm,5 mm}



^{暫態位移之}

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XVIII

撞擊點反算結果(忽略相位) ... 367 圖 6-73 撞擊點



80 mm,15 mm



和



80 mm, 45 mm



受力而觀察點



^{60 mm,5 mm}



^的

暫態位移比較 ... 368 圖 6-74 圓形平板單點受力之極座標示意圖 ... 369 圖 6-75 圓形平板之共振頻率與模態形狀 ... 370 圖 6-76 圓形平板上之撞擊點與觀察點位置示意圖 ... 373 圖 6-77 圓板撞擊點



63 mm,15 mm



承受外力之觀察點



^{25 mm,5 mm}



^暫態位移

... 373 圖 6-78 圓板撞擊點



63 mm,15 mm



承受外力之觀察點



^{0 mm,0 mm}



^{暫態位移 374}

圖 6-79 圓板上撞擊點



0 mm, 60 mm



承受外力之全場暫態位移 ... 375 圖 6-80 圓板上撞擊點



60 mm, 60 mm



承受外力之全場暫態位移 ... 376 圖 7-1 平板耦合流體之受力示意圖 ... 400 圖 7-2 全固定板單側耦合流體系統示意圖 ... 400 圖 7-3 作用於全固定板單側耦合流體之波源歷時 ... 401 圖 7-4 理論計算項數為 5、10、20、25、30 和 35 之水下平板暫態位移 ... 402 圖 7-5 理論計算項數為 5、20、50、100、120 和 150 之水下平板暫態速度 ... 403 圖 7-6 全固定板在空氣中之暫態位移的理論計算和 COMSOL 模擬結果 ... 404 圖 7-7 全固定板在水深H 10mm之暫態位移的理論計算和 COMSOL 模擬結果

... 404 圖 7-8 全固定板在水深H 20mm之暫態位移的理論計算和 COMSOL 模擬結果

... 406 圖 7-11 全固定板在空氣中之暫態速度的理論計算和 COMSOL 模擬結果 ... 406 圖 7-12 全固定板在水深H 10mm之暫態速度的理論計算和 COMSOL 模擬結果

... 407

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XIX

圖 7-13 全固定板在水深H 20mm之暫態速度的理論計算和 COMSOL 模擬結果 ... 407 圖 7-14 全固定板在水深H 30mm之暫態速度的理論計算和 COMSOL 模擬結果

... 408 圖 7-15 全固定板在水深H 40mm之暫態速度的理論計算和 COMSOL 模擬結果

... 408 圖 7-16 全固定板在空氣中、水深為H 10 mm、H 20 mm、H30 mm和

40 mm

H  的暫態位移比較 ... 409 圖 7-17 全固定板在空氣中、水深為H 10 mm、H 20 mm、H30 mm和

40 mm

H  的暫態速度比較 ... 410 圖 7-18 全固定板在空氣中、水深為H 10 mm、H 20 mm、H30 mm和

40 mm

H  的暫態位移之頻率響應圖 ... 411 圖 7-19 全固定板隨著水深之前五共振頻率變化 ... 412 圖 7-20 全固定板在水深H 30 mm之暫態位移理論解前五模態貢獻與時間函數

... 413

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第一章緒論

1-1 研究動機與目的

板殼結構是許多工程設計研究之基礎，在各種機械元件、運輸工具和土木結構領域中都存在各式各樣的板殼應用，板殼結構的應用時常需要承受振動、外力撞擊、

風力負載、海浪沖刷、爆炸衝擊等外力載荷，因此近一個世紀以來，研究平板的動態特性，無論是自由振動特性，或是受外力作用而產生的暫態波傳行為，都已經成為近代工業技術發展上不可或缺的一個重要環節。

近年來隨著科技高速發展所衍生出的各種工程問題漸趨複雜，多物理量交相耦合的議題也逐漸獲得重視，成為近代研究的趨勢，其中固體和流體交相作用的流固耦合(fluid-structure interaction, FSI)相關問題，更是廣泛地應用在水利、能源、化工、橋梁、船舶、醫學工程和交通運輸等工程產業中，例如石化業，運輸管道因為流體運動誘發的振動行為，地震作用下儲油罐振動以及內部石油晃動相互影響；在機械工程領域，渦輪發電機和風力發電機葉片流體相互作用；在生物力學領域，心血管與血液流動的相互影響；在航空領域，飛機機翼的顫振行為等，都可歸類在流固耦合研究的範疇之內。

