第1章函数极限连续

(1)

第1章函数极限连续

• §1.1 函数概念

• §1.2 常用经济函数

• §1.3 极限概念

• §1.4 极限的运算

• §1.5 无穷小量与无穷大量

• §1.6 函数连续

(2)

2

1.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,

通常用字母a, b, c等表示常量, 而数值变化的量称为变量.

变量的取值范围称为变域。若为区间，则变量 是连续变量，否则为离散变量.

用字母x, y, t等表示变量.

. ,

/ 8 . 9

, ,

), ,

0 (

2 1

2

0 0

2

是常量

，是重力加速度

＝

为连续变量为某个实数

的取值为其中变量

，的关系为

与时间距离

如：物理中自由落体的

s m g

t T

T t

gt s

t

s =

§1.1 函数概念

1.1.1 函数的概念

(3)

2.区间与邻域

. ,

, b R a b

a ∈ <

∀ 且

}

{ x a < x < b

称为开区间,

记作 ( a , b )

}

{ x a ≤ x ≤ b

称为闭区间,

记作 [ a , b ]

o a b x

（1）区间

(4)

4

} { x a ≤ x < b

} { x a < x ≤ b

称为半开区间, 称为半开区间,

) , [ a b 记作

] , ( a b 记作

} {

) ,

[ a +∞ = x a ≤ x ( −∞ , b ) = { x x < b }

o a x

o b x

有限区间无限区间

有限区间长度的定义:

两端点间的距离(线段的长度)称为有限区间的长度.

(5)

（2）邻域:

设a ^与 δ ^{是两个实数} , ^且 δ > 0 .

称为该邻域的中心 ,

点a

δ

称为该邻域的半径 .

. ) ,

( }

{ )

( δ δ δ δ

δ

a = x a − < x < a + = a − a + O

a x δ

−

a a + δ

δ δ

, }

{ 称为点的邻域

数集 x x − a < δ a δ

a x δ

a − a + δ

δ

(6)

6

}.

{

\ )

(a a O_δ

记作去心邻域,

的点a

δ

) ,

( )

, (

} 0

{ }

{

\ ) (

δ δ

δ

+

−

=

<

−

<

=

a a

a x

x a

a O



的左邻域

a a的右邻域

);

, ( )

, (

) ,

(

);

, (

) ,

(

δ δ

δ

δ δ

δ

+

−

=

+

−

=

a a a

a a

U

a a

a U



。

有的书用如下记号:

(7)

因变量自变量

.

, )

( ,

0

0 0

x

y x

x x

f y

D x

=

∈ 也可记为

处的函数值为函数在点

称时

当

. )}

( ),

( {

)

( 称为函数的值域

函数值全体组成的数集 f D x

x f y

y f

R = = ∈

).

( ,

.

, ) (

.

2 . 1

f D f

D

D f

y D

x

f D

y x

记为的定义域

称为为函数

称上的一个一元函数，简为定义在实数集合

法则

应与之对应，则称这个对

，都有唯一的一个实数

使得对每一个对应法则

则如果存在一个确定的法

合是一给定的非空实数集

，与

设有两个变量定义

∈

) ( x f

y =

3.函数概念:

(8)

8

( (

)

x0

) (x₀ f

自变量因变量 对应法则f

函数的两要素: 定义域与对应法则.

x

y

D

R

约定: 定义域是自变量所能取的使算式有意义的一 切实数值，在实际背景的函数中的按实际意义确定.

1 2

1 y x

= −

例如， D : (−1,1)

同定义域和对应法则均相两个函数相同 ⇔

不同与 1

1

2 2

−

− =

+

= − y x x

x y x

4.函数表示法：解析法、表格法和图形法

(9)

例1

求函数 y = 16 − x

²

+ lg sin x 的定义域 .

(10)

10

1.1.2 函数的几特性

M

-M y

o x

y=f(x)

X

有界无界

M

-M

y

o X x

x

0

, )

( ,

, 0

, 有成立

若 X ⊂ D ∃ M > ∀ x ∈ X f x ≤ M 1．函数的有界性:

, .

)

( 在上有界否则称无界则称函数 f x X

. )

( ,

,

0

x₀ X f x₀ M

M

 有 

若 ∀ ∃ ∈

(11)

.

