第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

2．幂函数的图象：(只做出第一象限图象)

1．幂函数的定义：形如 y＝x^α 的函数叫幂函数(α 为常数) 要重点掌握 α＝1,2,3，1

2，－1 时的幂函数．

第二章 函数与基本初等函数

幂函数在其他象限的图象，可由幂函数的奇偶性根据对 称性做出．α＝n

m(其中 m∈N^*，n∈Z 且 m，n 互质)．

(1)当 n 为偶数时，f(x)为偶函数，其图象关于 y 轴对称．

(2)当 m，n 都为奇数时，f(x)为奇函数，其图象关于原点 对称．

(3)当 m 为偶数，n 为奇数时，f(x)为非奇非偶函数，其 图象只能在第一象限．

第二章 函数与基本初等函数

3．幂函数的性质

(1)当α>0时，幂函数图象都过 点和 点 ； 且 在 [0，＋∞)上都是 函数；当0<α<1时曲线 ； 当 α>1 时 ， 曲线 ；α＝1时为过 点和 点的直线．

(2)当α<0时，幂函数图象总经过 点，且在(0，＋∞) 上为减函数．

(3)α＝0时y＝x^α＝x⁰，表示过 点平行于x轴的直线(除(0,1) 点)．

(0,0) (1,1)

增 上凸

下凹 (0,0) (1,1)

(1,1)

(1,1)

第二章 函数与基本初等函数 4．幂函数当 α＝1,2,3，1

2，－1 时的图象与性质．

(1)图象(如图所示)

第二章 函数与基本初等函数

(2)性质(见下表)

y＝x y＝x² y＝x³ y＝x y＝x^－1

定义域 R R R [0，＋∞) (－∞，0)∪

(0，＋∞)

值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) (－∞，0)∪

(0，＋∞)

奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非

偶函数 奇函数

单调性

在R上 为增 函数

在(－∞，0) 上为减函

数，在 [0，＋∞)上

为增函数

在R 上为增函

数

在(0，＋∞) 上为增函

数

在(－∞，0) 上为减函数 在(0，＋∞)上

为减函数

定点 (0,0)，

(1,1)

(0,0)，

(1,1)

(0,0)，

(1,1)

(0,0)，

(1,1) (1,1)

第二章 函数与基本初等函数

1．若集合 A＝{y|y＝x

1

3，－1≤x≤1}，B＝{y|y＝(1

2)^x， x≤0}，则 A∩B 等于( )

A．(－∞，1) B．[－1,1]

C．∅ D．{1}

[答案] D

第二章 函数与基本初等函数 2．若幂函数 f(x)的图象经过点(3，1

9)，则其定义域为( ) A．{x|x∈R，x＞0} B．{x|x∈R，x＜0}

C．{x|x∈R，且 x≠0} D．R

[答案] C

[解析] 设 f(x)＝x^α.

∵图象过点(3，1

9)，

∴1

9＝3^α，即 3^－2＝3^α，∴α＝－2，

即 f(x)＝x^－2＝1 x²，

∴x²≠0，即 x≠0，

其定义域为{x|x∈R，且 x≠0}．

第二章 函数与基本初等函数 3．已知函数 f(x)＝x

1

2，且 f(2x－1)＜f(3x)，则 x 的取值范 围是________．

[解析] 由 2x－1＜ 3x得：



2x－1≥0，

3x＞0，

2x－1＜3x，

∴x≥1 2. [答案] x≥1

2

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

(2010·安徽文数)设 a＝(3 5)

2

5，b＝(2 5)

3

5，c＝(2 5)

2

5，则 a，

b，c 的大小关系是( )

A．a＞c＞b B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．b＞c＞a

[解析] y＝x₅²在 x＞0 时是增函数，所以 a＞c，y＝(2 5)^x 在 x＞0 时是减函数，所以 c＞b. [答案] A

第二章 函数与基本初等函数

[点评与警示] 比较幂形式的两个数的大小，一般的思路 是：

(1)若能化为同指数，则用幂函数的单调性．

(2)若能化为同底数，则用指数函数的单调性．

(3)若既不能化为同指数，也不能化为同底数，则需寻找一 个恰当的数作为桥梁来比较大小．

第二章 函数与基本初等函数

幂函数y＝(m²－m－1)xm²－2m－3当x∈(0，＋∞)时为减 函数，求实数m的值．

[解] 令m²－m－1＝1，解得m＝2或－1.

当m＝2时，m²－2m－3＝－3，幂函数y＝x^－3在(0，＋∞) 上为减函数；

当m＝－1时，m²－2m－3＝0，y＝x⁰在(0，＋∞)上为常函 数．

所以，m＝2.

[点评与警示] 注意幂函数的定义：形如y＝x^a的函数叫做 幂函数．因此有m²－m－1＝1.

第二章 函数与基本初等函数

若幂函数y＝(m²－3m＋3)x^m2－m－2的图象不经过原 点，则实数m的值等于( )

A．1 B．2 C．1或2 D．0

[解析] 由于函数y＝(m²－3m＋3)x^m2－m－2是幂函数，

所以m²－3m＋3＝1，解得m＝1或2.