平板結構在現今的工業應用中也時常會涉及流固耦合，當平板受到流體影響產生變形或運動，此板結構的變形和運動也會影響流場行為，進而改變流體作用於平板上的壓力，導致平板結構出現不同的動態特性，因此研究平板耦合流體的問題在工業應用和學術研究中皆有著十分重要的意義和應用需求，例如水壩、橋梁等大型土木結構中，需要許多板殼結構持續地承受流體沖刷與施壓，因此設計建造初期評估結構安全強度時，不可忽略流體對於板結構之影響；此外有許多藉由機械元件動態特性作為量測機制的實驗儀器，例如壓電幫浦、原子力顯微鏡(atomic force microscope, AFM)，若忽略流體效應會導致運作效果降低、量測準確性大幅下降等問題。所以各方都迫切希望可有效地瞭解掌握平板結構和流體之間的耦合機制，以獲得更加準確的分析結果，提升機械產品的適用範圍，流固耦合分析在工應用與技術整合等方面皆可提供很大的助益。

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現今工業界大多使用有限元素軟體分析平板耦合流體問題，但是各個有限元素軟體內部的理論基礎和演算核心皆不相同，而且使用有限元素軟體模擬較難以掌握整個流固耦合系統內部的物理機制，所以至今仍有非常多研究文獻發表，試圖以理論解析的方式來探討流體和平板耦合的問題，但是大多都是針對特定情況作特別處理，缺乏可適用於各種流固耦合系統的動態理論分析架構，而且大部分研究文獻中，為求能夠較為容易的把平板變形行為和流體運動進行耦合，大多簡化平板問題而使用近似解來處理，無法整合過往固體力學中較為完備的板殼動態分析理論，導致分析結果有所缺失，而且應用層面較為狹隘且有所限制。

基於以上理由，本論文期望能夠尋求結合薄板理論和流體行為的新解析途徑，

適用於矩形平板部分接觸流體或是平板完全浸泡於流場中等常見的流固耦合系統，

深入探討流固耦合系統的振動特性，並且以振動特性為基礎進一步解析平板在空氣中與流體中受外力作用而產生的暫態波傳行為，理論分析結果將配合水下量測技術和有限元素法電腦模擬，期望能徹底且詳細地瞭解平板結構耦合流體的流固耦合系統在時間域和頻率域的動態特性。

1-2 文獻回顧

等向性平板的研究已經有百年的歷史，理論分析、數值計算與實驗量測技術開發都已經有相當豐富的研究成果，近年有關矩形平板振動特性的理論探討中，由 Ritz(1909)所提出的 Rayleigh-Ritz method 以最小勢能原理為理論基礎，是廣泛應用在機械力學領域的一種數值方法，可用來計算多自由度連續體系統的共振頻率，對於圓板和矩形平板皆適用，此方法最重要的部分是如何尋找符合平板統御方程式和邊界條件的模態形狀函數做為推導基礎。 Young(1950)、Warburton(1954)和 Leissa(1978)等人運用雙向的梁模態形狀函數組合做為基底函數，建構矩形薄板的面外變形，取得近似的共振頻率與模態形狀，此方法雖然是一種近似解，但因為分析流程較為簡易且具有普遍性，對於一般情況都能獲得相近的矩形板共振頻率，因此大部分工程上，尤其是在流固耦合問題的振動分析上均採用此方法。但因為梁的模態形狀並不能完全符合平板的變形行為，Dickinson 和 Blasio(1986)指出使用

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Rayleigh-Ritz method 分析存在自由邊界條件的矩形平板會出現準確性不佳的情況。

Gorman(1976, 1978, 1999)發表將矩形平板等效為多個結構區塊的理論解析方法，

運用疊加法求解薄板的統御方程式，此方法分析存在自由邊界的矩形平板振動問題，可獲得較為精確的共振頻率和模態形狀。

平板耦合流體的問題在許多科學研究以及工程應用上均有其重要性並且引起廣泛研究，尤其是板結構的振動特性受到流體耦合之影響，其中有非常多的文獻是探討圓形平板與流體耦合的問題。Lamb(1920)將流體運動視為一個外加動能來源，

