8 代數基礎……多項式與多項函數

(1)

尤拉的智慧¹

8 代數基礎……多項式與多項函數

談到多項式，就讓人聯想到“x x x x², ³, ⁴, ⁵, ”這樣的代數符號。這些上標符號是數學家笛卡爾首先使用，由於好用又易於記憶，如今已成為標準符號了。給定一個多項式

1

1 1 0

( ) _n ⁿ _n ⁿ . f x a x a _ x ^  a xa

當n1,2時， ( )f x 是我們熟悉的一次，二次多項式（或者稱為線性，二次函數）。關於這兩種方程式的根之公式，幾乎人人可以倒背如流。可是，當n3時，多項方程式

( ) 0

f x  的根，對中學生來說，所知就有限了。然而，石破天驚的一擊也是由笛卡爾所敲響的。笛卡爾證明中學多項式課程裡最初等也是最重要的『因式定理』：「 (xa)整除

( )

f x 」的充分必要條件為「 ( )f a 0」。有了因式定理之後，整係數多項式的『一次因式檢驗法』：

代數運算符號“   , , , ” 傳入中國是清末的事情，多項式一詞更是清末數學家李善蘭中譯的。這說明了「儘管數的世界與多項式的世界同樣都可以做“   , , , ”的運算，也有許多可以類比的公式或理論

（如最大公因數（式）、最小公倍數（式）、除法原理、輾轉相除法等），但是欲從具體『數』的世界進入到抽象『代數』的殿堂是多麼的不容易啊」。多項式是代數世界裡較為基本的成員。掌握住它就像擁有了一把入代數學之門的鑰匙一樣。現在就讓我們隨多項式起舞，讓它引領我們一窺代數的神聖與莊嚴。

4 4 3 2 2 4 4

yx  x  x  x 的圖形

   

 

   

 

4 3 2

2

4 2 4 4

2 4 2 7 1 4 2 7 7

x x x x

x x

   

      



      

‖

(2)

(pxq) | ( )f x  p a q a| _n, | 0

就容易推導了。笛卡爾之後，求解高次多項方程式 ( ) 0f x  的根成為熱門的活動，直到 1799 年，高斯證明了『代數基本定理』才為多項式的理論劃下完美的「小」句點。有關

『代數基本定理』的證明不下幾十個，高斯就給了四個證明，第四個證明完成於 1849 年。代數基本定理的證明之困難點就在於『一次與二次方程式的根都可以用代數式來表示，而高次多項方程式的根僅能證明存在，卻無法用代數式來描述』。高斯創造的『存在性』之證明可以說是替數學證明方法開創先河，樹立典範。

有關多項方程式的進階理論（完美的「大」句點）需等到修完大學數學系的『代數學』

課程之後才能更深入的討論。

1 在『代數基本定理』尚未被證明正確之前，萊布尼茲就質疑過「每個實係數多項式都可以分解成一次或者兩次實係數多項式的乘積」的正確性。數學家白努利更舉反例說：

「四次多項式x⁴ 4x³2x²4x4就不可能分解成兩個實係數多項式的乘積。」代數大師尤拉在 1742 年時，將白努利的四次多項式分解為上圖中，下方所列的乘積，而此圖中畫的正是函數 f x( )x⁴ 4x³2x²4x4的圖形。尤拉寫過一本名為《代數基礎》

的教科書，作為當時學生學習代數的參考用書。拉普拉斯對多產數學家尤拉的評語為：

“Read Euler, read Euler, He is the master of us all.”

8.1 整數與整係數多項式

代數，顧名思義，將未知數代之以數，它還是一個數。例如將實係數多項式的未知數 x“ ” 換成一個實數之後，那麼多項式就變成一個實數。我們有興趣的情形是：多項式的係數 是整數，代入的數也是整數，這時所產生的數亦為整數。將 x“ ”代入適當的數之後，有時是可以更加瞭解多項式的性質。舉一則例題說明：

例題 1 設 ,a b 是給定的奇整數。證明：多項方程式

2 0

x ax b

(3)