) (

) ( )

(

) ( )

) ( (

) ( ),

(

) (

的函数

或有下界内有上界

是

，也称或有下界

内有上界在

成立，则称函数或

，都有使得对每一个

内有定义，若存在数在集合

定义：设函数

D x

f

D x

f B

x f

A x

f D

x B

A

D x

f

≥

≤

∈

内没有上界 )

1 , 0 ( 1 在

) (

例： f x ₌ x

上有上、下界函数在

上有界

函数在 D ⇔ D

(12)

12

2．函数的单调性:

, ,

)

( x D I D

f 的定义域为区间 ⊂ 设函数

,

, ₁ ₂

2

1及当时

上任意两点

如果对于区间 I x x x < x

; )

( )

( 在区间上是单调增加严格增加的则称函数 f x I

)), (

) (

)(

( )

1

( f x₁ ≤ f x₂ f x₁ < f x₂ 恒有

) (x f y =

) (x₁ f

) (x₂ f

x y

o

I

(13)

) (x f y =

) (x₁ f

) (x₂ f

x y

o

I

; )

( )

( 在区间上是单调减少严格减少的则称函数 f x I

, ,

)

( x D I D

f 的定义域为区间 ⊂ 设函数

,

, ₁ ₂

2

1及当时

上任意两点

如果对于区间 I x x x < x )),

( )

( )(

( )

2

( f x₁ ≥ f x₂ f x₁ > f x₂ 恒有

数统称为单调函数 .

单调增加和单调减少函

(14)

14

在定义域内的单调性 . 若题目未给出区间，指

论，

，必须在某个区间上讨注：讨论函数单调性时

例2

讨论 y = x 2

²

+ 1 的单调性 .

(15)

3．函数的奇偶性:

偶函数

有对于

关于原点对称

设 D , ∀ x ∈ D ,

)

( )

( x f x

f − =

y

x

) ( x f −

) ( x f y =

o x

-x

) ( x f

; )

( 为偶函数

称 f x

(16)

16

有对于

关于原点对称

设 D , ∀ x ∈ D ,

)

( )

( x f x

f − = −

称 f ( x ) 为奇函数 ;

奇函数 )

( x f −

y

x

) ( x f

o x

-x

) ( x f y =

(17)

. 2

1

奇偶性可言不关于原点对称，则无

、若定义中的

、定义；

方法：

注：判断函数奇偶性的

D

例4

sin .

)

( 的奇偶性

讨论函数 x

x x

g =

(18)

18

4．函数的周期性:

2

− l

2 l 2

− 3l

2 3l

. )

(

) (

) ( )

( )

(

0

的基本周期，简称周期称为

，的最小正数

为周期函数，满足上式成立，则称

，且

，恒有使得对任意的

，零常数

内有定义，如果存在非在集合

设函数

x f

T x

f

x f T

x f D

T x

D x

T D

x f

= +

∈ +

∈

. 2

) ,

( ,

sin )

( ,

) (

周期为 π

；

无基本周期的周期函数 = ∈ −∞ +∞

= C f x x x

x f

(19)

1.1.3 初等函数

1、反函数

x0

y0

x0

y0

x

y

D R

) ( x f y= 函数

o

_x

y

R D

)

1(y f x= ⁻ 反函数

o

. )

(

) (

,

) ( ,

) ( )

(

) (

1 1

的反函数

表示用

因习惯原因，一般反函数

的并称其为函数

，函数，记为

为自变量的上的以

是定义在

，则满足

与之对应且

，都有唯一确定的对每一个

，如果值域是

的定义域是定义：设函数

x f y

x f

y

x f R

y y

f x

y R

x x

f y

D x

R y

R D

x f y

=

∈

=

∈

=

−

(20)

20

. 的反函数 1

3

：求 5

例

y

=

x

−

(21)

2. 复合函数

, u y =

设 _u ₌ ₁ ₋ _x

²

_, y = 1 − x

²

设函数定义: y = f (u) ^{的定义域} ^D^{( f} ⁾ ^{, 而函数}

)

( x g

u =

_的值域为 R( g) , 若 D( f )∩ R(g) ≠ ∅ , 则称函 数 y = f [g(x)], x ∈{x g(x)∈ D( f )}，为

x

的复合函数.