探討圓形平盤單側接觸流體的共振頻率。Powell 和 Robert(1922)實驗證實 Lamb 理論解析的結果。Gladwell 和 Zimmermann(1966)以能量觀點探討聲場中結構的頻率響應。Kwak(1991)、Kwak 和 Kim(1991)研究圓板在半無窮域流場自由液面上的自由振動特性，使用 Hankel transformation 求取無因次化外加虛擬質量增加因子(non- dimensionalized added virtual mass incremental factor, NAVMI factor)分析流體效應對圓板各振動模態之影響。Chiba(1994)研究裝填流體的圓柱腔體底部圓板的軸對稱振動，其中圓板受彈性材料支撐並且考慮水槽內流體自由液面效應。Amabili 等人 (1995)詳細探討泊松比(Poisson’s ratio)對 NAVMI 因子之影響。Amabili、Dalpiaz 和 Santolini(1995)使用雷射都普勒振動儀(laser Doppler vibrometer)量測浸泡在流場中全自由邊界之圓板的共振頻率和模態形狀，使用 NAVMI 因子做理論計算並且探討水下圓板的模態變化。Amabili 和 Kwak(1996)重新探討圓板單側接觸無窮域流場的振動問題，其中圓板分別考慮全自由、簡支和全固定三種邊界條件和流體耦合的情況，並且比較 NAVMI 係數以及 Rayleigh-Ritz method 兩者的計算結果。Amabili(1996) 探討全固定圓板上水位高度的振動特性。Kwak(1997)重新探討 Lamb(1920)的圓板單側接觸無窮域流場模型，藉由 Fourier-Bessel 級數展開求 NAVMI 因子，改善使用多項式處理僅能處理較低振動模態的問題。Kwak 和 Han(2000)探討水位高低對自由液面上的全自由圓板的共振頻率影響。Ambili 等人(2001)以理論和實驗探討漂浮在自由液面的圓形平板之共振頻率，並且比較圓板在空氣中和水中的模態形狀差異。Cheung 和 Zhou(2002)考慮流體自由液面，使用 Galerkin method 求解裝填流體的圓柱腔體衝底部之彈性圓板共振頻率。Jeong 和 Kim(2005)解析充滿流體之圓柱腔體中的圓板自由振動，理論分析以 Rayleigh-Ritz method 為基礎，使用空氣中

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圓板模態形狀建構圓板耦合流體的振形，探討流體壓縮性質以及腔體內圓板位置對共振頻率之影響。Gorman 和 Horacek(2007)探討流固耦合系統中，各模態振動行為之間的能量傳遞現象。Tariverdilo 等人(2013)研究圓板單側接觸不可壓縮流封閉流場，並且探討流場深度對振動系統外加的質量效應。Askari、Jeong 和 Amabili(2013) 研究浸泡在充滿流體的圓柱容器中之全固定和全自由圓板振動行為，將包覆圓板結構的流場劃分為上下兩流場，分別使用 Fourier-Bessel 級數和 Galerkin method 求解上下流場的速度勢函數，並且藉由 Rayleigh-Ritz method 求得共振頻率和共振模態形狀。

以上研究都是探討圓形平板耦合流體的問題，相對之下，矩形平板耦合流體的振動分析研究則較為有限。Lindolm 等人(1962)以實驗量測懸臂板在空氣中以及水中的共振頻率，理論計算使用 strip-theory 分析無窮域流場的運動，並且將流體對懸臂板的影響視為虛擬質量，搭配簡化的懸臂梁模態形狀來求得共振頻率。Fu 和 Price (1987)分析懸臂板部分浸泡或全部浸泡於流場中的振動問題，並指出結構在真空中與流場中的模態形狀是相同的。Kwak(1996) 使用格林函數(Green function) 求解流場 NAVMI 因子，並且結合 NAVMI 因子和 Rayleigh-Ritz method 探討單側和無窮邊界流體耦合的矩形板之共振頻率和模態形狀。Meylan(1997)運用格林函數求解漂浮在無窮大流場上的矩形平板之振動特性。Zhou 和 Cheung(2000)研究矩形板單側耦合有限流場的振動特性，其中矩形板是水箱中垂直牆面的一部分，使用分離變數法搭配傅利葉級數展開求取流體速度勢函數，運用梁的模態形狀建構平板變形並以 Rayleigh-Ritz method 建構出對應流體效應的外加虛擬質量增加矩陣 (Added virtual mass incremental matrix, AVMI matrix)。Cheung 和 Zhou(2000)考慮矩形板位在自由液面之流場底部，運用 AVMI 矩陣求解矩形板耦合流體之共振頻率，

並且探討流場大小對於共振頻率之影響。Liang 等人(2001)也藉由梁模態函數來等效薄板問題，並且將其應用在流場中懸臂板的振動問題。Ergin 和 Ugurlu(2003)研究懸臂板部分垂直插入流場中，比較有限元素模擬和實驗量測結果。Harrison 等人 (2007)研究流場中矩形板的共振頻率受到流場牆壁邊界效應之影響。Kerboua(2008) 同樣研究平板單側接觸有限空間流場的振動問題，並開發數學模型結合有限元素法，將流固耦合系統作離散化處理。Ugurlu 等人(2008)研究矩形板置於彈性基底上

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並且部分接觸靜態流場的振動特徵，探討流場深度對矩形板振動特性之影響。

Hosseini-Hashemi 等人(2012)考慮 Mindlin 板與不可壓縮流耦合的問題。Kwak 和 Yang(2013)研究懸臂板部分插入流場的自由振動，流場效應求解流場邊界值問題，