当m＝1时y＝(m²－3m＋3)x^m2－m－2＝x^－2，定义域是{x|x∈R，

x≠0}，图象不经过原点；

当 m ＝ 2 时 ， y ＝ (m²－ 3m ＋ 3)x^{m2 － m － 2} ＝ x⁰， 定 义 域 是 {x|x∈R，x≠0}，图象不经过原点．

[答案] C

第二章 函数与基本初等函数

[分析] 先利用幂函数的定义求出f(x)，g(x)的解析式，再 利用图象判断．

点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，点(－2，1

4)在幂函 数 g(x)的图象上，问当 x 为何值时有：(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)

＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．

第二章 函数与基本初等函数

[解] 设 f(x)＝x^α，因为点( 2，2)在幂函数 f(x)的图象上，

将( 2，2)代入 f(x)＝x^α 中，得 2＝ 2^a解得 α＝2，∴f(x)＝x². 设 g(x)＝x^b，因为点(－2，1

4)在幂函数 g(x)的图象上，将 (－2，1

4)代入 g(x)＝x^b 中，得1

4＝(－2)^b，解得 b＝－2，即 g(x)

＝x^－2，在同一坐标下作出 f(x)＝x² 和 g(x)＝x^－2的图象．

第二章 函数与基本初等函数

据图可知，

(1)当x>1或x<－1时，f(x)>g(x)，

(2)当x＝1或x＝－1时，f(x)＝g(x)，

(3)当－1<x<1且x≠0时，g(x)>f(x)．

[点评与警示] 1.幂函数的一般形式是y＝x^α(α为常数)，确 定幂函数的解析式一般用待定系数法，解出α即可．

2．幂函数的图象在解不等式和方程时有重要的应用．

3．本题注意g(x)＝x^－2的定义域是{x|x≠0}．

第二章 函数与基本初等函数

[解] ∵函数在(0，＋∞)上单调递减，

∴m²－2m－3＜0，解得－1＜m＜3.

∵m∈N_＋，∴m＝1,2.

又∵函数图象关于y轴对称，

∴m²－2m－3是偶数．

而2²－2×2－3＝－3为奇数，

1²－2×1－3＝－4为偶数，∴m＝1.

已知幂函数 y＝x^m2－2m－3(m∈N^＋)的图象关于 y 轴对 称，且在(0，＋∞)上是减函数，求满足(a＋1)^－m₃＜(3－2a)^－m₃ 的 a 的取值范围

第二章 函数与基本初等函数

而 y＝x^－1₃在(－∞，0)，(0，＋∞)上均为减函数，

∴(a＋1)^－1₃＜(3－2a)^－1₃等价于 a＋1＞3－2a＞0 或 3－2a

＜a＋1＜0 或 a＋1＜0＜3－2a.

解得 a＜－1 或2

3＜a＜3 2.

故 a 的取值范围为{a|a＜－1 或2

3＜a＜3

2}．

第二章 函数与基本初等函数

已知幂函数f(x)＝x^m2－2m－3(m∈N)的图象关于坐标原点对称 且在(0，＋∞)上是减函数，求f(x)的表达式并画出该函数的草 图．

[解] ∵f(x)在(0，＋∞)上是减函数

∴m²－2m－3＜0即－1＜m＜3 由m∈N，得m＝0、1、2.

又f(x)的图象关于原点对称．

∴m²－2m＋3是奇数．

第二章 函数与基本初等函数

而m＝0时，m2－2m－3＝－3是奇数 m＝1时，m2－2m－3＝－4不是奇数 m＝2时，m2－2m－3＝－3是奇数．

∴m＝0或2，

f(x)＝x－3.

草图如右图．

第二章 函数与基本初等函数

第二章 函数与基本初等函数

1．幂函数 y＝x^α(α∈R，α 是常数)与指数函数 y＝a^x(a＞

0 且 a≠1)的区别：幂函数是以幂的底为自变量，指数为常数；

而指数函数是底数是常数，自变量则处在幂指数位置．

现阶段只研究幂函数 y＝x^α(α∈R，α 是常数)中的 α 是有 理数的情形，且考纲明确要求掌握如下几种特殊的幂函数 y

＝x^α，如：α＝1,2,3，－1，－2，1

2，－1

2的图象及特征．

第二章 函数与基本初等函数

2．在研究幂函数的性质时，通常将分式指数幂化为根式 形式，负整指数幂化为分式形式再去进行讨论．

3．对于幂函数y＝x^a，我们首先应该分析函数的定义域、

值域和奇偶性，由此确定图象的位置，即所在象限，其次确定 曲线的类型，即a<0,0<a<1和a>1三种情况下曲线的基本形状，

还要注意a＝0，±1三个曲线的形状．

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4．利用幂函数和指数函数的单调性可以比较幂值的大小，

具体方法如下：

(1)当幂的底数相同，指数不同时，可以利用指数函数的单 调性比较；

(2)当幂的底数不同，指数相同时，可以利用幂函数的单调 性比较；

(3)当幂的底数和指数都不同时，一种方法是作商，通过商 与1的大小关系确定两个幂值的大小，可以利用幂函数的单调性 比较；另一种方法是运用媒介法，即找到一个中间值(如1)，通 过比较两个幂值与中间值的大小，确定两个幂值的大小．

第二章 函数与基本初等函数

(4)比较多个幂值的大小，一般也是运用媒介法，即先判断 这组数中每个幂值与0,1等数的大小关系，据此将它们分成若干 组，然后将同一组内的各数用相关的方法进行比较，最后确定 各数之间的大小关系．

第二章 函数与基本初等函数