自变量 ,

←

x u ← 中间变量 , y ← 因变量 ,

(22)

22

注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复 合函数的;

, u y =

例如

^u ⁼ ⁻¹⁻ ^x²^; ^y ^≠ ⁻¹⁻ ^x²

2.复合函数可以由两个以上的函数经过复 合构成.

2 , tan x y =

例如

, u

y = u = tan v, .

2 v = x

(23)

2）、

^幂函数

) ( 是常数µ

= x^µ y

o x

y

) 1 , 1 (

1 1

x2

y =

x y =

y = 1x

x y =

3. 基本初等函数

1）、

^常数函数

) ,

( ,

+∞

−∞

=

定义域为

为常数，

C

y

(24)

24

3）、指数函数

) 1 ,

0 ( > ≠

= a a a y

^x

a x

y =

x

y a1)

= (

) 1 (a >

) 1 , 0

• (

e x

y =

e = 2 . 71828 

(25)

4)、对数函数

) 1 ,

0 (

log > ≠

= x a a

y _a

常用对数自然对数

: lg

log

: ln

log

10 x

y

x y

x x e

=

x y = log_a

x y

a

log1

=

) 1 (a >

) 0 , 1 (

•

(26)

26

5)、三角函数 正弦函数

x y = sin

x y = sin

弧度弧度 1 180

2

360^ =

π

⇒ ^ =

π

(27)

x y = cos

x y = cos

余弦函数

x y = tan

x y = tan

正切函数

(28)

28

x y = cot

余切函数

x y = cot

(29)

6、反三角函数

x y = arcsin

x y = arcsin 反正弦函数

2 ] 2 ,

[

] 1 , 1 [

π π

−

− 主值分支

定义域：

(30)

30

x y = arccos

x y = arccos 反余弦函数

] ,

0 [

] 1 , 1 [

主值分支 π

定义域： −

(31)

x y = arctan

x y = arctan 反正切函数

2 ) 2 ,

( :

) ,

( π π

− +∞

−∞ 主值分支

定义域：

(32)

32

常数函数、幂函数、指数函数、对数函数、

三角函数和反三角函数统称为基本初等函数. x

y = cot 反余切函数 arc

x y =arccot

) ,

0 ( :

) ,

(

主值分支 π

定义域： −∞ +∞

(33)

4. 初等函数

定义：由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合所构成并可用一个式子表示的 函数,称为初等函数.

.

, 1

ln

² ²

等

例如： y = x + y = x = x

. 1) (2

, ,

0 )

(

) ( ), (

, )]

( [

⁽ ⁾

x x

x g

x x

x f

x g x

f x

f

如 + 的函数称为幂指函数

且

是初等函数，

其中形如



) ( ln ) ( )

)]

(

[ f x

^g ^x

= e

^g ^x ^f ^x



幂指函数是初等函数

∴

4. 初等函数

(34)

34





≤

−

>

= −

0 ,

1

0 ,

1 ) 2

(

, ₂

x x

x x x

例如 f

1 2 −

= x 1 y

2 −

= x y

在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同的 式子来表示的函数,称为分段函数.

5. 分段函数

(35)

常见经济函数：

Qd = −a bP ( ,a b > 0)

b

Qd = aP⁻ ( ,a b > 0)

1.需求函数： _令P_{为商品价格，}

2.供给函数： ^令P^{为商品价格，}

Q

s

= − + a bP

( ,a b > 0) ( ,a b > 0)

3. 总成本函数、总收入函数和总利润函数

§1.2 常用经济函数

b

S

ap

Q =

(36)

36

。若

为盈亏临界点，

称

利润函数：

）收益函数：

为可变成本。

）固定成本，

（为产量，

其中

：单位产品成本平均成本

）总成本函数：

0 )

( )

(

Q

) ( )

( )

(

) 3

) ( 2

) cost variable

(

cost

fixed

) ) (

(

), (

) ( 1

0 0

0

=

−

=

−

=

⋅

=

+

= +

=

Q TC Q

TR Q

L

Q TC Q

TR Q

L

Q P Q

TR VC

FC Q

Q Q VC Q

AC FC

Q VC FC

Q C TC

(37)

1.3.1 数列的极限

定义:按自然数

1 , 2 , 3 , 

编号依次排列的一列数

â¹^,â² ^,^^,âⁿ ^,^ (1)

称为无穷数列,简称数列.其中的每个数称为数列的 项, ^aⁿ 称为通项(一般项).数列(1)记为^{^aⁿ ^} .