使用 Mathieu functiob 計算 NAVMI 因子，結合 Rayleigh-Ritz method 計算共振頻率和模態形狀。

有關平板的暫態波傳問題，早在 Forsyth 和 Warburton(1960) 便使用雙向的梁模態形狀做為基底函數，解析懸臂板受撞擊所引發的暫態位移和應變，論文中使用正弦函數來近似鋼珠撞擊薄板的動態外力。Craggs(1968)使用 transition matrix method 求解簡支、固定和懸臂板的暫態問題。Abrate(2007)以模態展開法探討全簡支板承受方波與三角波等波源作用所產生的暫態位移響應。Mochida 和 Ilanko(2010) 探討全自由薄板在具有初始變形的情況下釋放所引發的暫態位移，比較 Rayleigh- Ritz method 與 Gorman 的疊加法兩者模態形狀結果運用在暫態行為分析上的差異，

指出使用疊加法可以較快達到收斂並且具有較好的準確性。

在本論文的實驗量測架設中，聚偏二氟乙烯(polyvinylidence fluoride, PVDF)是一個相當重要的壓電薄膜感測元件，可用於量測平板結構的暫態應變訊號，並可快速量測結構物共振頻率。Kawai(1969)研究發現 PVDF 高分子聚合物在特定溫度 (100°C~150°C)下拉伸，在穩定電場(約略 300kV/cm)中將溫度由室溫調高到 90°C 後再緩慢冷卻，能夠使其極化並且具有相當優異的壓電特性，自此學術界便開始投入許多心力研究 PVDF 壓電薄膜的特性。Bacon(1982)利用 PVDF 壓電薄膜製作水聽器。Gaul 和 Hurlebaus(1999)利用貼附在平板四個角落的 PVDF 壓電薄膜所量測的動態訊號，辨識波源作用位置並且重建波源歷時。Sirohi 和 Chopra(2000)使用壓電陶瓷 PZT 和壓電薄膜 PVDF 做為應變感測器，證實壓電傳感器相對於傳統電阻式應變規，具有更好的靈敏度跟訊噪比。Fukada(2000)回顧 PVDF 壓電薄膜的歷史，

並且研究其相關產品應用。Bauer(2000)運用 PVDF 壓電薄膜量測爆炸衝擊壓力，

顯示在 25 GPa 的壓力作用下 PVDF 依然具有很好的量測能力。Shirinov 和 Schomburg 利用 PVDF 壓電薄膜製作壓力感測器，並且實驗量測此壓力感測器受到溫度、濕度與化學物質影響的輸出訊號，證實 PVDF 具有良好的壓力感測能力。

D'Acquisto 和 Montanini(2008)比較 PVDF 壓電薄膜、傳統力量感測器和加速規受

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衝擊載荷下的動態特性，該研究指出 PVDF 壓電薄膜除了具有良好的動態特性之外，相較於傳統力量感測器和加速規具有質量較小、價格低廉且可多通道量測等優勢。潘善盈(2009)利用 PVDF 壓電薄膜針對懸臂梁結構和揚聲器做振動訊號之回授控制，顯示 PVDF 除了具有良好動態訊號量測能力之外，也具備不錯的抑振能力。

張鈞凱(2011)開發使用 PVDF 薄膜感測器擷取波源歷時的量測方法，並且將其運用於理論分析和有限元素法模擬中計算懸臂梁的暫態波傳行為。劉泓嶔(2011)詳細探討 PVDF 壓電薄膜感應器的感測特性，並且使用 PVDF 壓電薄膜感測器量測懸臂梁、懸臂板和塊材三種結構受撞擊後的動態響應。

本論文中另一個重要的實驗量測技術是電子斑點干涉術(electronic speckle pattern interferometry, ESPI)，此技術可運用於量測固體結構全場的動態特性。Butters 和 Leendertz(1971)將 ESPI 應用於量測圓形板的振動模態，並且獲得清晰的共振模態形狀。 Høgmoen 和 Løkberg(1977)使用參考光相位調制技術(reference beam modulation)，提高 ESPI 對於微小振動幅度和相位的量測能力和影像解析度。

Slettemoen(1980)使用一個斑點型式參考光搭配大孔徑 ESPI 降低影像雜訊。

Kyounco(1980)使用配合參考光調制技術的 ESPI 光學系統量測 PZT-4 換能器的高頻振動行為。Wykes(1982)運用 ESPI 技術量測物體表面的靜態與動態變形。

Nakadate 等人(1986)利用斑點干涉圖的相位偏移 (phase shifting)配合電腦影像處理技術探討鋁板的面外振動振幅。Oswin(1994)使用 ESPI 技術量測換能器在空氣中和水中的振動模態，雖然水中影像因為流體介質干擾，導致反射不均而干涉條紋較不清楚，但仍然可得知換能器在水中的振動特性異於空氣中。Wang 等人(1996)提出振幅變動的電子班點干涉術(amplitude-fluctuation ESPI, AF-ESPI)，推導 AF-ESPI 之基本原理，將 AF-ESPI 和影像訊號相加法(video-signal addition)、影像訊號相減法 (video-signal-subtraction)三種運算處理方法的量測結果進行比較，AF-ESPI 原理雖然和影像訊號相減法相近，但是參考影像是在動態中截取，所以可簡化量測步驟，