沒有整數根。

【證明】利用反證法，假設整數 c 是該方程式的一整數根。因此 x c 是多項式x²axb 的一次因式。由一次因式檢驗法得知： |c b，所以 c 為奇數（因為 b 是奇數）。因為 , ,a b c 都是奇數，所以

c2acb 也是奇數，這與

2 0 ( )

c ac b 偶數矛盾。

如果多項式 ( )f x 與 xb都是整係數多項式，那麼由『多項式除法定理』知道 ( ) ( ) ( )

f x  xb g x r，這裡的 ( )g x 與常數r 分別是 ( )f x 除以 xb的商式與餘式。由『綜合除法』知道 ( )g x 也是整係數多項式，由『餘式定理』知道r f b( )是一個整數。因此

( ) ( ) ( ) ( )

f x  xb g x  f b 。若 a 是一個整數，則將 xa代入式子中，得到『數』的等式 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

f a  ab g a  f b  f a  f b  ab g a

由此得到整係數多項式與數之間的聯繫是：如果 ,a b 是相異的整數， ( )f x 是整係數多項 式，那麼

(ab) | ( ( )f a  f b( )).

特別應用在整數的情形：當 n 是正整數時

⁽^a^^b^{) |}



^aⁿ^^bⁿ



(8.1) ^; 當 n 是正奇數時

â^{ }⁽ ^b^{) |}âⁿ ^{ }⁽ ^bⁿ⁾ ^ ⁽â ^^b



^{) |}ⁿ^a ^



ⁿ^b (8.2) ^.

例題 2 設 n 是正整數。證明

3 2

3 ⁿ2 ⁿ

(4)

恆為 23 的倍數。

【解】因為

3 2

3ⁿ 2 ⁿ 27ⁿ 4 ,ⁿ 所以

3 2

(274) | 3ⁿ 2 ,ⁿ 即 23 整除3³ⁿ 2²ⁿ。

〔註〕本問題亦可利用數學歸納法證明。

例題 3 正整數2¹⁰⁰ 1乘開後是一個 302 位數的自然數，而2¹⁰⁴ 1是 303 位數的自然數。

試求這兩個數的最大公因數



²¹⁰⁰ ^^1,2¹⁰⁴^{ }¹



^?

【解】如果 d 是2¹⁰⁰ 1與2¹⁰⁴ 1的最大公因數，那麼



¹⁰⁰



⁴



¹⁰⁴



| 2 1 2 2 1 ( 1) |17

1 17.

d d

d

      

  或

由 (8.1) 與 (8.2) 得到

   

8 8 13 104

25 100

4 4

104 100

2 1 | 2 1 3 5 17 | 2 1 17 | 2 1

2 1 | 2 1

17 | 2 1, 17 | 2 1.

      

 

 

 

  



  

因此最大公因數是 17。

例題 4 擅長解三次方程式的卡當，利用恆等式

3 3 3

(ab) 3ab a( b)a b 研究實數

(5)

3 3

108 10 108 10.

r   

(1) 請追隨卡當的步法證明：r 是三次方程式

3 6 20 0

x  x  的一實數根。

(2) 求r?

【解】關於(1)的證明：令a ³ 108 10, b ³ 108 10 代入恆等式得到

3 3

2, 20 ab a b  及

3 6 20.

r  r 因此 r 是三次方程式

3 6 20 0

x  x  的一實數根。

關於(2)的證明：利用一次因式檢驗法知道：x2是該三次方程式的一根。因式分解得到

 

3 2

6 20 ( 2) 2 10 . x  x  x x  x

因為x² 2x100的判別式2²  4 1 10  36 0，所以兩根為複數根。因為 r 是實數，

所以r2。

例題 5 (歐基里德的年齡)歷史學家為了推敲大數學家歐基里德的出生年份，發現在西 元前 336 年時，流傳著一則很有趣的故事：那年的某一天，歐基里德造了一個整係數多項式，並興高采烈的跟旁邊的人說「我現在的年紀剛好是這個多項式方程式的一個根」。旁邊的人為了想知道歐基里德的歲數，於是將 7 及一個比 7 大的整數代入歐基里德的多項式，分別得到 77 與 85 的值。這時歐基里德笑著說「我的年紀有你代的數那麼小嗎」。

你能根據這些對話推得歐基里德出生的年份嗎？

【解】假設歐基里德造的整係數多項式為 ( )f x 及那時的年紀為 a 歲，並設旁邊的人所代 入較大的數為 L 。

(6)