例如

; 2 ,

, 1 8 ,

,1 4 , 1 2

1  _n  }

2 { 1_n

; ) ,

1 , (

3, , 4 2 ,1 2

1



 n

n + − ⁿ⁻

) } 1 { (

1

n

n + −

ⁿ⁻

) (n f a_n =

数列是整标函数

注1：

§1.3 极限的概念

(38)

38

问题: 当 无限增大时, 是否无限接近于某 一确定的数值?如果是,如何确定?

x

n

. ) 1

1 1 (

,

1

无限接近于无限增大时

当 n x n

n n

− −

+

=

问题: “无限接近”意味着什么?

如何用数学语言刻划它.

通过描点画图可观察到:

. ) }

1 1 (

{

1

时的变化趋势当

观察数列 + − ⁻ n → ∞ n

3 n

a a

1

a

₂

a

n

数列对应着数轴上一个点列，可看作一动点在数轴上依次取

注2：

(39)

100 ,

给定 1 ,

100 1 < 1

由 n 只要 n > 100时, , 100 1 < 1

n − 有 x

1000 ,

给定 1 只要 n > 1000时,

10000 , 1 < 1

n − 有 x

10000,

给定 1 只要 n > 10000时,

1000, 1 < 1

n − 有 x

,

> 0 ε

给定 1]) ,

[

( 时

只要 n > N = ε 有 x_n − 1 < ε成立.

=

n − 1

 x

n n

n

1 1

) 1

( −

⁻¹

=

(40)

40

定义 1.4 如果对于任意给定的正数

ε

^{(不论它多}

么小),总存在正数

N

^{,使得对于}

n > N

^时的一切

an ,不等式 ^aⁿ ^{− a} ^< ^ε 都成立,那么就称常数

a

^是数

列

{ }

^a_n _{的极限,或者称数列}

{ }

^a_n _收敛于

_a

_,记为

^lim_n_→_∞ âⁿ ⁼ â^, 或ân ^→ â ⁽ⁿ ^→ ^∞^).

如果数列极限不存在,就说数列是发散的.

注：1.不等式 a_n − a <

ε

刻划了a_n与a的无限接近;

. .

2 N 与任意给定的正数 ε 有关

(41)

x

几何解释: a − ε 2ε a + ε

a

. )

(

, )

, (

,

落在其外个

至多只有只有有限个

内都落在

所有的点时

当

N

a a

a N

n > _n −

ε

+

ε

其中

∀ : 每一个或任给的 ;

. : 至少有一个或存在

∃

. ,

, 0 ,

0 lim :

ε ε

ε

<

−

>

∃

>

∀

⇔

=

−

→∞

a a

N n

N

a a

N

n n n

恒有时

使定义

a2



a1



a3



+1

aN



+2

aN



(42)

42

数列极限的定义可验证数列的极限，

但未给出求极限的方法.

例1 ⁰^.

) 1 (

) 1

lim ( ₂ =

+

−

∞

→ n

n

证明 n

注：

(43)

例2

小结: 用定义证数列极限存在时,关键是任意给 定ε > 0,寻找N,但不必要求最小的N.

. 1 ,

0 lim = <

∞

→

q

ⁿ

q

n

其中

证明

(44)

44

四则运算法则变形并利用数列极限的

将

如何求数列的极限？

} {a_n

则数列极限的四则运算法

，则设 a a b

_n

b

n n

n

= =

∞

→

∞

→

, lim

lim

ca a

c

ca

_n

n n

n

= =

∞

→

∞

→

lim

b a

b

a

_n

n n n n

n n

± = ± = ±

∞

→

∞

→

∞

→

( ) lim lim

lim

ab b

a b

a

_n

n n n n

n n

= =

∞

→

∞

→

∞

→

lim lim

lim

b a b

a b

b a

n n n n

n

≠ = =

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

lim

lim lim

,

0 lim

(45)

例3 求下列数列极限：

];

ln )

1 2

[ln(

lim )

1 ( n n

n

+ −

∞

→

.