並且大幅提升條紋清晰度和解析度。Ma 和 Huang(2001, 2002)利用 AF-ESPI 量測壓電塊材和平板的三維振動性質，搭配有限元素分析驗證量測結果。Lin 和 Ma(2006) 以 AF-ESPI 技術量測壓電陶瓷平板電極切割後的面內振動特性變化，並且搭配有限元素模擬和阻抗分析儀實驗量測驗證研究結果。林育志(2003)使用 AF-ESPI 配合

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LDV 和阻抗分析探討壓電陶瓷複合層板和壓電雙晶片的振動特性，並且將壓電雙晶片垂直插入流場中以 ESPI 拍攝水下模態形狀。黃育熙(2003)以 AF-ESPI 量測石英壓電材料對不同切面之頻率響應和振動特性。吳亦莊(2009)以疊加法解析等向性矩形平板和壓電矩形平板，進而與 AF-ESPI 實驗量測和有限元素模擬結果比較。

黃育熙(2009)使用 AF-ESPI 探討壓電陶瓷元件的三維動態特性。

1-3 內容簡介

本論文結合理論解析、實驗量測和有限元素分析，探討矩形平板耦合流體的動態行為，其中動態行為包含穩態的振動問題與暫態的波傳問題。理論分析的整體架構如圖 1-1 所示，分析流程由上而下依序呼應各章節內容，第三章首先探討平板振動特性，第四章和第五章再進一步探討平板耦合流體的振動特性，然後在第六章以振動特性為基礎分析平板的暫態波傳行為，最後在第七章綜合所有結果解析平板耦合流體的暫態行為，各章節主要內容簡敘如下:

第一章緒論

說明本論文的研究動機、背景與相關文獻回顧，並且介紹全文探討架構與各章節內容之重點。

第二章實驗設備與量測原理介紹

說明本文所使用的各項實驗量測技術的工作原理。首先介紹電子斑點干涉術 (amplitude-fluctuation electronic speckle pattern interferometry, AF-ESPI)的基本原理，

AF-ESPI 光學系統可全域式的量測平板面外變形、共振頻率與模態形狀；第二部分說明壓電薄膜感測器 PVDF(polyvinylidence fluoride)，將 PVDF 貼附在待測結構物表面可即時量測結構應變訊號，搭配時頻轉換即可快速確認結構系統的頻率響應和共振頻率；第三部份介紹光纖位移計(Fotonic sensor, FS)，此儀器非接觸式量測物體單點的暫態位移，其特色是校正迅速且光學機制不受到電磁波影響；第四部分說明本論文所使用的有限元素分析軟體 ABAQUS 和 COMSOL，簡介有限元素模擬之特點以及各種軟體所適用之問題與限制。

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第三章矩形板之面外振動分析

探討矩形平板的面外振動特性以作為後續研究之基礎。介紹等向性材料薄板的理論假設、統御方程式和邊界條件，分別使用疊加法和梁函數法兩種分析方法，

計算全固定板、全自由板和懸臂板的共振頻率和模態形狀。實驗設計使用壓電薄膜 PVDF 和光學系統 AF-ESPI 量測平板的共振頻率與模態形狀。交叉比較理論分析、

實驗量測和有限元素法模擬三者所得的結果，確認理論計算之準確性。最後透過全固定板、全自由板和懸臂板的共振頻率、模態形狀和應變場，比較疊加法和梁函數法兩種理論分析方法之差異與優劣，並且挑選疊加法作為後續理論推導之基礎。

第四章平板單側接觸流體之振動分析

探討矩形平板單側接觸流體的自由振動特性。從流體運動的理論假設和統御方程式求解流體運動行為，應用第三章所求得的平板共振頻率與模態形狀作為基底，將流體壓力和平板面外位移經由力平衡機制建構出頻響函數來求得流固耦合系統的振動性質。實驗設計四周全固定的矩形板單側裝填液態水，形成一個典型的流固耦合系統，運用壓電薄膜感測器 PVDF 量測水下平板的暫態應變訊號，經時頻轉換為頻率響應圖以獲得共振頻率；使用電子斑點干涉術 AF-ESPI 全域式量測流場中平板的共振頻率與模態形狀，搭配影像處理技術 Temporal speckle pattern interferometry (TSPI)與 Temporal standard deviation (TSTD)去除流體干擾雜訊，以獲得清晰的水下模態形狀干涉條紋。理論分析、有限元素法和實驗量測結果進行交互比較驗證理論分析之準確性。藉由理論計算探討流場的邊界條件對於平板振動特性之影響，比較純平板模態形狀(dry mode)和水下平板之模態形狀(wet mode)的差異，進而探討平板耦合流體所造成的模態形狀扭曲，以及流體壓縮性在振動特性上所產生的效應。