根據題意我們有

( 7) 77 (7) 77

( ) 85 ( 7) 8 85 77 ( ) 0 ( ) 85

7 7

8,14,18,84 8,9,11,15 ( ) 85 7

14, 9.

a f

f L L

f a a L

L a L a

a L

a L L a

a L



 

 

    

  

   

 

     

 

 

 

  

  



 

  

∣

因此當時歐基里德的年紀為 14 歲，所以他出生於西元前 350 年。

8.2 利用整係數多項式製造質數

尤拉在 1772 年時發現：多項函數 f x( ) x² x 41在x0,1,2, ,39時，其函數值都是質數。同一年，他給白努利的信中，提到更多像這樣的例子。例如

(1) x² x 2在x0； (2) x² x 3在x0,1； (3) x² x 5在x0,1,2,3； (4) x² x 11在x0,1,2, ,9； (5) x² x 17在x0,1,2, ,15

時它們都是質數。另外像2x²11在x0,1,2, ,10；36x²810x2753在x0,1,2, ,44 時也都是質數。類似這種函數值是質數的多項式被稱為『製造質數的多項式』。事實上，

在 1743 年，哥德巴赫證明「對任何整係數的多項式 f ，函數值 (0), (1), (2),f f f 不可能全為質數」。在這裡我們考慮二次的情形，一般情況與二次的證明差不了多少。

(7)

定理 8.1 設 f x( )ax²bxc是一個整係數二次多項式。證明：函數值 (0), (1), (2),

f f f

不可能全為質數。

【證明】假設函數值 (0), (1), (2),f f f 全為質數。因為它們都是正數，所以a0（拋物線開口向上）。令h| |b ，質數 p f h( )，那麼 ( )f h  f h(  1) f h( 2) （因為

, 1, 2,

xh h h 在拋物線對稱軸的右邊）。將函數值 (f h p f h), ( ) p相減得到 0 f h(  p) f h( )((h p)h q) , (q 1) f h(  p) p(1q), (1 q 2).

這與 (f h p)是質數矛盾。因此 (0), (1), (2),f f f 不可能全為質數。

8.3 代數基本定理與堪根定理 例題 6 方程式

4 3 2

3 1 0 x x  x   x 共有幾個實數根。

例題 7 設 , ,a b c 是三個相異的實數，化簡多項式

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )( ) . a x b x c b x a x c c x a x b

a b a c b a b c c a c b

       

     

【解】設該多項式為 ( )f x ，由給定的形式知道 ( )f x 是一個至多兩次的多項式。代入 , ,

xa b c的值得到

2 2 2

( ) , ( ) , ( ) . f a a f b b f c c

因此 , ,a b c 是方程式 f x( )x² 0的三個相異實根。因為 f x( )x²的次數至多 2 次，又有

3 個相異實根，顯然與『代數基本定理』不合，因此 f x( )x²是零多項式，即

2 2 2

( )( ) ( )( ) ( )( ) 2

( ) . ( )( ) ( )( ) ( )( )

a x b x c b x a x c c x a x b

f x x a b a c b a b c c a c b

         

     

(8)

8.4 比較係數及根與係數的關係

多項式最重要的就是此多項方程式的根，然而根是什麼也反應在多項式的係數上。因此，

瞭解「根與係數的關係」是有其必要的，就如同一元二次方程式x²ax b 0的兩根之 和為 a ；兩根之積為 b 一樣。

例題 8 已知實數 ,a b 滿足



²



²

( 1)( 2)( 3) 1 . x x x x   x axb 求 a 與 b 的值。

【解】比較兩邊x 項與常數項的係數得到 ³

2

6 2 3, 1 1.

a a

b b

 

  

    



現在來確定b1或b 1。將x 1代入得到

2 2

1  (1 a b) (b2)  b 3,1.