3 2

3 lim 4

) 2

(

₂ ₁

1 n n

n n

n

+

−

+

∞

( ² ¹ ) ^.

→

lim )

3 ( + − −

∞

→

n n n

n

(46)

46

常用的数列极限：

n e n

a a

n

n n

n

= +

=

∞

→

∞

→

∞

→

∞

→

1 ) 1

( lim )

4 (

1 lim

) 3 (

) 0 (

1 lim

) 2 (

) 0 (

1 0 lim

) 1 (



α 

α











−

=

= ∞

∞

→

. 1 1

, 1

1 ,

1

, 0 lim

(5)

q q

q q qⁿ

n

不存在，





(47)

证明 lim a_n a,

n =

∞

设 → ^由定义, ^取^ε ⁼ ¹^,

, 1

, > − <

∃ N 使得当 n N 时恒有 a

_n

a 则

. 1 1 < < +

− a a

a

_n

即有

}, 1 ,

1 ,

, ,

max{ ₁ − +

= a a a a

M  _N

记

,

, a M

n 皆有 _n ≤

则对一切自然数

^故 { } ^a

_n

^有界 ^.

注意：有界性是数列收敛的必要条件.

推论无界数列必定发散.

.

1 .

1 ：收敛的数列必定有界

定理

(48)

49

问题:函数

y = f ( x )

^在

x → ∞

的过程中, 对应 函数值

f ( x )

无限趋近于确定值 A.

; )

( )

(x A 表示 f x A任意小

f − < ε −

的过程 . 表示 → ∞

> M x x

. sin 0

) (

, 无限接近于

无限增大时

当 x

x x f

x =

通过上面图形可观察到:

问题: 如何用数学语言刻划函数“无限接近”.

(49)

定义 1.5 如果对于任意给定的正数

ε

^{(不论它多么}

小),总存在着正数 M ,使得满足 ^x ^> ^M 的

x

^所对应的

函数值

f ( x )

^都满足

f ( x ) − A < ε

^,则常数

A

^就叫函数

)

( x

f

^当

x → ∞

^{时的极限,记作}

) (

) ( )

(

lim = → → ∞

∞

→

f x A f x A x

x

当或

"定义

"ε − M

. )

( ,

, 0 ,

0

ε

> ∃ > > − <

∀ M 使当 x M时恒有 f x A

⇔

∞

=

→

f x A

x

( )

lim

(50)

51

: .

1

⁰

x → +∞ 情形

. )

( ,

, 0 ,

0

ε

> ∃ > > − <

∀ M 使当x M时恒有 f x A

:

.

2

⁰

x → −∞ 情形

^f ^x ^A

x =

−∞

→ ( )

lim

. )

( ,

, 0 ,

0 ε

ε > ∃ > < − − <

∀ M 使当 x M 时恒有 f x A

A

x

x f =

+∞

→ ( )

lim

2、另两种情形:

⇔

∞ =

→ f x A

x ( )

lim

定理 : lim f (x) A lim f (x) A.

x

x = =

−∞

→ +∞

→ 且

(51)

x y sin x

=

3、几何解释:

ε

− ε

X0

− X ₀

. 2

,

) ( ,

的带形区域内宽为

为中心线直线

图形完全落在以函数

时或

当

ε A

y

x f y

M x

=

>

−

<

A

(52)

53

x y = sinx

例4

sin 0 .

lim =

∞

→

x

证明

(53)

2、自变量趋向有限值时函数的极限

问题:函数

y = f ( x )

^在

x → x

₀^{的过程中,对应}

函数值

f ( x )

无限趋近于确定值 A.

; )

( )

(x A 表示 f x A任意小

f − < ε −

. 0 < x − x₀ < δ 表示x → x₀的过程

0

x δ x

0

−

x x

₀

+ δ

δ δ

0的去心邻域,

点x δ δ体现x接近x₀程度.

第1章 函数 极限 连续