第五章平板浸泡於有限流場中之振動分析

以第四章平板單側接觸流體的振動分析方法為基礎，拓展探討更為常見的平板完全浸泡在流體中的振動特性。分析方法是將流場沿著平板接觸面劃分為上下流場將其類比於為兩個平板單側接觸流體問題來各自處理，並且搭配連續條件確認上下流場和平板接觸區域的連續行為，進而求解出交界面上的流體壓力，運用力

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平衡機制合併平板面外位移和流體壓力，建立頻響函數用來分析共振頻率、水下模態形狀以及流場壓力，藉由實驗數據和有限元素法模擬確認理論之正確性。本章節討論流場幾何尺寸變化對於平板共振頻率之影響，觀察有限邊界流場和無窮域流場對於共振特性所產生的差異，探討平板在流場中位置變化對共振頻率之影響。

第六章平板承受動態負載作用之暫態波傳解析

探討平板承受動態外力所產生的暫態波傳行為。理論推導以模態展開法的概念使用模態形狀作為暫態位移的基底函數，求出平板暫態的面外位移和應變等物理量的解析解。實驗設計以鋼珠撞擊懸臂板來激振暫態反應，使用光纖位移計 FS 和 PVDF 量測懸臂板的暫態位移和應變訊號，以壓電薄膜感測器 PVDF 擷取鋼珠撞擊的波源歷時，將波源歷時輸入理論解和有限元素法軟體中作數值計算，並且比較實驗、理論和有限元素模擬三者所得的時間域與頻率域結果。本章也推導包含阻尼效應的平板暫態波傳理論解，並且說明如何從實驗訊號中透過短時傅立葉轉換 (STFT)截取平板結構的阻尼比並且將其運用在理論計算中，此部分將探討阻尼效應對平板暫態訊號之影響。最後介紹此暫態分析理論之應用，如何利用已知的暫態訊號來反求平板上何處承受外力撞擊。

第七章平板耦合流體之暫態波傳解析

本章解析平板耦合流體的流固耦合系統承受外力而產生的暫態波傳行為，理論推導使用流固耦合振動分析的結果為基礎，將第四章和第五章中所得的平板耦合流體之模態形狀和流場壓力做為基底函數，建構暫態平板位移和暫態流體壓力解的型式，代入統御方程式後，整理為聯立微分方程組，應用指數矩陣解析流場中平板的暫態位移和暫態速度。考慮全固定板單側耦合流體受到外力撞擊的系統，理論計算暫態位移和暫態速度與多重物理耦合的有限元素軟體 COMSOL 模擬結果比較驗證，並且探討流場水深變化對於平板暫態行為之影響。

第八章結論與未來展望

整理總理本論文的研究成果，並且在未來展望中提出可改進之處，以及未來可進一步發展之方向。

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圖 1-1 理論推導之整體架構

Acoustic equation

Velocity potential

Thin plate theory

Displacement

Equation of motion for FSI system

Frequency response function Continuity

at interface

B.C. of fluid B.C. of plate

Vibration characteristics

Mode shape & Pressure

Transient behavior

Normal mode method

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第二章實驗設備與量測原理介紹

本章介紹論文中所使用的各項實驗量測技術之基本原理與操作流程。首先說明電子斑點干涉術，這是一套量測非接觸全域光學量測技術，可同時記錄結構變形、

共振頻率與模態形狀，本論文使用面外位移量測方式的電子斑點干涉術來進行空氣中平板與水下平板的振動特性量測。第二部分說明壓電薄膜 PVDF 量測系統，

將壓電薄膜 PVDF 貼附在待測結構物上並搭配電荷放大器，可即時量測結構物上的面內應變，再應用時頻轉換可快速確認固體結構的共振頻率，而 PVDF 材料相較於其他壓電材料可承受較大衝擊力，因此本文也使用 PVDF 來量測鋼珠撞擊的波源歷時。本文也使用光纖位移計，此儀器可非接觸式單點量測物體變形的暫態位移，校正迅速且不受電磁波(EMI)影響。最後說明有限元素法模擬所使用的軟體 ABAQUS 和 COMSOL，簡介兩套軟體之差別以及使用限制。

2-1 電子斑點干涉術

電子斑點干涉術(electronic speckle pattern interferometry, ESPI)是一種全域性的光學量測技術，可量測物體表面的靜態與動態變形，此技術演變自全相術 (holography)，結合雷射干涉與電腦影像處理系統來記錄成像圖形，可即時且全域的進行量測。其量測原理是利用物體待測面上的質點位移變化造成觀測光場中的光程相位出現差異，進而形成明暗相間的干涉條紋，採用同調性較高的氦氖雷射時，