因此答案為a3,b1。

【註】這題的解題過程中用到了「比較係數」及「將未知數代之以數」這兩種基本方法。

例題 9 已知 ,p q 是實數，且多項方程式

3 2

11 0 x  px  x q 的根是三個連續的整數。求 ,p q 的值。

【解】設三個連續的整數根為n1, ,n n1。由根與係數關係知道：

2

3

3 ;

11 ( 1) ( 1)( 1) ( 1) 3 1;

( 1) ( 1) . p n

n n n n n n n

q n n n n n

 

         

     



由第二式解得n 2, 2。當n2時，求得 ( , ) (6,6)p q  ；當n 2時，求得 ( , ) ( 6, 6)p q    。

(9)

因此 ( , ) (6,6)p q  或 ( 6, 6)  。

8.5 邏輯斯蒂函數……渾沌世界裡的多項函數

把多項式視為函數看待時，這函數就稱為多項函數。典型的例子有常數函數、線性函數

（一次函數）及二次函數。在這裡，我們要探討一個叫做『邏輯斯蒂函數』的多項函數，

邏輯斯蒂函數在渾沌數學與生物數學上扮演著極其重要的角色。所謂的邏輯斯蒂函數就是像

( ) (1 ) L xk kx x

這樣的二次函數，這裡的 k 是一個介於 1 與 4 之間的常數，而且限制 x 的範圍在 0 x 1。就以 ( ) 3 (1f x  x x)（k 3的邏輯斯蒂函數）為例：

例題 10 設邏輯斯蒂函數 ( ) 3 (1f x  x x)，且 ( )g x  f f x( ( ))。 (1) 求 2

( )3

f 的值。

(2) 求 2 ( )3

g 的值。

(3) 求g x( ) x的解 x 。

【解】關於(1)： 2 2 2 2 ( ) 3 1

3 3 3 3

f     

  。關於(2)： 2 2 2 2

( ) ( ( )) ( )

3 3 3 3

g  f f  f  。關於(3)：由

4 3 2

3

( ) (3 (1 ))

3 3 (1 )(1 3 (1 )) 27 54 36 8

(3 2) x g x x f x x

x x x x x

x x x x

x x

   

     

   

 

知道 2 0,3

x 是 ( )g x  x的解。

(10)

【註】像 2 2 2 2 ( ) , ( )

3 3 3 3

f  g  這種不動如山的解 x 是邏輯斯蒂函數重要的不變量。

例題 11 根據研究，用 x 單位的清水清洗蔬菜後，蔬菜上殘留農藥與清洗前的殘留農藥 比為函數 ( )f x ， ( )f x 可表示為

2

( ) 1 . f x 1

 x

 試問：

(1) 用 1 單位的清水清洗蔬菜後，蔬菜上的農藥殘留量與未清洗前的農藥殘留量的比值是多少。

(2) 用2 (a a0)單位的清水清洗蔬菜後，蔬菜上的農藥殘留量與未清洗前的農藥殘留量的比值是多少。

(3) 用a a( 0)單位的清水清洗蔬菜後，再一次用 a 單位的清水清洗同樣的蔬菜。求在這 兩次清洗之後，蔬菜上的農藥殘留量與未清洗前的農藥殘留量的比值是多少。

(4) 在(2)與(3)的兩種清洗蔬菜的方法中，哪一種清洗後，蔬菜上殘留的農藥較少？

【解】關於(1)：將x1代入函數 ( )f x 得到

2

1 1

(1) .

1 1 2

f  

 關於(2)：將x2a代入函數 ( )f x 得到

2 2

1 1

(2 ) .

1 (2 ) 1 4 f a

a a

 

 

關於(3)：將 xa代入函數 ( )f x 得到

2

( ) 1 ; 1 ( ) 1 .

1 f a a

f a a

 



 

 第一次清洗後農藥殘留量

蔬菜原農藥殘留量第二次清洗後農藥殘留量第一次清洗後農藥殘留量將兩比例式相乘得到



^{1 a}¹²



²^.

  第二次清洗後農藥殘留量

蔬菜原農藥殘留量關於(4)：將(2)與(3)的比值相減得到

(11)

   

  

2 2

2 2 2 2

1 1 2

1 4 1 1 4 1 . a a

a a a a

  

   

因此，當a 2時，兩種清洗方法具有相同的效果；當a 2時，清洗兩次殘留的農藥量較少；當 0 a 2時，一次清洗殘留的農藥量較少。

習題 1 設 a 為整數。若三次方程式

3 2

1 0 x x ax  在 1 與 2 之間恰有一實數根，則

(1) 試求整數 a 的值。

(2) 此三次方程式在哪些連續整數之間還有實數根。

習題 2 化簡

3 3

5 2 13   5 2 13 ?