ESPI 可以達到次微米的位移量測精度。ESPI 因為具備即時電子化處理、有非接觸與全域量測等優點，且量測過程中不需要經由複雜的校正處理，相當適合拿來研究振動特性，可同時記錄振動頻率和振形變化。

本文使用振幅變動法(Amplitude-fluctuation ESPI, AF-ESPI)，AF-ESPI 是將傳統 ESPI 參考靜止影像改為參考振動狀態之影像(Wang et al., 1996)，把兩張具有振幅變化的影像進行影像相減處理，可得到全場模態形狀的干涉條紋，此方法可降低影像雜訊干擾以獲得穩定的干涉條紋，並且可讓振幅為零的節線區域之干涉條紋為最亮紋，大幅提高模態形狀影像條紋之鑑別度。

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AF-ESPI 的光學架設依據量測的位移方向可分為面內與面外兩種光路架設模式，其中面外架設是針對垂直於物體表面之位移，而面內架設則是量測平行於物體表面位移的光路架設方式。AF-ESPI 面外振動量測的光學系統架設如圖 2-1 所示，

將一道氦氖雷射光(He-Ne laser)藉由分光鏡分為物光與參考光，其中物光的光束經空間濾波器(spatial filter)擴散投射在待測試片表面，另外一道參考光經空間濾波器擴散投射在參考面上(reference plate)，兩道光反射透過分光鏡(beam splitter)同軸入射 CCD 相機(charge-coupled Device)，並且在 CCD 的感光平面上相互干涉形成光班場，配合影像擷取卡將 CCD 的類比訊號轉換為數位訊號進入個人電腦，在個人電腦中透過數位影像處理技術即時進行影像相減，全場干涉條紋影像即可直接顯示於螢幕上，提供實驗拍攝的即時資訊。使用參考面產生參考光之方式有別於傳統 ESPI 面外架設，在參考面上噴上一層白漆使雷射光漫反射，可形成光班場(speckled reference beam)形式的參考光，藉此可避免鏡面光產生光暈現象，強化干涉影像之品質。圖 2-1 中的架設使用 Melles Griot 公司製造的氦氖雷射 25 LHP928，波長 632.8 nm，輸出功率 35 mW。CCD 相機使用 Pulnix 公司生產，型號為 TM-7CN，

解析度為 768 494 。

使用 AF-ESPI 量測物體的共振頻率與模態形狀時，需要待測物保持振動狀態，

因此需要藉由外在激振機制來使待測物持續作動，本文採用函數產生器輸出穩態正弦訊號，經由功率放大器放大作為激振訊號，假若待測試片是壓電材料，可直接將電訊號輸入至壓電材料使其產生振動；假若待測物是機電耦合效率較差或是不具備致動功能的結構物，則可將需要將振訊號輸入振動器(shaker)或是輸入貼附於待測物上的壓電元件中來推動結構。激振過程中，連續擷取試片振動的影像進行即時處理，則全場振動的干涉影像會以等高線分佈的形式呈現，由於物體共振時會出現最大振幅，此時 AF-ESPI 會拍攝到明暗相間最為密集的干涉條紋，因此若函數產生器所輸出的激振訊號接近待測物的共振頻率，干涉影像中的等位移線就會變得更加密集，若干涉條紋太過密集時則可以藉由激振電壓的控制來進行調整，以最小驅動能量來激發最大振動位移量即為物體結構共振之反應和特性。

以下說明 AF-ESPI 的理論推導(林憲陽, 2002)，當試片振動時存取一張影像作為參考，其影像光強度為

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 

 

1 0

1 _o _r 2 _{r r} cos cos I ^ I I I I  A t dt





    ^(2.1)

其中 是 CCD 取像時間，I_o是物光的光強度，I_r是參考光的光強度，是參考光和物光之相位差，_o是物光與觀測方向之夾角，A是振幅，是角頻率。是 ESPI 面外量測的靈敏參數，此值與系統架設相關。若 2k / 或 2k / ，則式 (2.1)可整理為

   

1 _o _r 2 _{o r} cos 0

I I  I I I  J A (2.2) 在試片持續振動的過程中繼續存取第二張影像，並且假設振幅有A之變化，因此第二章影像的光強為

 

 

2 0

1 _o _r 2 _{o r}cos cos

I ^ I I I I  A A t dt





        ^(2.3) 將式(2.3)經泰勒展開並且忽略三次以上的高次項(黃吉宏, 1998)，則第二張影像的光強可以表示為

 

²

 

2

2 0

2 cos 1 1

o r o r 4

I I I  I I ^   A ^J A (2.4) 若將第二影像與第一張影像作相減可消去直流項，也就是把式(2.4)減式(2.2)並且整流後顯示在螢幕上，則相減後的影像光強度為

 

²

 

2

2 1 0 cos

2 I Io r

I I  I  A J A  (2.5) 靈敏度與光學架設有關，此參數為



0



2 1 cos

    (2.6)

其中是雷射光之波長，因此可知架設角度₀  0 時可得最大位移靈敏度。由式 (2.5)可知，面外振動的干涉亮暗條紋變化由零階的 Bessel 函數 J0

 

A 所控制，架設角度為₀  0 的 J0

 

A 與振動振幅位移量A之關係如圖 2-2 所示，圖中標示干涉條紋中各亮紋與暗紋所對應之振幅位移量，圖中顯示 AF-ESPI 所量測之振動位移量為次微米等級的精度，當振幅為零時 J0

 

A 存在最大值而呈現最亮的干涉條紋，代表實驗上量測物體振幅為零的節線區域可以對應到 AF-ESPI 干涉影像中最亮的區域。

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2-2 壓電薄膜 PVDF 量測系統

聚偏二氟乙烯(polyvinylidence fluoride, PVDF)是一種高分子聚合物，在定溫的電場中拉伸，PVDF 會被極化並且具有優異的壓電特性(Kawai, 1969)，當 PVDF 受到外力作用而變形時，上下電極會產生電荷，此特性被廣泛應用在感測器或傳感器等非破壞性檢測。PVDF 材質柔韌並且質量密度低，在高頻段仍有良好的機電效應，

相較於其他壓電材料可承受較大的衝擊力，經實驗證實 PVDF 具有良好的動態特性與暫態面內應變量測能力(Ma, Huang 和 Pan, 2012)。PVDF 聲學阻抗約為 3.94 10 6rayl，水約為1.5 10 ⁶rayl，兩者阻抗容易匹配，不需要額外的匹配層，故 PVDF 也相當適合製作成水下感測裝置使用。

本文使用 Measurement Specialties 公司所生產的未封裝 PVDF 薄膜(Part number:

1-1004346-0)，該產品詳細規格如附錄 A，材料參數列於表 2-1。製作過程是先由原廠 PVDF 薄膜剪裁取出適當的尺寸，藉由銀膠將漆包線連接在 PVDF 薄膜上下兩電極面，最後將 PVDF 薄膜感測器成品用應變膠貼附在待測物表面上即可，如圖 2-3 所示。使用 PVDF 壓電薄膜感測器進行實驗量測時，需搭配電荷放大器將薄膜輸出的電荷轉換為電壓。本文選用瑞士 KISTLER 公司所製的 5064B11 電荷放大器搭配 2852A11 適調平台(signal conditioning platform, SCP)，輸入電荷範圍為

100 pC 100, 000 pC，量測頻率範圍 0 Hz 200 Hz ，最大輸出電壓為10 V，最大輸

出電流為2 mA，詳細儀器規格如附錄 B。

以下說明壓電薄膜 PVDF 量測面內應變的基本理論，如圖 2-4 為 PVDF 薄膜感測器連接電荷放大器的電路模型，其中V_S是 PVDF 輸出電壓、C₀是 PVDF 電容、

Ra是 PVDF 的輸出阻抗、C_C是電纜電容、V_i是輸入電荷放大器之電壓，C_f 是電荷放大器的回授電容、R_f 是電荷放大器阻抗、A是放大器增益、V_o是電荷放大器輸出電壓。電荷放大器中的電流i可表示為



i o



¹ f

f

i V V j C

R 

 

     (2.7)

因為V_o  AV_i ，所以式(2.7)可改寫為

矩形平板於流固耦合問題的振動特性與暫態波傳之理論分析、數值計算與實驗量測

國立臺灣大學工學院機械工程學系 博士論文

Department of Mechanical Engineering College of Engineering

National Taiwan University Doctoral Dissertation

矩形平板於流固耦合問題的振動特性與暫態波傳之 理論分析、數值計算與實驗量測

Theoretical Analysis, Numerical Calculation and Experimental Measurement on Vibration Characteristic

and Transient Wave Propagation of Rectangular Plate Coupled with Fluid

廖展誼 Chan-Yi Liao

指導教授：馬劍清 博士 Advisor: Chien-Ching Ma, Ph.D.

中華民國 107 年 2 月

February, 2018

摘要

Abstract

目錄

表目錄

C

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

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圖目錄

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

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

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

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

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

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

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

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





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

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

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







國立臺灣大學工學院機械工程學系博士論文

矩形平板於流固耦合問題的振動特性與暫態波傳之理論分析、數值計算與實驗量測

指導教授：馬劍清博士 Advisor: Chien-Ching Ma, Ph.D.

第一章緒論

第二章實驗設備與量測原理介紹