習題 3 求x¹⁰⁰ 1除以x³x² x的餘式。（90 年台大數學系申請入學）

習題 4 多項式

1 2 1

( ) 2

2 2 P x  x  x

滿足 (1) 2, (2) 3, (3) 5P  P  P  。試問：可以找到整係數多項式 ( )Q x 滿足 (1) 2, (2) 3, (3) 5

Q  Q  Q  嗎？

習題 5 已知多項式

3 2

x ax bxc

的係數是整數，且 ac bc 為奇數。證明：這個多項式不能分解成兩個整係數多

(12)

項式（次數至少一次）的乘積。

習題 6 若 ( )f x 是一個多項式， ,a b 是兩個不同的數， xa除 ( )f x 的餘數r ， x₁ b除 ( )

f x 的餘數r ，則 (₂ xa x)( b)除 ( )f x 所得的餘式為何？（以a b r r 表示） , , ,₁ ₂

習題 7 如果 , ,a b c 是實數，且三次方程式

3 2

0 x ax bx c 的三根都是實數根。試證明：二次方程式

3x2 2ax b 0 的兩根也都是實數根。

(13)

代數基礎……多項式與多項函數的習題解答

習題 1 設

3 2

( ) 1.

f x x x ax 關於(1)：利用堪根定理得到

( 1) ( 2) 0 ( 1) 5 0 2

( )

5 1

2 2

f f a a

a

a a

 

       

 

    

   因為是整數。

關於(2)：由 (2) 7, (1)f  f  1, (0)f  1, ( 1) 1, ( 2)f   f   1 知道：方程式的三個根剛好在整數 2,1;0, 1; 1, 2   之間。

習題 2 設化簡的式子為 x 。利用

3 3 3

(AB)  A B 3AB A( B) 得到

3 10 9 . x   x 1

x 是該方程式的一實數根，且

 

3 2

9 10 ( 1) 10 . x  x  x x  x

因為x²  x 100沒有實數根，所以

3 3

5 2 13   5 2 13 1.

(14)

習題 3 設

 

100 2 2

1 1 ( ) .

x  x x  x q x ax bxc

將x0代入上式得到1 c 。再將

( 2 1

2 )

1 3 i 0

x w   w w

  註：   

代入上式得到

1 ( 1) 1 ( 1) 0 1 0 0

0;

1.

w a w bw a b w a

a b a a b

          

  

  

 

   所以餘式為x1。

習題 4 由式子

3  5 2 Q(3)Q(1) (3 1)R2 ,R (R為整數 ) 知道：整係數多項式 ( )Q x 是不存在的。

習題 5 利用反證法，假設

3 2

( )

f x  x ax bxc

可以分解，那麼必有一次因數 x d 。由一次因數檢驗法得到： |d c 。現在令 ( ) ( ) ( ).

f x  xd g x

因為 (ab c) 為奇數，所以 (ab c), 都是奇數， d 也是奇數。將x1代入上方程式得：

(1) (1 ) (1)

f  d g 。因為1 d 是偶數，所以 (1) 1f    a b c也是偶數。這與ab c, 是

(15)

奇數矛盾。

習題 6

設 (xa x)( b)除 ( )f x 的餘式為 pxq。利用餘數定理知道「 x a 除 ( )f x 的餘數 paq， xb除 ( )f x 的餘數 pbq」。再與已知「 x a 除 ( )f x 的餘數r ， x₁ b除 ( )f x 的餘數r 」₂ 配合得到

1 2

1

2 2 1

; . r r

pa q r p a b

pb q r ar br

q a b

  

  

   

    

  

 

 因此 (xa x)( b)除 ( )f x 餘式為

1 2 2 1.

r r ar br a b x a b

  

 

習題 7

設 , ,   是三次方程式的三實數根。由根與係數的關係知道：

, , .

a b c

  

  



  

   

 

 二次方程式

3x2 2ax b 0 的判別式為

 

     

2 2

2 2 2

( 2 ) 4 3 ( 2( )) 12( ) 4

2 2 2

0.

a b      

     

     

          

     

     



因為判別式 0 ，所以二次方程式的兩根為實數根。